2 离散数学-命题公式,真值表

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离散数学重要公式定理汇总分解

⑴ 交换律对任何集合A、B，有AB=BA。 ⑵ 结合律对任何集合A、B、C，有 (AB)C=A(BC)。教材里有证明。 ⑶ 同一律对任何集合A，有AΦ=A。 ⑷ 对任何集合A，有AA=Φ。 ⑸ ∩对可分配 A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)
关系的性质
一. 自反性
定义 :设 R是集合 A中的关系，如果对于任意x∈A都有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如：在实数集合中 , “ ”是自反关系，因
例邻居关系和朋友关系是对称关系。
四.反对称性
定义:设R为集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有 xRy,和yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系。
R是A上反对称的 xy((xAyAxRyyRx) x=y) xy((xAyAxyxRy)y Rx) (P112) 由R的关系图看反对称性：两个不同的结点之间最多有一条边。从关系矩阵看反对称性：以主对角线为对称的两个元素中最多有一个1。另外对称与反对称不是完全对立的，有些关系它既是对称也是反对称的，如空关系和恒等关系。
如实数的大于关系>，父子关系是反自反的。注意：一个不是自反的关系，不一定就是反自反
的。
三.对称性定义:R是集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有
xRy,必有yRx,则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的
xy((xAyAxRy) yR方向相反的两条边。从关系矩阵看对称性：以主对角线为对称的矩阵。
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2018/10/25
Formula
等价公式(前10个)与集合论的公式比较： ⑴ 对合律 ~~AA ~A表示A的绝对补集 ⑵ 幂等律 A∪AA A ∩ A A ⑶ 结合律 A∪(B∪C)(A∪B)∪C； A∩(B∩C)(A∩B)∩C ⑷交换律 A∪BB∪A A∩BB∩A ⑸分配律 A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) ⑹ 吸收律 A∪(A∩B)A A∩(A∪B)A

离散数学之逻辑运算和命题公式真值表

}
return 0;
}
{
int show();
show();
return 0;
}
int hequ(int P,int Q)
{
return(P&Q);
}
int xiqu(int P,int Q)
{
return(P|Q);
}
int tiaojian(int P,int Q)
{
if(P==1&&Q==0)
return(0);
else
实现任意输入公式的真值表计算。一般我们将公式中的命题变元放在真值表的左边，将公式的结果放在真值表的右边。命题变元可用数值变量表示，合适公式的表示及求真值表转化为逻辑运算结果；可用一维数表示合式公式中所出现的n个命题变元，同时它也是一个二进制加法器的模拟器，每当在这个模拟器中产生一个二进制数时，就相当于给各个命题变元产生了一组真值指派。算法逻辑如下：
return(1);
}
int shuangtiaojian(int P,int Q)
{
return(!P^Q);
}
int Pfaoding(int P)
{
return(!P);
}
int show()
{
cout<<"P Q R P∧Q P∧R┐P∧R (P∧Q)∨(┐P∧R)"<<endl;
for(int p=0;p<2;p++)
1、逻辑联接词的运算
从键盘输入两个命题变元P和Q的真值，输出它们的合取、析取、条件、双条件和P的否定的真值。
#include <iostream.h>

离散数学第二章知识点

命题逻辑等值演算等值式定理：设A，B两个命题公式（即前面的合式公式），若A，B构成的等价式A↔B为重言式，则A与B是等值的，记作A⇔B(可以说该式子为等值式模式)常用的16组等值式模式：双重否定律：A⇔﹁﹁A幂定律：A⇔A∧A，A⇔A∨A交换律:A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A结合律：(A∨B)∨C⇔A(B∨C)(A∧B)∧C⇔A(B∧C)分配律:A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)德摩根律：﹁(A∨B)⇔﹁A∧﹁B﹁(A∧B)⇔﹁A∨﹁B吸收律：A∨(A∧B)⇔A，A∧(A∨B)⇔A零律：A∨1⇔1,A∧0⇔0同一律:A∨0⇔A,A∧1⇔1排中律:A∨﹁A⇔1矛盾律:A∧﹁A⇔0蕴涵等值式: A→B⇔﹁A∨B等价等值式: A↔B⇔(A→B)∧(B→A)假言易位:A→B⇔﹁B→﹁A(这里可以用逆否命题的概念证明)等价否定等值式:A↔B⇔﹁A↔﹁B(或写成﹁B↔﹁A，这里可以用逆否命题的概念证明)归谬(miu)论：(A→B)∧(A→﹁B)⇔﹁A(此处可以通过蕴涵等值式，交换律以及结合律进行结合证明)上述等值式模式可以通过真值表证明等值式的验证1.等值演算法（即通过等值式模式对原式进行变形）举例:(p∨q)→r⇔(p→r)∧(q→r)证明时可以从左边开始演算也可以从右边开始演算，无硬性要求，这里我们从右边开始演算。

(p→r)∧(q→r)⇔(﹁p∨r)∧(﹁q∨r) //蕴涵等值式⇔(﹁p∧﹁q)∨r //分配律⇔﹁(p∨q)∨r //德摩根律⇔(p∨q)→r //蕴涵等值式2.真值表法（我在第一章的最后有叙述，这里不再重述）3.观察法（也可称为带入法，此处适合用以证明两式不等值的情况）关于等值演算法的补充：等值演算法可以用以证明公式的类型。

1.当最后结果为1时为重言式（永真式）2.当最后结果为0时为矛盾式（永假式）3.当最后结果只能化成某个命题变项或公式时为可满足式析取范式与合取范式简单析取式：p,﹁p,p∨q,﹁p∨q,p∨﹁q,,﹁p∨﹁q,﹁p∨﹁q∨r等（这里可以发现的是里面都只含有析取联结词，简单析取式结构就是由析取联结词和命题变项组成的一个公式）简单合取式：p,﹁p,p∧q,﹁p∧q,p∧﹁q,,﹁p∧﹁q,﹁p∧﹁q∧r等（这里可以发现的是里面都只含有合取联结词，简单合取式结构就是由合取联结词和命题变项组成的一个公式）课本中的定理：命题变项及其否定统称为文字。

离散数学实验报告命题逻辑—构造命题公式的真值表

【实验目的】使学生熟练掌握利用计算机语言实现逻辑运算的基本方法。

【实验内容】对给出的任意一个命题公式（不超过四个命题变元），使学生会用C语言的程序编程表示出来，并且能够计算它在各组真值指派下所应有的真值，画出其真值表。

【实验原理】给出任意一个命题公式，我们可以将它用C程序表示出来，并且能够计算它在各组真值指派下所应有的真值（或是逻辑运算的结果）。

这有多种方法。

上面我们已经给出了逻辑连结词的定义，根据这种定义方法，我们也可以把一个命题公式表示成为条件语句中的条件表达式，这样我们就可以得到该命题公式的逻辑运算结果了。

【程序代码】#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int a[8][3]={{0,0,0},{0,0,1},{0,1,0},{0,1,1},{1,0,0},{1,0,1},{1,1,0},{1,1,1}};int b[8]={0,0,0,0,0,0,0,0};int xa[8]={0,0,0,0,0,0,0,0};int s(char c,int as,int i){//1 true;0 falseif(c=='|'){if(a[i][as]==1||a[i][as+1]==1){return 1;} else{return 0;}}if(c=='&'){if(a[i][as]==1&&a[i][as+1]==1){return 1;} else{return 0;}}if(c=='='){if(a[i][as]==a[i][as+1]){return 1;} else{return 0;}}if(c=='!'){if(a[i][as]==a[i][as+1]){return 0;return 1;}}if(c=='>'){if(a[i][as]==1||a[i][as+1]==0){return 0;} else{return 1;}}}int so(char c,int i,int as){if(c=='|'){if(xa[i]==1||a[i][as+1]==1){return 1;} else{return 0;}}if(c=='&'){if(xa[i]==1&&a[i][as+1]==1){return 1;} else{return 0;}}if(c=='='){if(xa[i]==a[i][as+1]){return 1;} else{return 0;}}if(c=='!'){if(xa[i]==a[i][as+1]){return 0;} else{return 1;}}if(c=='>'){if(xa[i]==1||a[i][as+1]==0){return 0;return 1;}}}int main(void) {string f;cin>>f;char c1=f[1];char c2=f[3];for(int i=0;i<8;i++){for(int j=0;j<3;j++){printf("%d ",a[i][j]);}printf("\n");}for(int i=0;i<8;i++){xa[i]=s(c1,0,i);}for(int i=0;i<8;i++){b[i]=so(c2,i,1);}for(int i=0;i<8;i++){printf("%d\n",b[i]);}return 0;}【实验结果】【实验心得】。

离散数学最全知识点

10 1 1
1
1
11 0 0
0
1
2、演绎法
事实库
规则匹配新事实
事实=结论？
触发规则
N
公理库将事实加入到事实库中
Y 结束
推理定理
推理规则
3、反证法
例如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑。所以羊不吃草。
例有红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。如果红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四；或者白队不是第一，或者红队第三；事实上，黄队第二。因此，如果白队第一，那么蓝队第四。
莱布尼茨之梦
“精炼我们的推理的唯一方式是使它们同数学一样切实，这样我们能一眼就找出我们的错误，并且在人们有争议的时候，我们可以简单的说：让我们计算，而无须进一步的忙乱，就能看出谁是正确的。”
莱布尼茨(1646年~1716年) 德国哲学家、数学家。
布尔与布尔代数
“以计算的符号语言来表示它们，以此为基石建立逻辑的科学，并且构造他们的方法。”
否定律分配律
DeMorgan律
矛盾律排中律蕴涵等价
判定公式是永真或永假的方法有：真值表法和公式推演法
法一
法二
例试用较少的开关设计一个与下图有相同功能的电路。
3.3 联结词的完备集
一、联结词的个数
1、一元联结词
0001 1 1010 1
2、二元联结词
00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 01 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

离散数学第二章命题逻辑等值演算

范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合定理取范式. 取范式. 求公式的范式的步骤的范式的步骤：证求公式A的范式的步骤： (1) 消去中的→, ↔ 消去A中的中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式（蕴涵等值式）蕴涵等值式）（交换律）交换律）
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ （分配律）分配律）（排中律）排中律）（同一律）同一律） ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当为重言式当且仅当说明:演算步骤不惟一, 说明演算步骤不惟一,应尽量使演算短些演算步骤不惟一

离散数学第二章命题逻辑等值演算

四、利用等值演算可确定公式的类型
判断 (p→q) ∧ p → q 的类型若能得到 (p→q) ∧ p → q ⇔１则可得到公式为重言式若A ⇔０则可得到公式为矛盾式因为 (p→q) ∧ p → q ⇔
公式 ┑( p→（ｐ∨q) ）∧ r 的类型公式ｐ∧（（（ｐ∨q) ∧┑p）→ｑ）的类型利用等值演算还可以化简一个命题公式命题公式的等值演算是数理逻辑中的最基本运算
返回
对于形似于条件命题的构成形式即 A→ B 而且要说明是重言式如：┐Q∧（Ｐ→Q） → ┐P 可利用条件联结词的性质来给予证明分析1：若要得出：当设 A为真，B为假的情况不会出现，那么A →B 为永真式。可证明：设前件为真
分析2：还可以从设 B为假，推出A为真的情况不会出现（A为假），那么A →B 为永真式。证明：设后件为假 (（Ｐ→Q）∧( Q→R)) →(Ｐ→R)
p∨ ┑q ∨ r
┐p ∧ q ∨ ┐ q∧ ┐p∧r ∨ ┐q
取范式是含三个简单合取式的析
Bi(i=1,2…n)为简单析取式，B=B1 ∧ B2 ∧.. ∧ Bn为合取范式
p∨ ┑q ∨ r
(┐p∨q) ∧ ┐q ∧ p
是含三个简单析取式的合取范式．
（┐p ∨ q）∧（┐q∨┐p∨r）∧┐q
2、性质：
例：证明下列等值式 ┐(P∧Q)→(┐P∨（┐P∨Q)) ⇔ (┐P∨Q) 解： ┐(P∧Q)→(┐P∨(┐P∨Q)) ⇔ (P∧Q)∨(┐P∨(┐P∨Q)) 蕴涵等值 ⇔(P∧Q)∨(┐P∨Q) 等幂律 ⇔(P∧Q)∨┐P∨Q ⇔(P∨┐P)∧(Q∨┐P))∨Q 分配律 ⇔ T ∧ (Q∨┐P)∨Q 同一律 ⇔ Q∨┐P 等幂律 ⇔ ┐P∨Q 交换律 2）证明等值式 (p∨q) →r ⇔ (P → r) ∧ (q →r) （┑（ｑ → p )∧p )∨(ｐ∧q∧r) ⇔ ｐ∧q∧r

离散数学部分概念和公式总结(精简版)

第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。

离散数学复习资料

离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。

命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。

离散数学实验——求真值表

一实验目的 (1)二实验内容 (1)三实验环境 (1)四实验原理和实现过程（算法描述） (1)五实验数据及结果分析； (3)六源程序清单； (7)七其他收获和体会。

(16)一实验目的熟悉掌握命题逻辑中的联接词、真值表、主范式等，进一步能用它们来解决实际问题。

二实验内容1. 从键盘输入两个命题变元P和Q的真值，求它们的合取、析取、条件和双条件的真值。

（A）2. 求任意一个命题公式的真值表（B，并根据真值表求主范式（C））三实验环境C或C＋＋语言编程环境实现。

四实验原理和实现过程（算法描述）A：首先提示用户输入真值指派，然后判断用户输入的是否是0或者1，如果不是则利用while语句提示错误，然后提示重新输入直至输入正确，再根据用户输入的真值给代表合取，析取，蕴含，双条件的变量赋值，再以两行表格形式输出所得结果。

最后提示按#键退出，否则继续循环求真值。

B：主要思路：首先提示用户输入表达式，然后编写并调用一个函数将表达式转换为逆波兰式，在转换的同时，插入部分语句将表达式中的变量名存储到数组bianl[N]中，然后输出存好的各变量名及用户输入的表达式（建立表头），将每次的真值指派存在数组zhi[]中，编写函数zzhi（）每次调用zzhi（）时都使数组zhi[]中的真值加1，（利用递推实现加一时可能的进位，）然后编写并调用一函数qiuzhi （）计算每次真值指派下的逆波兰表达式的值，再输出各真值指派和求出的表达式的真值，然后调用函数zzhi（）将真值指派的数组加1，最后外围利用while语句循环输出每个不同的真值指派和该指派下表达式的值。

将表达式转换成逆波兰式并将变量提取的算法：首先需要分配2个栈，一个作为临时存储运算符的栈fu[]，一个作为输入逆波兰式的栈nibol[]，从中缀式的左端开始取字符，逐序进行如下步骤：（1）若取出的字符是字母，则该字母直接送入nibol[]栈。

同时为了找出所有变量，将该变量名与数组bianl[]中已有的元素比较，如果bianl[]中还没有该字母，则该字母是新出现的变量，将其录入数组bianl[]中。

离散数学命题公式真值表C++或C语言实验报告

离散数学命题公式真值表C++或C语言实验报告-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1离散数学实验报告专业班级：12级计算机本部一班姓名：鲍佳珍学号： 201212201401016 实验成绩：1．【实验题目】命题逻辑实验二2．【实验目的】熟悉掌握命题逻辑中真值表，进一步能用它们来解决实际问题。

3．【实验内容】求任意一个命题公式的真值表4、【实验要求】C或C＋＋语言编程实现5. 【算法描述】1.实验原理真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。

列出命题公式真假值的表。

通常以1表示真，0 表示假。

命题公式的取值由组成命题公式的命题变元的取值和命题联结词决定，命题联结词的真值表给出了真假值的算法。

真值表是在逻辑中使用的一类数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效。

2.实验过程首先是输入一个合理的式子，生成相应真值表，然后用函数运算，输出结果：要求可生成逻辑非、合取、析取、蕴含、双条件表达式的真值表，例如：输入 !a输出真值表如下：a !a0 110输入a&&b输出真值表如下：a b a&&b0 0 00 1 01 0 01 1 1输入a||b输出真值表如下：a b a||b0 0 00 1 11 0 11 1 1输入a->b输出真值表如下：a b a->b0 0 10 1 11 0 01 1 1输入a<>b (其中<>表示双条件) 输出真值表如下：a b a<>b0 0 10 1 01 0 01 1 16.【源程序（带注释）】#include<stdio.h>#include<string.h>void hequ();void yunhan();void xiqu();void shuang();void fei();//声明五个函数int main(){int ch;char s[10];printf("欢迎使用命题公式真值表查找软件\n\n");printf("1.合取 2.析取 3.蕴含 4.双条件 5.非 0.结束查找\n");//软件使用界面的输出scanf("%d",&ch);while(ch){printf("\n\n您能查找真值表的命题公式有以下几种：\n\n");printf("1.合取请输入a&&b 2.析取请输入a||b 3.蕴含请输入a->b 4.双条件请输入a<>b 5.非请输入!a\n");//选择输入的公式类型getchar();printf("请输入您所需要查询的公式：");scanf("%s",s);if(!strcmp(s,"a&&b"))hequ();else if(!strcmp(s,"!a"))fei();else if(!strcmp(s,"a||b"))xiqu();else if(!strcmp(s,"a->b"))yunhan();else if(!strcmp(s,"a<>b"))//将输入的公式与程序内存在的公式进行比较shuang();elseprintf("对不起，您所要查找的公式不存在!\n\n");printf("\n 1.继续查找 0.结束 \n\n");scanf("%d",&ch); //使程序循环}return 0;}void hequ(){printf("a b a&&b\n");printf("0 1 0\n");printf("0 0 0\n");printf("1 0 0\n");printf("1 1 1\n");}void xiqu(){printf("a b a||b\n"); printf("0 1 1\n"); printf("0 0 0\n"); printf("1 0 1\n"); printf("1 1 1\n"); }void yunhan(){printf("a b a->b\n"); printf("0 1 1\n"); printf("0 0 1\n"); printf("1 0 0\n"); printf("1 1 1\n"); }void fei(){printf("a !a\n");printf("1 0\n");printf("0 1\n");}void shuang(){printf("a b a<>b\n");printf("0 1 0\n");printf("0 0 1\n");printf("1 0 0\n");printf("1 1 1\n");} //定义五个函数7．【实验结果与分析总结（含运行结果截图）】输入界面输入公式并输出真值表继续查找结束程序。

离散数学第1章命题公式与翻译真值表与等价公式

这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其中(1)称为基础，(2)(3)称为归纳，(4)称为界限。
按照定义，下列公式都是合式公式： ┐(P∧Q），┐(P→Q)，(P→(P∨┐Q)， (((P→Q）∧(Q→R)) （S T)) 而 (P→Q）→(∧Q)，(P→Q，(P∧Q）→Q）等都不是合式公式。
在这里，请注意和的区别与联系：区别：

是逻辑联结词，它出现在命题公式中；
不是逻辑联结词，它表示两个命题公式的一种

关系，不属于这两个公式的任何一个公式中的符号。

2、等价公式的证明方法： ⑴真值表法
例题5 证明 P Q (P→Q) ∧(Q→P) 证明列出其值表表 1-4.7
注意

由表1-4.4 (表1-4.2)可以看出，有一类公式不论命题变元作何种指派，其真值永为真(假)，我们把这类公式记为T(F)。在真值表中，命题公式真值的取值数目，决定于分量（命题变元）的个数。例如，由2个命题变元组成的命题公式共有四种可能的真值，由3个命题变元组成的命题公式共有八种真值。一般说来，n 个命题变元组成的命题公式共有2n种真值情况。
同理(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)与P 同，如表1-4.6所示。表1-4.6 P Q P T T T F F T F F T F F T Q
Q对应的真值相
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
二、等价公式
1.定义
定义1-4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1，P2，……，Pn任一组真值指派， A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。记作A B。
P T T F F

离散数学定义列表

A.定义1.简单命题/原子命题、复合命题2.定义1.1：否定式、否定联结词3.定义1.2：合取式、合取联结词4.定义1.3：析取式、析取联结词定义1.4：蕴含式、前件、后件、蕴含联结词；规定19.4、20.45.定义1.5：等价式、等价联结词；规定6.联结词的定义（真值表）表1.1、优先级7.命题常项、命题变项（不是命题）、合式公式8.定义1.6：原子命题公式、公式、子公式9.定义1.7：公式层次10.定义1.8：赋值/解释、成真赋值、成假赋值11.定义1..9：真值表12.定义1..10：重言式/永真式、矛盾式/永假式、可满足式13.哑元************************重点：命题逻辑等值演算***************15.等值演算、置换规则4.116.定义2.2：文字、简单析取式、简单合取式17.定义2.3：析取范式、合取范式、范式18.定义2.4：极小项、极大项定义2.5：主析取范式、主合取范式********************************一阶逻辑**********************19.个体词、个体常项、个体变项、个体域/论域、全总个体域20.谓词、谓词常项、谓词变项、n元谓词、0元谓词量词、全称量词、存在量词全称蕴含、存在合取P71 5.3********************************集合代数**********************21.定义6.1：子集、包含22.定义6.2：相等23.定义6.3：真子集定义6.4：空集P139 124.n元集、m元子集、（单元集）25.定义6.5：幂集公式：26.定义6.6：全集27.定义6.7:并集、交集、相对补集、不交28.定义6.8：对称差集29.定义6.9：绝对补集30.定义6.10：广义并31.定义6.11：广义交幂等律、结合律、交换律、分配律、同一律、零律、排中律、矛盾律、吸收律、德摩根律、双重否定律eg6.8,P108 36****************************重点：二元关系***********************32.定义7.1：有序对/序偶33.定义7.2：笛卡尔积性质P11134.定义7.3：二元关系/关系P139 735.定义7.4：从A到B的二元关系、A上的二元关系、空关系36.定义7.5：A上的全域关系（E）、恒等关系（I）、小于等于关系（L）、整除关系（D）、包含关系（R）37.关系矩阵（x行，y列）、关系图38.定义7.6：定义域、值域、域39.定义7.7：逆关系40.定义7.8：右复合（左复合）41.定义7.9：R在A上的限制、A在R下的像42.定义7.10：关系的n次幂定义7.11：自反、反自反定义7.12：对称、反对称定义7.13：传递43.定义7.15：等价关系（性质）P142 32(4)、4144.定义7.16：等价类45.定义7.17：商集46.定义7.18：划分、划分块 P134 eg7.1847.定义7.19：偏序关系（性质）48.定义7.20：小于、可比49.定义7.21：全序关系/线序关系50.定义7.22：偏序集P13551.定义7.23：偏序集中顶点的覆盖关系（为画哈斯图）P143 43（2）***************************函数*******************************53.定义8.1：函数54.定义8.2：函数相等55.定义8.3：从A到B的函数P171 6（8）（9）56.定义8.4：从A到B的函数的集合B A57.定义8.5：A1在ƒ下的像、函数的像、完全原像定义8.6：满射、单射、双射/一一映射P173 2558.定义8.7: 常函数、恒等函数、单调递增、单调递减、严格单调递减、特征函数、自然映射59.反函数（双射）*************************代数系统*****************************60.定义9.2：一元运算定义9.3：可交换/交换律定义9.4：可结合/结合律定义9.5：幂等律、幂等元61.定义9.6：可分配/分配律62.定义9.7：吸收律63.定义9.8：左单位元（右单位元）、单位元/幺元64.定义9.9：左零元（右零元）65.定义9.10:左逆元（右逆元）、逆元、可逆66.定义9.11：消去律、左消去律（右消去律）注意P183 eg9.667.定义9.12：代数系统/代数、特异元素/代数常数68.定义9.13：具有相同的构成成分/同类型69.定义9.14：子代数系统/子代数、平凡的子代数、真子代数（函数对子集封闭）70.定义9.15：积代数、因子代数************************************群与环***************************************半群与群都是具有一个二元运算的代数系统71.定义 10.1：半群（）、幺半群/独异点（）、群（）72.有理数加群、整数加群、实数加群、复数加群、四元群、子代数、语言73.定义 10.2：有限群、无限群、平凡群、交换群/Abel群74.定义 10.3：n次幂75.定义 10.4：（元素的）阶/周期、k阶元、无限阶元***********************************格与布尔代数**********************************格与布尔代数是具有两个二元运算的代数系统定义11.1：格（偏序集定义的）P22176.幂集格、子群格77.定义11.2：对偶命题、格的对偶原理78.定义11.3：格（代数系统定义的）79.定义11.4：子格80.定义11.5：分配格81.定义11.6：全上界、全下界82.定义11.7：有界格83.定义11.8：补元84.定义11.9：有补元定义11.10：布尔格/布尔代数（有补分配格）85.定义11.11：布尔代数（代数系统定义）86.定义11.12：原子**********************************14.图的基本概念********************************87.无序积A&B88.定义14.1：无向图、顶点集、顶点/结点、边集、无向边/边89.定义14.2：有向图、无向边/边90.（P294）图、阶、n阶图；零图、平凡图；空图；标定图、非标定图；基图；端点、关联、关联次数、环、相邻；始点、终点、孤立点；邻域、闭邻域、关联集、后继元集、先驱元集91.定义14.3：平行边、重数、多重图、简单图92.定义14.4：度数/度、出度、入度、最大度、最小度、悬挂顶点、悬挂边、偶度（奇度）顶点93.度数列、可图化的、可简单图化的，出度列、入度列94.定义14.6：n阶无向完全图/n阶完全图、n阶有向完全图、n阶竞赛图95.定义14.7：k-正则图96.定义14.8：母图、真子图、生成子图、导出的子图97.定义14.10：删除边e、删除E’、删除顶点v、删除V‘、边的收缩、新加边删点边不留，删边点还在98.定义14.11：通路、始点、终点、长度、回路、简单通路、简单回路、初级通路/路径、初级回路/圈、奇圈、偶圈、复杂通路、复杂回路99.定义14.12:连通、连通图、非连通图100.定义14.13：连通分支、连通分支数101.定义14.14：短程线、距离102.定义14.15：点割集、割点103.定义14.16：边割集/割集、割边/桥104.定义14.21：弱连通图/连通图、单向连通图、强连通图105.定义14.22：二部图/二分图/偶图，完全二部图定义14.23：无向图关联次数、关联矩阵定义14.24：有向图关联矩阵定义14.25：邻接矩阵定义14.26可达矩阵**********************************15.欧拉图与哈密顿图****************************106.定义15.1：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图107.定义15.2：哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密度图**********************************16.树*****************************************108.定义16.1：无向树/树、森林、平凡树、树叶、分支点109.定义16.2：生成树、树枝、弦、余树110.定义16.:5：权、最小生成树111.避圈法（Kruskal算法）B.定理1.定理2.1：简单析取式是重言式的充要条件；简单合取式是矛盾式的充要条件2.定理2.2：析取范式（矛盾式）、合取范式（重言式）3.定理2.3：范式存在定理4.定理2.4：极小项和极大项关系5.定理2.5：主析、主合存在并唯一6.定理6.1：子集是一切集合的子集推论：空集是唯一的7.定理7.1：逆关系性质8.定理7.2：复合结合律、逆9.定理7.3：关系与恒等关系复合10.定理7.4：复合分配律注意交11.定理7.5：限制和像的分配律注意像的交12.定理7.6：有穷集上只有又穷多个不同的二元关系13.定理7.7：关系的幂性质14.定理7.8：有穷集A上的关系R的幂序列R0，R1，R2等是一个呈现周期性变化的序列15.定理7.9：五大性质16.定理7.14：等价关系的性质17.定理8.1：函数的复合（关系的右复合）推论1：函数复合结合律推论2：ƒ：A→B，g：B→C，则ƒ。

离散数学

第一章命题逻辑1.1 命题及其表示方法1.2 联结词1.3 命题公式与翻译1.4 真值表与等价公式1.5 重言式与蕴含式1.6 其它联结词1.7 对偶与范式1.8 推理理论1.1 命题及其表示方法命题：具有确定真值的陈述句命题的类型（原子命题和复合命题）命题的表示（一个命题标识符（比如P）表示确定的命题）重点：如何判断语句是否为命题。

1.2 联结词否定⌝合取∧析取∨条件→双条件↔重点：五种联结词的含义、真值表1.3 命题公式与翻译命题公式符号化：所谓命题的符号化就是把一个用文字叙述的句子相应地写成由命题标识符、联结词和括号表示的合式公式。

命题符号化的重要性命题符号化是很重要的，一定要掌握好，在命题推理中最先遇到的就是符号化一个问题，解决不好，等于说推理的首要前提没有了。

重点：命题的符号化符号化应该注意下列事项:①确定给定句子是否为命题。

②句子中连词是否为命题联结词。

③要正确地表示原子命题和适当选择命题联结词。

1.4 真值表与等价公式真值表的构造方法(1) 找出公式中所含的全体命题变元P1, P2, …, Pn, (若无下角标就按字典顺序排列), 列出2n个赋值. 赋值从00…0开始, 然后按二进制加法依次写出各赋值, 直到11…1为止.(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.(3) 对应各个赋值计算出各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值.等价关系的含义等价式的判别方法•真值表法•等价演算法基本等价式（必须掌握）(1)对合律（双重否定）：⌝⌝P⇔P(2)幂等律：P∧P⇔P，P∨P⇔P(3)结合律：(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R)，(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)(4)交换律：P∧Q⇔Q∧P，P∨Q⇔Q∨P(5)分配律：P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)，P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)(6)德·摩根律：⌝ (P∧Q) ⌝⇔P∨⌝Q，⌝ (P∨Q) ⌝⇔P∧⌝Q(7)吸收律：P∧(P∨Q)⇔P，P∨(P∧Q)⇔P(8)同一律：P∧T⇔P，P∨F⇔P(9)零律：P∧F⇔F，P∨T⇔T(10)否定律：P∧⌝P⇔F，P∨⌝P⇔T(11) 条件式转化律：P→Q⌝⇔P∨Q，P→Q⌝⇔Q→⌝P(12) 双条件式转化律：P↔Q ⇔(P→Q)∧(Q→P) ⇔(P∧Q)∨(⌝P∧⌝Q)⌝ (P↔Q) ⇔P⌝↔Q ⌝⇔P↔Q(13) 输出律(CP规则)：P→(Q→R) ⇔(P∧Q)→R重点：等价式的证明、基本等价式1.5 重言式与蕴含式重言式或永真公式定义1-5.1 给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对应的真值永为真，则称该命题公式为重言式或永真公式。

离散数学部分概念和公式总结(考试专用)

命题：称能判断真假的陈述句为命题。

命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。

命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。

给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。

若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。

真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。

将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。

命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。

（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。

（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。

主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。

主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。

命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。

约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。

一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。

前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。

集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。

笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。

二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。

离散数学2

本节小结：要熟练掌握这五个联结词在自然语言中所表示的含义以及它们的真值表的定义。

P Q P∧Q P∨Q P→Q P↔QF F F F T TF T F T T FT F F T F FT T T T T T1-5. 重言(永真)蕴涵式有些重言(永真)式，如(P∧(P→Q))→Q，公式中间是“→”联结词，是很重要的，称之为重言蕴涵式。

1.定义：如果公式A→B是重言式，则称A重言(永真)蕴涵B，记作A⇒B。

上式可以写成(P∧(P→Q))⇒Q注意符号“⇒”不是联结词，它是表示公式间的“永真蕴涵”关系，也可以看成是“推导”关系。

即A⇒B可以理解成由A可推出B，即由A为真，可以推出B也为真。

2.重言(永真)蕴涵式A⇒B的证明方法方法1.列真值表。

(即列A→B的真值表)这里就不再举例了。

下面讨论另外两种方法。

A B A→B F F T F T T T F F T T T先看一看A→B的真值表，如果A→B为永真式，则真值表的第三组指派不会出现。

于是有下面两种证明方法(解释法）。

方法2.假设前件为真，推出后件也为真。

例如求证：P ∧(P→Q)⇒Q证明:设前件P ∧(P→Q) 为真，则P、(P→Q)均真，所以Q为T。

∴P ∧(P→Q) ⇒Q方法3.假设后件为假，推出前件也为假。

例如求证：P ∧(P→Q)⇒Q证明:假设后件Q为F。

1.如P为F，则前件P ∧(P→Q)为F2.如P为T，则(P→Q)为F，所以前件P ∧(P→Q)为假。

∴P ∧(P→Q)⇒Q蕴涵式的直观意义设P：天下雨。

Q：马路湿。

则P∧（P→Q）⇒Q表示：如果天下雨，则马路湿；现在天下雨，所以，马路一定是湿的。

（Q∧（P→Q）⇒P？⌝Q∧（P→Q）⇒⌝P？）论证以下推理的正确性。

⏹P：x是偶数Q：x2是偶数⏹如果x是偶数，则x2是偶数；x是偶数，所以x2是偶数。

⏹如果x是偶数，则x2是偶数；x2是偶数，所以x是偶数。

⏹如果x是偶数，则x2是偶数；x不是偶数，所以x2不是偶数。

2019离散数学课件真值表与等价公式.ppt

例3. 如果你和他都不固执己见的话，那么不愉快的事也不会发生了。解：设P：：（PQ）R 例4. 如果你和他不都是固执己见的话，那么不愉快的事也不会发生了。解：设P：你固执己见。 Q：他固执己见。 R：不愉快的事也不会发生了原命题可以符号化为：（PQ）R
1-4 真值表与等价公式
例：证明 Q(P(PQ)) QP 证明：应用吸收律 P(PQ) P 左边 QP 得证！
1-4 真值表与等价公式
P19 (7) a) 证明 A(BA) A(A B) 证明:原式左边 A(BA) A (BA) A BA A（AB） A (A B) A(A B)
离散数学课件真值表与等价公式离散数学真值表离散数学实验真值表离散数学基本等价公式离散数学课件离散数学公式离散数学等价关系离散数学屈婉玲课件左孝凌离散数学课件离散数学等价类
1-3命题公式与翻译
1-3.1 命题公式
P，PQ，(PQ)(PQ)都是复合命题。若P和Q是命题变元，则上述各式均称作命题公式。 P和Q称为命题公式的分量。命题公式是没有确定的真值的，仅当在一个公式中命题变元用确定的命题代入时，才能得到一个命题。
1-3.1 命题公式
定义1-3.1 命题演算的合式公式（wff） (well formed formula) (1)单个命题变元本身是一个合式公式。 (2)如果A是合式公式，那么A是合式公式。 (3)如果A和B是合式公式，那么(AB), (AB), (AB), (A B)是合式公式。 (4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3) 所得到的包含命题变元、联结词和括号的符号串是合式公式。
作业(1-4)
P19 (7) d)，f)
1-4 真值表与等价公式

2 离散数学-命题公式,真值表

离散数学重要公式定理汇总分解

离散数学之逻辑运算和命题公式真值表

离散数学第二章知识点

离散数学实验报告命题逻辑—构造命题公式的真值表

离散数学最全知识点

离散数学第二章 命题逻辑等值演算

离散数学 第二章 命题逻辑等值演算

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