2 离散数学-命题公式,真值表

2 命题公式,真值表

(1) 数理逻辑是通过引入表意符号研究人类思维中的推理过程及推理正确与否的数学分支.

数学------⎧⎨⎩

符号运算

推理---思维过程:前提

结论

命题逻辑---研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系.(逻辑演算) 即将推理(不涉及内函)形式化.

例1 (a) 4是偶数.

张林学习优秀.

太阳系以外的星球上有生物.

(b) 这朵花真美丽!

现在开会吗?

(c) 3 5.x +>

我正在说慌.

特征分析(a) 陈述句,非真即假.

(b) 感叹句,疑问句.

(c) 悖论.

定义1 能辩真假的陈述句,称为命题,用,,,P Q Z 表示.其判断结果称为命题的真值.

成真的命题称为真命题,其真值为真,记为,T 或为1.成假的命题称假命题,其真值为假,记为,F 或为0.

例2 (1) 2008年奥运会在北京举行.

(2) 22 5.⨯=

(3) 计算机程序的发明者是诗人拜伦.

用符号表是上述命题,并求真值.

解 (1) :P 2008年奥运会在北京举行. .T

(2) :Q 22 5.⨯= .F

(3) :R 计算机程序的发明者是诗人拜伦. .F

(2) 3, 35,+ 3(4

1).+- 例3 (1) 今天没有数学考试.

(2) 下午,我写信或做练习.

(3) 王芳不但用功,而且成绩优秀.

(4) 如果太阳从西边出来了,那么地球停止转动.

(5) 2是素数,当且仅当三角形有三条边.

特征分析(a)存在自然语言中的虚词.

(b)语句可以分解,细化.

定义2 称下列符号为逻辑联结词

否定 ⌝ 非 P ⌝

析取 ∨ 或者 P Q ∨

合取 ∧ 且 P Q ∧

蕴涵 → 若----,则----- P Q →

等价 ↔ 当且仅当 P Q ↔

逻辑联结词真值的规定

例4 将下列命题符号化.

(1) 小李聪明,但不用功. ()P Q ∧⌝

(2) 单位派小王或小苏出差. P Q ∨

(3) 如果椅子是紫色的,且是园的,那么地是平的. ()P Q R ∧→ (4) n 是偶数当且仅当它能被2整除. P Q ↔

注 1 逻辑联结词:运算符.顺序 ,,,,.⌝∧∨→↔

2 自然语言中 虽然---,但是----; 不但---,而且----; ∧

只有----,才----; 除非----,才-----; →

3 ∨ 可兼或(相容) ∨ 不可兼或(排斥)

小王是山东人或是河北人. ()()P Q P Q P Q ∨⇔∧⌝∨⌝∧

4 ,P Q -----------------------简单命题

()P Q R ∨→-----------复合命题(由简单命题及逻辑联结词按一定规则组成)

5 复合命题的真值由简单命题和逻辑联结词真值规定共同确定.

“若雪是黑的,那么太阳从西边出来了.”

P :雪是黑的. :Q 太阳从西边出来了.P Q → 真值 为 T

6 蕴含联结词的真值规定解释

“若天下雨,那么我带伞.”何时自食其言.前件:P 天下雨.后件:Q 我带伞.

则有命题 P Q → 仅当天下雨,我没有带伞时才自其言，即当前件为T ，

后件为F 时，命题才为F .对应的真值情况如下:

(3) 3,;43;ππ-22

1, 5.;23;24|x y x x y x y ==++-

定义3 真值确定的命题,称为命题常元1,0,否则为命题变元,记号仍用,.P Q

命题公式是由按下列规则生成的符号串

(1)命题常元是命题公式

(2)命题变元是命题公式

(3)若,P Q 是命题公式,则,,,,P P Q P Q P Q P Q ⌝∨∧→↔也是

命题公式.

(4)有限次运用(1),(2),(3)得到的字符串也是命题公式.

注 1 递归定义.():,,,().P Q R P P P Q P Q R ⌝→∧⌝⌝→⌝→∧

2 ,(()Q P Q ∧∨不是命题公式.

(4) 定义4 命题公式中,命题变元的一组确定的真值,称为该公式的一个真值

指派.

真值指派的全体构成的表,称为该公式的真值表.

注 命题公式12(,,,)n A P P P 一共有2n 个真值指派.

例5 求命题公式()Q P Q P ∧→→的真值表.

解

(5) 22

sin cos 1,arcsin 2,30.x x x x +=≥+>

例6 讨论下列命题公式的真值情况.

(),P P Q ⌝→→ (),P Q P ∧∧⌝ ().

P P Q ∨⌝→ 解

定义5 命题公式12(,,,)n A P P P 在2n 个真值指派下

其值⎧⎪⎨⎪⎩

永真永假至少有一个真 称A 为重言式矛盾式可满足式

(1) 数理逻辑、命题逻辑研究的内容。

(2) 命题、真值、命题常元、命题变元。

(3) 逻辑联结词。

(4) 命题公式、真值指派、永真式、真值表。

(5) 判断命题，符号化陈述句，构造命题公式的真值表。判断命题公式的类型。