立体几何中的线面垂直

D．异面
答案解析
1.【解答】解：l 与平面 α 内的两条直线垂直，如果平面中的两条直 线是平行线，则无法判定直线 l⊥平面 α，故 A 不正确； l 与平面 α 内的无数条直线垂直，如果平面中的无数条直线是平行 线，则无法判定直线 l⊥平面 α，故 B 不正确； l 与平面 α 内的任意一条直线垂直，则由直线与平面垂直的判定定 理知直线 l⊥平面 α，故 C 正确； l 与平面 α 内的某一条直线垂直，则 l 与平面相交、平行或直线在 平面内，故 D 不正确．故选：C．
例题精讲
考点二：利用线面垂直性质证明 如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，PA⊥平面 ABC，AE⊥PB，
AF⊥PC，求证：PB⊥平面 AFE．
答案解析
【解答】证明：由题意可得： ∵PA⊥平面 ABC，BC 在平面 ABC 上．∴PA⊥BC； 又 AB 是圆 O 的直径，∴AC⊥BC； 又 AC，PA 在平面 PAC 中交于 A，∴BC⊥平面 PAC； 又 AF⊂平面 PAC，∴BC⊥AF； ∵AF⊥PC，BC，PC 在平面 PBC 中交于 C， ∴AF⊥平面 PBC； 又 PB⊂平面 PBC，∴AF⊥PB； 又 AE⊥PB，AF，AE 在平面 AEF 中交于 A， ∴PB⊥平面 AEF．．
跟踪训练
如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PC⊥AD，底面 ABCD 为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝1． 求证：AD⊥面 PAC；
答案解析
【解答】证明：∵PA⊥底面 ABCD， ∴PA⊥AD． 又 PC⊥AD，PA∩PC＝P， ∴AD⊥面 PAC．
提高练习
如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠BAD＝60°， PA＝PD＝AD＝2，M、N 分别为线段 PC、AD 的中点． 求证：AD⊥面 PNB；
答案解析
【解答】证明：（Ⅰ）连 BD，由已知△ABD 和△PAD 都是边长为 2 的正三角形， 又 N 为 AD 的中点，∴AD⊥PN，AD⊥BN， ∵PN∩BN＝N，∴AD⊥面 PBN．
立体几何中的线面垂直
课前小测
1．下列条件中，能判定直线 l⊥平面 α 的有（ ） A．l 与平面 α 内的两条直线垂直 B．l 与平面 α 内的无数条直线垂直 C．l 与平面 α 内的任意一条直线垂直 D．l 与平面 α 内的某一条直线垂直
2．垂直于同一平面的两条直线（ ）
A．平行
B．垂直
C．相交
如图，已知 PA⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一
点，且 PA＝AC，点 E 为 PC 的中点．
（1）求证：△PBC 是直角三角形； （2）求证：AE⊥平面 PBC．
答案解析
【解答】证明：（1）∵PA⊥⊙O 所在的平面，BC⊂⊙O 所在的平面， ∴PA⊥BC，又∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴AC⊥BC， ∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC 是直角三 角形． （2）∵由（1）可得 BC⊥平面 PAC．又∵AE 在平面 PAC 内， ∴BC⊥AE．∵PA＝AC，点 E 为 PC 的中点 ∴PC⊥AE，且 PC∩BC＝C， ∴AE⊥平面 PBC．
． 求证：CD⊥平面 ABD；
答案解析
【解答】证明：（1）∵AD＝ ，CD＝1，AC＝ ，∴AD2+CD2＝ AC2，∴CD⊥AD． ∵BD＝CD＝1，BC＝ ，∴BD2+CD2＝BC2，∴CD⊥BD， 又∵AD⊂平面 ABD，BD⊂平面 ABD，AD∩BD＝D， ∴CD⊥平面 ABD．
提高练习
知识回顾
直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符 号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
其中性质中的第二条来自定义，第一条多出现于选择题目中，第二条 是常见的证明线面垂直的重要手段
例题精讲
考点一：利用线面垂直判定直接证明 如图，三棱锥 A﹣BCD 中，AB＝BD＝CD＝1，AD＝BC＝ ，AC＝
学习目标
1.用线面垂直判定证明 2.利用线面垂直定义及判定证明 3.利用面面垂直证明线面垂直
知识回顾
直线与平面垂直： 如果一条直线 l 和一个平面 α 内的任意一条直线都垂直，那么就
说直线 l 和平面 α 互相垂直，记作 l⊥α，其中 l 叫做平面 α 的垂线， 平面 α 叫做直线 l 的垂面． 直线与平面垂直的判定： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂 直于这个平面．
提高训练
已知：三棱锥 A﹣BCD 中，平面 ABD⊥平面 BCD，AB⊥AD，E，F 分别为 BD，AD 的中点． 若 CB＝CD，求证：AD⊥平面 CEF．
答案解析
【解答】证：∵CB＝CD，E 为 BD 的中点∴CE⊥DB ∵平面 ADB⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，CE⊂平面 BCD，∴CE⊥平面 ABD ∵AD⊂平面 ABD，∴CE⊥AD ∵EF∥AB，AB⊥AD∴AD⊥EF ∵CE⊂平面 CEF，EF⊂平面 CEF，CE∩EF＝E ∴AD⊥平面 CEF．
2.【解答】解：根据直线与平面垂直的性质定理，垂直于同一平面 的两条直线平行，故选：A．
课前小测
如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1，若点 E 为 A1C1 上的一动点，则直 线 CE 一定垂直于（ ）
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1D1
答案解析
【解答】解：∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，ABCD 是正方形， ∴BD⊥A1C1，且 BD⊥CC1，又 A1C1∩CC1＝C1，∴BD⊥平面 A1C1C， 又∵CE⊂平面 A1C1C，∴BD⊥CE，故选：B．
总结
1.着重的强调线面垂直的判定条件 2.总结利用线面垂直定义引申的性质在线面垂直证明中的常见应用 3.对于面面垂直部分讲清楚交线是怎么用的，什么样的题目可能是 利用面面垂直的性质证明提出总结
课前小测
如图，PA⊥矩形 ABCD，下列结论中不正确的是（ ）
A．PD⊥BD B．PD⊥CD C．PB⊥BC D．PA⊥BD
答案解析
【解答】解：∵PA⊥矩形 ABCD，∴PA⊥BD，若 PD⊥BD，则 BD ⊥平面 PAD，又 BA⊥平面 PAD，则过平面外一面有两条直线与平 面垂直，不成立，故 PD⊥BD 不正确，故 A 不正确； ∵PA⊥矩形 ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面 PAD，∴ PD⊥CD，故 B 正确； ∵PA⊥矩形 ABCD，∴由三垂线定理得 PB⊥BC，故 C 正确； ∵PA⊥矩形 ABCD，∴由直线与平面垂直的性质得 PA⊥BD，故 D 正确．故选：A．
例题精讲
考点三：利用面面垂直证明线面垂直
如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAB⊥底面 ABCD，点 M 为 PD 的中点，∠PCD＝90°． 求证：PB⊥平面 ABCD．
来自百度文库
答案解析
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴CD⊥BC． ∵∠PCD＝90°，∴CD⊥PC． 又∵BC∩CP＝C，∴CD⊥平面 BPC．∴PB⊥CD． ∵平面 PAB⊥底面 ABCD，∴PB⊥BC． 又∵BC∩CD＝C，BC⊂平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PB⊥平面 ABCD．