组合数学(5)置换群与Pólya定理

ACM 暑期集训 组合数学（5） 置换群与P ólya 定理

1 群的基本概念

b

a e a

b b a a a e e a a b b a

c b a c b a A A b a A b a A =======∈∈∀-1543)()(21,,，则）逆元：（）单位元：（）可交换性：（）可结合性：（）封闭性

（算的性质上的二元运算。二元运为，则称都有，如果对于，运算设非空集合

上的二元运算。是非空集合，代数系统A A 〉〈

为无限群。

为有限群。否则，称是有限集合，称如果。，下是一个群，记作群在运算则称集合存在逆元）对于（）存在单位元（是可结合的）运算（是封闭的）运算（，满足下述条件：，设给定代数系统G G G G G G G

a G a e

G *〉〈=*∈∈∀***〉〈-1

,43212 置换群

{}个不同的置换。

次置换共有例如：到自身的双射

，，，次置换：集合!1423432132

1,321321

n n s k k k

k n n X n n ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛== ϕ

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=⋅⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅≠⋅=⋅⋅4312

4321

32144321142

3432

1321443

211423

4321

))(()(t s t s s t t s i s t i t s X t s t s X 则例如律。。即置换的乘法无交换。一般地，为上的一个置换，且定义仍是，置换的乘法和上的置换设

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=-n k k k k s k k k k n s n n I n n X 32

132132132132

11

321

的逆置换为为恒等置换。

称

{}，称为置换群。

乘法运算下构成一个群在置换的的置换组成的集合，是由集合设G X t t t G m ,,,21 =

⎭⎬

⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=312321,123321,231321,213321,132321,3213213S S n X n

次对称群，记作法下构成一个上的全体置换在置换乘集合

POJ 2369 Permutations 求置换P 的秩k （order ）：P k

=I

POJ 1026 Cipher 求置换P 的k 次幂P k

。题目大意：首先输入长度为n 的数字串构成置换P 。然后求字符序列Src 进行k 次置换后的字符序列。

POJ 1721 CARDS 已知置换P 的k 次幂P k

，求P （是k 次方根吗）

[][][][][][][]13241321131223112321=⋅==元轮换可以省略。如元轮换相乘时，元轮换与一个元轮换。

的轮换，称为长度为关。如只与元素的相邻状况有轮换k k k a a a k

[][][][][][]

132456561324321321⋅=⋅如

可交换的。交的两个轮换的乘积是轮换是不相交的。不相两个

没有相同的文字，则称与如果两个轮换l k b b b b a a a a

[][][][][][]561342875613428756241387654321⋅=⋅⋅⋅=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=f 例如，是唯一的。

换的乘积，且表示法成若干个互不相交的轮任何一个置换都能表示

[][]]25[]143[2315454321542315432132154543212314253⋅=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=⋅t f 则有，换位）之积。

可表示成若干个对换（定理：任何一个轮换都 积，则称为偶置换。

若分解成偶数个对换之奇置换；数个对换之积，则称为若一个置换可分解成奇

[][][][][][][][]是偶置换。是奇置换。

例如，5432154321543214637253426751

7654321

⋅⋅⋅⋅=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⋅⋅=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=t f

[][][][][][][][]{}[][][][][]{}

132123321132123231312321213321132321231321123321312321321321)!(2

1!33，，故有，，，，，，，，，，，。

，记作阶的子群，称为交代群个中的所有偶置换构成一换各占一半。

个置换，其中奇、偶置共有对称群⋅⋅=⋅⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=A S A n S n S n n n [][]1312123321312321132321]123[⋅=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

POJ 3128 Leonardo's Notebook 已知置换P ，求一个置换M ，使P=M 2

刘汝佳的分析：考虑某个置换的平方。对于其中长度为奇数的轮换，平方以后这个轮换仍然为一个轮换只是元素顺序换了。一个长度为偶数的轮换，平方以后就变为两个大小相等的轮换了。因此，对于给定的置换，当中所有长度为奇数的轮换，可以直接当做是它原先平方产生的。而长度为偶数的轮换，必须一一配对，当做原先拆出来的。满足这个条件，就是平方。

3 Pólya 波利亚定理

{}{}的轮换指数。

称为多项式的不变元的个数。的轮换的个数，称为度为中长表示的轮换的个数，如中长度为表示，设如果上任一置换群。是中的颜色，方式染以中的对象按所有可能的是颜色的集合。是对象的集合，，，，G x x x G

x x x G P g g g i g g G g X G C X c c c C n X G

g g n g g n i m n ∑∈=

∈==)()(2)(121121211

),,,;(1)()(,,,21λλλλλ 的轮换个数。称为g g g g g g n

i i n ∑==+++=1

21)()()()()(λλλλλ

∑∈+++=G

g g g g n m G m m m G P n m X G Polya )()()(211

),,,;(2

λλλ 方案数为个对象，则不同的染色种颜色染上的置换群，用是定理

应用Polya 定理的解题思路： （1）认定对象集合X （2）找出置换群G

（3）分析每个置换的轮换指数