实数典型例题(培优)

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实数典型问题精析(培优)

例1.(2009的相反数是( )

A .

B

C .2-

D .2

分析:本题考查实数的概念――相反数,要注意相反数与倒数的区别,实数a 的相反数是-a ,选A .要谨防将相反数误认为倒数,错选D.

例2.(2009年江苏省中考题)下面是按一定规律排列的一列数:

第1个数:11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭;第2个数:2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

; 第3个数:234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

; ……第n 个数:232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

. 那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是(A ) A .第10个数 B .第11个数 C .第12个数 D .第13个数 解析:许多考生对本题不选或乱选,究其原因是被复杂的运算式子吓住了,不善于从复杂的式子中寻找出规律,应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了,但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的,费时费力,影响了后面试题的解答,造成了隐性失分.本题貌似复杂,其实只要认真观察,就会发现,从第二个数开始,减数中的因数是成对增加的,且增加的每一对数都是互为倒数,所以这些数的减数都是21,只要比较被减数即可,即比较14

1131121111、、、的大小,答案一目了然. 例3(荆门市)定义a ※b =a 2-b ,则(1※2)※3=___.

解 因为a ※b =a 2-b ,所以(1※2)※3=(12-2)※3=(-1)※3=(-1)2-3=-2.故应填上-2. 说明:求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义,注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系,及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号.

例4(河北省)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…,这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16、…,这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的是( )

A.13=3+10

B.25=9+16

C.36=15+21

D.49=18+31

4=1+3 9=3+6

16=6+10 …

解 因为15和21是相邻的两个“三角形数”,且和又是36,刚好符合“正方形数”,所以36=15+21符合题意,故应选C .(说明 本题容易错选B ,事实上,25虽然是“正方形数”,而9和16也是“正方形数”,并不是两个相邻“三角形数”).

例5.(2009

2()x y =+,则x -y 的值为( )

A .-1

B .1

C .2

D .3

分析:因为x-1≥0,1-x ≥0,所以x ≥1,x ≤1,即x =1.

2()x y =+,有1+y =0,所以y =-1,x -y =1-(1)=2.

例6.(2009年宜宾市中考题)已知数据:

13

,π,-2.其中无理数出现的频率为( )

A .20%

B .40%

C .60%

D .80%

分析:,2

2

都是无理数;л是无限不循环小数,也是无理数;而3

1,-2都是有理数,所以无理数出现的频率为53=0.6=60%,选C . 例7.(2009年鄂州市中考题)为了求2008322221++++ 的值,可令S =

2008322221++++ ,则2S =20094322222++++ ,因此2S-S =122009-,所以2008322221++++ =122009-.仿照以上推理计算出20093255551+++++ 的值是( )

A .152009- B.15

2010- C.4152009- D.4152010-

解析:本题通过阅读理解的形式介绍了解决一类有理数运算问题的方法,利用例题介绍的方法,有:设S =2009325

5551+++++ ,则5S =201020093255555+++++ ,因此5S-S =20105-1,所以S =4152010

-,选D.

说明:你能从中得到解决这类问题的一般性规律吗?试一试.

例8. (2009年枣庄市中考题)a 是不为1的有理数,我们把11a

-称为a 的差倒数....如:

2的差倒数是1112

=--,1-的差倒数是111(1)2=--.已知113a =-,2a 是1a 的差倒数,3a 是2a 的差倒数,4a 是3a 的差倒数,…,依此类推,则2009a = .

解析:首先要理解差倒数...

的概念,再按照要求写出一列数,从中找出规律,再应用规律来解决问题.根据题意可得到:113a =-,2a =433111=--)(,3a =4

311-=4,4a =3

1411-=-,…,可见这是一个无限循环的数列,其循环周期为3,而2009=669×3+2,所以a 2009与a 2相同,即2009a =34

. 典型例题的探索

(利用概念)例3. 已知:M a a b =++-82是a +8的算术数平方根,N b a b =--+324是b -3立方根,求M N +的平方根。

分析:由算术平方根及立方根的意义可知a +≥80

><=+-><=-+2342,122b a b a 联立<1><2>解方程组,得:a b ==13, 代入已知条件得:M N ==903,,所以M N +=+=+=903033

故M +N 的平方根是±3。

练习:1. 已知x y x y +=-=-234323,,求x y +的算术平方根与立方根。

2. 若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3,求a

2005的值。 (大小比较)例4. 比较a a a 、

、1的大小。 分析:要比较a a a 、、1的大小,必须搞清a 的取值范围,由1a

知a ≠0,由a 知a ≥0,综合得a >0,此时仍无法比较,为此可将a 的取值分别为①01<1三种情况进行讨论,各个击破。当01<

a a >> 当a =1时,a a a ==1,当a >1时,仿①取特殊值可得a a a

>>1 (利用取值范围)例5. 已知有理数a 满足20042005-+-=a a a ,求a -20042

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