二次函数的图像与性质导学案
二次函数图像性质导学案
二次函数图象与性质复习导学案学习目标1、 会利用不同的方法求二次函数图像的顶点坐标、对称轴、最值。
2、能根据二次函数的图像解决相关的问题。
知识点一：二次函数的定义形如2y ax bx c =++(a 、b 、c 是常数，0≠a )1、 下列函数是二次函数的有__________________。
①21y x =+；②2(3y x x =-；③212y x x =；④2y a x b x c =++；⑤2(2)(3)y x x x =-+-2、 已知函数222(2)(412)5y m m x m m x =++--+（1） 当m 是什么值时，函数是一次函数？当m 是什么值时，函数是二次函数？知识点二：二次函数的图像与性质二次函数()2y a x h k =-+ (a 、h 、k 是常数，0≠a )知识点三:配方法确定二次函数的图像与性质(最值问题))0(2≠++=a c bx ax y 确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标，利用配方得到 ，其中对称轴为 ，顶点为（ ， ）。
1、写出下列的对称轴与顶点坐标：（1）2243y x x =-+ （2）y ＝－x 2＋3x －5知识点四:二次函数系数)0(2≠++=a c bx ax y 与图像的关系⑴ a 决定抛物线的开口方向、大小：a ＞0 ，开口向 ，当x = 时，y 有最小值＝ a ＜0 ，开口向 , 当x = 时，y 有最大值＝ ⑵ c 决定抛物线与y 轴交点的位置：① c ＞0 ② c=0 ；③c ＜0⑶a ，b 决定抛物线对称轴的位置: (对称轴是直线x = ） ① a ，b 同号,对称轴在y 轴 侧；② b=0 ； ③ a ，b 异号 .⑷ △=b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点情况：① △＞0,抛物线与x 轴有 交点；② △＝0, ； ③ △＜0 。
1、如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①2b ＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．A ②④B ①④C ②③D ①③2.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，判断下列结论是否正确并说明理由：① 0>abc ； ② c a b +<； ③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）3. 在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx=+的图象可能为（ ）a b 2-4. 已知函数y =x 2-2x -2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥3跟踪练习1、.抛物线y=-3x 2+2x-1的图象与x 轴、y 轴交点的个数是( )A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点2、.如图2所示,二次函数y=x 2-4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点, 交y轴于点C, 则△ABC 的面积为( )A.6B.4C.3D.1 3、二次函数y=ax 2+bx+c 的值永远为负值的条件是( )A.a>0,b 2-4ac<0B.a<0,b 2-4ac>0 C.a>0,b 2-4ac>0D.a<0,b 2-4ac<04、.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )5、有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:甲:对称轴是直线x=4;乙:与x 轴的两个交点的横坐标都是整数;丙:与y 轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3,请你写出满足上述全部特点的一个二次函数关系式___________.6、.将抛物线y=ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.7、.若二次函数y=(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方,则m 的取值范围是_____.8、.二次函数y=2x 2- 4x+ 3 通过配方化为顶点式为y= _________, 其对称轴是______,顶点坐标为_______,抛物线开口________,当x_______时,y 随x 的增大而增大;当x____时,y 随x 的增大而减小;当x=______时,y 最值=________.9、抛物线y=x 2+(m-1)x- 4的顶点的横坐标是2,则m 的值是_______. x B A C y O C10、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11、二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A 、有最小值0，有最大值3B 、有最小值﹣1，有最大值0C 、有最小值﹣1，有最大值3D 、有最小值﹣1，无最大值12、点A （2，y 1）、B （3，y 2）是二次函数y=x 2－2x ＋1的图象上两点，则y 1与y 2的大小关系为y 1 y 214、.说出函数y=-2x 2+8x-8的图象的开口方向、对称轴、 顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?15、如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）．（1）求AB 的长；（2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值． RQ P CA。
二次函数的图像和性质导学案
二次函数的图像和性质导学案【学习目标】1、经历探索二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象作法和性质的过程；2、能够理解函数y= y=a(x-h)2与y=ax 2的图象的关系，知道a 、h 对二次函数的图象的影响；3、能正确说出函数y=a(x-h)2的图象的性质.【课前导学】：叙述二次函数y=ax 2+k(a ≠0)的图象和性质。
【课堂导学】自主学习：二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象作法和性质：画出函数2y x = y=(x+3)2的图象 （1） 列表：2y x = y=(x+3)2的图象；【交流互动】：（1）函数y=(x+3)2的图象与y=x 2的图象有什么关系？ （2）函数y=(x+3)2的图象与y=x 2的图象的形状相同吗?（3）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x 2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系?（4）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?3、结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小. 4、观察右图,思考并回答下列问题:①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?【课堂小结】二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象和性质： 【巩固练习】1、二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是 。
它是由二次函数y=2x 2向____平移______个单位得到。
数学九年级上册《二次函数的图像与性质(3)》导学案
5.2 二次函数的图像与性质（3）班级______学号_____姓名___________［学习目标］1、理解二次函数y ＝ax 2+k 中a 、k 和m 对函数图像的影响，能解释．．二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系.2、会用描点法作出函数y ＝ax 2+k 图像，根据图像认识和理解二次函数y ＝ax 2+k 性质. 3、体会本节中图形的变化与 图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），体会数形结合的数学思想。
［活动方案］活动一 思考与探索（一）思考1：二次函数12+=x y 的图像是个什么图形？是抛物线吗？在同一直角坐标系中画出它们的图像.三个图像中对应点的坐标如何变化？ 它们的图像之间有什么关系? 为什么？抛物线12+=x y 的对称轴、顶点、最值、增减性如何？x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x y =… … 12+=x y … … 22-=x y……类似的：二次函数k ax y +=2的图像与函数2ax y =的图像有什么关系？ 它的对称轴、顶点、最值、增减性如何？活动二 思考与探索（二）二次函数()23+=x y 的图像是抛物线吗？如果结合下表和看课本P 14-15你的解释是什么？x… -8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 … 2x y =… … 2)3(+=x y … … 2)3(-=x y……类似的：二次函数()2m x a y +=的图像与二次函数2ax y =的图像有什么关系？它的对称轴、顶点呢？它的对称轴、顶点、最值、增减性如何呢活动三 总结与归纳：1、二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、图像的形状，位置的关系是：y=ax 2+k 图像可以看作是由y=ax 2的图像向 平移 个单位得到； y=a （x+m ）2图像可以看作是由y=ax 2的图像向 平移 个单位得到；2、它们的性质是：二次函数y=ax 2+k 中，当a>0时，当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 有最 值，为 .当a ＜0时， . y=a （x+m ）2的性质是什么?活动四例题点评：1、例1：函数y=4x2+5的图像可由y=4x2的图像向平移个单位得到；y=4x2-11的图像可由 y=4x2的图像向平移个单位得到。
二次函数的图像和性质导学案
课题:二次函数的图像和性质导学案一、学习目标：1、会作函数y=ax²和y=ax²+c的图象，并能比较它们的异同；理解a、c对二次函数图象的影响。
能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；了解抛物线y=ax²上下平移规律。
2、经历探索二次函数y=ax²+c的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法。
二、重点：作出函数y=ax²和y=ax²+c的图象，比较它们的异同，了解性质。
难点：函数y=a x+c²的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律。
三、学法指导：侧重学生思、探、究的自主学习，运用类比的学习方法。
四、学习过程：（一）自主完成：1、作二次函数y＝2x2的图象。
并思考二次函数y＝2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?体会并归纳二次项系数a对二次函数图像的影响归纳结论：2、研究y=ax2和y＝ax2+c图象之间的关系（1）在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2与y＝2x2+1的图象。
并比较它们的性质。
（二）、小组内合作：（同学们积极探索，合作交流，其他学生纠正补充，教师规范学生的语言表达）（1）、解决自学中存在的问题并做好记录。
（2）、比较y=ax²和y=ax²+c的图象有什么异同。
（3）、讨论抛物线y=x²+1、y=x²、y=x²-1有哪些相同点和不同点？（4）、以小组为单位归纳抛物线y=ax²+c的性质和抛物线y=ax²上下平移的规律。
（5）、解析式中的a、c对图象有什么影响。
（三）、归纳总结：1、类比函数y=ax²图象的性质，总结抛物线y=ax²+c的性质，总结时从以下几点方面进行总结：（1）对称轴（2）顶点坐标（3）开口方向（4）开口大小（5）增减性（6）最高（低）点2、从平移方向和单位两方面总结抛物线y=x²+1与抛物线y=x²-1是由抛物线y=x²通过怎样平移得到的。
《221二次函数的图像和性质》导学案
（上册）《22.1二次函数的图像和性质》导学案（第一课时）【学习目标】1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。
【学习课时】1课时。
【导学方法】实验、整理、分析、归纳法。
【导学过程】一、课前导学1、填表一次函数正比例函数反比例函数表达式图形形状2、探究（1）正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为是什么？①（2）多边形的对角线数 d 与边数n 有什么关系？②n边形有________个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作________条对角线。
因此，n边形的对角线总数d =____________。
（3）某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是____件，再经过一年后的产量是 件，即两年后的产量为________。
③二、合作探究探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？ 一般地，形如________的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 为________， b 为________，c 为________，做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）2x y = （2）21x y -= （3）122--=x x y （4）)1(x x y -=（5）)1)(1()1(2-+--=x x x y （6） 23712y x x =+-－ 2、函数2y ax bx c =++，当a 、b 、c 满足什么条件时， （1）它是二次函数? （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？（第二课时）【导学目标】会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，概括出图象的特点及函数的性质。
二次函数的图像与性质(1)导学案北师大版数学九年级下册
老师导语
学生活动
抓住各类函数的本质特征进行分类梳理
用描点法画二次函数y=ax2的图象
借助图像分析二次函数的性质，利用数形结合的思想
动手画图像并进行比较分析，抓住图像的相同点与不同点，借助图像来理解
将上述交流讨论中得到的结论进行小结，借助上面的坐标系
一、回顾旧知
x
…
3
2
1
0
1
2
3
…
y=x2
…
…
y=2x2
…
…
比较归纳：二次函数y=ax2和y=ax2有什么关系？
相同点：
不同点：
联系：
三、小结：二次函数y=ax2的性质
1. 二次函数y=ax2的图象的形状是，是对称图形，对称轴是。
2、二次函数y=ax2中a的取值决定了抛物线的和
当a>0时，图象的开口，当a<0时，图象的开口
（2）图像与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（3）当x＜0时，随着x值的增大，y的值 如何变化？当x＞0时呢？
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的
（5）图像是轴对称图像吗？如果是， 它的对称轴是什么？请你找出几对对称点
（6）它们的开口方向怎样？哪个开口大？
做一做：
二次函数 y=x2和 y=2x2的图像是什么形状？先想一想，然后画出它的图像，它与上面的两个二次函数的图像有什么关系？与同伴进行交流
回忆一下我们学过的函数有哪些？它们的图像和性质是怎样的呢？把自己能回忆的起来的知识梳理出来，与同伴交流，并补充完善
二、探究简单二次函数y=ax2的图像与性质
画函数图象的一般步1.2.3.
二次函数的图像和性质导学案
课题：二次函数的图像和性质再研究使用说明：1.阅读探究课本 4741-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力； 2.提前完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。
【学习目标】1.理解二次函数中参数a,b c,h,k 对其图像的影响。
2.领会二次函数图像平移的方法，并能迁移到其他函数图象的研究，从而提高识图和用图能力。
3.结合二次函数图象，研究二次函数所具有的性质,从解析式到定义域、值域、单调性,对称性等不同的角度认识二次函数,熟知性质.4. 通过二次函数的图象和函数的单调性,会求二次函数在某一区间上的最值或值域.【重点难点】重点：二次函数图像和性质难点：通过二次函数的图象和函数的单调性,会求二次函数在某一区间上的最值或值域.以及解析式。
教材助读复习回顾：1.能否将关于x 的二次函数()02≠++=a c bx ax y 化成过程：步骤：（1） 0≠a ∴提公因式________将二次项系数化为_____。
得()0)(2≠++=a c x abx a y(2)当二次项系数为____时，括号内加上___次项系数_____的平方。
同时减去这个数。
得()0________]_______[2≠+-++=a c x abx a y 。
()0________]______)[(2≠+-+=a c x a y （3）变形得顶点式()044________)(22≠-++=a a b ac x a y 。
得顶点坐标是___________,对称轴是直线_______________________。
2.归纳： 顶点坐标公式：关于x 的二次函数()02≠++=a c bx ax y 顶____________________,对称轴是____________。
用配方法把下列二次函数化成顶点式，指出开口方向，对称轴，顶点坐标。
当x 为何值时，y 的值最小（大）？（1） 52212++=x x y （2）31232-+-=x x y探究案 预习自测1. 画二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象．解：y ＝12 x 2－6x ＋21配成顶点式为_______________________．顶点坐标___________________;对称轴____________. 利用图象的对称性列表（请填表）x… 3 4 5 6 7 8 9 ………当堂检测1．二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是（1，－2），求函数解析式。
数学北师大版九年级下册二次函数的图像与性质(第一课时)导学案
二次函数的图像与性质（第一课时）目标导向【学习目标】1.经历探索二次函数2x y =的图像的作法和性质的过程，获得利用图像研究函数性质的经验；2.能够利用描点法作出二次函数2x y =的图像，并能根据图像认识和理解二次函数2x y =的性质；3.能够作出二次函数2x y -=的图像，并能够比较出与2x y =的图像的异同，初步建立二次函数表达式与图像之间的联系. |【重点】二次函数2x y =与2x y -=的图像特点. 【难点】二次函数2x y =图像特点的探索过程.自学导向1．预读教材P32—P34，了解本节课基本内容，并标记知识点. 2．完成练习册《学考精练》P125课前练兵. 3．相关知识链接：⑴二次函数的概念：一般地，若两个变量y x ,之间的对应关系可以表示成_______(c b a ,,是常数，______)的形式，则称y 是x 的二次函数. $⑵画函数图像的一般步骤为：______、______、______.合作导向探究点·一：二次函数2x y =的图像的画法（1）观察2x y =得关系式，选择适当的x 值，并计算出相应的y 值，完成下表：x …… -3 | -2-1 0 1 2 3 ……2x y =）……【……（2）在平面直角坐标系中描点.xy–1–2–3–4–5–6–7–812345678–1–2–3–412345678910O（3）用平滑的曲线连接各点，得二次函数2x y =的图像.【针对练习】作出二次函数2x y -=的图像.xy–1–2–3–4–5–6–7–812345678–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10123O【归纳小结】二次函数2x y =与2x y -=的图像是一条_______.》探究点·二：二次函数2x y =与2x y -=的图像和性质观察思考，认真完成下表： 二次函数2x y =2x y -=大致图像xyO《xyO图像形状 开口方向对称轴 <顶点坐标增减性当0<x 时，y 的值随x 值得增大而____；当0>x 时，y 的值随x值得增大而____当0<x 时，y 的值随x 值得增大而____；当0>x 时，y 的值随x值得增大而____、最值当x =____时，y 有最___值为___ 当x =____时，y 有最___值为___若把二次函数2x y =的图像和二次函数2x y -=的图像画在同一平面直角坐标系中，则两图像既关于_______对称，又关于_______成中心对称. 【针对练习】1．比较二次函数y=x 2与y=﹣x 2的图象，下列结论错误的是（ ） A ．对称轴相同 B ．顶点相同]C ．图象都有最高点D ．开口方向相反2.已知点A （-1，m ），B （-2，n ）在二次函数y=x 2的图像上，则m______n （填“>”“<”或“=”）拓展导向 自测反馈 【基础达标】1.下列点不在二次函数y=x 2图像上的是（ ）A.(-1，1)B.(1，-1)C.(2，4)D.(-2，4)…2．抛物线y=，y=x 2，y=﹣x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.点（x 1,y 1）， (x 2,y 2)都在二次函数y=﹣x 2的图像上，如果x 1< x 2<0,那么y 1与 y 2的大小关系是（ ）A. y 1< y 2<0B. y 2 < y 1<0C. y 1> y 2>0D. y 2> y 1>04. 设正方形的边长为a ，面积为S ，试作出S 随a 的变化而变化的图象．5.若点A （2，m ）在抛物线y=x 2上，求点A 关于y 轴对称点B 的坐标，并判断点B 是否也在抛物线y=x 2上.？【能力提升】1.已知a<-1，点（a-1，y 1）, （a ，y 2）, （a+1，y 3）都在y=x 2的图像上，则（ ） A. y 1< y 2< y 3 B. y 1< y 3 <y 2 C. y 3 < y 2< y 1 D. y 2 < y 1< y 32．如图，⊙O 的半径为2．C 1是函数y=x 2的图象，C 2是函数y=﹣x 2的图象，则阴影部分的面积是 ．课堂总结{通过这节课我学会了____________________________________________________，我还有疑问_________________________________________________________________.课后作业《学考精炼》P125—P126。
(九年级数学教案)二次函数图像和性质导学案
二次函数图像和性质导学案九年级数学教案
1. 二次函数的图像和性质
>0
<0
开口
对称轴
顶点坐标
最值当x= 时,y有最值当x= 时,y有最值
增减性在对称轴左侧y随x的增大而y 随x的增大而在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而
2. 二次函数用配方法可化成的形式,其中
= , = .
3. 二次函数的图像和图像的关系.
4. 二次函数中的符号的确定.
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例1.已知二次函数,
(1) 用配方法把该函数化为
(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式,并画
出这个函数的图像,根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.
(2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.
例2. (____年大连)如图,直线和抛物线
都经过点A(1,0),B(3,2).
⑴求m的值和抛物线的解析式;
⑵求不等式的解集.(直接写出答案)
【当堂检测】
1. 抛物线的顶点坐标是.
2.将抛物线向上平移一个单位后,得到的抛物线解析式是.
3. 如图所示的抛物线是二次函数
的图象,那么的值是&n。
《二次函数的图象和性质》导学案
《二次函数的图象和性质》导学案【学习目标】通过复习(1)理解二次函数的有关概念，能用a 、b 、c 判断图像特征 (2)掌握二次函数的对称性、增减性 (3)掌握二次函数的平移，进一步体会数形结合思想【学习重点】二次函数的开口、对称轴、顶点、最值、增减性等性质。
【学习难点】二次函数的增减性 【课时安排】1课时 【教具选用】多媒体 【学习过程】一、引发概念1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ． y =3x ﹣1B ． y =ax 2+bx +cC ． s =2t 2﹣2t +1D ． y =x 2+2.抛物线y =（x ﹣1）2+2的开口方向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。
3..二次函数y =x 2+4x ﹣5的图象的对称轴为（ ）A ． x =4B ． x =﹣4C ． x =2D ． x =﹣24.二次函数y=-(x-3)2+2的最大值是（ ）． A ．3 B ．2 C ．－3 D ．235.已知二次函数y = -31（x ﹣2）2+3，当x 时，y 随x 的增大而减小．6..二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）A ． a ＜0B ． b ＞0C ． b 2﹣4ac ＞0D ． a +b +c ＜07.在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 （ ） A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 二、基础再现8.抛物线y=3(x+4)2-5的顶点坐标是（ ）. A.（4,5） B （4,-5）C.(4,5)-- D.（-4,5）9.将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是（ ） A ．2(6)5y x =-+ B ．2(3)5y x =-+ C. 2(3)4y x =--． D ．2(3)9y x =+-10.将抛物线25x y =先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是。
《二次函数 图象和性质》导学案
《二次函数2ax y =图象和性质》导学案一、自主探究一1.请画出2x y =的图象2.请在上面的坐标系中画出22x y =221x y =的图象. 3.观察以上画的三个图象，它们有哪些共同特征？把你的想法在小组内交流。
自主探究二1、请在同一坐标系中分别画出，2-x y =，221-x y =22-x y =的图象。
2、议一议：观察以上画的三个图象，你又有什么发现？在小组内交流你的想法。
3、理一理：，2-x y =22-x y =，221-x y =的二次项系数a__0，它们的图象都是___________，对称轴___________，顶点_______顶点都是最__点（填“高”或“低”），当x=____时，y 有最___值是_____，当x<0时，y 随着x 值的增大而________,当x>0时呢？小结：（1）观察以上三组图象：2222222121,22,-x y x y x y x y x y x y -==-==-==与与与你能发现它们之间有怎样的关系？（2）观察以上6个图象，你认为抛物线的开口方向和大小分别与什么因素有关？ （3）总结归纳：你能总结出二次函数2ax y =图象有哪些性质吗？二、 巩固练习2．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1) x 2的图象开口向下，则m ____________．三、达标检测1．函数y y ＝37 x x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________． 2．二次函数mx y = 22-m 有最低点，则m ＝___________．3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k k 的取值 范围为___________．4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．。
《二次函数的图象和性质(4)》导学案1
第4课时 二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象和性质初三（ ）班 第组 姓名学习目标：1．配方法求二次函数一般式2y ax bx c =++的顶点坐标、对称轴； 2. 熟记二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标公式； 3. 会画二次函数一般式2y ax bx c =++的图象. 学习过程： 一、预习导入1. 二次函数()21532y x =--图象的顶点坐标是，对称轴是.2. 抛物线()2725y x =--+可以由抛物线27y x =-向平移个单位，再向平移个单位而得到. 3.你会画二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象吗？你知道它的开口方向、顶点坐标和对称轴吗？ 二、自主学习例1. 画二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象，并指出它的开口方向、顶点坐标和对称轴. 解： 列表：由上可知，它的图象是开口、顶点坐标为，对称轴是直线的抛物线.新知：3)6(212+-=x y 叫做二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的顶点式.因此，二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象可看作是将抛物线221x y =先向平移个单位，再先向平移个单位得到.当x______时，y 随x 的增大而减小，当x______时，y 随x 的增大而增大； 当x=_____，y 有最_____值，其值是_______．例2. 用配方法求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点与对称轴． 解： 2y ax bx c =++∴二次函数2y ax bx c =++通过配方化为顶点式k h x a y +-=2)(的形式为:因此，二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标是，对称轴是直线.三、归纳提升1.用顶点坐标和对称轴公式直接求抛物线顶点坐标和对称轴的方法叫公式法.2. 求二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标，对称轴有两种方法： 一是将一般式配成顶点式，二是直接运用公式.3. 四、题组训练 A 组： 1．填空：(1)抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标是_______；(2)抛物线y ＝2x 2－2x －52的开口_______，对称轴是_______；2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图. (1)y ＝x 2－2x ； (2)y ＝－x 2－2x()()22___________________2_________ +______2_________________a b a x x a a x =⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦=++(3)y ＝－2x 2＋8x －8 (4)y ＝12x 2－4x ＋3B 组3．若函数y=2x 2+2bx+4的图象顶点在x 轴上，则b 的值为（）A ．－B ．－1C ．D ．－224．关于函数y=2x 2－8x ，下列叙述错误的是（）A ．函数图象过原点B ．函数图象的最低点为（2，－8）C ．函数图象与x 轴的交点为（0，0），（4，0）D ．将函数y=2x 2－8x 的图象向下平移8个单位，再向左平移两个单位就得y=2x 2的图象5．抛物线y=x 2+2mx+（m 2－m+1）的顶点在第三象限，则m 的范围是（） A ．m<0 B ．m>0 C ．0<m<1 D ．m>16．已知抛物线y=x 2－2x －3，若点P （－2，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是_______．7．二次函数y=x 2－2x －5的图象是由y=x 2的图象先向_____平移_____个单位，再向______平移_____个单位得到的．8．函数y=x 2－2x －1配方成k h x a y +-=2)(的形式是______， 它的顶点是_____，对称轴是______，开口向______．当x______时，y 随x 的增大而减小，当x______时，y 随x 的增大而增大； 当x=_____时，y 有最_____值，其值是_______．9．已知抛物线y=4x 2－mx+2，当x>－2时，y 随x 的增大而增大；当x<－2时，y 随x 的增大而减小．则当x=－1时，函数值为______． 10．二次函数y=ax 2+4x+a 有最大值3，求实数a 的值.。
数学九年级上册《二次函数的图像与性质(1)》导学案
第5章第2节 二次函数的图像与性质（1）班级______学号_____姓名___________［学习目标］1．能用描点法画二次函数2ax y =的图像；2．能画y=-ax 2的图像，并说出它与y=ax 2图像的共同特征。
［活动方案］活动一 根据二次函数式y=x 2，你能想象它的图像特征吗？回顾“一次函数、反比例函数的图像的画法”，类似地，研究二次函数图像画法。
填表并观察，“由数想形”，尝试解决新问题。
尝试1:填表尝试2、画出二次函数式y=x 2的图像活动二 画出二次函数y=x 2的图像后，再尝试画出y =－x 2的图像。
思考1：通过1中的表和画出的图像，你能否概括出函数2x y =、y =－x 2的共同点和不同点？记录下来（注意记录的条理性）x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x y =……思考2：你能有哪些画y =－x 2图像的方法？活动三 画出二次函数y=21x 2、y=2x 2、y =－21x 2、y =－2x 2的图像，并探讨这些函数图像的共同点和不同点根据图象填空： 抛物线221x y =的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 抛物线22x y =的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 归纳：对于二次函数2ax y =图像具有什么特征呢？你是怎样理解和记忆这些特征的呢？ ［检测反馈］ 1.根据函数关系式y=31x 2填空：（1）图像开口向 ，顶点坐标 ，对称轴 ； 2. 说出y=-3x 2的图像的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 3、已知二次函数y=5x 2的图像，如果另一个函数的图像与该函数关于x 轴对称，那么这个函数的关系式是 .4、对于函数y=x 2，由其图像可知，下列判断中，正确的是（ ） A 、若m 、n 互为相反数，则x=m 与x=n 对应的函数值相等； B 、对于同一自变量x ，有两个函数值与之对应； C 、对于任意一个实数y ，有两个x 值与之对应； D 、对于任何实数x ，都有y>0.4.已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A. B.C .D.【巩固提升】1.在同一坐标系中画出函数y=23x 2、y=3x 2、y =－23x 2、y =－3x 2的图像。
《22.1二次函数的图像和性质》导学案
（上册）《22.1二次函数的图像和性质》导学案（第一课时）【学习目标】1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。
【学习课时】1课时。
【导学方法】实验、整理、分析、归纳法。
【导学过程】一、课前导学1、填表2、探究（1）正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为是什么？①（2）多边形的对角线数 d 与边数n 有什么关系？②n边形有________个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作________条对角线。
因此，n边形的对角线总数d =____________。
（3）某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是____件，再经过一年后的产量是 件，即两年后的产量为________。
③二、合作探究探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？ 一般地，形如________的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 为________， b 为________，c 为________，做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）2x y = （2）21x y -= （3）122--=x x y （4）)1(x x y -=（5）)1)(1()1(2-+--=x x x y （6） 23712y x x =+-－ 2、函数2y ax bx c =++，当a 、b 、c 满足什么条件时， （1）它是二次函数? （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？（第二课时）【导学目标】会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象，概括出图象的特点及函数的性质。
二次函数的性质与图象导学案
导学案：二次函数的性质与图象（一）编撰人：李斌 审定：阜阳四中高一数学组学习目的：掌握研究二次函数图像和性质的配方法。
进一步掌握二次函数的图像和性质。
会综合运用二次函数图像和性质解决有关问题。
【预习要点及要求】1.二次函数的一般方法——配方法。
2.二次函数的图像的画法。
3.二次函数的图像的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值的求法。
4.掌握研究二次函数图像和性质的配方法。
5.进一步掌握二次函数的图像和性质。
6.会综合运用二次函数图像和性质解决有关问题。
【知识再现】1. 二次函数的一般形式)0(2≠++=a c bx axy 2．二次函数的顶点坐标（)44,22a b ac a b--【概念探究】 1、阅读课本57页到例1的上方，完成下列问题1、二次函数的定义及图象的形状是怎样的？2、函数_____________________叫二次函数，它的定义域是_________________.3、当0==c b 时，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 变为___________,它的图像和性质特征为：（1）顶点坐标________,奇偶性为_______,图形关于_______对称；（2）当0>a 时，抛物线的开口______,在_________上是增函数，在_________上是减函数，当x=_____有最小值_______；当0<a 时，抛物线的开口_______,在_________上是增函数，在____________上是减函数，当x=______有最大值_______.(3) 当0>a 时,抛物线在x 轴的______，开口向上并随a 的增大逐渐______；当0<a 时，抛物线在x 轴的______，开口向下并随a 的增大逐渐______；2、阅读课本例1与例2，完成下列问题1．不看课本你能否独立完成两个例题例1、 论述二次函数6421)(2++=x x x f 的性质，并作出它的图象。
二次函数的图像与性质导学案
二次函数的图像与性质导学案第二节二次函数的图像与性质环节一：回顾旧知，导入新课。
1.一次函数的图像是直线，反比例函数的图像是双曲线。
2.画函数图像的一般步骤是确定定义域和值域，列出函数表达式，选择合适的坐标系，计算出函数对应的点，然后用平滑的曲线将这些点连接起来。
环节二：小组合作，探究新知。
1.试画出二次函数 $y=x^2$ 的图像。
由 1、2、3 组用黑色笔完成以下步骤：1）列出函数表格：x$ | $2y=x$ | $y=2x^2$8$| $-16$ | $128$6$| $-12$ | $72$4$| $-8$。
| $32$2$| $-4$。
| $8$0$ | $0$。
| $0$2$ | $4$。
| $8$4$ | $8$。
| $32$6$ | $12$。
| $72$8$ | $16$。
| $128$2）描点3）连线2.试画出二次函数 $y=-x^2$ 的图像。
由 4、5、6 组用黑色笔完成以下步骤：1）列出函数表格：x$ | $y=-x^2$ | $y=-2x^2$8$| $-64$。
| $-128$6$| $-36$。
| $-72$4$| $-16$。
| $-32$2$| $-4$。
| $-8$0$ | $0$。
| $0$2$ | $-4$。
| $-8$4$ | $-16$。
| $-32$6$ | $-36$。
| $-72$8$ | $-64$。
| $-128$2）描点3）连线3.在第一题中画出二次函数 $y=2x^2$ 的图像。
由 1、2、3 组用红色笔完成。
4.在第二题中画出二次函数 $y=-2x^2$ 的图像。
由 4、5、6 组用红色笔完成。
环节三：归纳总结，提炼升华。
二次函数 $y=ax^2(a>0)$ 和 $y=ax^2(a<0)$ 的性质如下：对称轴：$x=0$。
顶点坐标：$(0,0)$。
位置：$y=ax^2$ 的图像上下平移 $|a|$ 个单位。
开口方向：$y=ax^2$ 的图像开口向上；$y=ax^2$ 的图像开口向下。
初三数学二次函数的图像和性质导学案
()02≠++=a c bx ax y 二次函数的图像与性质学案【情境导入】公园里有个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下．如图是其中一条抛物线3422++−=x x y ，求此抛物线的最高点B 的坐标．【复习旧知】y a(x h)2k (a 0)y ＝a(x －h)2＋k a >0 a<0 开口方向 向 向 顶点坐标 （ ， ） （ ， ） 对称轴直线x= 直线x= 增减性当x 时， y 随着x 的增大而减小； 当x 时， y 随着x 的增大而增大． 当x 时， y 随着x 的增大而减小； 当x 时， y 随着x 的增大而增大．最值x= 时,y 最小值=x= 时,y 最大值=抛物线y ＝a(x －h)2＋k (a ≠0)的图象可由y=ax 2的图象通过上下和左右平移得到. 抛物线y = ( x + 3 )2 - 2的开口 ；顶点坐标为 ，对称轴是 ； 当x 时，y 随着x 的增大而减小；当x 时，y 随着x 的增大而增大．xyBCA【巩固训练】【动手操作】画3422+−=x x y 的函数图象；跟踪训练 ： 54)1(2−−−=x x y ；x…… y ……263)2(2+−=x x y【合作探索】对于二次函数()02≠++=a c bx ax y ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？由此可知，抛物线()02≠++=a c bx ax y【当堂训练】3221)1(2+−=x x y13122)2(2+−−=x x y【巩固提高】1.若二次函数52++=bx x y 配方后为()k x y +−=22,则k 、b 的值分别为（ ）A.0，5B.0，1C.-4，5D.-4，1 2.求3422+−=x x y 当21≤≤−x 时的最值．【课后练习】1．二次函数x x y 22−−=的对称轴是 ． 抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标是_______；抛物线y ＝2x 2－2x －52的开口_______，对称轴是_______；抛物线y ＝－2x 2－4x ＋8的开口_______，顶点坐标是_______； 抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋4的对称轴是_______；二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝_______．2.二次函数1222−−=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小． 3.抛物线642−−=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．4．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(−，则a = ．c = ．5.求2422−+=x x y 的最值，对称轴及顶点．6. 抛物线4)2(2++−=x m x y 与x 轴不相交，求m 的范围？。
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第二节 二次函数的图像与性质(第1课时)
环节一 回顾旧知，导入新课。
1.一次函数的图像是 ，反比例函数的图像是 。
2.画函数图象的一般步骤是什么？
， ， .
环节二 小组合学，探究新知。
1.试画出二次函数y=x 2
的图像。
（1.2.3组黑色笔完成）
（1）列表
（2）描点 （3）连线
2. 试画出二次函数y=-x 2
3. 在1中画出二次函数y ＝2x 2的图象（1.2.3组红色笔完成） 在2中画出二次函数y ＝-2x 2的图象（
4.
5.6组红色笔完成）
环节三：归纳总结，提炼升华。
反思小结：
1.当a>0时，a 越大，a ，抛物线开口 。
当a<0时，a 越小，a ，抛物线开口 。
综上：对于任意a ≠0，
a
越大， 抛物线开口 。
环节四:达标检测，反馈提高 A 组
1．二次函数2
x y =的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________ 二次函数2-x y =的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________
2.判断正误
（1）函数y = x2与y = －x2的图像都是抛物线（ ）； （2）函数y = x2与y = －x2的图像对称轴都是x 轴 （ ）； （3）函数y = x2与y = －x2的图像形状相同，开口方向相反（ ） （4）抛物线y = 3x2在x 轴的下方(除顶点外)（ ）
（5）在抛物线y = -5x2左侧， y 随着x 的增大而增大（ ） 3.已知7
2
)2(--=a
x a y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大，则=a 。
4.设边长为x 的正方形的面积为y ，y 是x 的二次函数，该函数的图象是下列各图形中（ ）
B 组：
1．在函数y = x 2上有两点，（－1，y 1），（－3，y 2），那么y 1，y 2，0的大小关系是（ ）
A .y 1 ＜ y 2 ＜0 B. y 2 ＜ y 1 ＜0 C. y 1 ＞ y 2 ＞0 D. y 2 ＞ y 1 ＞0
2、直线1+-=x y 与抛物线2x y =有（ ）
A ．1个交点
B . 2个交点
C ．3个交点
D ．没有交点
3、如图边长为2的正方形ABCD 的中心在直 角坐标系的原点O ，AD ∥x 轴，抛物线y = x 2和 y = －x 2别经过A ，B ，C ，D 点，将正方形成几部 分，则图中阴影部分的面积为 ．
探索乐趣 ：
课下猜想并验证抛物线y = 3x2与y = 3x2+4之间有什么关系？它们是轴对称图形吗？开方方向，对称轴、定点坐标分别是什么？
温馨提示：
只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.。