复变函数第四章学习方法导学

第四章级数

复级数也是研究解析函数的一种重要的工具，实际上，解析函数的许多重要性质，还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。例如，解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的取值特点等等。

根据所研究的解析函数所涉及的问题的需要，在本章中，我们重点介绍两类特殊的复函数项级数，一类是幂级数，通常考虑函数在其解析的区域内的整体性质或函数在其解析点邻域内的性质时，用这类级数；另一类是洛朗级数，通常考虑函数在其孤立奇点附近的有关性质时，用这类级数．

本章，我们主要介绍以下内容：

首先，平行介绍复数项级数和复函数项级数一般理论．

其次，作为函数项级数的特例，我们平行介绍形式简单且在实际中的应用广泛的幂级数，并建立如何将圆形区域内解析的函数表示成幂级数的方法，以及如何利用这种方法来研究解析函数的有关良好的性质（比如：解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性以及作为解析函数基本理论之一的最大模原理等）．第三，进一步介绍由正、负整数次幂项构成的形式幂级数(也称为洛朗级数或双

<-<（0r≤，边幂级数）的概念及其性质，并建立(挖去奇点a的)圆环形区域r z a R

R≤+∞）内解析函数的级数表示（即解析函数在圆环形区域内的洛朗展式），然后再用洛朗展式作为工具研究解析函数在其孤立奇点附近的性质．作为解析函数孤立奇点性质的应用，再简要介绍复变函数的进一步研究中经常涉及到的两类重要的函数，即整函数与亚纯函数及其简单分类．

一、学习的基本要求

1．能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛等概念．掌握复级数收敛的必要条件和充要条件，特别是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系，并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题（比如：利用复级数的和求实级数的和的问题等）．

2．了解复级数绝对收敛与条件收敛，掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质（比如收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性；绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等；二次求和的可交换性，即在

,1

1

()n m

n m A

∞∞

==∑∑，,1

1

()n m m n A ∞∞

==∑∑以及

,,1

n m n m A ∞

=∑

都收敛的条件下，有

,,1

1

1

1

()()n m

n m n m m n A

A ∞∞

∞∞

=====∑∑∑∑

成立）．

3．了解复函数项级数收敛、一致收敛和内闭（紧）一致收敛的含义，掌握一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法，并能熟练运用此判别法判断复函数项级数的一致或内闭一致收敛，掌握一致或内闭一致收敛的函数项级数和函数的连续性、逐项积分性以及解析函数项级数和函数的解析性、逐项求任意阶导数性．

4．熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法：

记00()()n n n f z a z z ∞

==-∑，l =1z 是()f z 的不解析点中距0z 最近的点，

利用系数计算的公式：1

R l =．

利用和函数的计算公式：10R z z =-．

熟练掌握同类幂级数的运算性质．比如：设有两个同类幂级数

00

()()n

n n f z a z z ∞

==-∑，00

()()n n n g z b z z ∞

==-∑

其收敛半径分别为1R ，2R ，不妨设12R R ≤，则在它们收敛的公共范围01z z R -<内 ● 加、减性：

00

()()()()n

n

n n

n

n

n n n n a z z b z z a

b z z ∞∞∞

===-±-=±-∑∑∑．

● 乘积性： 0000

(())(())()()n

n

n

n n n n k k n n n k a z z b z z a b z z ∞

∞

∞

-====-⋅-=⋅-∑∑∑∑．

注意：在用乘积性时，级数不能缺项，若缺项需要将所缺项补齐后，再用乘积性． 设00()()n n n f z a z z ∞

==-∑的收敛半径0R >，则在其收敛圆0z z R -<内

● 逐项积分性：1000

0()d ()d ()1

z z

n

n n

n n n a f a z z z n ξξξξ∞

∞

+===-=-+∑∑

⎰

⎰．

● 逐项微分性：1

001

()()

(1)()n n n n n n f z na z z n a z z ∞

∞

-=='=-=+-∑∑．

● 收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，即

00

()n

n n a z z ∞=-∑，1

01

()

n n n na z z ∞

-=-∑（逐项微分），100()1

n n

n a z z n ∞

+=-+∑

（逐项积分）

这三个幂级数具有相同的收敛半径，从而有相同的收敛圆和收敛圆周．

注意：对收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，只要注意到下面的上极限等式立即可得

==

5．掌握泰勒定理的条件和结论，了解解析函数的（幂）级数定义法，从而理解为什么只有当函数在一点解析时，函数在这一点才能展开成幂级数．熟练掌握如何将解析函数在指定的解析点展开成幂级数的方法（常用的有三种：直接法，间接法和利用解析函数的惟一性的方法）和技巧，并牢记如下几个主要初等解析函数的幂级数展开式

① 01!

z

n

n e z n ∞

==⋅∑

，z <+∞； ② 21

12101

11sin (1)

(1)(21)!(21)!n

n n n n n z z z n n ∞

∞

+--===-⋅=-⋅+-∑∑，z <+∞． 20

1

cos (1)(2)!

n

n n z z n ∞

==-⋅∑，z <+∞． ③ 1

101

11ln(1)(1)

(1)1n

n n n n n z z z n n ∞

∞

+-==+=-⋅=-⋅+∑∑，1z <，其中ln(1)z +表示对数函数Ln(1)z +的主值支．

101

[Ln(1)]ln(1)22(1)1

n

n k n z z k i k i z n ππ∞

+=+=++=+-⋅+∑，1z <． ④ 1

1(1)

(1)(1)11!n

n n n n n z z z n α

αααα∞

∞

==⎛⎫--++=+⋅=+ ⎪⎝⎭

∑

∑，1z <，

其中α为复常数，(1)z α+表示一般幂函数的主值支．

221

21(1)

(1)[(1)](1)(1)

!

(1),

1.

k i

k i

n

k n k i n n n z z e

e

z n n e z z α

α

παπαπααααα∞

=∞

=--++=+⋅=+⋅⎛⎫

=+< ⎪⎝⎭

∑

∑

特别，当1α=-时，

01(1)1n n

n z z ∞==-+∑；0

11n n z z ∞

==-∑，1z <．

6．掌握解析函数零点以及零点阶数的定义，掌握解析函数零点阶数的判别方法（即