第九章理论力学解析
理论力学第七版答案解析第九章
9-10 在瓦特行星传动机构中，平衡杆O 1A 绕O 1轴转动，并借连杆AB 带动曲柄OB ；而曲柄OB 活动地装置在O 轴上，如图所示。
在O 轴上装有齿轮Ⅰ，齿轮Ⅱ与连杆AB 固连于一体。
已知：r 1＝r 2＝0.33m ，O 1A ＝0.75m ，AB ＝1.5m ；又平衡杆的角速度O 1＝6rad/s 。
求当＝60°且＝90°时，曲柄OB 和齿轮Ⅰ的角速度。
题9－10图【知识要点】 Ⅰ、Ⅱ两轮运动相关性。
【解题分析】 本题已知平衡杆的角速度，利用两轮边缘切向线速度相等，找出ωAB ,ωOB 之间的关系，从而得到Ⅰ轮运动的相关参数。
【解答】 A 、B 、M 三点的速度分析如图所示，点C 为AB 杆的瞬心，故有 ABA O CA v A AB ⋅⋅==21ωω ωω⋅=⋅=A O CD v AB B 123所以 s rad r r v BOB /75.321=+=ωs rad r v CM v MAB M /6,1==⋅=I ωω 9-12 图示小型精压机的传动机构，OA ＝O 1B ＝r ＝0.1m ，EB ＝BD ＝AD ＝l ＝0.4m 。
在图示瞬时，OA ⊥AD ，O 1B ⊥ED ，O 1D 在水平位置，OD 和EF 在铅直位置。
已知曲柄OA 的转速n ＝120r/min ，求此时压头F 的速度。
题9－12图【知识要点】 速度投影定理。
【解题分析】 由速度投影定理找到A 、D 两点速度的关系。
再由D 、E 、F 三者关系，求F 速度。
【解答】 速度分析如图，杆ED 与AD 均为平面运动，点P 为杆ED 的速度瞬心，故 v F = v E = v D由速度投影定理，有A D v v =⋅θcos可得 s ll r n r v v A F /30.1602cos 22m =+⋅⋅==πθ 9-16 曲柄OA 以恒定的角速度＝2rad/s 绕轴O 转动，并借助连杆AB 驱动半径为r 的轮子在半径为R 的圆弧槽中作无滑动的滚动。
理论力学 陈立群 第9章习题解答
第九章平衡问题——能量方法 习题解答9-1质量为3 kg 的质点以5 m/s 的速度沿水平直线向左运动。
今对其施以水平向右的的常力，此力的作用经30 s 而停止，这时质点的速度水平向右，大小为55 m/s 。
求此力的大小及其所做的功。
解：取质点m 为研究对象。
由质点动量定理；()12v v F -=m t ：()12v v m Ft +=，解得：()())N (630555312=+=+=t v v m F .由质点动能定理； ()())J (450055532121222122=-⨯⨯=-==v v m Fs W .9-2如图所示，一弹簧振子沿倾角为ϑ的斜面滑动，已知物块重G ，弹簧刚度系数为k ，动摩擦因数为f ；求从弹簧原长压缩s 的路程中所有力的功及从压缩s 再回弹λ的过程中所有力的功。
解：取物块为研究对象。
物块受到重力G ，弹簧力F ，斜面摩擦力m ax F 和法向反力N F 作用，其中仅法向反力N F 不作功。
在弹簧压缩过程中，所有力的功为 ()221cos sin ks s f G W --=ϑϑ 在弹簧压缩s 再回弹λ的过程中，所有力的功为 ()()[]2221cos sin λλϑϑ--+--=s s k f G W 。
9-3弹簧原长l ，刚度系数为k ，一端固定在O 点，此点在半径为r = l 的圆周上。
如弹簧的另一端由图示的B 点拉至A 点，求弹簧力所做的功。
AC ⊥BC ，OA 为直径。
解：在B 点弹簧的变形为()l 121-=λ，在A 点弹簧的变形为l =2λ。
弹簧力所做的功为()()222211221kl k W --=-=λλ。
9-4图示机构在力F 1和F 2作用下在图示位置平衡，不计各构件自重和各处摩擦，OD=BD=l 1，AD=l 2。
求F 1/F 2的值。
解：用解析法解题。
()j i F ϑϑcos sin 11-=F , i F 22F = 点A 和B 的坐标及其变分为()()j i r ϑϑsin cos 2121l l l l A ++--= ，i r ϑcos 21l B -=题9-2图题9-3图质点的受力图()()j i r δϑϑδϑϑ⋅++⋅-=cos sin δ2121l l l l A ，i r δϑϑ⋅=sin 2δ1l B 。
大学理论力学
3、运动分析
Oxy 平移坐标系 平面运动 = 随 Oxy 旳平移+绕 O 点旳转动
=
+
平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移旳 速度和加速度与基点旳选择有关，而平面图形绕基点转动旳角 速度和角加速度与基点旳选择无关。
§9-2 求平面图形内各点速度旳基点法
1、基点法
动点：M
动系 ：Oxy (平移坐标系)
方向 ? √ √ √
aA
aO
a
n AO
l12
l2 r
12
l12
(1
l r
)
已知：O1O l, O1O 1, r1 r, 纯滚动。求：aA, aB。
3 、 aB aO aBt O aBnO
大小 ? 方向 ?
l12 0 r22 √ √√来自aB aO2 aBnO 2
l12
1
l r
2
l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB旳角速度为
ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE旳角速度和杆BD中点C旳速度。
已知：AB BD DE l 300mm, BD // AE, AB 5rad s。 求：DE ，vC。
解：1 、 BD作平面运动 基点：B
2、 vD vB vDB
第九章 刚体旳平面运动
§ 9-1 刚体平面运动旳概述和运动分解
1、平面运动
刚体平面运动：行星齿轮
刚体平面运动：车轮运动情况
在运动中，刚体上旳任意一点与某一固定平面一直保持相 等旳距离，这种运动称为平面运动。
平面图形
2、运动方程
xO f1 t
yO
f2 t
f3 t
O 基点
转角
求：B端旳速度以及尺AB旳角速度。
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
理论力学经典课件第九章拉格朗日方程
理论力学经典课件第九章拉格朗日方程是理论力学的重要组成部分，涉及欧 拉-拉格朗日方程和拉格朗日函数。在本次课件中，我们将深入探讨拉格朗日 方程的定义、应用实例及求解原理，并介绍多自由度的系统和哈密顿原理。 让我们一起来了解这一重要的物理学概念。
引言
理论力学的概念
欧拉-拉格朗日方程
理论力学是研究质点、质点系、 星系、表面、弹性体、流体等 物质运动规律与作用的一门自 然科学。
对于任意系统，在所有可能的 运动中，其真实运动使得作用 量达到最小值，作用量函数是 由拉格朗日函数定义的。
拉格朗日函数
描述了系统状态、参数、状态 变量与计算所有物理量的关系， 对于每一个系统都是唯一的。
拉格朗日方程的概念
参考文献
相关教材
• 《理论力学》（屠光 绍编）
• 《哈密顿力学：平凡 而重要的力学》（丘
• 维《声方编法）学与系统形态 学：拉格朗日方程的 理论与应用》（杨晋 编）
相关论文章
• Wei-Chiam Chung ，David Nezlin， Chuan-Jong Shih （2002）The
• LVa. gBraalankgriiasnhnan, S. FMo.rBmhualtattaiochna，rjee S（p2r0in0g7e）r CUlSassical M echanics: Point Particles and Special Relativity
• ， G.WEboardldi,SLc.iZeanntiefi（c 2008）On the Variational and Lag r an g i an Representations of Classical M echanics， INTECH Open Access Publisher
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。
理论力学课件 第九章动量定理,质点和质点系动量定理
x
m1g
Fx
M O Fy
Fx = −m2ω2e cosωt Fy = −m2ω 2e sin ωt + (m1 + m2 )g
由主动力直接引起的静约束力
Fx静 = 0
Fy静 = (m1 + m2 )g
由质点系运动引起的动约束力
vy
ω
O2
e
O1 θ m2 g
x
m1g
Fx
M O Fy
Fx动 = −m2ω 2e cosωt
5、解方程。
ω
O2
e
O1 θ
例9-3 如图所示，电动机外壳固
定在水平基础上，定子、转子的
质量分别为m1、m2。设定子质心 位 于 转 轴中 心 O1 ， 由 于 制 造 误 差，转子质心O2 到O1的距离为
e，已知转子以匀角速度ω 转
动。求： 基础对电机总的水平和
铅垂反力
偏心转子
解：1、研究对象
9.1 质点和质点系动量定理
思考题：两个相同的均质杆 AB 和 AD 用铰链连接，每个杆的质量为m ，长
为L，在屏幕面内运动。已知铰链A的速度为u，两个杆的角速度为ω（转向
如图），求该瞬时系统的动量。
p = 2mu ?
u
B
C2
ω
A
C1
D
ω
9.1 质点和质点系动量定理 思考：己知：车身质量m1，车轮总质量m2，履带总质量m3，车身 的速度为v。求其动量。
9.1 质点和质点系动量定理
∑ dpv =
dt
v Fi
e
微分形式的投影式
∑ ∑ p& x = F x p& y = F y
∑ p& z = F z
理论力学(I)第九章课件(第7版哈尔滨工业大学)详解
x A f1 (t ) y A f 2 (t ) f 3 (t )
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 x A , y A , ， 图形S 在该瞬时的位置也就确定了。 二．平面运动分解为平动和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则刚体作定轴转动。
当图形Ｓ上 角不变时，则刚体作平动。
故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。
选取运动情况已知的点作为基点)
12
曲柄连杆机构
AB杆作平面运动 平面运动的分解
（请看动画）
13
§9-3
平面图形内各点的速度
一．基点法（合成法） 已知：图形S内一点A的速度 v A ，
vB 图形角速度 求：
取A为基点, 将动系固结于A点, 动系作平动。
取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动
8
例如
车轮的运动。
车轮的平面运动可以看成
是车轮随同车厢的平动和相对
车厢的转动的合成。
车轮对于静系的平面运动 车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动
（绝对运动） （牵连运动）
车轮相对车厢（动系Ax y）的转动
（相对运动）
9
我们称动系上的原点Ａ为基点，于是 刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动 和绕基点的转动。
1
第九章 刚体的平面运动
§9–1 刚体平面运动的概述
§9–2 平面运动分解为平动和转动 ·
刚体的平面运动方程 §9–3 平面图形内各点的速度 §9–4 平面图形内各点的加速度 习题课
2
§9-1 刚体平面运动的概述
刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为 复杂的运动．对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的 基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述
理论力学 第5版 第九章 动能定理
MC
W12
C2 C1
FR
drC
2 1
MC d
Theoretical Mechanics
第九章 动能定理
5、质点系内力的功
由于
δW FA drA FB drB
FA d(rA rB )
rA rB rBA
FA FB
所以
δW FA.d(rBA )
当质系内质点间的距离可变化时，内力的元功之和不为零。 因此刚体内力的功之和恒等于零。
vi ri
于是绕定轴转动刚体的动能为
T
12mivi2
1 2
mi ri 2
2
1 2
2
mi ri 2
T
1 2
J z 2
Theoretical Mechanics
第九章 动能定理
5、平面运动刚体的动能
刚体作平面运动时，可视为绕通过速 度瞬心，并与运动平面垂直的轴的转动
T
1 2
J I 2
平面运动刚体的动能等于跟随质心平移 的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。
T
1 2
mi
v
2 i
T
1 2mi
v
i
2
动能是描述质点系运动强度的一个物理量
3、平移刚体的动能
当刚体平移时，刚体上各点速度相同，于是平移刚体的动能为
Theoretical Mechanics
T
1 2mi
v
2
1 2
v2
mi
1 2
mvC2
第九章 动能定理
4、定轴转动刚体的动能
当刚体绕固定轴转动时，其上任一点的速度为
由于
Ft R M z (F ) M z
《理论力学(Ⅰ)》PPT 第9章
t2
t1
ri Fi dt
t2 t1
M O dt
力系对O点的冲量矩等于力系对O点的主矩
在同一时间内的冲量矩。
9.5 对固定点O的动量矩定理
1. 质点对固定点O的的动量矩定理
ma m dv r dmv r F d r mv v mv r dmv r dmv
dt
dt
dt
dt
dt
dr
OO
3mg AA
mg N
a
B xx
初始静止，则质心的x坐标不变。
3m a m 2b
xC1
33 4m
xC 2
3m
x
a 3
m
x
4m
a
b 3
xC1 xC 2
解得： x b a
4
解2：取系统为 y
研究对象
x
三棱柱A的水 平绝对位移 x O A
B x
三棱柱A的水平绝对位移 x a b
mixi 0 3mx mx a b 0
a ≠ 0即加速上升时
a
ma T mg
T mg ma
mg
总约 静约 动约 束力 束力 束力
解：在t时刻， vA
取截面A、B 间的流体为
PA
Aa
FN1静约束力
W重力
FN
动约束力
2
研究对象 经过dt时间间隔，流 B 质量 m Qγdt 体流到a、b截面之间
b vB
dt时间间隔内动量的变化量
PB
W1
W g
W1
r ω2 2
cos φ Wrω2 W1 W
cos φ
FAx
Q
FAx
Q
W1 2W 2g
《理论力学》课件 第九章
第九章刚体的平面运动刚体的平面运动是工程机械中较为常见的一种刚体运动，它可以看作为平移与转动的合成，也可以看作为绕不断运动的轴的转动。
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。
平面运动刚体上的各点都在平行于某一固定平面的平面内运动。
注意与平移区别()Oϕ'--基点，转角，Oxy--定系用一个平面图形代表作平面运动的刚体；用平面内的任意线段的位置来确定平面图形的位置；用线段上任意点0′的坐标和一个夹角来确定该线段的位置。
平面图形的运动方程对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O′，称为基点。
在这一点假想地安上一个平移参考系O’x’y’，平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy，平面的平面运动可看成为随同基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成。
平移坐标系-'''y x O平移-----牵连运动转动-----相对运动四、重要结论：平面运动可取任意基点而分解为平移和转动。
其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关.任何平面图形的运动可分解为两个运动(1)牵连运动，即随同基点O′的平移；(2)相对运动，即绕基点O′的转动。
平面图形内任一点M的运动也是两个运动的合成，因此可用速度合成定理来求它的速度，这种方法称为基点法。
注意：此处动点、动系、基点在同一个刚体上。
但属于刚体上的不同点。
点M 的牵连速度v v点M的相对速度v vω'M O v v v v 'ωv v AB v v ω结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
平面图形内任意两点A 和B 的速度确定基点A ，一般应使V A 为已知条件。
O’M 上速度分布图角速度与相对速度有关AABAABBAvlABvωϕ=v v v应使V B位于平行四边形的对角线上V BA=AB·ω，此处ω是尺AB的角速度3、角速度分析例9-2图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。
理论力学PPT课件第9章 分析动力学基础
顺便指出，由式(c)和(d)可知，物B相对于物A作在 常力作用下的简谐振动，其振幅为 G 2 s in 2 ，固有频
2 率为 0 。
2019年9月17日
2019年9月17日
3
§9-1 动力学普遍方程
一. 方程的一般形式
1.矢量形式：
FiFIiri0
动力学普遍方程或 达朗贝尔－拉格朗日原理 理想约束，不论约束完整，定常与否均适用 2.直角坐标形式：
[ ( F i x m i x i ) δ x i ( F i y m iy i ) δ y i ( F i z m i z i ) δ z i ] 0 i
A
M
r
O
R
答：
(2m 193 m M 2)R (r)2t20t0
2019年9月17日
18
例2 已知： m1 , m2 , R, f , F 。 求： 板的加速度a。CR来自答：OF
x
x
a F f (m1 m2)g
m1
m2 3
2019年9月17日
19
例３. 如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为J， 其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为 m1 , m 2 不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度 。
解:本系统为完整约束，主动力非有
势，采用基本形式的拉氏方程求解。
q1 ①判断系统的自由度，
取广义坐标。
m1
本题中， k 2 ，取 q 1 , q 2 为广义坐标，
2019年9月17日
M
q2
R
m2
20
则有 Rq12q2, Rδδq12δq2
《理论力学》课件 第9章
将（9-20）写成投影形式为
MaCx
n
F (e) ix
i 1
MaCy
n
F (e iy
)
i 1
n
MaCz
F (e) iz
i 1
（9-21）
例9-4
如图9-6所示为一电机，电机的定子质量为m1，转子的质量为m2 。
由于制造上的误差，转子的质心偏离中心轴 O 的偏心距为 e 。
转子以匀角速度 绕O 轴转动。试求：
水平面上做匀速直线运动。现在一质量为 m3 0.5kg的物体A铅直向 下落入沙箱中，如图9-2（a）所示，求此后小车的速度。若A物落
入后，沙箱在小车上滑动 0.2 s 后才与车面相对静止，求车面与箱底
相互作用的摩擦力的平均值。
解
（1）先取小车、沙箱和物体A组成
的系统为研究对象。
图9-2（a）
（2）受力分析。系统受力如图9-2（a）所示，这些外力均沿铅垂 方向，所以作用在系统上的外力在水平方向的投影始终为零。故 系统的动量在水平方向守恒。
MvC mivi p
i 1
将式（9-19）代入式（9-11a），得
（9-19）
d
dt
(MvC )
n i 1
F (e) i
因为dvC /dt aC ，aC 为质心运动的加速度，则
n
MaC
F (e) i
（9-20）
i 1
式（9-20）就是质心运动定理，即质点系的质量与质心加 速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。
n
p p0
I（e） i
i 1
（9-13b）
将式（9-13b）在直角坐标轴上的投影，得
px p0x
理论力学第九章刚体的平面运动
v CA
v MA
C
vA
vA vA
v M = v A + v MA
v M = v A − ω ⋅ AM
v 当M在VA垂线上时： MA = ω ⋅ AM 垂线上时：
必可找到一点C： v C = 0 (v A = v CA ) v AC v A ⇒ AC = =
ω
ω
15
2、平面图形内各点的速度分布
小 A 大 ? ω ⋅O = ω r2 0 Ⅱ 方 ? 向 √ √
2 2 vB = vA +vBA
vB
vA
v CA v A
vC
v BA v A
= 2ω (r +r2 ) O 1
vB与 A夹 为 o， 向 图 v 角 45 指 如
4 vC =vA +vCA vC =vA +vCA = 2 O(r +r ) ω 1 2
向 方 √
√ √
8
ω DE
[例9-3]曲柄连杆机构如图所示，OA =r,AB= 3 。如 3]曲柄连杆机构如图所示， 曲柄连杆机构如图所示 r 转动。 曲柄OA以匀角速度ω转动。 0o 90 点 的 度 求 当 =60o，， o时 B 速 。 ： ϕ
vA
vA
解：1 AB作平面 运动, 基点： 运动, 基点：A
6
2、例题分析
轴的负向运动， [例9-1] 椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示， 如图所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB的角速度。 。 的角速度。 解：1、AB作平面运动, 作平面运动, 作平面运动 基点: 基点: A
vB
v BA
2 vB = vA +vBA
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已知：AB l, OC 常数, vB l, OC OB。
求：AB，
。
AB
aA aet aen ar
aC
aB
a
t AB
aAnB
大小 方向
l 2
0 2
?
2vr 0
√√ √ √√
?
2 AB
l
√√
沿aC方向投影
aC atAB sin 300 aAnB cos 300
从而 atAB 3 3l 2
已知：AB l, OC 常数, vB l, OC OB。
求：AB，
。
AB
大小
vA ve vr vB vAB
OA ? l ?
方向
√
沿vB方向投影
√√√
vB
vAB
sin 300
ve
l
2
vAB 2vB ve l
沿 AvBr方 v向lAB投影
vr vAB cos 300
3 l
v sin 2
l
v l
sin
2
v2 l2
sin
2
sin
2
当 600时有
AB
3v 4l
3 3v2
AB
8l 2
例9-13 如图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿
摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度ω绕轴O转动，
滑块B以匀速
v 沿l水平导轨滑动。图示瞬时OC铅
直，AB与水平线OB夹角为 。30
(c)
ae aB aA aBt A aBnA (d)
3、将（c）代入（a）
va vA vBA vr 大小 vB vA ? ? 方向
已知：AB 60mm, 30 , vA 10 3 mm s ,
求：此瞬时AB杆的角速度及角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ速度。
已知：AB l, OC 常数, vB l, OC OB。
求：AB，
。
AB
解：1 、杆AB作平面运动，基点 为B。
vA vB vAB
aA aB aAt B aAnB
2、动点 ： 滑块A 动系 ： OC杆
绝对运动 ：未知 相对运动 ：直线运动（OC） 牵连运动 ：定轴转动（轴O）
45 求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。
已知：vE v 常数, BE 2l, OBE 45 , OA OE。
求：OA，OA。
解：1 、杆BE作平面运动，瞬心在O点。
BE
v OE
v l
vB BE OB v
取E为基点
a B
aE
aBt E
aBnE
大小 ? 0 ? E2 BE
方向
已知：vE v 常数, BE 2l, OBE 45 , OA OE。
求：OA，OA。
沿BE方向投影
aB cos 45 aBnE
2v2 l
aB
aBnE cos 45
2v 2 l
已知：vE v 常数, BE 2l, OBE 45 , OA OE。
求：OA，OA。
2、动点 ：滑块B 动系 ： OA杆
求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。
已知：v v 常数 , l , 60 。求： , 。
AC
AB AB
解：1、 动点 ： 铰链A 动系 ： 套筒O
绝对运动 ： 直线运动(AC ) 相对运动 ： 直线运动(AB ) 牵连运动 ： 定轴转动(轴O )
2、 va ve vr 大小 v ? ?
?
2 AB
AO
?
2evr
方向
沿aet方向投影
0 aet aC
aet
aC
3v2 4l
AB
aet AO
3 3v2 8l 2
已知：v v 常数 , l , 60 。求： , 。
AC
AB AB
另解： 1、取坐标系Oxy
2、 A点的运动方程
xA l cot
3、速度、加速度
xA l sin 2 v
aa aet aen ar aC
大小 2v2 l
? O2Al ?
0
方向
沿BD方向投影
aet
aa
2v 2 l
OA
aet OB
2v 2 l2
例9-12 在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以 匀速v平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O
与杆AC距离为l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为 60。
第九章 刚体的平面运动
§9-5 运动学综合应用举例
1、运动学综合应用 ： 机构运动学分析。
2、已知运动机构 连接点运动学分析未知运动机构
3、连接点运动学分析
接触滑动 合成运动 铰链连接 平面运动
例9-11 图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。 杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运 动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长 为 2。l 图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为 。
方向
已知：v v 常数 , l , 60 。求： , 。
AC
AB AB
ve va sin 60
3v 2
vr
va
cos 60
v 2
AB
ve AO
3v 4l
已知：v v 常数 , l , 60 。求： , 。
AC
AB AB
aa aet aen ar aC
大小 0
AB
atAB AB
3
3 2
例9-14 如图所示平面机构中，杆AC铅直运动， 杆BD水平运动，A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽 滑动。图示瞬时
AB 60mm, 30 , vA 10 3mm/s,
aA 10 3mm/s2 , vB 50mm/s , aB 10mm/s2 。
求：该瞬时槽杆AE的角速度 、角加速度及滑块B 相对AE的加速度。
已知：AB 60mm, 30 , vA 10 3 mm s ,
aA 10 3 mm s2 , vB 50 mm s , aB 10 mm s2 。
求：AE , AE , vBr。
解：1、动点：滑块B 动系：杆AE 绝对运动：直线运动（BD） 相对运动：直线运动（AE） 牵连运动：平面运动
va ve vr
(a)
aa ae ar aC
(b)
已知：AB 60mm, 30 , vA 10 3 mm s ,
aA 10 3 mm s2 , vB 50 mm s , aB 10 mm s2 。
求：AE , AE , vBr。
2、杆AE作平面运动 基点：A
ve vB vA vBA
绝对运动 ：直线运动(BD) 相对运动 ：直线运动(OA) 牵连运动 ：定轴转动(轴O)
va ve vr 大小 v ? ?
方向 √ √ √
沿BD方向投影
ve va v
vr 0
OA
ve OB
v l
已知：vE v 常数, BE 2l, OBE 45 , OA OE。
求：OA，OA。