第5章换元法与分部积分法,反常积分习题集及答案
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第五章 习题二
换元法与分部积分法，反常积分
一．选择题
1．设2]2,0[)(C x f ∈，0)0(=f ，4)2(=f ，2)2(='f ，则=''⎰dx x f x )2(1
0（ A ） （Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）2； （Ｄ）4． 2．设)(x f 连续，则
=+⎰b
a dy y x f dx
d )(（ B ） （Ａ）⎰+'b
a dy y x f )(；（Ｂ）)()(a x f
b x f +-+；（Ｃ）)(a x f +；（Ｄ）)(b x f +． 3．下列反常积分中收敛的是（ D ） （Ａ）dx x
⎰∞
+1
1； （Ｂ）dx x ⎰
1
031
； （Ｃ）dx x ⎰101； （Ｄ）dx x ⎰∞+121． 4．下列反常积分中收敛的是（ C ）
（Ａ）⎰∞
+e dx x x ln ； （Ｂ）⎰∞+e dx x
x ln 1
； （Ｃ）⎰∞+e dx x x 2)
(ln 1； （Ｄ）⎰∞+e dx x x 2
1)(ln 1
． 5．对于反常积分⎰∞
+1
ln x
x dx
p
，下列结论正确的是（ D ） （Ａ）当1>p 时收敛； （Ｂ）p 取任意实数都收敛； （Ｃ）当1
1
x dx
；（Ｂ）⎰--111x
dx ；（Ｃ）⎰∞+-02dx e x ；（Ｄ）⎰∞+2
2
ln 1dx x x ． 7．设()f x 连续，则下列选项中必有偶函数的是（ D ）
（A ）20()x
f t dt ⎰（B ）20()x
f t dt ⎰（C ）0[()()]x
t f t f t dt --⎰（D ）0[()()]x
t f t f t dt +-⎰ 8．设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，则必有（ A ）
（A ）()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 （B ）()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数
（C ）()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 （D ）()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数 二．填空题
1．325
2465_________________sin 01x x
dx x x x
-=+++⎰。 2．反常积分⎰-b
a p
dx x b )
(1
（b a <）当p 1<时收敛，p 1≥时发散． 3．反常积分⎰∞
+-b
p
dx a x )
(1
（b a <）当p 1>时收敛，p 1≤时发散． 4．352()sin cos sin cos f x x x x x =+在[,]22
ππ
-上的平均值为
___________
23
π。
三．计算题
1
．设1032
n
n n n a x -+=⎰，求lim n n na →+∞
解：()
3112
3
31lim lim
lim 1222n n n n n n n n n n n
x x
e
+-+→+∞
→+∞→+∞
==+=
⎰
2．求ln 2
0x xe dx -⎰ 解：由分部积分公式，原式1ln 2
2
-=
3．求dx x x ⎰-π
03sin sin ． 解：原式dx x x cos sin 0⎰=π
-=⎰x d x sin sin 20π
x d x sin sin 2
⎰π
π
3
4)(sin 3
2
)(sin 3
2
2
23
20
2
3=
-=ππ
πx x ．
4．求⎰+4
1dx x
x x
．
解：原式3ln 3
4
)1ln(3
213240
2340
2
3
23
=
+=+=⎰x x dx ．
5．设⎪⎩
⎪⎨⎧
<≤--≤≤+=0
2,cos cos 20,cos 1sin )(3x x x x x x x f ππ ，求⎰-ππ0)2(dx x f ． 解：所求积分⎰-
-
==
22
2
)(π
π
π
dt t f x t ⎰
-
-=02
3cos cos π
dt t t ⎰
++2
cos 1sin π
dt t
t
． 而⎰--0
2
3cos cos πdt t t ⎰-=0
2
|sin |cos πdt t t ⎰--=0
2
sin cos πtdt t
⎰
-
=02
cos cos π
t d t 02
23
)(cos 32π-=t 32
=；
⎰+2
0cos 1sin π
dt t t ⎰++-=20)cos 1(cos 11π
t d t ()20)cos 1ln(π
t +-=2ln =，
∴所求积分3
2
=
2ln +． 6．求⎰
+31
2
2
1x
x
dx ．
解：令t x tan =， 原式=dt t t dt t
t t 234223
4
sin cos sec tan sec ⎰⎰=⋅π
πππ
=3
322sin 134
-
=-ππt
． 7．求⎰-1
02dx e x x ．
解：原式⎰--+-=10
1022|dx xe e x x x ⎰
---+-+-=1
101)|(2dx e xe e x x
1
101152)|(2-----=--+-=e e e e x ．