文科立体几何线面角二面角专题_带答案

的余弦值.
6．如图，三棱柱
中，侧棱
棱 ， ， 的中点.
底面 ，且各棱长均相等. ， ， 分别为
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面
平面
；
（3）求直线 与直线 所成角的正弦值. 7．如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥ 平面 ABCD，EF//BD，且 BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面 ADE⊥平面 BDEF；
由题设可知 OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．
所以 OM= ，CH=
=．
所以点 C 到平面 POM 的距离为 ． 点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明 为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的 距离线段求解，也可利用等体积法解决.
连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB= =2．
பைடு நூலகம்
由
知，OP⊥OB．
由 OP⊥OB，OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC．
（2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM． 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离．
方法二： （Ⅰ）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空 间直角坐标系 O-xyz.
文科立体几何线面角二面角专题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题 1．如图，在三棱锥
中，
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角
，
， 为 的中点．
为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
2．如图，在三棱锥
中，
3．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得
,再根据线面
垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角，再在直角三角形中求 解.
方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为 0 得出
,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面 的
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且
，
， 为 的中点．
，求点 到平面 的距离．
3．（2018 年浙江卷）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平 面 ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面 A1B1C1； （Ⅱ）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值．
（Ⅱ）若二面角 C BF D 的大小为 60°，求 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值．
8．如图，在四棱锥
中， 平面 ，
，
，
，点 是 与 的交点，点 在线段 上，且
.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
9．在多面体
中，底面 是梯形，四边形 是正方形，
，
，
，
，
（1）求证：平面
由题设可知 OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．
所以 OM= ，CH=
=．
所以点 C 到平面 POM 的距离为 ． 【解析】分析：（1）连接 ，欲证 平面 ，只需证明
即可；（2）过
点作
，垂足为 ，只需论证 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
详解：（1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= ．
一个法向量，然后利用 与平面 关系求解. 详解：方法一：
法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余
（Ⅰ）由
得
，
所以
.
故
.
由，
得
，
由
得
，
由
，得
，所以
，故
.
因此
平面
.
（Ⅱ）如图，过点 作
，交直线 于点 ，连结 .
由
平面
得平面
平面 ，
由
得
平面 ，
所以
是 与平面 所成的角.学科.网
由
得
，
所以
，故
.
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
.
所以 与平面 所成角的正弦值为 . 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的 空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”， 求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 2．解：
（1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= ．
平面 ；
（2）设 为线段 上一点，
，求二面角
的平面角的余弦值.
10．如图，在多面体
中，四边形 为等腰梯形，
，已知
，
，
，四边形 为直角梯形，
，
.
（1）证明： 平面 ，平面 （2）求三棱锥 的体积.
平面 ；
参考答案
1．（1）见解析（2） 【解析】分析：(1)根据等腰三角形性质得 PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂直 OB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点 坐标，根据方程组解出平面 PAM 一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据 二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得 M 坐标，再利用向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.
连结 OB．因为 AB=BC= ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB= =2．
由
知，OP⊥OB．
由 OP⊥OB，OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC．
（2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH，所以 CH⊥平面 POM． 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离．
详解：（1）因为
， 为 的中点，所以
，且
.
连结 .因为
，所以
为等腰直角三角形，
且
，
.
由
知
.
由
知 平面 .
（2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系
.
由已知得
.
设
，则
.
设平面 的法向量为
.
由
得
，可取
取平面 的法向量 ，
所以
.由已知得
.
所以
.解得 （舍去）， .
所以
.又
，所以
4．如图，在三棱柱
中，点 P，G 分别是 ， 的中点，已知 ⊥平面
ABC， = =3， = =2.
（I）求异面直线 与 AB 所成角的余弦值；
（II）求证： ⊥平面 （III）求直线 与平面
； 所成角的正弦值.
5．如图，四棱锥 别是 ， 的中点.
，底面 是正方形，
，
，，分
（1）求证
；
（2）求二面角