第6章 最优控制

边界条件为：
x1(0) 1 ，x2 (0) 1 ，x1(2) 0，x2 (2) 0
引进乘子： (t ) 1 (t ) 2 (t )T 构造一个新的函数：
1 2 1 x2 ) 2 ( x 2 u ) F F f u 1 ( x 2
* T
y ( x 3)2
求当 x 取何值时， y 有极小值。这一问题的解答结果是一个数值， y 即当 x 时， 有极小值 0。 3 在最优控制中，目标函数J是 u 的函数，而 u 又是时间t的 函数。所以和上述问题不同，最优控制的解答结果是一个函数而 不是一个数值。例如
u u* (t ) 2t 2
*
1 3 7 2 x1 (t ) t t t 1, 2 4 3 2 7 x2 (t ) t t 1 2 2
0
T
在前面求极值的过程中，认为 xi 的取值是不受任何约束的。但 实际中， xi 不可能任意取值，其取值范围往往受到一定的限制
和约束，最常见的约束条件就是状态方程，其一般形式可写为：
, X , u, t ) 0 f (X
问题。
②
在条件②的约束下求①式的极值曲线的过程就称为求解条件极值
6.2.5 条件极值
解出 的表达式。
F * d F * 0 X dt X F * d F * 0 u dt u
解出 u 的表达式。
例题： 约束条件为： 初始条件为：
1 2 2 J Q (t )dt 2 0
(t ) u(t ) Q
(0) 1 (2) 0 Q(0) 1 ，Q ，Q(2) 0，Q
h ，垂直速度为 v ，月球
(说明：飞船的总质量包括飞船自身的质量 M 和燃料的质 量 F ，飞船自身的质量是不变的，但燃料的质量是要发生变化 的，所以总质量 m也是时间的函数。 m 反映了燃料质量的变化
率，即单位时间内消耗的燃料，这一消耗又和推力 u 是成正比的， 即单位时间内用的燃料越多，飞船的推力就越大。
Q
角速度 Q
是和转矩有关的性能指标。根据初始条件可知，目前电机的状态是轴线偏离 平衡位置的角位移为1，且角速度为1，要求在2s内通过控制u(t )使得电机回
到平衡位置，且回到平衡位置时角速度为0，并使性能指标J取极值。
解： 约束条件并非是标准的状态方程，将其变为标准的状态方程： (t ) u(t ) (0) 1 (2) 0 Q Q(0) 1 ，Q ，Q(2) 0，Q
1 (t ) x2 (t ) 0 x 2 (t ) u (t ) 0 x
根据边界条件：
x1(0) 1 ，x2 (0) 1 ，x1(2) 0，x2 (2) 0
可解出各待定系数为：
7 a1 3，a2 ，a 3 1，a4 1 2
解：
u a1t a2
t0
最优控制问题的描述一般如下： 在容许控制（2）中，选择控制 u (t ) ，在 [t0，T ] 时 间段内，将系统的状态由 x0 转移到目标集 S 上，并使 性能指标 J 有极值（极大值或极小值）。满足上述条 件的控制就称为最优控制。
6.1.3 J的极值求解方法的特点
在数学中求极值时，很多时候是这样的问题：
X
t 0
X 0，X
t T
XT
若终端条件受约束，则横截条件为：
T F F ( X ) 0 X t T
式中：
1 (t ) 2 (t ) n (t )
T
6.2.5 条件极值(加入状态方程）
设泛函为：
1, x 2 ,, x n , x1, x2 ,, xn , t )dt ① J F (x
目标函数（性能指标）： J
)dt m(0) m(T ) 0 (m
T
u
(t=0)
状态方程： (约束条件)
v h
v
（高度的导数=速度）
u g （速度的导数=加速度） v h m Ku （推力和燃料消耗率成正比） m
mg
初始状态： h(0) h0，v(0) v0，m(0) M F
x(T t )
轨线1
x(T )
t
此时终端不仅状态可变、终端的时间也是可变的。 此时终端条件变为：
F x ) F ( 0 t T x
例题：求 x(0)=1 到直线 x(t)=2-t 的距离最短的直线：
解：目标函数为：
积分上限是可变的
x (t )
J
0 1
0 1 2
u 2 0
u 2
由此可解出： 1 a1，2 a1t a2，u a1t a2
解出 的目的关键在于解出 u 的表达式。
解： 代入状态方程，有：
u a1t a2
1 3 1 x1 (t ) a1t a2t 2 a3t a4 6 2 1 2 x2 (t ) a1t a2t a3 2
解：
欧拉方程为：
1 2 1 x2 ) 2 ( x 2 u ) F F f u 1 ( x 2
* T
F * d F * 0 X dt X F * d F * 0 u dt u
F * d F * 0 1 x1 dt x F * d F * 0 2 x2 dt x
刻 T 不固定，终端状态 x(T ) 也不固定，但又必须满足
x(T ) (T )这一约束条件时，终端条件变为横截条件，
即：
F x ) 0 F ( t T x
6.2.4 多元泛函的极值问题
设泛函为：
1, x 2 ,, x n , x1, x2 ,, xn , t )dt J F (x
请思考：如何计算泛函的极值。
6.2.2 欧拉方程（J+固定初始和终端状态）
, x, t ) dt ，x(t ) 为泛函 J 的宗量。设 x(t ) 设泛函为 J F ( x t0 两端固定，即 x(t0 ) x0 , x(T ) x1 ，求 x(t ) 使 J 有极值。
可以证明，若泛函有极值，则极值函数必满足欧拉方程，即
时J取极值。J可以看成是函数的函数（泛函），求J的极值的过 程就是求泛函极值的过程。
6.2 求解最优控制的变分法问题
6.2.1 泛函和变分法基础
A、B两点之间任一连线的弧长为：
A
x(t )
B
S
1
1
2 dt 1 x
-1 1
t
S是以 x(t ) 为宗量的泛函。很明显，弧长S 的最小值和 x(t ) 取什么函数有关。此时，求 S的极值问题就是求泛函的极值问题。
d x 2 dt 1 x Baidu Nhomakorabea0
d F 0 dt x
2 d 1 x 0 dt x
a x
x at b
x 2 1 x
c
可见，当 x(t ) 取直线的时候，泛函有极小值。系数a、b通过边界
条件即A、B两点的坐标值求得。
T
F d F 0 x dt x
这是一个微分方程，其解中含有待定系数，通过给出的边界条件
来待定。
x(t0 ) x0 , x(T ) x1
S
解：
1
1
2 dt 1 x
A
x(t )
6 4 1
B
2 F 1 x
当S取极值的时候，F必满足欧拉方程： -1
t
F d F 0 x dt x
求最优控制 u (t ) 使得泛函J取极值。
此题的实际意义：
*
转矩 u (t )
u(t ) 的物理意义是电机的转矩， Q 表示电机 表示电机的角速度， 偏离平衡位置的角位移， Q 1 2 2 1 2 2 Q 表示电机的角加速度。J 0 Q (t )dt 0 u (t )dt 2 2
C
T
t
x
C 1 C 2
a
x at b
a, b待定
横截条件: 始端：x(0) 1
x (t )
b 1
F 终端： F (t ) x(t ) 0 t T x(0) 1 x x 2 1 x (1 x ) 0 2 t T 1 x
若
, X , t )dt J F(X
约束条件为：
0
T
X (t0 ) X 0 , X (T ) X1
, X , u, t ) 0 将u 代入状态方程解出X (t ) ， f (X
构造一个新的函数：
并根据初始条件待定系数。
F * F T f
欧拉方程变为：
1(t ), 2 (t ),n (t )T
(t ) 取：x1(t ) Q(t )，x2 (t ) Q
有：
1 (t ) x2 (t ) x 2 (t ) u (t ) x
1 (t ) x2 (t ) 0 x 2 (t ) u (t ) 0 x
1(t ) x2 (t ) x f x ( t ) u ( t ) 2
0
T
若泛函有极值，则必满足欧拉方程：
F d F 0 i xi dt x
为方便，写成矩阵形式：
(i 1,2,..., n)
F d F 0 X dt X
X x1 x2
x3 xn T
6.2.4 多元泛函的极值问题
若始端和终端状态固定，则边界条件为：
T
0
) dt (1 x
2
x(t ) 2 t
x(0) 1
其中：F (1 x 2)
T
t
由欧拉方程有
x (t )
2) F (1 x
d 0 dt 1 x
x
F d F 0 x dt x
x(0) 1
x(t ) 2 t
x 1 x
1 2 x2 (t ) a1t a2t a3 2
1 3 1 x1 (t ) a1t a2t 2 a3t a4 6 2
7 ，a4 1 代入各表达式中，可得 将：a1 3，a2 ，a 3 1 2
最优控制：
u (t ) 3t 7 / 2
最优轨线：
终端约束：h(T ) 0，v(T ) 0
控制约束： 0 u umax 控制要求：如何选择 u 才能使得目标函数J具有最小值？
6.1.2 最优控制问题的问题描述
f ( x, u, t )，x t t0 x0 （1）状态方程： x （2）容许控制：u U S x(T ) | ( x(T ),T ) 0 （3）目标集（终端约束）： （4）性能指标： T J ( x(T ), T ) L( x (t ), u (t ), t )dt
第六章 最优控制
——泛函及变分法 ——最小值原理
6.1 最优控制问题及其描述
6.1.1 最优控制问题的例子
飞船软着陆问题
宇宙飞船在月球表面上着陆时垂直速度必须为零，即软着陆。 这个问题必须靠控制发动机推力的变化来实现。问题是如何选择 一个推力方案，使燃料消耗最小。
设飞船的总质量为 m ，高度为 的重力加速度为 g ，推力为 u 。
x(t ) 2 t
T
t
t T 1 x
a 1
所以最优轨线为：x * (t ) t 1 终端时间为： T 0.5s
小结2
若始端和终端状态是固定的，即
x(t0 ) x0 , x(T ) x1
则这两个条件分别称为始端条件和终端条件，统称边界 条件，用于待定系数。
在实际中，有时终端的状态是可变的，即终端时
小结1
给出性能指标泛函（目标函数）
, x, t )dt J F (x
t0 T
后，若要求泛函 J 的极值，则应通过欧拉方程求解最 优控制轨线 x* (t )的表达式，然后通过边界条件待定系数。
欧拉方程用于解极值点 边界条件用于待定系数
6.2.3 横截条件（终端受限制）
x
轨线2
(t )