3.1：刚体力学

Lz J z
M 外z
刚体绕定轴转动的角动量 刚体的定轴转动定律：刚体所受 的对于某一固定转轴的合外力矩 等于刚体对此转轴的转动惯量与 刚体在此合外力矩作用下所获得 的角加速度的乘积。
M F J m a
dLz d Jz dt dt
M J
与牛顿第二定律比较：
(3) (4)
N t mg cos mact
2
6 g sin 7l
(6)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
13 N l mg sin 7 4 N t mg cos 7
13 4 N mg sin l mg cos t 7 7

d

z轴
·
r
x
ω
dA F S cos F r d cos F r sin d M d
dA Md
力对转动刚体做的元功等于 相应的力矩和角位移的乘积
A Md
1
2
力矩的功; 是力矩对空间的累积。 力做的功在刚体转动中的特殊表 示形式。
L J
O
3mv0 1 2 2 mv0 l ( Ml ml ) 解得： (3m M )l 3
M
碰撞后，子弹和棒组成的系统， v0 在上摆过程中，机械能守恒，以 m 转轴处为势能零点。 1 1 1 1 2 2 2 ( Ml ml ) mgl Mgl mgl cos Mgl cos 2 3 2 2 解得最大摆角为
2
(2)
由(1)和(2)可得： 2
6 g sin 7l
应用质心运动定理： l 方向： N l mg sin macl
t 方向：
l 2 6 acl g sin (5) 4 7 l mg cos l l 4 3 g cos act 4 4 J 7
mgh
mv 2
v 2 gh
(1)
碰撞 t 极小，对 m +盘系统，冲力远大于m的重力，故重 力mg对O力矩可忽略，角动量守恒： (1) v 2 gh mvR cos J0 (2) 1 J MR 2 mR 2 2mR 2 (3) 2 2 gh 由 (1)(2)(3) 得：0 cos (4)
§3.2 刚体定轴转动定律 （Rotation of rigid body with a fixed axis）
一、转动定律 z 类似于质点系 , 角动量定理： dL M外 (对o点) dt dLz M 外z ( 对 z 轴) dt 其中 M 外z Fi ri sin i
dA 0 内
刚体上任意一对内力做功等于 零，即内力作功的总和为零。
对刚体这一特殊的质点系，应用定轴转动定律
2 2
d M J J dt
d 1 1 2 A Md J d J d J 2 J 12 dt 2 2 1 1
• 刚体的动能
2 r 3dr
0 0
C
m
R4 1 J c 2 mR2 4 2
A
均匀杆：
C
l 2 l 2
1 1 2 2 Jc ml ，J A ml 12 3
m
2. 计算J的几条规律
JC
C
J
d
m
①. 对同一轴
J Ji
J 具有可叠加性
J z mi ri2
②. 平行轴定理
解： 取O点为定点，过O垂直纸面向里为定轴 z 则细杆在重力矩的作用下加速运动。 O 1 l M z重 mg cos 2 d 由转动定律： Mg M J J dt l d l d d mg cos J mg cos J 2 dt 2 d dt
M l
( M 3m )l 2 arccos 1 3( M 2m ) g
l

§3.4 刚体的一般运动(Compound Motion of rigid body)
质心平动+ 复合运动 = 平动+ 转动 绕通过质心轴转动 一、质心系的动量 以刚体的质心O′为原点的参考系称为质心参考系
刚体在运动过程中，两质点 间距离始终保持不变。即：
r1
O
r2
f12
d (r1 r2 ) 0
2 d (r1 r2 ) 0 (r1 r2 ) d (r1 r2 ) 0 f 21 d (r1 r2 ) f 21 d (r1 r2 ) 0
初始：Ek1 0, E p1 0
末态： Ek 2
1 l J o 2 , E p 2 mg sin 2 4
(1)
1 l J o 2 mg sin 0 则： 2 4
由平行轴定理：
1 l 2 7 2 J o J c md ml m ( ) ml 2 12 4 48
§3.1 刚体的定轴转动
o′
·
o
o′
·
ω
刚体绕定轴转动运动的描述：角速度，角加速度 z
ω ,α
v
O'×
刚体 O× 定轴
r
θ
P
r
参 考 方 向
d dt d dt
v r
2
a n r
dv at r dt
匀加速转动： const.
0 t 2 1 ( 0 ) 0 t 2 t 2 02 2 ( 0 )
F ma
二、转动惯量的计算
M J
J 反映刚体的转动惯性
dm
J m r
2
2 i
(分立)
(连续)
m
r
J r dm
m
J 由质量对轴 的分布决定。
1. 常用的几个转动惯量
均匀圆环：
Jc =mR 2 ；
C
R
m
均匀圆盘：
2
R
dm，(r→r+dr)
R 2
R
J c r dm r 2 rdr
Ek
m i ri 2 2
刚体的总动能＝质心的平动动能＋绕质心的转动动能
J
柯尼希 定理
2 刚体的动能： Ek 1 mvC 1 J 2 2 2
考虑重力势能，刚体的机械能：
2 E E p Ek mghc 1 mvC 1 J 2 2 2
第三章 刚体力学(Dynamics of Rigid Body)
刚体 (rigid body) ：特殊的质点系，形状和体积不变化，任 意两质点间的距离是固定不变的； 是理想化的模型。 平动(translation)：刚体在运动中，连结体内两点的直线在空 间的指向总保持平行，刚体上所有点运动都相同。可以用一 点(即刚体的质心)的运动来代表刚体的运动。 定轴转动(rotation around fixed axis): 刚体在运动时，如刚体 上有两个点是不动的，那么在它们连线上的各点也都不动，其 它的点只能绕此直线做圆运动。这样的直线称为刚体的转轴， 刚体的这种运动称为定轴运动。
mg N 153sin 2 16, 7
tg
1
Nt
4 tg ( ctg ) Nl 13
1
例4 如图所示，已知匀质圆盘可绕垂直盘面的轴转动。其质 量为M，粘土块的质量为m, 且M=2m。粘土块从高为h的位 置落下与圆盘碰撞，初始圆盘静止，P点的角度 = 600 。 求：碰撞后瞬间圆盘的角速度 0及转动到水平位置时圆盘的 角速度和角加速度？ 解： m下落： 1 2
1 E K J 2 2
定轴转动的动能定理。 它说明：合外力矩对 一个绕固定轴转动的 刚体所做的功等于它 的转动动能的增量。
m m
1 1 2 A外 E K J 2 J 12 2 2
三.定轴转动的功能原理 质点系功能原理对刚体仍成立：
A外 A非保内 EM2 - EM1
刚体重力势能： E p Δ mi C× hc hi Ep=0 若 则
m gh m h mg
i i i
i
m
mghc
A外+ A非保内 = 0， Ek + Ep = EM = 常量
当外力和非保守内力作功为零时， 刚体的机械能守恒。
例3 已知：均匀直杆质量为m, 长为l，且 AO l 4 ；求：杆下 摆 角后的角速度和轴对杆的作用力N。
解：杆+地球为一系统，因为只有重力作功，系统机械能守恒。
O
Ek
v i vC v i
Σmi ri rC m
y
2 1 mv 2 1 Ek 2 C 2 mi vi
1 m v2 2 i i
1 m (v 2 i C
v i ) ( vC v i )
1 mv 2 1 C 2 2
1
l mg cosd Jd 2
积分得：
l 1 mg cos d 20
来自百度文库

1
J d
0
3 g sin 1 1 l
§3.3 定轴转动中的功能关系 (Work energy relation of rotation around fixed axis)
一、力矩的功 F S
2R
对m+M+地球系统，只有重力做功， 令P、x重合时，EP = 0 则： mgR sin J 2 J 2 (5)
0
由(3)(4)(5)得：

1 2
1 2
gh g 1 cos2 sin 2 R2 R 2R
M mgR g 2 J 2mR 2R
g ( h 4 3 R) 2
i
ω ,α
vi ri Fi
θ
O' 刚体 ri O× Δ mi
i
是对 z 轴的外力矩和。
Lz Liz mi v i ri
i
定轴
Jz
i
m i ri2
( mi ri2 )
i
i
Jz 称为刚体对 z 轴的转动惯量(Moment of Inertia)
例5 一根长为 l 、质量为M的均匀细棒，静止在竖起位置上，上 端有一光滑固定转轴。质量为m 的子弹，以水平初速v0 射入子弹 下端并粘在细棒内，求子弹和棒在碰撞结束时的共同角速度 及 两者一起摆动的最大摆角 。 解： 子弹+木棒=系统，在碰撞过程中，外力的力矩为零，系统 的角动量守恒。 刚体的角动量为
解： 物体在重力和绳子的拉力作用下 加速运动，由牛顿定律：
R 定轴O
mg T ma
①
· T
m
T
滑轮在绳子拉力的作用下加速转动，由 转动定律：
a
mg
M J
TR J
②
由角加速度和滑轮边缘处的切向加速度的关系： a R ③
三式联立，可得：
g a 1 J mR2
例2 (书例3.2)质量为M，长为l 的均匀细杆，可绕固定端转动。令 杆从水平静止状态下落，求转角为1时的角速度1。
J JC md 2
JC J min
平行
③.正交轴定理
Jz J x J y
例 O
m
l
M R
J O J m J M J m J MC M (l R)2 1 2 2 ml MR 2 M (l R)2 3 5
三、转动定律应用举例
例1 (书例3.1) 在半径为R的定滑轮上绕着一细绳，绳的一端固定 在滑轮上，另一端挂着质量为m 的物体。当物体下落时，带动 滑轮转动。设滑轮的转动惯量为J，求物体下落的加速度。
二、定轴转动动能定理
A外 A内 Ek
f 21
m1
• 刚体内力做的功
一对内力做的元功：
r1 r2
m2
dA f 21 dr1 f12 dr2 f 21 (dr1 dr2 ) f 21 d (r1 r2 )
ri rC ri
mi ri mi rC mi ri
z
r m mi ri mi r C mi vi i ＝0 mi 0
质心系是零动量参考系 二、柯尼希定理(Koenig Theorem ) x
ri
O
ri rC