《因式分解--提公因式法》教案
北师大版八年级数学下册42《提公因式法》优质教案
北师大版八年级数学下册42《提公因式法》优质教案XXX《提公因式法》教案教学目标一、知识与技能让学生了解多项式公因式的意义；初步学会用提公因式法分解因式．二、过程与方法通过找公因式，培养学生的观察能力和类比推理能力．三、情感态度和价值观在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的惯，同时培养学生的合作交流意识．教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．教学难点：让学生识别多项式的公因式教学过程：一、导入新课1、分解因式的概念：2、整式的乘法与因式分解有什么关系吗？学生回忆回答：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式.分解因式与整式乘法是互逆运算.3、近年来，我国土地沙漠化问题严重，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动．每队都种树37行，其中一队种树102列，二队种树93列，三队种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？学生阐发题意，列出算式：37×102+37×93+37×105提出问题：有没有简便的运算？学生讨论分析，找出简便的方法并计算：共同的因数3737×102+37×93+37×105=37×（102+93+105）=37×300=（棵）想一想：如果m·a+m·b+m·c进行因式分解能用这种方法吗？分析：这个算式也有共同的因数m，所以可用此方法因式分解m·a+m·b+m·c=m (a+b+c)这种方法就是我们这节课要研究的内容-----提公因式法2、新课研究（一）探究提公因式法的界说1、做一做：多项式ma+mb+m有共同的因式m，多项式ab+bc各项都含有不异的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？测验考试将这几个多项式划分写成几个因式的乘积，并与同伴交换．学生分析讨论，归纳如下：ab+bc：不异的因式是b；ab+bc=b(a+c)3x2+x：相同的因式是x；3x2+x=x(3x+1)mb2+nb-b：不异的因式是b；mb2+nb-b=b(m+n+1)分析：以上多项式的特点是都有共同的因式归纳：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.2、议一议：（1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？（2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流．引导学生分析，找出公因式：两项都有系数，系数应是2，是2与6的最大公约数.两项都有含有不异的字母x，x的指数是2与3，应取字母的最低次幂.以是，多项式2x2+6x3中各项的公因式是2x2 据此由学生自主完成第二问的问题：2x2+6x3=2x2(1+2x)以长进行的因式分化，都是应用的提公因式法，你能总结提公因式法的界说吗？学生观察分析，归纳总结：假如一个多项式的各项含有公因式，那末就能够把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的方式．这种因式分化的方法叫做提公因式法．引导学生总结出找公因式的普通步骤：首先：找各项系数的最大公约数，如2和6的最大公约数是2；其次：找各项中含有的不异的字母，不异字母的指数取次数最低的．（二）例题解析例1、将下列各式分解因式：（1）3x+6；（2）7x2-x；（3）8a3b2-12ab3c+abc；（4）-24x3-12x2+28x．分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来．学生自主完成，解题过程：解：（1）3x +x3=x⋅3+x⋅x2=x(3+x2)；（2）7x3-x2=7x2⋅x-7x2⋅3=7x2(x-3)（3）8a3b2-12ab3c+ab=ab⋅8a2b-ab⋅12b2c+ab⋅1=ab(8a2b-12b2c+1)；(4)- 24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x⋅6x2-4x⋅3x+4x⋅7)=-4x(6x2-3x+7)按照以上的做题进程。
沪科初中数学七下 《因式分解《提公因式法》教案 (公开课获奖)2022沪科版2
《提公因式法》教学目标：1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.2、会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式.教学重难点教学重点：因式分解的概念及提取公因式法.教学难点：多项式中公因式确实定和当公因式是多项式时的因式分解.教学设计：〔一〕新课引入：回忆：运用所学知识填空〔1〕x 〔x +1〕= 〔2〕〔x +1〕〔x -1〕=〔3〕2ab 〔a 2+b +1〕=反之：〔1〕x 2+x = 〔2〕x 2-1=〔3〕2a ³b +2ab ²+2ab =观察以下式子的特点：〔1〕15=3×5〔2〕18=2×32 〔3〕x 2+x=x 〔x+1〕〔4〕x ²-1=〔x+1〕〔x-1〕〔5〕2a ³b +2ab ²+2ab =2ab 〔a ²+b +1〕由分解质因数类比到分解因式.〔二〕新知学习：1、分解因式的概念，与整式乘法的关系.稳固概念：判断以下各式从左到右哪些是因式分解？〔1〕m 〔a +b 〕=ma +mb〔2〕2a +4=2〔a +2〕〔3〕4a ²-6ab ²+2a =2a 〔2a -3b ²+1〕〔4〕a ²-2a +1=a 〔a -2〕+1〔5〕)10)(10(100)(2-+=-xy x y x y 2、确定公因式.问题：ma +mb +mc 这个多项式有什么特征？ 引入公因式概念.例1：找出6x ³y 5-3x ²y 4的公因式,归纳找公因式的方法.课堂练习一：找出以下各多项式中的公因式填在后面括号内.〔1〕3mx-6nx2〔〕〔2〕x4y3+x3y4 〔〕〔3〕12x2yz-9x2y2 〔〕〔4〕5a2-15a3+25a〔〕3、用提公因式法分解因式.m〔a+b+c〕＝ma+mb+mc可得ma+mb+mc＝m〔a+b+c〕，观察构成乘积的两个因式分别是怎样形成的？m是这个多项式的公因式，而另一个因式是原多项式除以公因式所得的商式.像这种分解因式的方法叫做提公因式法.想一想：提公因式法的理论依据是什么?4、知识运用：例2：把8a²b²+12ab²c分解因式例3：把－24x³－12x²＋28x分解因式.判断以下各式分解因式是否正确？如果不对，请加以改正.〔1〕2a2+4a+2=2〔a2+2a〕〔2〕3x2y3－6xy2z=3xy〔xy2－2yz〕把以下各式分解因式.〔1〕x2+x6〔2〕12xyz-9x2y2〔3〕-6x2-18xy+3x〔4〕2a n+2-4a n+1-6a n-1例4：把3a〔b+c〕-3〔b+c〕分解因式将以下各式分解因式.〔1〕p〔a2+b2〕-q〔a2+b2〕〔2〕 2a² 〔y-z〕2-4a〔z-y〕2例5：先分解因式，再求值.4a2〔x+7〕-3〔x+7〕，其中a=-5，x=3.5、拓展与提高：〔1〕20212+2021能被2021整除吗？〔2〕利用因式分解进行计算：23.1×24-46.2×7〔3〕将2a〔a+b-c〕-3b〔a+b-c〕+5c〔c-a-b〕分解因式.〔三〕课堂小结：〔1〕什么叫因式分解？〔2〕确定公因式的方法.〔3〕提公因式法分解因式的步骤.〔4〕提公因式法分解因式的步骤.有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法那么，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
(完整word版)提公因式法 教学设计
《提公因式法》教学设计一、教材分析：“因式分解”是“华东师大版八年级数学(上)”第13章第5节内容。
本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的承上启下的作用.本节主要讲“提公因式法”，为一个课时。
提取公因式法是因式分解的基本方法,也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。
二、目标分析：➢知识与技能：1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2、熟练运用提取公因式法分解因式。
➢过程与方法：在教学过程中,体会类比的数学思想,逐步形成独立思考、主动探索的习惯。
➢情感态度、价值观：通过现实情景,让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识.三、教学重难点：➢教学重点：理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。
➢教学难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式.四、学习者分析:1、初二学生性格开朗活泼,对新鲜事物较敏感，并且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意.2、初二学生对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知.3、初二学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式.五、教法学法：➢教法：类比、探究式教学方法1、教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系；2、设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。
➢学法：自主、合作、探索的学习方式在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力,又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度,以促进学生发展为目的。
六、过程设计：七、板书设计：八、课堂小结：教学过程不仅是知识传授的过程,更是学生掌握良好学习方法，锻炼思维能力，培养创新能力,感受数学思想的过程。
本节课的教学过程中采用类比、探究式教学，辅以讲练结合,师生互动.引导学生习得自主、合作、探索的学习方式，符合新课标确立新的学习方式的要求。
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
初中数学 教案2：因式分解——提公因式法
乘法公式——提公因式法一、教学目标1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．3．树立学生“化零为整”的“化归”的数学思想，培养学生完整地、辩证地看问题的思想．4．树立学生全面分析问题、认识问题的思想，提高学生的观察能力、分析问题及逆向思想的能力．二、教学重点及难点1．教学重点：因式分解的概念及提公因式法．2．教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．三、教学方法理论与实例相结合．四、教学手段设问式、启发式．五、教学过程(一)复习提问1．乘法对加法的分配律．2．添括号法则．(二)新课1．新课引入：用类比的方法引入课题．在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．在代数里学习分式的时候，也常常要进行约分、通分，因此要常常把一个多项式化成几个整式的乘积．在中学里一元高次(二次以上)方程的求解正是根据在实数域上，实系数多项式总可以分解为一次或二次不可约多项式的乘积，那么相应的一元高次方程可以化为一次或二次方程求解．又如一元高次不等式的解法，也是基于一次、二次不等式的解法．将高次不等式化为一、二次不等式组解．因此从知识内容看，把一个多项式恒等变形成几个因式乘积是十分重要的．这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．2．因式分解的概念：请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．)如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy(a+b)(a-b)＝a2-b2(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．再请学生观察它们有什么共同的特点？特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形．因式分解的特征是和差化积的形式，乘法的特征是积化和差的形式．例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？(1)x2-xx(x-1) (√)(2)a(a-b)a2-ab (×)(3)(a+3)(a-3)a2-9 (×)(4)a2-2a+1=a(a-2)+1 (×)(5)x2-4x+4(x-2)2 (√)下面我们学习几种常见的因式分解方法．3．提公因式法：我们看多项式：ma+mb+mc请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．注意：公因式是各项都含有的公共的因式．又如：a是多项式a2-a各项的公因式．ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．根据乘法的分配律，可得m(a+b+c)＝ma+mb+mc，逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式ma+mb+mc＝m(a+b+c)．这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式ma+mb+mc 写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式：(1)ax+ay+a(a)(2)3mx-6mx2(3mx)(3)4a2+10ah(2a)(4)x2y+xy2(xy)(5)12xyz-9x2y2(3xy)例3 把8a3b2-12ab3c分解因式．分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．说明：(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解．例4 把3x2-6xy+x 分解因式．分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1＝x(3x-6y+1)．说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．课堂练习：把下列各式分解因式：(l)2πR+2πr；(3)3x3+6x2；(4)21a2+7a；(5)15a2+25ab2；(6)x2y+xy2-xy．例5 把-4m3+16m2-26m分解因式．分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，注意添括号法则．解：-4m3+16m2-26m＝-(4m3-16m2+26m)＝-2m(2m2-8m+13)．说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．课堂练习：把下列各式分解因式：(1)-15ax-20a；(2)-25x8+125x16；(3)-a3b2+a2b3；(4)-x3y3-x2y2-xy；(5)-3ma3+6ma2-12ma；(三)小结1．因式分解的意义及其概念．2．因式分解与整式乘法的联系与区别．3．公因式及提公因式法．4．提公因式法因式分解中应注意的问题．六、作业教材 1、2、3、4．七、板书设计提公因式法同步训练1．下列各式得公因式是a得是（）A．ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2 C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma2．－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（）A．－3x B．3xz C．3yz D．－3xy3．把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（）A．8（7a－8b）（a－b）B．2（7a－8b）2 C．8（7a－8b）（b－a）D．－2（7a－8b）4．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1）C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）5．下列各个分解因式中正确的是（）A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）B．（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）6．观察下列各式①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和－a－b，④x2－y2和x2和y2．其中有公因式的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．当n为_____时，（a－b）n＝（b－a）n；当n为______时，（a－b）n＝－（b－a）n．（其中n为正整数）8．多项式－ab（a－b）2＋a（b－a）2－ac（a－b）2分解因式时，所提取的公因式应是_____．9．（a－b）2（x－y）－（b－a）（y－x）2＝（a－b）（x－y）×________．10．多项式18x n＋1－24x n的公因式是_______．11．把下列各式分解因式：（1）15×（a－b）2－3y（b－a）（2）（a－3）2－（2a－6）（3）－20a－15ax（4）（m＋n）（p－q）－（m＋n）（q＋p）12．利用分解因式方法计算：（1）39×37-13×34（2）29×+72×+13×先化简，再求值：已知串联电路的电压U＝IR1+IR2+IR3,当R1＝，R2=,R3=,I=时，求U的值．14．已知a＋b＝－4，ab＝2，求多项式4a2b＋4ab2－4a－4b的值．参考答案1．D 2．D 3．C 4．C 5．D 6．B 7．偶数奇数 8．－a（a－b）29．（a－b＋x－y） 10．6x n 3x－411.（1）3（a－b）（5ax－5bx＋y）；（2）（a－3）（a－5）；（3）－5a（4＋3x）；（4）－2q（m ＋n）12.（1）原式＝39×37-39×33＝39（37-27）＝390（2）原式＝（29+72+13-14）＝×100＝1999=I(R1+R2+R3)=++=*50=11514.由4a2b＋4ab2－4a－4b＝4（a＋b）（ab－1）＝－16。
人教版初中数学八年级上册14.3.1提取公因式法(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了提取公因式法的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对提取公因式的理解和运用。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任Байду номын сангаас疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过提取公因式法的学习，使学生能够理解和掌握因式分解的基本思想，提高解决数学问题的逻辑思维水平；
2.培养学生数学抽象能力，让学生在识别和提取公因式的过程中，把握数学对象的本质属性，形成数学抽象的素养；
3.培养学生数学建模能力，使学生能够将提取公因式法应用于解决实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力；
在学生小组讨论环节，我注意到有些学生不太愿意发表自己的观点。为了鼓励他们积极参与，我打算在接下来的课程中，多设置一些简单易懂的问题，让学生们更容易开口表达自己的看法。
-在提取公因式时，学生可能会忽略常数项的公因式，或者对含有变量的公因式提取不准确；
-学生在运用提取公因式法进行因式分解时，可能会出现分解不彻底或者错误分解的情况。
举例：针对难点，举例\(4x^3 - 8x^2 + 4x\)的公因式提取，学生可能会只提取\(4x\)作为公因式，而忽略\(4\)也是每一项的公因数。通过此类例题，引导学生注意常数项和变量项的共同公因式。同时，讲解如何检查提取公因式后的结果是否正确，如通过展开验证或利用分配律检验。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解提取公因式法的基本概念。提取公因式法是一种因式分解的方法，它通过找出多项式中的公共因子，简化多项式的表达形式。这种方法在解决数学问题和简化计算中非常重要。
《因式分解提公因式法》教案
3 《因式分解提公因式法》教案教学目标：1.知识与技能：把一个多项式化成几个整式的积的形式，？这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2•过程与方法：分解因式的结果只能是几个整式的乘积形式，而且要分解到不能再分 解为止，相同因式要写成幕的形式.3 •情感态度与价值观：运用提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式， 公因式是指各项系数的最大公约数、各项共有字母的最低次幕的乘积.？公因式可以是单项式也可以是多项式. 一创设情境，导入新课1如图，我们学校篮球场的面积是 ma+mb+mc,长为a+b+c,宽为多少呢?这个问题实际上就是求 (am+bm+cm)十(a+b+c)= _______为了解决这个问题请你先思考：2如图，某建筑商买了一块宽为m 的矩形地皮，被分成了三块矩形宽度分别是 a,b,c,这块地皮的面积是多少？ 提问：把ma+mb+mc 写成m(a+b+c)叫什么运算？怎样分解因式?这节课我们来学习第一个方法——提公因式法二合作交流，探究新知1公因式的概念(1) 式子：am,bm,cm,是由哪些因式组成的？指出：其中m 是他们的公共的因式，叫公因式(2) 你能指出下面多项式中各项的公因式吗？(1) ⑵ 24xy+16;旷(3) 36^?用 + 4 帥矿（4）- +18xy- 15y 2提公因式法重、难点：重点：用提公因式法分解因式。
式中的公因式。
教学过程难点：确定多项 a+b+cam+bm-i-cm把 ma+mb+mc 分解成：ma+mb+mc=m （a+b+c ）,用到什么依据？这种因式分解有什么特 点？用到了乘法分配律，特点：把各项的公因式提出放到括号外面，叫提公因式法。
强调：（1）公因式确定后，另一个因式怎么确定?（2）某一项全部提出后，还有因数“ 1例2把 因式分解。
强调：（1）首项系数是负数时，取其绝对值找最大公因数。
（2）首项为负时，最好提出负号。
初三数学提公因式法(1)因式分解教案
归纳确定公因式的方法： （1）公因式的系数，是多项式中各项系数的 最大公约数 （2）公因式中字母的幂，是各项中都含有相 同的字母的幂中次数最低的 三、典例分析 例：把下列各式分解因式：
问题 2 分组 讨论，合作 学习，确定 公因式的方 法，说明理 由。
自主探索 出方法， 有利于发 展思维能 力及培养 学生归纳 总结表达 交流的能 力。
课时
1
课型
新授
二、新知讲解
列式：①37×102+37×93+37×105 ②37×（102+93+105） 哪种算法简便？ 可得到 7×102+37×93+37×105= 37×（102+93+105） 第二种算法 二、新知讲解 简便， 在这一过程中，把 37 换成 m，102 换成 a， 93 换成 b，105 换成 c， 学生书写 利用因数 于是会有什么样的变形？ 分解，将 回顾乘法分 字 母 代 替 利用整式乘法验证： 配律的逆运 数 ， 引 出 m (a+b+c)= m·a+m·b+m·c 算，迁移化 因 式 分 解，再由 归 我们得到 因式分解 m·a+m·b+m·c= m (a+b+c) 具有一般 把各项都含有的因式叫公因式，比如多项式 性的表达 ma+mb+mc 的公因式是 m，可将他提出来， 式引入公 得到公因式 m 与多项式 a+b+c 的乘积，这种 因式及提 因式分解方法叫做提取公因式法。 取公因式 理解概念 探究确定公因式的方法： 法 的 概
师生共同完 成，纠正易 出现的错 误，写出规 范解题格 式。
四、拓展练习
独立完成 与同学交 流、讨论， 可寻求教师 帮助
七年级数学下册《因式分解的意义提公因式法》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.让学生理解因式分解的概念，掌握提公因式法的基本步骤，能够熟练运用该方法对多项式进行因式分解。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，让学生学会运用因式分解解决一些简单的实际问题。
3.通过因式分解的学习，使学生掌握数学中的分解思想，提高他们分析问题和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课的环节，我将以一个简单的数学问题引发学生的思考：“同学们，我们之前学过如何将一个数分解成几个数的乘积，那么对于多项式，我们是否也可以这样做呢？”通过这个问题，激发学生对因式分解的好奇心，从而引出本节课的主题。
接着，我会简要回顾整式的乘法运算，引导学生发现整式乘法与因式分解之间的联系，为学习因式分解打下基础。
2.问题导向的探究学习
本案例以问题导向的方式引导学生主动探究、发现数学规律。通过一系列具有启发性的问题，如因式分解的意义、操作步骤等，让学生在思考、讨论中逐步掌握因式分解的知识。这种教学策略有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作的互动交流
小组合作是本案例的又一亮点。在小组合作中，学生相互讨论、共同探究，充分发挥每个人的优势，共同解决问题。这种互动交流的学习方式不仅提高了学生的学习效果，还培养了他们的团队协作精神和沟通能力。
（二）过程与方法
1.采用启发式教学方法，引导学生通过自主探究、小组合作等方式，发现并理解因式分解的意义。
2.设计丰富的教学活动，如实例分析、互动讨论等，让学生在实践中掌握提公因式法的运用，提高他们的运算能力和逻辑思维能力。
3.创设生活情境，让学生在实际问题中运用所学的因式分解知识，培养他们将理论知识与实际相结合的能力。
（二）问题导向
《因式分解--提公因式法》教案
《15．4．1因式分解——提公因式法》教案广西桂平市社步一中黄郁贞一、教学目标㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。
㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想。
（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。
（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
二、教学重点和难点重点：因式分解的概念及提公因式法。
难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
-1)=个整式的五、学生学习活动评价设计在本节教学设计中，对学生的评价方式：自评、互评、教师评价等。
通过多样化的评价方式，激励、促进学生积极参与自主学习、实验探究、讨论交流中，并学会和同伴合作的良好学习习惯。
例如：1.个人回答问题次数：正确次数：改正人：2.小组自评实验结论：活动1：正确、不完善、错误；（在所属情况下面打对勾）活动2：正确、不完善、错误。
活动……3.例题完成情况：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。
4.课堂完成情况练习：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。
六、教学反思㈠、教材分析本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四节第一个内容（P165-167）。
因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。
本节主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用。
《因式分解——提公因式法》参考教案
12.5因式分解 公开课教案华东师大版初中八上12.5.1因式分解—提公因式法一、教学目标（一）知识与技能明确因式分解与整式乘法的关系；理解将因式分解的结果用整式乘法来验证因式分解的准确性； 掌握因式分解、公因式的概念。
让学生在探索中实行新旧知识的比较，理解领悟因式分解，得到因式分解的基本方法——提公因式法。
（三）情感态度与价值观培养学生灵活使用新旧知识的水平，学会举一反三。
二、教学重难点教学重点：找公因式，能用提公因式法分解因式。
教学难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活使用提公因式法分解因式。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程（一）复习回顾：1、 整式乘法有几种形式？（1） 单项式乘以单项式（2） 单项式乘以多项式：mc mb ma c b a m ++=++)(（3） 多项式乘以多项式：22))((b a b a b a -=-+（二）探索新知，讲授新课1、请把以下多项式写成整式的乘积形式。
（1）)()(c b a m mc mb ma ++⋅=++（2）))((22b a b a b a -+=-学生议一议：由))((b a b a -+得到22b a -的过程是什么运算？由22b a -得到))((b a b a -+的变形与它有什么不同？2、概括，归纳得出什么是因式分解？把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。
3、做一做：判断以下各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1) ()()y x y x y x -+=-33922；因式分解(2) ()xy x y x x 6103522-=-；整式乘法(3) ()ab b a b a 10255222-+=-；整式乘法 (4) ()R R R R +=+222πππ ；因式分解想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法的关系：))((b a b a -+ 22b a -结论：因式分解与整式乘法互为逆运算。
12.5《因式分解——提公因式法》教学设计
课题：12.5华师大版八年级因式分解（1）【教学目标】1．能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式．2．通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。
3．通过因式分解在简化计算中的作用等，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心。
【教学重点与难点】重点：提公因式法分解因式难点：多项式因式分解和整式乘法的关系【教学方法与教学手段】教学方法：采用“引导类比讨论发现”的教学方法教学手段：多媒体辅助教学【教学过程】【教学设计说明】因式分解共二个课时，本节课为第一课时。
为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，本节课以类比发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅，并运用电教媒体化静为动，激发学生探究知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。
1．在数学过程设计中，从学生身边的生活情景引入，从生活场景中提炼数学知识，设置疑问，使学生带着问题学习新知识，最后又运用新知解决疑问和生活中的问题。
这样，体现了“数学源于生活，又为生活服务。
”2．设计问题化、发现化的“概念形成”、“探究新知”，通过“做一做”、“想一想”、“练一练”、“议一议”等活动，为学生提供充分从事数学活动的机会。
利用数学情境，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究、合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值。
3．现代教学理论认为：学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构，强调学生学习的主动性、社会性和情景性。
由此，本课组织学习因式分解概念与提公因式法时，让学生通过已学过的因数分解及整式乘法相类比，进行探索新知，自我小结归纳，再给出一系列辨析题。
在最后的环节中，将学生可能会出现的错误问题全部展现，为学生提供经验与教训，让学生能更透彻地理解本节课的重点和化解难点。
《因式分解提公因式法》教案
《因式分解-提公因式法》教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：学生能理解因式分解的概念及其意义。
学生能掌握提公因式法的基本步骤。
学生能运用提公因式法对简单多项式进行因式分解。
1.2 过程与方法：学生通过观察和分析实例，探索提公因式法的步骤和规律。
学生通过练习题，提高运用提公因式法进行因式分解的能力。
1.3 情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣和自信心，感受数学的实用性。
学生学会合作和交流，培养解决问题的能力。
第二章：教学内容2.1 课题：因式分解-提公因式法2.2 教学重点与难点：重点：掌握提公因式法的基本步骤。
难点：灵活运用提公因式法进行因式分解。
2.3 教学准备：教师准备PPT演示文稿和练习题。
学生准备笔记本和文具。
2.4 教学过程：引入：通过实例引入因式分解的概念，引导学生思考如何将多项式分解成几个整式的乘积。
讲解：讲解提公因式法的基本步骤，通过示例演示如何提取公因式。
练习：学生通过练习题，运用提公因式法进行因式分解，教师给予指导和反馈。
第三章：教学活动3.1 课堂讲解：教师通过PPT演示文稿，讲解提公因式法的基本步骤和注意事项。
教师通过举例说明如何提取公因式，并引导学生思考和发现规律。
3.2 课堂练习：教师给出一些简单多项式，学生分组进行讨论和练习，尝试运用提公因式法进行因式分解。
教师选取部分学生的答案进行讲解和点评，指出其中的错误和不足之处。
3.3 课后作业：教师布置一些练习题，要求学生独立完成，巩固提公因式法的应用。
第四章：教学评价4.1 课堂参与度：观察学生在课堂讲解和练习中的参与程度，了解他们对提公因式法的理解和掌握程度。
4.2 练习题完成情况：检查学生课后作业的完成情况，评估他们对提公因式法的应用能力。
4.3 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们对提公因式法的掌握情况和教学效果。
第五章：教学拓展5.1 拓展练习：给出一些较复杂的多项式，学生尝试运用提公因式法进行因式分解，提高他们的解题能力。
提公因式法优秀教案
提公因式法【课时安排】2课时【第一课时】【教课目的】（一）教课知识点：让学生认识多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式。
（二）能力训练要求：经过找公因式，培育学生的察看能力。
（三）感情与价值观要求：在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，而后大家议论结果的正确性，让学生养成独立思虑的习惯，同时培育学生的合作沟通意识，还可以使学生初步感觉因式分解在简化计算中将会起到很大的作用。
【教课要点】能察看出多项式的公因式，并依据分派律把公因式提出来。
【教课难点】让学生辨别多项式的公因式。
【教课过程】（一）创建问题情境，引入新课。
一块场所由三个矩形构成，这些矩形的长分别为 3 ， 3 ，7，宽都是1，求这块场所的4 2 4 2面积。
解法一： S= 1×3+1×3+1×7=3+3+7=2 2 4 2 2 2 4 8 4 8解法二： S= 13 1 3 1 7 1 3 3 7 1 ×2 ×+ ×+ ×= + + )= 4=24 2 2 2 4 2 4 2 4 2从上边的解答过程看，解法一是按运算次序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分派律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单调些。
这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法。
（二）新课解说1．公因式与提公因式法分解因式的看法。
若将方才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场所的面积为 ma+mb+mc，或 m(a+b+c)，能够用等号来连结。
ma+mb+mc=m(a+b+c)从上边的等式中，大家注意察看等式左侧的每一项有什么特色？各项之间有什么联系？等式右侧的项有什么特色？等式左侧的每一项都含有因式 m，等式右侧是 m 与多项式 (a+b+c)的乘积，从左侧到右侧是分解因式。
因为 m 是左侧多项式 ma+mb+mc 的各项 ma、 mb、 mc 的一个公共因式，所以 m 叫做这个多项式的各项的公因式。
初中数学《提公因式法》教案
初中数学《提公因式法》教案第二章分解因式2．提公因式法（二）总体说明本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历提取公因式从简单到复杂的过程，进一步培养学生的观察能力，体会数学的类比推理能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．一、学生知识状况分析学生的技能基础：上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础．学生活动经验基础：学生对于本节课采用的观察、对比、讨论等方法非常熟悉，他们有较好的活动经验．二、教学任务分析学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式，因此，本课时的教学目标是：知识与技能：（1）使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程．（2）会用提取公因式法进行因式分解．数学能力：（1）培养学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．（2）从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．情感与态度：通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：练一练——想一想——做一做——试一试——议一议——反馈练习——学生反思．第一环节练一练活动内容：把下列各式因式分解：（1）am+an （2）a2b–5ab（3）m2n+mn2–mn （4）–2x2y+4xy2–2xy活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．注意事项：切忌采用死记硬背的方法让学生背诵提取公因式的基本方法与步骤，最好用例题的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，让学生真正理解是第一位的．第二环节想一想活动内容：因式分解：a（x–3）+2 b（x–3）活动目的：引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x¬–3），通过观察，学生较容易找到公因式是（x¬–3），并能顺利地进行因式分解．第三环节做一做活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：（1）2–a= （a–2）（2）y–x= （x–y）（3）b+a= （a+b）（4）（b–a）2= （a–b）2[来源:学科网ZXXK]（5）–m–n= （m+n）（6）–s2+t2= （s2–t2）活动目的：培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．注意事项：（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“¬–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．第四环节试一试活动内容：将下列各式因式分解：（1）a（x–y）+b（y–x）（2）3（m–n）3–6（n–m）2活动目的：进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．（1）观察多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；（2）再把相同的多项式作为公因式提取出来．第五环节反馈练习活动内容：1、填一填：（1）3+a= （a+3）（2）1–x= （x–1）（3）（m–n）2= （n–m）2（4）–m2+2n2= （m2–2n2）2、把下列各式因式分解：（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3 a（x–y）–（x–y）（3）6（p+q）2–12（q+p）（4）a（m–2）+b（2–m）（5）2（y–x）2+3（x–y）（6）mn（m–n）–m（n–m）2活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：由于新教材删除了添括号一节的教学，学生对于第1题第（4）小题的解答有一定的困难，因而，需要认真比较这两个多项式符号上的异同，确定它们是互为相反数还是相等关系．第六环节议一议活动内容：把(a＋b－c)(a－b＋c)＋(b－a＋c)•(b－a－c)分解因式．活动目的：通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．注意事项：通过讨论，学生逐步意识到如果采用提取公因式的方法，必须先把所有括号内的多项式中字母a前面的符号都化为正号，再进行观察比较可以找出公因式(a－b＋c)．第七环节学生反思活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对如果提取的公因式是多项式应该采取的方法，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比数学思想的理解．注意事项：学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程，对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，了解类比等数学思想方法．巩固练习：课本第52页习题2．3第1，2题．思考题：课本第53页习题2．3第3题（给学有余力的同学做）．四、教学反思对学生数学能力及数学思想方法的培养在初中数学教材中尽管没有专门章节进行训练，但始终渗透在整个初中数学的教学过程中．由于一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识，它是初中数学一个重要的数学思想．运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，没有斧凿的痕迹．教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛．因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体．。
人教版八年级上册14.3.1提公因式法教案设计
课题：14.3因式分解第1课时教学内容提公因式法教学目标知识与技能：1.使学生了解因式分解的概念以及因式分解与整式乘法的关系.2.了解公因式的概念和提取公因式的方法.3.会用提取公因式的方法分解因式.过程与方法：1.通过学习提取公因式法提取公因式,掌握寻找公因式的方法和提取公因式的方法.2.理解因式分解的最后结果,每个因式要分解到不能再分解为止.情感、态度与价值观：在探索提公因式法分解因式的过程中,学会逆向思维,渗透化归的思想方法.教学重点会用提取公因式法分解因式.教学难点如何确定公因式以及提取公因式后的另外一个因式.教学方法讲练结合.教学准备多媒体课件.教学过程设计设计意图教学过程一、新课引入新兴一中决定购买m台电脑和m套桌子,现在知道每台电脑的单价为a元,每套桌子的单价为b元,那么怎样表示该校购买电脑和桌子总共需要的资金呢?答案一:购买一台电脑和一套桌子需(a+b)元,购买m台电脑和m套桌子共需m(a+b)元.答案二:购买m台电脑需ma元,购买m套桌子需mb元,则购m台电脑和m套桌子共需(ma+mb)元.从这两种方法中,我们发现了什么?ma+mb=m(a+b).二、新课探究我们知道,利用整式的乘法运算,有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式,反过来,在式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.1、请把下列多项式写成整式的积的形式:(1)x2+x=(2)x2-1= .通过情境导入,让学生掌握数学来源于生活的道理,从而激发学生的学习热情,自然地转入到从观察ma+mb=m(a+b)这个式子的特点入手,以此引出因式分解的定义.(1)x2+x=x(x+1)；(2)x2-1=(x+1)(x-1).下面请同学们观察上述两个式子和ma+mb=m(a+b),这些式子的共同特点是什么?学生通过观察得出:等式左边是多项式,右边都是乘积的形式.上述式子,左边是一个多项式,右边是两个因式的乘积,这种从左到右的变形,我们叫因式分解.2、因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.正确理解因式分解要注意以下三点:(1)因式分解的对象是多项式,不是单项式,也不是以后我们要学习的分式.(2)因式分解的结果是整式的乘积的形式.(3)不能走回头路,如x2-1=(x+1)(x-1)=x2-1,本来已经完成了对x2-1的因式分解,但习惯性地按整式乘法算出x2-1 的结果,就画蛇添足了.练习:下列从左到右的变形中,哪些是分解因式?哪些不是分解因式?为什么?(1)12ab= 3a·4b；(2)(x+3)(x-3)=x2 -9；(3)4x2 -8x-1=4x(x-2)-1；(4)2ax-2ay=2a(x-y)；(5)a2-4ab+4b2 =(a-2b)2.总结:(1)分解因式是多项式的恒等变形,也就是分解因式的结果的积等于多项式.(2)分解因式的结果必须是整式的积的形式,每个因式必须是整式且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数.因式分解时,左边必须是多项式,右边是几个因式的乘积,且又是左、右两边恒等,那么分解因式与整式乘法有什么关系?(板书)分解因式与整式乘法的关系如果把整式乘法看作一个变形过程,那么多项式的分解因式就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的分解因式看作一个变形过程,那么整式乘法又是多项式的分解因式的逆过程.因此,多项式的分解因式与整式乘法互为逆过程,ma+mb m(a+b)3、提公因式法我们知道,由单项式乘多项式可知m(a+b+c) =ma+mb+mc,而反过来ma+mb+mc一定等于m(a+b+c),这种变形我们知道就是因式分解.在ma+mb+mc=m(a+b+c)中,m又被称作什么呢?学生可能发现“m”存在于多项式的每一项中,在学生充分观察、讨论基础上,教师给予点拨.公因式:多项式中各项都含有的相同因式.练习：下列说法中正确的是()A.多项式mx2-mx+2中各项的公因式为mB.多项式7a3 +15b无公因式C.1+x3中各项公因式为x2D.多项式10x2y3-5y3+15xyz的公因式是5y2让学生由公因式定义出发,去分析、比较确定答案,并引导学生总结在理解公因式定义时应注意什么.注意:(1)多项式的每一项都含有,体现“公”字.(2)各项所含有的相同的因式.确定公因式的方法:(1)取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；(2)取各项都含有的相同字母或相同因式的最低次幂作为公因式的因式.如:求多项式4x2y3 z-12x3y4的公因式.如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫提公因式法.注意：(1)提公因式法的关键是确定公因式,但提出公因式后,还应准确地确定另一个因式.(2)提公因式的依据是逆用乘法分配律.(3)提公因式时要防止出现以下错误:①漏项；②变错符号.三、知识运用例1、把8a3b2+12ab3c分解因式.〔解析〕先要求学生思考这个问题的最后结果应是怎样的,然后仿照教材进行分析,注意讲清确定公因式的具体步骤,从数、字母和字母的次数三个方面进行分析；分解因式完成后要分析公因式和另一个因式之间的关系,并思考:如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式?从而把提公因式的“提”的具体含义深刻化,这是提公因式法的正确性的重要保证.例2、把2a(b+c)-3(b+c)因式分解.〔解析〕可引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察,从而发现把b+c看作一个“整体”时公因式就是b+c,再用提公因式法进行分解.例3、计算:0.84×12+12×0.6-0.44×12.〔解析〕让学生观察并分析怎样计算更简单. 例3是因式分解在计算中的四、课堂练习P115 1、2、3题五、课堂小结1.因式分解(1)定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.等式特点:左边:多项式;右边:整式×整式,整式乘整式结果是多项式,而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积,我们就把这种多项式的变形叫做因式分解.(2)因式分解:pa+pb+pc=p(a+b+c).①(3)整式乘法:p(a+b+c)=pa+pb+pc.②(4)联系:都是由几个相同的整式组成的等式.(5)区别:这几个相同的整式所在的位置不同,①式是因式分解,②式是整式乘法,两者是方向相反的恒等变形,二者是一个式子的不同表现形式,一个是多项式的表现形式,一个是两个或几个因式积的表现形式.2.公因式(1)多项式pa+pb+pc中,各项都含有一个公共的因式p,因式p叫做这个多项式各项的公因式.(2)注意:公因式是每一项都含有的因式,是单项式或多项式.(3)公因式的确定方法:各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂的积.3.提公因式定义:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.由定义可知,提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式. 应用,学习例3使学生对因式分解的重要性有新的认识.布置作业P119 1题板书设计提公因式法一、新课引入三、知识运用五、课堂小结二、新课探究四、课堂练习六、作业课题：14.3因式分解第2课时教学内容公式法—平方差公式教学目标知识与技能：1.能说出平方差公式的特点.2.能比较熟练地应用平方差公式进行因式分解.过程与方法：1.在运用平方差公式进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力,用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.2.进一步体会“整体”思想,培养“换元”的意识.情感、态度与价值观：培养学生的观察、联想能力,进一步了解换元的思想方法.教学重点应用平方差公式分解因式.教学难点灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式,并理解因式分解的要求. 教学方法讲练结合.教学准备多媒体课件.教学过程设计设计意图教学过程一、新课引入1、你能叙述多项式因式分解的定义吗?2、运用提公因式法分解因式的步骤是什么?3、你能将a2-b2分解因式吗?你是如何思考的?通过复习引入新课,让学生体会知识间的必然联系,认识到了除了用提公因式法进行因式分解,还有其他的因式分解的方法.二、新课讲解1、问题1.多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用,也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.问题2.提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式,如果没有公因式,就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.问题3.对不能使用提公因式法分解因式的多项式,不能说不能进行因式分解.要将a2 -b2进行因式分解,可以发现它没有公因式,不能用提公因式法分解因式,但我们还可以发现这个多项式是两个式的平方差形式,所以用平方差公式可以写成如下形式:a2 -b2=(a+b)(a-b).这种分解因式的方法称为运用公式法.今天我们就来多项式的乘法公式的逆向应用,就是多项式的因式分解公式,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结学习利用平方差公式分解因式.观察平方差公式: a2 -b2=(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么特点?归纳总结:(1)左边是二项式,每项都是平方的形式,两项的符号相反；(2)右边是两个多项式的积,一个因式是两数的和,另一个因式是这两数的差；(3)在乘法公式中,“平方差”是计算结果,而在因式分解中,“平方差”是分解因式的多项式,由此可知如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.2、把一个多项式分解因式,一般可按下列步骤进行:(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式.(2)如果多项式的各项没有公因式(或已提取公因式),那么可尝试用公式法来分解.(3)分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.3、填空:(1)4a2=( )2；(2)b2=( )2；(3)a4=( )2；(4)121a2b2=( )2；(5)x4=( )2；(6)x4y6=( )2.三、知识运用例1、分解因式.(1) 4x2 -9；(2)(x+p)2-(x+q)2.可以通过多媒体课件演示(1)中的2x,(2)中的x+p相当于平方差公式中的a；(1)中的3,(2)中的x+q相当于平方差公式中的b,进而说明公式中的a与b可以表示一个数,也可以表示一个单项式,甚至是多项式,渗透换元思想.解:(1)4x2 -9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q).例2、分解因式.(1)x4-y4；(2)a3b-ab.〔解析〕(1)x4-y4可以写成(x2)2 -(y2)2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.但分解到(x2+y2)(x2-y2)后,部分学生不会继续分解因式,针对这种情况,可以回顾因式分解定义后,让学生理解因式分解的要求是果,由问题3学生比较容易想到前面所学的平方差公式.填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式.也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间复习,避免出现4a2=(4a)2这一类错误.必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止.(2)不能直接利用平方差公式分解因式,但通过观察可以发现a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解.注意：(1)多项式分解因式的结果要化简；(2)在化简过程中要正确应用去括号法则,并注意合并同类项；(3)分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止.四、课堂练习 P117 练习1、2题五、课堂小结1.公式:a2-b2=(a+b)(a-b).2.法则:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.3.注意:(1)左边是二项式,每项都是平方的形式,两项的符号相反;(2)右边是两个多项式的积,一个因式是两数的和,另一个因式是这两数的差;(3)在乘法公式中,“平方差”是计算结果,而在因式分解中,“平方差”是要分解因式的多项式;(4)平方差公式的使用条件:如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.布置作业P119 2题板书设计公式法—平方差公式一、新课引入三、知识运用五、课堂小结二、新课讲解四、课堂练习六、作业课题：14.3因式分解第3课时教学内容公式法—完全平方公式教学目标知识与技能：1.经历用公式法分解因式的探索过程.2.能比较熟练地运用完全平方公式分解因式.3.会用提公因式法、完全平方公式法分解因式,并能说出提公因式法在这类因式分解中的作用.过程与方法：1.通过综合运用提公因式、完全平方公式分解因式,进一步培养学生的观察和联想能力.2.通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.情感、态度与价值观：1.体验数学活动充满着探索性.2.在数学学习过程中获得成功的体验和喜悦,树立学习的自信心.教学重点用完全平方公式分解因式.教学难点灵活应用公式分解因式.教学方法讲练结合.教学准备多媒体课件.教学过程设计设计意图教学过程一、新课引入【问题】把下列各式分解因式.(1)a2 +2ab+b2;(2)a2-2ab+b2.能不能用语言叙述呢?两个数的平方和,加上(或减去)这两数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.其实就是完全平方公式的符号表示,即:a2 +2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2 =(a-b)2.把整式乘法的完全平方公式反过来写,即因式分解的完全平方公式.二、新课讲解1、下列各式是不是完全平方式?(1)a2 -4a+4； (2)x2 +4x+4y2；(3)4a2 +2ab+b2；(4)a2 -ab+b2；引导学生对比两个公式,类比平方差公式,得出用完全平方公式因式分解的方法.出示习题,并放手让学生讨论,达到熟悉公式结构特征的目(5)x2 -6x-9； (6)a2+a+0.25.[方法总结]完全平方公式的特点是左边是一个二次三项式,其中有两个数的平方和与这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数,符合这些特征,就可以化成右边的两数和(或差)的平方形式.完全平方公式适合分解三项的多项式,要掌握这一公式的形式和特点.运用公式法分解因式的关键是弄清各公式的形式和结构,选择适当的公式进行因式分解,公式中的字母可以是任何数、单项式或多项式.对照a2±2ab+b2=(a±b)2填空.1.x2+4x+4=( )2+2( )( )+( )2=( + )2.2.m2-6m+9=( )2- 2( )( )+( )2=( - )2.注意：公式中的a,b可以表示单项式甚至是多项式.三、例题讲解例1、分解因式(1)16x2+24x+9；(2)-x2+4xy-4y2.〔解析〕(1)分析:在(1)中,16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,所以16x2 +24x+9是一个完全平方式,即:16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32+ +a2+ 2·a·b+ b2(2)分析:在(2)中两个平方项前有负号,所以应考虑用添括号法则将负号提出,然后再考虑完全平方公式,因为4y2 =(2y)2,4xy=2·x·2y.所以:-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]- +a2- 2·a·b+ b2例2、分解因式(1) 3ax2 +6axy+3ay2;(2)(a+b)2 -12(a+b)+36.〔解析〕(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解；(2)中,将a+b看作一个整体,设a+b=m,则原式化为完全平方式m2 -12m+36.解:(1)3ax2 +6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2. 的.通过这几个判断题可以让学生明确只要给出的多项式符合完全平方公式的结构特征,就可以运用公式进行分解.(2)(a+b)2 -12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.可以看出,如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.四、课堂练习 P119 练习 1、2题五、课堂小结1.(a±b)2=a2±2ab+b2与a2±2ab+b2=(a±b)2都叫做完全平方公式,前者是用来进行多项式的乘法运算,后者是用来进行因式分解.2.应用a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式时要抓住公式特点:公式左边是一个二次三项式,右边是二项式的平方,当左边是两数的平方和加上这两数的积的2倍时,右边就是这两个数的和的平方的形式,当左边是两个数平方的和与这两个数积的2倍的差时,右边就是这两个数的差的平方的形式,仅一个符号不同.3.要注意平方差公式的综合应用,分解到每一个因式都不能再分解为止.对于因式分解与整式乘法的关系布置作业P119习题 3题板书设计公式法—完全平方公式一、新课引入三、例题讲解五、课堂小结二、新课讲解四、课堂练习六、作业。
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《15．4．1因式分解——提公因式法》教案
广西桂平市社步一中黄郁贞
一、教学目标
㈠、知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法。
㈡、过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观
察能力，进一步发展学生的类比思想。
（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力。
（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
㈢、情感态度与价值观：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
二、教学重点和难点
重点：因式分解的概念及提公因式法。
难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
-1)=
个整式的
五、学生学习活动评价设计
在本节教学设计中，对学生的评价方式：自评、互评、教师评价等。
通过多样化的评价方式，激励、促进学生积极参与自主学习、实验探究、讨论交流中，并学会和同伴合作的良好学习习惯。
例如：
1.个人回答问题次数：正确次数：改正人：
2.小组自评实验结论：活动1：正确、不完善、错误；
（在所属情况下面打对勾）活动2：正确、不完善、错误。
活动……
3.例题完成情况：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。
4.课堂完成情况练习：小组内互评并把同伴错误之处改正过来。
六、教学反思
㈠、教材分析
本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四节第一个内容（P165-167）。
因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。
本节主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用。
㈡、学情分析
基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。
学生的技能基础的分析：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础。
学生活动经验基础的分析：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。
㈢、上课得失
本节课引出因式分解概念，并通过与整式乘法的互逆运算让学生明确因式分解与整式乘法的区别与联系，取得了良好的教学效果。
基本能够完成教学任务，但缺乏高效的学生参与环节。
⒈、提取公因式进行因式分解关键在于正确找到公因式。
学生从中暴露的问题主要有：⑴、找不全公因式，或直接不会找公因式。
⑵、提出公因式后，不知道接下来如何去做。
我总结的原因主要有：
⑴、思想上不重视，只将它作为简单的内容来看，听起来觉着会了，做起来就不容易了。
⑵、最好结合例子说明提取公因式进行因式分解的步骤。
⑶、拿到题目先观察各项特点，再动笔写。
⒉、本课把因式分解作为培养学生逆向思维、全面思考、灵活解决矛盾的载体。
在教师的指导下，学生通过因数分解类比出因式分解，对学生进行类比的数学思想培养，由整式的乘法与因式分解的对比，对学生的逆向思维能力进行培养，也使得学生对于因式分解概念的引入不至于茫然。
在讲解例题与练习的过程中，全班同学思维活跃，踊跃的举手要求上黑板示范，并且每一步变形的依据都能够集体回答或个别举手回答正确，黑板上的演示过程也十分规范。
⒊、在整个教学教程中，学生均处于主导地位，教师只是从旁引，学生对于由自己推导出性质定理感到非常兴奋。
㈣、再教设计：在探索及运用提公因式法进行分解因式时，应该让学生多练习一些有关幂的运算中应用提公因式法（因式分解）的题目，更加容易加深学生的理解，以及拓展应用提公因式法进行因式分解。