九年级数学期末试卷培优测试卷

九年级数学期末试卷培优测试卷
一、选择题
1．要得到函数y ＝2(x －1)2＋3的图像，可以将函数y ＝2x 2的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B ．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C ．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 2．抛物线2
23y x x =++与y 轴的交点为（ ） A ．(0,2)
B ．(2,0)
C ．(0,3)
D ．(3,0)
3．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ） A ．
34
B ．
14
C ．
13
D ．
12
4．抛物线2
y 3(x 1)1=-+的顶点坐标是( ) A ．()1,1
B ．()1,1-
C ．()1,1--
D ．()1,1- 5．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ） A ．1：2
B ．1：4
C ．1：2
D ．2：1 6．方程2x x =的解是（ ） A ．x=0
B ．x=1
C ．x=0或x=1
D ．x=0或x=-1
7．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．（﹣1，2）
B ．（﹣1，﹣2）
C ．（1，﹣2）
D ．（1，2）
8．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2
(1)y x k =-++上的三点，则1y ，
2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．231y y y >>
D ．312y y y >>
10．二次函数y =()2
1x ++2的顶点是( ) A ．(1，2)
B ．(1，−2)
C ．(−1，2)
D ．(−1，−2)
11．小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为（ ） A ．12.36cm
B ．13.6cm
C ．32.386cm
D ．7.64cm
12．已知抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ） A ．2
3(1)
3y x =--+ B ．23(1)3y x =-+ C ．23(1)3y x =+-
D ．23(1)3y x =-++
二、填空题
13．已知扇形半径为5cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm ．
14．已知小明身高1.8m ，在某一时刻测得他站立在阳光下的影长为0.6m .若当他把手臂竖直举起时，测得影长为0.78m ，则小明举起的手臂超出头顶______m .
15．将边长分别为2cm ，3cm ，4cm 的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为______2cm .
16．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为____．
17．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 是AB 边上一点（不与A 、B 重合），若过点D 的直线截得的三角形与△ABC 相似，并且平分△ABC 的周长，则AD 的长为____．
18．如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在圆O 上，若23AB =cm ，圆O 的半径为
2cm ，则阴影部分的面积是__________2cm ．（结果保留根号和π）
19．如图，
O 半径为2，正方形ABCD 内接于O ，点E 在ADC 上运动，连接
BE ，作AF ⊥BE ，垂足为F ，连接CF .则CF 长的最小值为________.
20．若m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的解，则代数式4m-2m 2+2的值是______．
21．在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____． 22．一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是_____．
23．已知
234x y z x z y
+===，则_______ 24．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝5cm ，AD ＝3cm ，BC ＝2cm ，P 是AB 上一点，若以P 、A 、D 为顶点的三角形与△PBC 相似，则PA ＝_____cm ．
三、解答题
25．某校为了丰富学生课余生活，计划开设以下社团：A ．足球、B ．机器人、C ．航模、D ．绘画，学校要求每人只能参加一个社团小丽和小亮准备随机报名一个项目. （1）求小亮选择“机器人”社团的概率为______；
（2）请用树状图或列表法求两人至少有一人参加“航模”社团的概率.
26．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点F 是AD 上一点，连接AF 交CD 的延长线于点E ．
（1）求证：△AFC ∽△ACE ；
（2）若AC ＝5，DC ＝6，当点F 为AD 的中点时，求AF 的值．
27．（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在ABC 中，
,90AB AC BAC ∠==,D 是ABC 外一点，且AD AC =,求BDC ∠的度数.若以点A
为圆心，AB 为半径作辅助
A ，则C 、D 必在
A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而
BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=________.
（2）（问题解决）如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=,25BDC ∠=,求BAC ∠的度数.
（3）（问题拓展）如图3，,E F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =.连接交于点，连接CF 交BD 于点G ,连接BE 交于点H ,若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_______.
28．如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，OD=3cm ，开始的时候BD=1cm ，现在三角板以2cm/s 的速度向右移动．
（1）当点B 于点O 重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）三角板继续向右运动，当B 点和E 点重合时，AC 与半圆相切于点F ，连接EF ，如图2所示．
①求证：EF 平分∠AEC ； ②求EF 的长．
29．在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，E 是射线DC 上的点，连接AE ，将ADE ∆沿直线AE 翻折得AFE ∆．
（1）如图①，点F 恰好在BC 上，求证：ABF ∆∽FCE ∆；
（2）如图②，点F 在矩形ABCD 内，连接CF ，若1DE =，求EFC ∆的面积； （3）若以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则DE 的长为 ． 30．如图，转盘A 中的6个扇形的面积相等，转盘B 中的3个扇形的面积相等．分别任意
转动转盘A 、B 各1次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．
（1）用表格列出这样的点所有可能的坐标；
（2）求这些点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上的概率．
31．如图，已知一次函数3y x =-+分别交x 、y 轴于A 、B 两点，抛物线
2y x bx c =-++经过A 、B 两点，与x 轴的另一交点为C ．
（1）求b 、c 的值及点C 的坐标；
（2）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，过P 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，交线段AB 于点E ．设运动时间为(0)t t >秒． ①当t 为何值时，线段DE 长度最大，最大值是多少？（如图1）
②过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，连结BD ，若BOC 与BDF 相似，求t 的值（如图2）
⊥于点,A B是OA上一点，O是以O为圆心，OB为半径的圆．C是32．如图，OA l
O上的点，连结CB并延长，交l于点D，且AC AD
=．
（1）求证：AC是O的切线（证明过程中如可用数字表示的角，建议在图中用数字标注后用数字表示）；
BC=，求线段AC的长．
（2）若O的半径为5，6
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【详解】
解：∵y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y＝2(x－1)2＋3故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
令x=0，则y=3，抛物线与y轴的交点为（0，3）．
【详解】
解：令x=0，则y=3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，3），
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
试题解析：可能出现的结果
的结果有1种，
则所求概率
1
.
4 P
故选B.
点睛：求概率可以用列表法或者画树状图的方法.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
已知抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
∵抛物线y =3（x ﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）． 故选A ． 【点睛】
本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】
解：∵两个相似三角形的周长比是1：2， ∴它们的面积比是：1：4． 故选：B ． 【点睛】
本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据因式分解法，可得答案． 【详解】 解：2x x =， 方程整理，得，x 2-x=0 因式分解得，x （x-1）=0， 于是，得，x=0或x-1=0， 解得x 1=0，x 2=1， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据顶点式2
()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.
【详解】
∵顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），
∴抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（1，2）． 故选D ．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【详解】
x=0时，两个函数的函数值y=b ，
所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误； 由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a ＞0，
所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限， 所以，A 选项错误，C 选项正确． 故选C ．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据二次函数的性质得到抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】
解：∵抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，而
A （2，y 1）离直线x =﹣1的距离最远，C （﹣2，y 3）点离直线x =1最近，∴123y y y >>． 故选A ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
因为顶点式y=a （x-h ）2+k ，其顶点坐标是（h ，k ），即可求出y=()2
1x ++2的顶点坐标． 【详解】
解：∵二次函数y=()2
1x ++2是顶点式， ∴顶点坐标为：(−1，2)；
【点睛】
此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm ，
∴书的宽约为20×0.618＝12.36cm ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了黄金比例的应用，掌握黄金比例的比值是解题的关键．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
先根据抛物线与二次函数2
3y x =-的图像相同，开口方向相同，确定出二次项系数a 的值，然后再通过顶点坐标即可得出抛物线的表达式．
【详解】
∵抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同， 3a ∴=-
∵顶点坐标为(1,3)-
∴抛物线的表达式为2
3(1)3y x =-++
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查抛物线的顶点式，掌握二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． 二、填空题
13．【解析】
【分析】
直接利用弧长公式进行计算．
【详解】
解：由题意得：=,
故答案是：
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 解析：53
π 【解析】
【分析】 直接利用弧长公式180n R l π=
进行计算． 【详解】 解：由题意得：605180l π==53
π, 故答案是：
53π 【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 14．54
【解析】
【分析】
在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解.
【详解】
解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得，
，
解得x=0.54
即举起的手臂超出头顶0.54m
解析：54
【解析】
【分析】
在同一时刻，物体的高度和影长成比例，根据此规律列方程求解.
【详解】
解：设小明举起的手臂超出头顶xm,根据题意得，
1.8 1.80.60.78
x ， 解得x=0.54
即举起的手臂超出头顶0.54m.
故答案为：0.54.
【点睛】
本题考查同一时刻物体的高度和影长成比例的投影规律，根据规律列比例式求解是解答此题的关键.，
15．【解析】
【分析】
首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL的面积减去梯形BENK的面积，再利用相似三角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.
【详解】
解：如
解析：13 3
【解析】
【分析】
首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL的面积减去梯形BENK的面积，再利用相似三角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.
【详解】
解：如图所示，
∵四边形MEGH为正方形，
∴NE GH
∴△AEN~△AHG
∴NE:GH=AE:AG
∵AE=2+3=5，AG=2+3+4=9,GH=4
∴NE:4=5:9
∴NE=20 9
同理可求BK=8 9
梯形BENK的面积：120814
3 2993⎛⎫
⨯+⨯=
⎪
⎝⎭
∴阴影部分的面积：
1413 33
33⨯-=
故答案为：13 3
.
本题主要考查的知识点是图形面积的计算以及相似三角形判定及其性质，根据相似的性质求出相应的边长是解答本题的关键.
16．【解析】
【分析】
用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．
【详解】
解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，
所以指针落在红色区域内的概率是=，
故答案为.
【
解析：2 3
【解析】
【分析】
用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．【详解】
解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，
所以指针落在红色区域内的概率是360120
360
=
2
3
，
故答案为2 3 .
【点睛】
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
17．、、
【解析】
【分析】
根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
【详解】
解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝
解析：8
3
、
10
3
、
5
4
【解析】
根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
【详解】
解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝3，∴AB=22
34
+=5
设AD=x，BD=5-x，
∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，
分四种情况讨论：
①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x
∴BE BD
BC AB
=，即：
51
53
x x
-+
=，
解得x=5
4
，
②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x
∴BD BE
BC AB
=，即：
51
35
x x
-+
=，
解得：x=11 4
，
BE=15
4
>BC，不符合题意.
③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x
∴AD AE
AB AC
=，即
6
54
x x
-
=，
解得：x=10
3
，
④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x
∴AD AE
AC AB
=，即：
6
45
x x
-
=，
解得：x=8
3
，
综上：AD的长为8
3
、
10
3
、
5
4
.
【点睛】
本题考查的相似三角形的判定和性质，根据不同的相似模型分情况讨论，根据不同的线段比例关系求解.
18．【解析】
【分析】
设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE，根据90°的圆周角对应的弦是直径，可得AF为圆的直径，从而求出AF，然后根据锐角三角函数和勾股定理，即可求
解析：
4 1233
3
π-
【解析】
【分析】
设AD和BC分别与圆交于点E和F，连接AF、OE，过点O作OG⊥AE，根据90°的圆周角对应的弦是直径，可得AF为圆O的直径，从而求出AF，然后根据锐角三角函数和勾股定理，即可求出∠AFB和BF，然后根据平行线的性质、锐角三角函数和圆周角定理，即可求出OG、AG和∠EOF，最后利用S阴影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF计算即可．
【详解】
解：设AD 和BC 分别与圆交于点E 和F ，连接AF 、OE ，过点O 作OG ⊥AE
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠ABF=90°，AD ∥BC ，BC=CD=AD=23AB =
∴AF 为圆O 的直径
∵23AB =cm ，圆O 的半径为2cm ，
∴AF=4cm
在Rt △ABF 中sin ∠AFB=3AB AF ，BF=222AF AB -= ∴∠AFB=60°，FC=BC －BF=()232cm
∴∠EAF=∠AFB=60°
∴∠EOF=2∠EAF=120°
在Rt △AOG 中，OG=sin ∠EAF ·3cm ，AG= cos ∠EAF ·AO=1cm
根据垂径定理，AE=2AG=2cm
∴S 阴影=S 梯形AFCD －S △AOE －S 扇形EOF
=()2
1112022360
OE CD FC AD AE OG π•+-•- =()
2
11120223232232322360π•⨯+-⨯ =2412333cm π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
故答案为：412333
π-． 【点睛】 此题考查的是求不规则图形的面积，掌握正方形的性质、90°的圆周角对应的弦是直径、垂径定理、勾股定理和锐角三角函数的结合和扇形的面积公式是解决此题的关键．
19．【解析】
【分析】
先求得正方形的边长，取AB 的中点G ，连接GF ，CG ，当点C 、F 、G 在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF 有最小值，此时即可求得这个值.
【详解】
如图，连接OA 、OD ，取
51
【解析】 【分析】 先求得正方形的边长，取AB 的中点G ，连接GF ，CG ，当点C 、F 、G 在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF 有最小值，此时即可求得这个值. 【详解】
如图，连接OA 、OD ，取AB 的中点G ，连接GF ，CG ，
∵ABCD 是圆内接正方形，2OA OD ==
， ∴90AOD ∠=︒，
∴()222222AD OA OD =+=
=， ∵AF ⊥BE ，
∴90AFB ∠=︒，
∴112
GF AB ==， 2222125CG BG BC =+=+=，
当点C 、F 、G 在同一直线上时，CF 有最小值，如下图：
51，
51．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF 的最小值是解决本题的关键．
20．-4
【解析】
【分析】
先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提
取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．
【详解】
解：∵m是关于x的方程x2
解析：-4
【解析】
【分析】
先由方程的解的含义，得出m2-2m-3=0，变形得m2-2m=3，再将要求的代数式提取公因式-2，然后将m2-2m=3代入，计算即可．
【详解】
解：∵m是关于x的方程x2-2x-3=0的解，
∴m2-2m-3=0，
∴m2-2m=3，
∴4m-2m2+2
= -2（m2-2m）+2
= -2×3+2
= -4．
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．
21．5
【解析】
【分析】
根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．
【详解】
由勾股定理得：AB＝＝10，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是10；
∴这
解析：5
【解析】
【分析】
根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．
【详解】
由勾股定理得：AB＝10，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是10；
∴这个三角形的外接圆半径长为5，
故答案为5．
【点睛】
本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握是解题的关键. 22．【解析】
【分析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．【详解】
在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是2，
故答案为：2．
【点睛
解析：【解析】
【分析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】
在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查的是求一组数据的众数，掌握众数的定义是解决此题的关键．23．2
【解析】
【分析】
设，分别用k表示x、y、z，然后代入计算，即可得到答案. 【详解】
解：根据题意，设，
∴，，，
∴；
故答案为：2. 【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的
解析：2 【解析】 【分析】 设
234
x y z
k ===，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案. 【详解】 解：根据题意，设
234
x y z
k ===， ∴2x k =，3y k =，4z k =，
∴2423x z k k
y k
++==； 故答案为：2. 【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，正确用k 来表示x 、y 、z.
24．2或3 【解析】 【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可． 【详解】
解：设AP ＝xcm ．则
解析：2或3 【解析】 【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可． 【详解】
解：设AP ＝xcm ．则BP ＝AB ﹣AP ＝(5﹣x )cm
以A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似， ①当AD ：PB ＝PA ：BC 时，
352
x x =-， 解得x ＝2或3．
②当AD：BC＝PA+PB时，3
=
25
x
x
，解得x＝3，
∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或3．故答案为2或3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．三、解答题
25．（1）1
4
；（2）
7
16
；
【解析】
【分析】
（1）属于求简单事件的概率，根据概率公式计算可得；
（2）用列表格法列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得.
【详解】
解：（1）小亮随机报名一个项目共有4种等可能结果，分别为A.足球、B.机器人、C.航模、D.绘画，其中选择“机器人”的有1种，为B.机器人，所以选择“机器人”的概率为
P=1 4 .
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如图：
从表格可以看出，总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中至少有一人参加“航模”社团有7种，分别为(A,C),(B,C),(C,A), (C,B),(C,C), (C,D),(D,C),所以两人至少有一人参加
“航模”社团的概率P=
7 16
.
【点睛】
本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率,用表格或树状图表示总结果数是解答此类问题的关键.
26．（1）见解析；（2
5
【解析】
【分析】
（1）根据条件得出AD＝AC，推出∠AFC＝∠ACD，结合公共角得出三角形相似；（2）根据已知条件证明△ACF≌△DEF，得出AC＝DE，利用勾股定理计算出AE的长度，
再根据（1）中△AFC∽△ACE，得出AF
AC
＝
AC
AE
，从而计算出AF的长度.
【详解】
（1）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径
∴AD＝AC
∴∠AFC＝∠ACD．
∵在△ACF和△AEC中，∠AFC＝∠ACD，∠CAF＝∠EAC
∴△AFC ∽△ACE
（2）∵四边形ACDF内接于⊙O
∴∠AFD＋∠ACD＝180°
∵∠AFD＋∠DFE＝180°
∴∠DFE＝∠ACD
∵∠AFC＝∠ACD
∴∠AFC＝∠DFE．
∵△AFC∽△ACE
∴∠ACF＝∠DEF．
∵F为AC的中点
∴AF＝DF．
∵在△ACF和△DEF中，∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，AF＝DF ∴△ACF≌△DEF．
∴AC＝DE＝5．
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径
∴CH＝DH＝3．
∴EH＝8
在Rt△AHC中，AH2＝AC2－CH2＝16，
在Rt△AHE中，AE2＝AH2＋EH2＝80，∴AE＝
∵△AFC∽△ACE
∴AF
AC
＝
AC
AE
，即
5
AF
，
∴AF
【点睛】
本题属于圆与相似三角形的综合，涉及了圆内接四边形的性质，勾股定理，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定定理等，解题的关键是灵活运用所学知识，正确寻找全等三角形.
27．（1）45；（2）25°；（3）51
【解析】
【分析】
（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半可得OH＝1
2
AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角
形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．【详解】
（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝1
2
∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°；
（3）在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，
AB CD
BAD CDA
AE DF
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
AD CD
ADG CDG
DG DG
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1＋∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°−90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝
1
2
AB＝1，
在Rt△AOD中，OD2222
125
AO AD
++=
根据三角形的三边关系，OH＋DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD−OH5．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
28．（1）2s（2）①证明见解析，②33
√
【解析】
试题分析：（1）由当点B于点O重合的时候，BO=OD+BD=4cm，又由三角板以2cm/s的速度向右移动，即可求得三角板运动的时间；
（2）①连接OF，由AC与半圆相切于点F，易得OF⊥AC，然后由∠ACB=90°，易得
OF∥CE，继而证得EF平分∠AEC；②由△AFO是直角三角形，∠BAC=30°，OF=OD=3cm，可求得AF的长，由EF平分∠AEC，易证得△AFE是等腰三角形，且AF=EF，则可求得答案．
试题解析：(1)∵当点B 于点O 重合的时候，BO=OD+BD=4cm ， ∴t=42=2(s)；
∴三角板运动的时间为：2s ；
(2)①证明：连接O 与切点F ，则OF ⊥AC ，
∵∠ACE=90°， ∴EC ⊥AC ， ∴OF ∥CE ， ∴∠OFE=∠CEF ， ∵OF=OE ， ∴∠OFE=∠OEF ， ∴∠OEF=∠CEF ， 即EF 平分∠AEC ； ②由①知：OF ⊥AC ， ∴△AFO 是直角三角形， ∵∠BAC=30°，OF=OD=3cm ， ∴tan30°=3AF ， ∴3， 由①知：EF 平分∠AEC ， ∴∠AEF=∠CEF=
1
2
∠AEC=30°， ∴∠AEF=∠EAF ，
∴△AFE 是等腰三角形，且AF=EF ， ∴3
29．（1）见解析；（2）EFC ∆的面积为513；（3）53、5、155(345)-【解析】 【分析】
（1）先说明∠CEF=∠AFB 和90B C ∠=∠=，即可证明ABF ∆∽FCE ∆；
（2）过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠=；再结合矩形的性质，证得△FGE ∽△AHF ，得到AH=5GF ；然后运用勾股定理求得GF 的长，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（3）分点E 在线段CD 上和DC 的延长线上两种情况，然后分别再利用勾股定进行解答即可．
【详解】
（1）解：∵矩形ABCD 中， ∴90B C D ∠=∠=∠= 由折叠可得90D EFA ∠=∠= ∵90EFA C ∠=∠=
∴90CEF CFE CFE AFB ∠+∠=∠+∠= ∴CEF AFB ∠=∠ 在ABF ∆和FCE ∆中
∵AFB CEF ∠=∠，90B C ∠=∠= ∴ABF ∆∽FCE ∆
（2）解：过点F 作FG DC ⊥交DC 与点G ，交AB 于点H ，则90EGF AHF ∠=∠= ∵矩形ABCD 中， ∴90D ∠=
由折叠可得：90D EFA ∠=∠=，1DE EF ==，5AD AF == ∵90EGF EFA ∠=∠=
∴90GEF GFE AFH GFE ∠+∠=∠+∠= ∴GEF AFH ∠=∠ 在FGE ∆和AHF ∆中
∵,90GEF AFH EGF FHA ∠=∠∠=∠= ∴FGE ∆∽AHF ∆
∴
EF GF
FA AH = ∴15GF AH = ∴5AH GF =
在Rt AHF ∆中，90AHF ∠= ∵222AH FH AF += ∴222(5)(5)5GF GF +-= ∴513
GF =
∴EFC ∆的面积为
155221313
⨯⨯= （3）设DE=x ，以点E 、F 、C 为顶点的三角形是直角三角形，则： ①当点E 在线段CD 上时，∠DAE<45°，
∴∠AED>45°，由折叠性质得：∠AEF=∠AED>45°， ∴∠DEF=∠AED+∠AEF>90°， ∴∠CEF<90°，
∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，
a,当∠EFC=90°时，如图所示:
由折叠性质可知，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°，
∴点A，F，C在同一条线上，即：点F在矩形的对角线AC上，在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，根据勾股定理得，AC=34，由折叠可知知，EF=DE=x，AF=AD=5，
∴CF=AC-AF=34-5，
在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，
∴x2+（34-5）2=（3-x）2，解得x=5(345)
3
-
即：DE=
5(345)
3
-
b,当∠ECF=90°时，如图所示: 点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，22
AF AB
-，
∴CF=BC-BF=1，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
（3-x）2+12=x2,解得x=5
3
,即：DE=
5
3
；
②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，∴∠CFE<90°，
∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，
a、当∠CEF=90°时，如图所示
由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，
∴四边形AFED是正方形，
∴DE=AF=5；
b、当∠ECF=90°时，如图所示:
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴点F在CB的延长线上，
∴∠ABF=90°，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，22
AF AB
，
∴CF=BC+BF=9，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴（x-3）2+92=x2，解得x=15，即DE=15，
故答案为
5)3
-、5
3、5、15． 【点睛】
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键． 30．（1）见解析；（2）19
【解析】 【分析】
（1）根据题意列表，展示出所有等可能的坐标结果；
（2）由（1）可求得点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上的结果数，再根据概率公式计算即可解答． 【详解】
（1）根据题意列表如下：
（2）由上表可知，点（1，2）、（4，2）都在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上， 所以P （这些点落在二次函数y ＝x 2﹣5x +6的图象上）＝2
18＝19
． 【点睛】
本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是不重复不遗漏地列出所有等可能的结果．
31．（1）2，3，()1,0-；（2）①32t =
时，DE 长度最大，最大值为94
；②3
2t =或5
2
t =
【解析】 【分析】
（1）先求得坐标(3,0),(0,3)A B ，把(3,0),(0,3)A B 代入2
y x bx c =-++中，利用待定
系数法求得系数得出解析式，进一步求解C 点坐标即可；
（2）①由题知()2(,0),,23P t D t t t -++、(,3)E t t -+;()
223(3)DE t t t =-++--+将函数化为顶点式，即可得到最大值．）②将BF 、DF 用含有t 的代数式表示，分类讨论当BDF CBO △∽△相似，则BF OC DF OB =
)231t t -=,求得t ，当BDF BCO △∽△
相似，则BF OB DF OC =
)231t t -=,求得t 即可． 【详解】
解：（1）在3y x =-+中令0x =,得3y =，令0y =,得3x =，
∴(3,0),(0,3)A B ，把(3,0),(0,3)A B 代入2y x bx c =-++中，得：93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩
，解得23b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，
∴C 点坐标为()1,0-；
（2）①由题知()2(,0),,23P t D t t t -++、(,3)E t t -+；
∴()223(3)DE t t t =-++--+23t t =-+23
9()24
t =--+ ∴当32t =时，DE 长度最大，最大值为94
． ②∵()()3,0,0,3A B ，
∴OA OB =，
∴45BAO ∠=︒，
在Rt
PAE 中，45PAE ∠
=︒，)AE t ==-；在Rt DEF
△中，45DEF ∠=
︒，2(3)22
DF EF DE t
t ===-；
∴))22)322
BF AB AE EF t t t t t =--=---=- 若BDF CBO △∽△
相似，则BF OC DF OB =
)231t t -=，
解得：0t =（舍去），32t =； 若BDF
BCO △∽△相似，则BF OB DF OC =，即：()()222321232
t t t t -=-,解得：0t =（舍去），52t =；综上，32t =或52
t =时，BOC 与BDF 相似． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合运用以及相似三角形性质．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．
32．（1）见解析；（2）1207AC =
【解析】
【分析】
(1)如图连结OC ，先证得4390∠+∠=︒，即可得到OC AC ∴⊥，即可得到AC 是O 的切线；
(2)由(1)知：过O 作OE BC ⊥于E ，先证明OBE DBA ∆∆∽得到34AB BE AD OE ==，设3,4AB x AD x AC ===,在Rt OAC ∆中，222OC AC OA +=，即：
2225(4)(53)x x +=+解出方程即可求得答案．
【详解】
证明：(1)如图，
连结OC ，则OB OC =，
∴23∠∠=，
∵12∠=∠，
∴13∠=∠，
∵AC AD =，∴4D ∠=∠，而OA l ⊥，
∴190D ∠+∠=︒，
即有4390∠+∠=︒，
∴OC AC ⊥，故AC 是O 的切线；
(2)由(1)知：过O 作OE BC ⊥于E ，∵OB OC =, ∴23∠∠=，
13,2
BE BC ==而5OB =，由勾股定理，得：4OE =， 在OBE △和DBA 中，
∵12∠=∠，90OEB DAB ∠=∠=︒，
∴OBE DBA ∆∆∽，
∴
34
AB BE AD OE ==， 设3,4AB x AD x AC ===， 在Rt OAC ∆中，222OC AC OA +=，即：222
5(4)(53)x x +=+ 解得：30,07
x x =
=（舍去）， ∴1207
AC =． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的应用和切线的性质定理，勾股定理应用，是综合性题目．。