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D1 M
A1
E
C1 B1
C
A
B
2020/10/18
17
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
D1
C1
A1 o
A
B1 C
B
2020/10/18
18
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
D1
C1
A1 o
A
B1 C
B
2020/10/18
19
线面角与二面角有时是统一的
α
D1
则OF也垂直AD1
∠A1OF又是二面角A1-AD1-B1的平面角
2020/10/18
10
解更是正？决要方？立注体A体意BC几调D-何 整A1B问 看1C1题 图D1中， 角，应 度二注 ，面角意 减A转少1-AD换视1-B思觉1的路误余；差弦值
B1DBD11 B1 B1
A1 ADD1 11D1
B1
在等腰直角三角形中，A1O=
1 2
AD1 ，则cos∠A1OF =
3 3
2020/10/18
9
正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-AD1-B1的余弦值
是？？
还可以怎么求二 面角的余弦值
D1
C1
线面角与二面 A1
B1 F
角的平面角有
o D
C
时是统一的 A
B
A1O垂直AD1 A1F垂直面AB1D1
判定方法：除可用定义判定外，也可以 由直线垂直平面内的两条相交直线，判 定直线垂直这个平面
2020/10/18
21
直线与平面所成的角
直线平行或在平面内，与该平面成0度角。 直线垂直平面，与该平面所成角为直角。 直线与平面斜交，称为平面的斜线。斜
线与平面所成的角为斜线与其在该平面 的射影所成的锐角。 范围：0-90度。
2020/10/18
22
二面角
由一条直线出发的两个半平面组成的图 形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
二面角用其平面角来测量。以二面角的 棱上任意一点为端点，在两个面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角。
C
S CE= 3VC1-BCD / △ BC1D = 3 a 3 同理A1F = 3 a 3
C1 E
B
C1
C B
D
正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和面AB1D1所成的角余弦
值是？？
D1
Байду номын сангаас
C1
解法1 解法2
A1 F
o
D
A A1C垂直面AB1D1
B1 C
B
斜线与平面所成的角为斜线与 其在该平面的射影所成的锐角。
A1
AA11 A
AA AA
A1B1垂直面AA1D1 ，
D1
A1 F
o D
A
C1 B1
C B
练习
cosα=
SΔAA1D1 SΔAB1D1
=
1 4
AD
2 1
=
3 4
AD
2 1
3 3
2020/10/18
11
练习题1
看谁认得快
D1 E
A1
F
C1 B1
D 正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）当正方体的棱长为a, 则BC1与AA1 A 的距离是多少？
C1
l A
BC
AC垂A1直平面β， B1
则∠ABoC是直F线AB与平面β所成的角，
又AB垂D直两平面交线lD，CB也垂直l
则∠ABC又是二面角α-l –β的平面角
βA
B
在锐角二面角中，第一个平面上垂直棱的直线与第二个 平面所成的角等于二面角的平面角。
2020/10/18
20
直线与平面垂直
定义：直线垂直于一个平面内任一条直 线，则直线垂直这个平面
解:由上知体对角线AC1与 面ABD1和面BC1D都垂直， D1
CE是锥体C-BC1D的高，
考虑证CE 是A1C的三 C1 分之一
设CC1=BC=CD=a，则
BD=BC1=C1D= 2a ， AC1= 3a
A1 F
D
B1
E
CD
E
S = △ BC1D
3•
2
2a
3a2
A
4
2
B
M
又VC1-BCD = 1 31 2BCC D1 C 1 6a3
看谁有创意
P D
A
B1
C B
2020/10/18
15
练习题4
下图是正方体的展开图
N
那么在这个正方体中，
正确地有（ ）
1. BM与ED平行
D
C
M
2. CN与BE是异面直线
3. CN与BM成60度角
4. DM与BN垂直
E
A
B
看谁的想像力更强
F
2020/10/18
16
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
D1 A1
D A
C1 B1
C B
回5
2020/10/18
5
体对角线A1C
D1 A1
D A
C1 对角线A1C与面对角线BC1所成角为？
B1 体对角线A1C与面BDC1的关系 垂直
C 体对角线垂直于与其不相交的面对角线
B
2020/10/18
6
如图,求证:正方体ABCD-A1B1C1D1的对
角线A1C被面AB1D1和面BC1D三等分
正 方 体
侧面为长方形
侧面为正方形
正方体是一个的所有棱长都相等，各 面都是全等的正方形的正四棱柱
面对角线（BC1）
D1 A1
C1
B1
➢与相邻面对角线所成角 ：成60°角
D A
C B
2020/10/18
4
如图ABCD是正方形，AA1 垂直平面ABCD， AA1=AB，则A1B与AC所成角为 ？60？°
正方体
2020/10/18
1
正方体是一种特殊的四棱柱
棱柱：侧棱都相等平行，两底面是全等多边形， 各侧面是平行四边形（见课本42页）
使侧棱垂直底面
使底面为平行四边形
直
四 棱
直 平
四棱柱
柱
行 六
平
面
行
体
六
面
体
使底面为长方形
长 方 体
使底面为平行四边形
使侧棱垂直底面
底面为长方形
底面为正方形
长 方 体
正 四 棱 柱
C B
（2）E、F是所在棱的中点，则BC1与EF所成的角为多少？
2020/10/18
12
P
M
P
l NM l MP
A
B
Ml
NP C
N Nl D
（3）以上各正方体中，点M、N、P 都是所在棱的中点，能得出对角线l 垂直面MNP的有哪些？
练习题2 分解和组合立体图形是立几解题中常用的方法
C
C1
D
E
B
看谁算得快
C是平面BDC1外一点，
CC1、BC、CD两两垂直，
且长都为3，
求C到面BDC1的距离。
D1 A1
C1 B1
D
E
C
A
B
解：CE垂直面BDC1，CE是 A1C的三分之一，
又 A1C= 3 BC=3 3
则CE= 3
练习题3
如图ABCD是正方形，PA 垂直平面ABCD， PA=AB，则面PAB与面PCD所成角为 ？？
2020/10/18
8
正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D和面AB1D1所成的角余弦
值是？？
D1 D1
D1
C1
A1 A1
B1
ooo FFD1 B1
A AA
F
B1
A1 F
o D
A
B1 C
B
由正三棱锥A1-AB1D1中，A1F垂直面AB1D1 ， F为三角形AB1D1
的中心，OF=
3 6
AD1 ，
A1
E
C1 B1
C
A
B
2020/10/18
17
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
D1
C1
A1 o
A
B1 C
B
2020/10/18
18
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
D1
C1
A1 o
A
B1 C
B
2020/10/18
19
线面角与二面角有时是统一的
α
D1
则OF也垂直AD1
∠A1OF又是二面角A1-AD1-B1的平面角
2020/10/18
10
解更是正？决要方？立注体A体意BC几调D-何 整A1B问 看1C1题 图D1中， 角，应 度二注 ，面角意 减A转少1-AD换视1-B思觉1的路误余；差弦值
B1DBD11 B1 B1
A1 ADD1 11D1
B1
在等腰直角三角形中，A1O=
1 2
AD1 ，则cos∠A1OF =
3 3
2020/10/18
9
正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-AD1-B1的余弦值
是？？
还可以怎么求二 面角的余弦值
D1
C1
线面角与二面 A1
B1 F
角的平面角有
o D
C
时是统一的 A
B
A1O垂直AD1 A1F垂直面AB1D1
判定方法：除可用定义判定外，也可以 由直线垂直平面内的两条相交直线，判 定直线垂直这个平面
2020/10/18
21
直线与平面所成的角
直线平行或在平面内，与该平面成0度角。 直线垂直平面，与该平面所成角为直角。 直线与平面斜交，称为平面的斜线。斜
线与平面所成的角为斜线与其在该平面 的射影所成的锐角。 范围：0-90度。
2020/10/18
22
二面角
由一条直线出发的两个半平面组成的图 形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
二面角用其平面角来测量。以二面角的 棱上任意一点为端点，在两个面内分别 作垂直于棱的两条射线，这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角。
C
S CE= 3VC1-BCD / △ BC1D = 3 a 3 同理A1F = 3 a 3
C1 E
B
C1
C B
D
正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和面AB1D1所成的角余弦
值是？？
D1
Байду номын сангаас
C1
解法1 解法2
A1 F
o
D
A A1C垂直面AB1D1
B1 C
B
斜线与平面所成的角为斜线与 其在该平面的射影所成的锐角。
A1
AA11 A
AA AA
A1B1垂直面AA1D1 ，
D1
A1 F
o D
A
C1 B1
C B
练习
cosα=
SΔAA1D1 SΔAB1D1
=
1 4
AD
2 1
=
3 4
AD
2 1
3 3
2020/10/18
11
练习题1
看谁认得快
D1 E
A1
F
C1 B1
D 正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）当正方体的棱长为a, 则BC1与AA1 A 的距离是多少？
C1
l A
BC
AC垂A1直平面β， B1
则∠ABoC是直F线AB与平面β所成的角，
又AB垂D直两平面交线lD，CB也垂直l
则∠ABC又是二面角α-l –β的平面角
βA
B
在锐角二面角中，第一个平面上垂直棱的直线与第二个 平面所成的角等于二面角的平面角。
2020/10/18
20
直线与平面垂直
定义：直线垂直于一个平面内任一条直 线，则直线垂直这个平面
解:由上知体对角线AC1与 面ABD1和面BC1D都垂直， D1
CE是锥体C-BC1D的高，
考虑证CE 是A1C的三 C1 分之一
设CC1=BC=CD=a，则
BD=BC1=C1D= 2a ， AC1= 3a
A1 F
D
B1
E
CD
E
S = △ BC1D
3•
2
2a
3a2
A
4
2
B
M
又VC1-BCD = 1 31 2BCC D1 C 1 6a3
看谁有创意
P D
A
B1
C B
2020/10/18
15
练习题4
下图是正方体的展开图
N
那么在这个正方体中，
正确地有（ ）
1. BM与ED平行
D
C
M
2. CN与BE是异面直线
3. CN与BM成60度角
4. DM与BN垂直
E
A
B
看谁的想像力更强
F
2020/10/18
16
练习题5
求平面BCC1B1与平面AB1D1的 所成角
D1 A1
D A
C1 B1
C B
回5
2020/10/18
5
体对角线A1C
D1 A1
D A
C1 对角线A1C与面对角线BC1所成角为？
B1 体对角线A1C与面BDC1的关系 垂直
C 体对角线垂直于与其不相交的面对角线
B
2020/10/18
6
如图,求证:正方体ABCD-A1B1C1D1的对
角线A1C被面AB1D1和面BC1D三等分
正 方 体
侧面为长方形
侧面为正方形
正方体是一个的所有棱长都相等，各 面都是全等的正方形的正四棱柱
面对角线（BC1）
D1 A1
C1
B1
➢与相邻面对角线所成角 ：成60°角
D A
C B
2020/10/18
4
如图ABCD是正方形，AA1 垂直平面ABCD， AA1=AB，则A1B与AC所成角为 ？60？°
正方体
2020/10/18
1
正方体是一种特殊的四棱柱
棱柱：侧棱都相等平行，两底面是全等多边形， 各侧面是平行四边形（见课本42页）
使侧棱垂直底面
使底面为平行四边形
直
四 棱
直 平
四棱柱
柱
行 六
平
面
行
体
六
面
体
使底面为长方形
长 方 体
使底面为平行四边形
使侧棱垂直底面
底面为长方形
底面为正方形
长 方 体
正 四 棱 柱
C B
（2）E、F是所在棱的中点，则BC1与EF所成的角为多少？
2020/10/18
12
P
M
P
l NM l MP
A
B
Ml
NP C
N Nl D
（3）以上各正方体中，点M、N、P 都是所在棱的中点，能得出对角线l 垂直面MNP的有哪些？
练习题2 分解和组合立体图形是立几解题中常用的方法
C
C1
D
E
B
看谁算得快
C是平面BDC1外一点，
CC1、BC、CD两两垂直，
且长都为3，
求C到面BDC1的距离。
D1 A1
C1 B1
D
E
C
A
B
解：CE垂直面BDC1，CE是 A1C的三分之一，
又 A1C= 3 BC=3 3
则CE= 3
练习题3
如图ABCD是正方形，PA 垂直平面ABCD， PA=AB，则面PAB与面PCD所成角为 ？？
2020/10/18
8
正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D和面AB1D1所成的角余弦
值是？？
D1 D1
D1
C1
A1 A1
B1
ooo FFD1 B1
A AA
F
B1
A1 F
o D
A
B1 C
B
由正三棱锥A1-AB1D1中，A1F垂直面AB1D1 ， F为三角形AB1D1
的中心，OF=
3 6
AD1 ，