求三角函数的定义域和值域

D
θ
C
A
B
三角函值域 值域的几种典型形式 二.求 三角函值域的几种典型形式 一）一次型 y=asinx+b 直接代入法
例1：求y = 2sin x + 1 值域。
∴ 3 函数y = 2sin x + 1的值域为[ 1，]
cos 分析：利用 sinx ≤ 1 x ≤ 1有界性
练习： 练习：口答下列函数的值域 [－1，3] (1)y=(1)y=-2sinx+1 [－1，5] (2) y=3cosx+2 y=asinx+b的函数的最大值是 总结：形如y=asinx+b 总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是 a + b 最小值是 a + b
y
t2 1 ∴ 原式化为： y=t+ 2
1 1 2 1 = （t + 1 2 1 ） = t +t 2 2 2
Q t ∈ 2, 2
1
2
0
2
x
∴
1 ymin =-1 , ymax= + 2 2
sin x cos x 练习：y = 1 + sin x + cos x
六：应用题求最值 例6：把一段半径 R的圆木锯成横截面为矩形的
例2：求 y = sin x sin x + 1的值域。 二次函数法
2
二)二次型 y = a sin x + b sin x + c
2
点拨:1.换元 注明新元取值 点拨 换元(注明新元取值 换元 注明新元取值) 2.运用二次函数图象性质 一看对称轴 二看区间端点 运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点) 运用二次函数图象性质 一看对称轴 二看区间端点
π
3π 2
2π
y=sinx， 2π y=sinx，x∈[0, 2π]
x
2.写出 写出y=sinx和y=cosx的定义域 值域 最值 周期 的定义域,值域 最值,周期 写出 和 的定义域 值域,最值
3.写 出 y = A sin( wx + )或 y = A cos( wx + ) 2π T = [ | A |,| A |] (1)值 域 __________ (2)周 期 __________| |ω
1.在同一坐标系内， 1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 在同一坐标系内 sinx和 cosx， 2π 的简图： y= sinx和 y= cosx， x∈[0, 2π]的简图：
y 1
π
2
-1
一.复习(3分钟完成) 复习(3分钟完成) (3分钟完成
o
π
2
y=cosx，x∈[0, 2π] y=cosx， 2π
求三角函定义域 定义域: 一. 求三角函定义域:
求下列函数的定义域; 例1.求下列函数的定义域 求下列函数的定义域 1 (1) y = (2) y = 1 + sin x
1 1 + sin(2x+
π
6
)
(3) y = 2co s x-1
练 (4) y = lg(2 sin x-1)
点拨:1.列出三角不等式 点拨 列出三角不等式 2.根据图象写出不等式的解集 根据图象写出不等式的解集
2
π
3
）
练习：y = 2sin x cos x的值域.
2 ∴ 原式的值域为[ 2，]
值域为 5, 5
例5. y = cos 2 x + sin x cos x的值域. 2.二合一 1.降次 二 降 1 1 + cos2x sin 2 x = 1 cos 2 x 2 sin xcos x = sin 2 x cos x = 2 2 2 π 2 例5. y = 2cos x sin( x + ) 3 sin x + sin x cos x的值域. 3 1.统一角 2.降次 统 3.二合一 降 二
2y | |≤ 1 1 y
四）二合一
y = a sin x + b cos x
π
3
利 用 a sin x + b cos x =
2
a 2 + b 2 sin( x + )
) = 2 sin ( x +
例4. y = sin x + 3 cos x的值域.
解：原式= 1 + （ 3） sin( x +
其他形式： 五） 其他形式：
一般一个式子中同时出现了sin x + cos x和sin x cos x. 想到了
例5：y = sin x cos x + sin x + cos x
解： 设t=sinx+cosx,则t∈ 2, 2
t 2 1 令t = sin x + cos x(t ∈ 2, 2 ) 则sin x cos x = 2
木料，怎样锯法才能使得横截面的面积最大。
解：因为锯得的矩形横截面是圆内接矩形 （如图所示），设 ∠ BAC= θ ，则AB=2Rcos θ , BC=2Rsin θ .因此，矩形的面积
S = AB BC = 2Rcosθ sinθ = 2Rsin2θ Q s in 2 θ ≤ 1
∴ S ≤ 2R
2
D
解 :令 t = sin x ∈ [ 1,1]
y
1 3 ∴当t = 时，y min = 2 4
2
1 2 3 ∴ y = (t ) + 2 4
=-1时 当t=-1时，ymax =3
-1 0
1 2
1
练习： y = cos xBiblioteka Baidu sin x + 2 的值域。
点拨:统一函数名 点拨 统一函数名
t
三） 分式型 y = a sin x + b c sin x + d
θ
C
∴当2θ = 90o， θ = 45o时，圆内接矩形面积最大 即 这时圆内接矩形为内接正方形。 A
B
练习： 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地， 要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，使某一边AD落在圆的直径上，另 两点B,C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径 长为a,如何选择关于点O对称的点A，D 的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
点拨: 点拨 1.反表示 反表示 2y 解: sin x = 1 y
sin x 例3： 求y = 的值域。 sin x + 2
反表示法
2.利用 sinx ≤ 1, cos x ≤ 1有界性 2.利 Q sinx ≤ 1
1 两边平方 ∴ 值 域 为 1, 3
cos x 2 练习： y = cos x 1
二.填表
y = s in x
定义域 值域 最值 周期
y = co s x
R
R
[ 1,1]
x = 2 kπ +
π
[ 1, 1]
x = 2 k π 时 y m ax = 1
x = 2kπ
π
2
时 y max = 1
T = 2π
2
时y min = 1 x = 2kπ + π 时y min = 1
T = 2π