04 累积损失模型

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指数分布的矩母函数： M X ( z ) (1 z )1
S 的矩母函数为
M S ( z ) PN [M X ( z )] {1 [M X ( z ) 1]}1 {1 [(1 z )1 1]}1
1 1 [1 (1 ) z ]1 1 1
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对损失次数 N 损失金额 X 分别建模的好处：
业务规模的变化会影响期望损失次数, 但不会影响每次损 失的金额。S不能区分出业务规模变化对未来损失的影响。 通货膨胀会影响损失金额, 但是, 如果保单的免赔额和赔偿
限额不随通胀进行调整, 累积损失就会掩盖这种影响。
研究免赔额和赔偿限额变动所带来的影响更加容易。如赔 偿限额变动不会影响损失次数。
孟生旺 中国人民大学统计学院
http://blog.sina.com.cn/mengshw
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1. 引言
累积损失(Aggregate loss): 一定时期内给定业务的总赔款。
累积损失的两个模型： 集体风险模型 个体风险模型
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集体风险模型（Collective risk model）: S = X1+X2+…+XN 损失次数 N 是一个随机变量。 在给定 N = n 的条件下, Xi 独立同分布。 损失次数 N 与 损失金额 X 相互独立。 个体风险模型（Individual risk model）: S = X1 + X2 +…+ Xn n 是一个固定值, 表示n份合同, 第i份合同的损失为Xi。 Xi 独立, 但不一定同分布。 如果 Xi 同分布, 将是集体风险模型的特例 (N = n) 描述一个团体寿险保单或团体健康保单的累积损失。
x 1, 2,...
f S (0) PN [ f X (0)]
x∧m 表示 min(x, m)
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注：证明可参见复合索赔次数模型的有关证明。
如果损失次数N属于(a, b, 0) , 则递推公式可简化为
xm 1 by f S ( x) (a ) f X ( y ) f S ( x y ) , 1 af X (0) y 1 x
x 1,2,...
f S (0) PN [ f X (0)]
如果 N 服从泊松分布, 则进一步可简化为
f S ( x) yf X ( y) f S ( x y ) , x y 1
xm
x 1,2,...
f S (0) e[1 f X (0)]
Q(1) PN * ( z ) [Q( z )]
* n n
[Q( z )] (1 r )
* (1) (1 r ) [Q(1)] (1 r ) 1 Q(1) E ( N *) PN (1 r ) Q(1)
注：母函数在1处的值等于1
x0 0
x r dFX ( x)
m1
x0+h
r 0,1, 2,..., p
m2 mp
…… x0+ ph
离散分布的概率： 离散分布的取值：
m0
x0
x0+2h
注1：配比方程组有p+1个方程, 可以求得离散分布的 p+1个概率值。
注2：如果r = 0, 配比方程使得离散概率之和等于真实概率之和。
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options(digits = 3) # 损失次数 n = 0:8 # 损失次数的概率 pn = c(0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.15, 0.06, 0.03, 0.01) # 损失金额（包含零值） x = c(0:10, rep(0, 100)) # 损失金额的概率（包含零点的概率） px0 = c(0, 0.15, 0.2, 0.25, 0.125, 0.075, 0.05, 0.05, 0.05, 0.025, 0. 025) px = c(px0, rep(0, 100)) library(distr) library(distrEx) px1 = DiscreteDistribution(supp = x, prob = px) M = matrix(rep(0, 9 * length(px)), length(px), 9) M[, 1] = c(1, rep(0, length(px) - 1)) #零重卷积的结果 for (i in 2:9) M[, i] = d(convpow(px1, i - 1))(0:(length(px) - 1)) # 1~8 重卷积 pS = M %*% pn sum(pS) ## [1] 1 pS[1:10] ## [1] 0.0500 0.0150 0.0234 0.0347 0.0326 0.0358 0.0398 0.0436 0.047 5 0.0490 plot(0:(length(pS) - 1), pS, type = "h", xlim = c(0, 50), col = 2)
配比方程的解（证明略）:
m
k i
xk ph 0
xk 0

x xk jh dFX ( x) (i j )h j i
i 0,1,..., p
每个区间的端点应满足： xk+1 = xk+ph, 即下一个区间的起点 是上一个区间的终点。这就要求把每个连接点的概率相加。 如果x0= 0, 则得到的离散分布具有下述概率分布（见下页 图示）：
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例： (几何-指数) Xi 独立同分布, 均服从指数分布： 1 f ( x) exp( x / )
M X ( z ) (1 z)1
密度函数 矩母函数
N 服从几何分布：
PN ( z ) [1 ( z 1)]1
请确定 S的分布。
母函数
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PN ( z ) [1 ( z 1)] 几何分布的母函数：
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可以更好地理解免赔额变化对损失次数的影响。如免赔
额变化只会影响损失次数模型的参数。 更好地理解损失规律。某些因素主要影响损失次数（如 严禁酒后驾车、安全培训）；而某些因素主要影响损失 金额（如安全带, 建筑物采用防火材料等）。也有一些 因素对损失次数和损失金额都会产生影响（如消防设施）
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对于免赔额和赔偿限额不同的保单, 可以把它们的损失数 据结合在一起用于建立损失金额的分布模型。但不能这
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3.2 递推法
递推公式
定理：假设 X只取整数, 最大值为m。如果损失次数 N 属于 (a,
b, 1) , 则S的概率分布可递推计算：
xm 1 by f S ( x) [ p1 (a b) p0 ] f X ( x) (a ) f X ( y ) f S ( x y ) 1 af X (0) x y 1
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损失次数 (N): 每个保单下的医 疗次数
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 pn 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.15 0.06 0.03 0.01
损失金额 (X): 每次的 医疗成本
X（单位：100） 1 2 3 4 5 6 7 fX(x) 0.150 0.200 0.250 0.125 0.075 0.050 0.050
这是退化分布（在0点的概率为1, 其矩母函数为1）和指数分布 （均值为(1)）的加权平均, 故 S 在零点的概率为
Pr(S 0) (1 )1
对于 x > 0 , S 的密度函数和分布函数分别为：
f S ( x) 1 x x exp exp (1 ) 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
关于X的卷积计算结果如下表。
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累积损失 S的概率分布
x
0 1 2
fX*0
1 0 0
fX*1
0 .150 .200
fX*2
0 0 .225
fX*3
0 0 0
fX*4
0 0 0
fX*5
0 0 0
fX*6
0 0 0
fX*7
0 0 0
fX*8
0 0 0
fS(x)
.0500 .0150 .0234
3
… pn
2h+h/2 3h f3
3h+h/2 ……
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• 局部矩配比： 离散分布的前p阶矩等于真实分布的前p阶矩 配比方程组：考虑长度为 ph 的一个区间[x0, x0+ph), 要求离散分布的前p阶矩等于真实分布的前p阶矩, 则 有
( x0 ih) mi
r i 0
p
x0 ph 0
样建立累积损失模型。
可以为保单持有人、原保险人和再保险人建立一致的损 失模型。有利于原保险人分析风险转移的效果。 S的分布依赖于X 和 N 的分布, 理解它们之间的相对关系 有利于进行深入研究。譬如：如果损失金额的尾部远远 厚于损失次数的尾部, 那么累积损失的分布将在更大程度 上受损失金额模型的影响, 而损失次数模型的影响十分有 限。
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3.1 解析法：计算卷积
解析法只适用于有限情况, 如：
损失金额X为指数分布, 如： 几何-指数（Compound geometric-exponential） 负二项-指数（Compound negative binomialexponential） 更一般地, 损失金额 X 对卷积封闭, 如 伽玛分布（参数相同） 逆高斯分布（参数相同）
P(1) Q(1) 1

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3. 集体风险模型的计算

近似 优点：简单, 易用 缺点：无法确知近似的效果；不能考虑某些特殊情况, 如赔偿限额的应用。

解析法：计算卷积比较困难。 递推法（Recursive method ） 逆转法（Inversion method ）：FFT 随机模拟
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2. 模型选择
损失金额模型：尺度分布最好, 因为不必考虑下述因素对模型 形式的影响：
汇率
通涨率 损失次数模型： 无限可分分布最好, 母函数可以写成
P ( z; ) Q ( z )

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无限可分损失次数模型的优点： 业务量的变化不会改变分布的形式。
PN ( z ) [Q( z )] PN * ( z ) PN ( z ) [Q( z )]
0
… 0.05
8
.250
… 0.10
.600
… 0.15
.0338
… 0.20
0
… 0.25
0
… 0.15
0
… 0.06
0
… 0.03
0
… 0.01
.0347
…
*n f S ( x) pn f X ( x) n 0
f S (3) 0.10*0.25 0.15*0.6 0.20*0.338 0.0347

FS ( x) 1
x exp (1 ) (1 )

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服从均值为(1)的指数分布,
例：复合分布的卷积（团体口腔医疗保险） 保险计划（Insurance plan）： 为雇员及其家庭成员提供口腔医疗保险 所有雇员Baidu Nhomakorabea保费相同 数据如下表（下页）
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连续分布的离散化
• 并入法：
h f0 Pr( X h ) F ( X 2 0) 2
h h h fi Pr(ih h X ih ) F ( ih 0) F ( ih 0) X X 2 2 2 2
h/2
0 f0 h f1
h+h/2 2h f2
8
9 10
0.050
0.025 0.025
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• 计算S的均值和方差.
• 确定S的概率分布。
解: E(S)=E(N)E(X)=1258 Var(S)=E(N)Var(X)+Var(N)[E(X)]2 = 587464
每个雇员在1年内的口腔医疗成本的概率分布为
*n f S ( x ) pn f X ( x) n 0 8
n* n
* n n
分布形式不会随着时期长短而改变, 如：
P月( z ) [Q( z )]

P年 ( z ) [Q( z )]12
业务量增长r , 期望损失增长r 。（见下页）
8
PN ( z ) [Q( z )]
1 E ( N ) PN (1) [Q(1)] Q(1)