偏微分方程教程特征理论与方程的分类讲解
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程基本理论的归纳与总结偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象.根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是：（1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法；（2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段；（3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计；（4）双曲型方程,对应于Galerkin方法；（5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法.从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类：（1）稳态方程（非时间演化方程）；（2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容；（3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征；（4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制.下面具体来介绍三类经典方程：三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论.关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法.关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论.具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性.椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空间中考虑,我们将在连续函数空间和平方可积函数空间中分别讨论解关于输入数据的连续依赖性问题学习偏微分方程理论以及偏微分方程分析是研究其它一切的基础.首先有必要解释一下解的适定性.简单地说,一个偏微分方程是适定性的,若它有解（存在性）解唯一（唯一性）且对输入数据的微小改变的响应也是很小的改变（连续依赖性）.前两个准则是一个有意义的物理模型所要求的,第三个准则是实验观察的基础.考虑适定性时,还应记得对有实际意义的问题通常不可能求得显示解,从而可考虑逼近格式,特别是数值解在应用中就具有特别的重要性.因此,适定性问题与偏微分方程科学计算的如下中心问题有密切联系：对一个问题给定一定精度的数据,数值解计算输出有多少精度？正因为这个问题对现代定量科学的重要性,适定性成为偏微分方程理论的核心内容.因此,偏微分方程的学习应以三类线性偏微分方程的适定性问题为主要研究对象.同时,考虑到偏微分方程理论的两个特点：一是与应用、与物理的紧密联系；二是与数学其它分支的联系.以下,我们具体来说一下其两个具有应用价值的特点.针对特点一：首先,数学物理方程是自然科学和工程技术的各门分支中出现的偏微分方程,这些方程给出了所考察的物理量关于自变量（时间变量和空间变量）的偏导数的关系.例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理的范畴,数学物理方程侧重于模型的建立和定解问题的解题方法,而偏微分方程则侧重于其自身的数学理论,所以偏微分方程理论的研究是能够更好地将其运用于物理当中.针对特点二：偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、数论、拓扑学、代数、复分析等紧密联系.偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念,基础思想和基本方法,并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响.鉴于此,对于应用数学而言,掌握和研究偏微分方程的目的主要应该放在以下几个方面：（1）建立模型.在经典物理中,具有普遍意义的自然定律不仅可以用实验手段获得,而且根据这些定律很容易对相应的自然现象建立数学模型.如天体力学,连续介质力学,流体动力学以及经典电磁学中的物理定律就属于这种情况.在近代物理中,情况有一些变化.咋爱量子力学与广义相对论中,一些自然规则与物理定律是隐而不见的,此时数学物理方程是依靠部分物理原则与实验数据猜测出来的.然而,到了现代数学阶段,大多数面临的问题仅依靠物理或数学的单一学科知识和直觉建立模型已变得非常困难,必须具备多学科交叉能力才行.因此,只有系统全面地掌握偏微分方程的理论与方法,才能训练出从方程解的性质反推出模型的形式的能力,这里方程解的性质是由实验数据与观测资料所提供.这种模型反推能力再结物理直觉就是现在建立数学模型的基本要求;（2）从已知的方程和模型推导出新的发现和预言.这个方面可以说是科学发展最重要的环节之一;（3）从控制自然现象的微分方程中得到问题的机理和解释;（4）最后一个方面就是从数学模型获得与实验和观测相吻合的性质和结论.虽然这类工作不能提供新的科学结果,但能使我们加深对问题的理解,体现自然美与数学美的有机结合.在总结了偏微分方程理论所研究的内容及其特点以后,我们该怎样学习基本理论呢？首先,对于每一类方程,我们要了解它的物理背景及其意义,否则,我们根本不知道它在说什么.事实上,同一个方程有许多不同的来源,这一方面是偏微分方程理论具有广泛应用的原因之一.同时对于不同的来源进行类比研究可以更好地解释物理过程的某些特性,因为某个具体物理特性在某个物理过程还没有被观察到或没有引起注意,而在另外某个物理过程已经被观察注意到了,如果这两个物理过程服从同一个偏微分方程,则在原来的物理过程中应该也具有这个特性.其次,在对数学模型研究之后,需要有意识地讲数学解带回原来的物理意义中,去理解,解释物理现象.这一方面可以验证数学模型的有效性,另一方面可以更好地理解已知的物理现象,从而更加深刻地了解其在现实中的意义.然后,要善于去思考,总结,归纳.逐步提高分析、解决实际问题的能力.至于与数学其他学科的联系,比如,求解过程中将会用到许多微积分或数学分析的概念,思想,和定理,解的表达形式也是有积分形式的或级数形式的,解空间的结构则用到许多线性代数的知识.最后,学好泛函分析也是同等重要的,因为偏微分方程解的唯一性和连续依赖性需要许多实变和泛函分析的理论和方法.所以在重视偏微分方程基本理论时（实变函数和泛函分析的许多思想方法都是来源于偏微分程理论研究）,也要同样学好泛函分析.参考文献（1）王明新，偏微分方程基本理论；（2）马天，偏微分方程理论与方法；（3）王明新，数学物理方程.。
偏微分方程的分类与性质
偏微分方程的分类与性质偏微分方程是数学中一个非常重要的分支，它广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
偏微分方程的分类与性质是深入研究偏微分方程、解决实际问题的前提和基础。
本文将介绍偏微分方程的分类方法和相关性质。
一、偏微分方程的分类方法根据方程中未知函数的个数和自变量的个数，可以将偏微分方程分为一维偏微分方程和多维偏微分方程。
一维偏微分方程中只有一个自变量，多维偏微分方程中有多个自变量。
1. 一维偏微分方程一维偏微分方程比较简单，可以按照方程中阶数的不同进行分类。
一般来说，可以将一维偏微分方程分为以下三种类型：（1）线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u及其偏导数的系数A(x)、B(x)等都是关于自变量x的线性函数时，就称其为线性偏微分方程。
线性偏微分方程多数可以通过常数变易法求解。
例如：$au_x+bu_{xx}+c=0$（2）半线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u是关于自变量x的线性函数，而其偏导数项中含有u关于自变量的非线性函数时，就称其为半线性偏微分方程。
这类方程的求解利用抛物型偏微分方程理论，例如：$u_t = \frac{1}{2}u_{xx} + u^2$（3）非线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u及其偏导数的系数A(x)、B(x)等都是关于自变量x的非线性函数时，就称其为非线性偏微分方程。
非线性偏微分方程的求解相对较难，很少能用解析法求解。
例如：$u_x+uu_{xx}=0$2. 多维偏微分方程多维偏微分方程具有更广泛的应用，包括流体力学、弹性力学、电磁场理论、热传导等方面。
多维偏微分方程的分类方法比较复杂，可以按照方程的形式、变量的类型、方程的类型等多个方面进行分类。
本文只介绍比较常用的分类方法：（1）仿射型偏微分方程多维偏微分方程中，如果只涉及到变量的一次多项式和常数的线性组合，就称为仿射型偏微分方程。
例如：$a_{11}\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+2a_{12}\frac{\partial^2u}{\partial x \partialy}+a_{22}\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+b_1\frac{\partialu}{\partial x}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+cu=0$（2）椭圆型偏微分方程多维偏微分方程中，如果方程的解在变量取值范围内无界或呈指数增长，则该方程就称为椭圆型偏微分方程。
特征理论----偏微分方程组省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
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第7章 特征理论 偏微分方程组
于是，C-K 定理 7.4.1可等价地叙述为
C-K型定理证实用是强函数方法，即用一个显著可解出问题与所考虑问题 相比较，故须要介绍强函数概念。
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第7章 特征理论 偏微分方程组
7.4.3 强函数
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第7章 特征理论 偏微分方程组
7.4.4 C-K 定理证实
（1） 唯一性（幂级数解法）。 （2） 存在性（强函数方法）。
附注 1 该定理断言解析解局部存在唯一性，并没有确保整体解存在性。
附注 2 由证实知，若方程右端及Cauchy数据是各自变量解析函数，则在初始
平面
上任意点领域内都存在一个解析解。再由解唯一性知，把这些解
第7章 特征理论 偏微分方程组
7.1ห้องสมุดไป่ตู้1 弱间断解与弱间断面
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第7章 特征理论 偏微分方程组
例子
考虑弦振动方程
则
不是古典解，但它是弱间断解。
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第7章 特征理论 偏微分方程组
7.1.2 特征方程与特征曲面
设光滑曲面
是方程（7.1.1)弱间断面。
能够推出它应满足条件为下式在 上处处成立。
7.2.2 狭义双曲型方程组标准型
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第7章 特征理论 偏微分方程组
将狭义双曲型方程化为标准型方法：
1.
求向量方程 2.
解。
令，
用T 左乘（7.2.2）式得：
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第7章 特征理论 偏微分方程组
3.
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第7章 特征理论 偏微分方程组
7.3 双曲型方程组Cauchy 问题
偏微分方程的分类与求解方法
偏微分方程的分类与求解方法引言：偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将探讨偏微分方程的分类与求解方法，以加深对这一领域的理解。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的个数、阶数以及系数的性质进行分类。
常见的分类包括：1. 偏微分方程的个数：- 单一偏微分方程：方程中只包含一个未知函数，如波动方程、热传导方程等；- 耦合偏微分方程：方程中包含多个未知函数，它们相互耦合，如Navier-Stokes方程、Maxwell方程等。
2. 偏微分方程的阶数：- 一阶偏微分方程：方程中包含一阶导数，如线性传热方程；- 二阶偏微分方程：方程中包含二阶导数，如波动方程、扩散方程等；- 更高阶的偏微分方程：方程中包含更高阶的导数，如椭圆型方程、双曲型方程等。
3. 偏微分方程的系数性质：- 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是线性的，如线性传热方程；- 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是非线性的，如Burgers方程、Navier-Stokes方程等。
二、偏微分方程的求解方法解偏微分方程是数学中的重要课题，有许多不同的求解方法。
下面介绍几种常见的方法：1. 分离变量法：分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法，适用于一些特殊的方程。
它的基本思想是将多元函数表示为各个变量的乘积，然后将方程分离为多个常微分方程，再通过求解常微分方程得到最终的解。
2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程、双曲型方程等。
它的基本思想是通过引入新的变量，将偏微分方程转化为常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。
3. 变换法：变换法是一种通过变换将原方程转化为更简单的形式，从而求解的方法。
常见的变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
这些变换可以将原方程转化为代数方程或常微分方程，进而求解得到解析解。
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法大学数学易考知识点：偏微分方程的基本理论和解法一、引言数学作为一门基础学科，广泛应用于各行各业。
在大学数学课程中，偏微分方程是一个重要的知识点。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和解法，帮助大家更好地掌握这一知识点。
二、偏微分方程的基本概念1. 偏微分方程的定义偏微分方程是含有未知函数及其偏导数的方程。
它与常微分方程不同之处在于，偏微分方程中的未知函数不仅依赖于自变量，还依赖于各个自变量的偏导数。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中出现的未知函数的偏导数的阶数和个数，可以分为常系数偏微分方程和变系数偏微分方程；根据方程类型，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型等不同类型的方程。
三、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性对于线性偏微分方程，满足一定的初值条件和边值条件时，解的存在性和唯一性可以得到保证。
这一结论对于求解实际问题具有重要的意义。
2. 偏微分方程的解的性质偏微分方程解的性质包括可微性、连续性以及一定的物理意义。
解的性质可以通过数学推导和物理分析得到。
四、偏微分方程的解法1. 常系数偏微分方程的解法常系数偏微分方程包括常系数线性偏微分方程和常系数非线性偏微分方程。
对于常系数线性偏微分方程，可以使用特征线法、分离变量法等方法求解；对于常系数非线性偏微分方程，可以使用变量分离法等方法求解。
2. 变系数偏微分方程的解法对于变系数偏微分方程，一般的解法是利用变换法将其转化为常系数偏微分方程。
常用的变换方法包括相似变量法、积分因子法等。
五、应用实例1. 热传导方程的求解热传导方程是一个典型的偏微分方程，描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。
采用分离变量法或者变量分离法可以求解该方程，从而得到物体内部的温度分布。
2. 波动方程的求解波动方程描述了波动现象的传播规律。
通过变量分离法或者特征线法可以求解波动方程，得到波动的传播速度和波形。
六、总结通过对偏微分方程的基本理论和解法的介绍，我们可以看到偏微分方程是数学中一个重要且广泛应用的知识点。
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程理论的归纳与总结一、偏微分方程的分类：1.齐次与非齐次：一个偏微分方程中，如果所有出现的偏导数项的次数相同，且不含常数项，则称其为齐次方程；如果存在常数项，则称其为非齐次方程。
2.线性与非线性：一个偏微分方程中若只包含未知函数及其偏导数的一次项，并且未知函数的系数不依赖于未知函数自身及其偏导数，则称其为线性方程；反之，则是非线性方程。
3.定常与非定常：一个偏微分方程中，如果未知函数及其偏导数的系数不依赖于自变量，则称其为定常方程；反之，则是非定常方程。
4.高阶与低阶：一个偏微分方程中，若最高阶偏导数的阶数大于1，则称其为高阶方程；若最高阶偏导数的阶数为1，则称其为一阶方程。
二、偏微分方程的求解方法：1.分离变量法：对于一些特殊的偏微分方程，可以通过分离变量的方式将其转化为一阶常微分方程进行求解。
2.特征线法：对于一些具有特殊形式的偏微分方程，可以通过特征线法来求解。
该方法将方程中的自变量替换为新的变量，使得方程在新的变量系综下变得简单。
3.变换法：通过适当的变量代换，将原方程转化为形式简单的方程或标准的数学物理方程进行求解。
5.数值解法：对于一些复杂的偏微分方程，可以采用数值解法进行近似求解，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
三、偏微分方程的应用：1.物理学：偏微分方程在物理学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程、扩散方程等。
2.工程学：偏微分方程在工程学中也有重要应用，如电磁场方程、流体力学方程、固体力学方程等。
3. 经济学：偏微分方程在经济学中的应用主要用于建模和分析经济系统的动态变化，如Black-Scholes方程、Hamilton-Jacobi-Bellman方程等。
4. 生物学：偏微分方程在生物学中的应用主要用于描述群体的扩散、生物图像处理和生物电传导等问题，如Fisher方程、Gray-Scott方程等。
综上所述，偏微分方程理论是数学中的重要分支之一、通过对偏微分方程的分类、求解方法及其应用的归纳与总结，不仅可以帮助我们更好地理解偏微分方程的本质与特点，还能够为我们解决实际问题提供一个有效的数学工具。
偏微分方程的基本理论与解法
偏微分方程的基本理论与解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中非常重要的一个分支。
它描述了自然界中各种物理现象和工程问题中的变化和传播过程。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和一些常见的解法。
一、偏微分方程的定义与分类偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程。
它的一般形式可以表示为F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn) = 0，其中u是未知函数，而∂u/∂xi表示对变量xi的偏导数。
根据方程中涉及的未知函数的个数以及偏导数的阶数，偏微分方程可以分为以下几类：1. 一阶偏微分方程：方程中包含一阶偏导数。
2. 二阶偏微分方程：方程中包含二阶偏导数。
3. 高阶偏微分方程：方程中包含高于二阶的偏导数。
4. 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。
5. 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。
二、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性：对于一些特定类型的偏微分方程，可以证明在一定的条件下，方程存在唯一的解。
这对于物理和工程问题的建模和求解非常重要。
2. 奇性理论：奇性现象是指当某些参数取特定值时，偏微分方程的解会发生突变。
奇性理论研究了这些特殊情况下方程解的行为。
3. 变分原理：变分原理是一种通过极小化能量泛函来求解偏微分方程的方法。
它是最优控制、计算物理等领域中的重要工具。
三、常见的偏微分方程解法1. 分离变量法：这是一种常见的求解线性偏微分方程的方法。
通过假设解可分离变量的形式，将方程转化为一系列常微分方程。
2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入一组参数，将方程转化为关于参数的常微分方程组。
3. 变换法：变换法通过引入适当的变换，将原方程转化为简单形式的偏微分方程，进而求解。
总结：本文简单介绍了偏微分方程的基本理论与解法。
大学数学偏微分方程
大学数学偏微分方程在大学数学学科中，偏微分方程是一个重要的研究领域。
它是数学领域中研究描述多变量函数与其偏导数之间关系的方程。
偏微分方程广泛应用于物理学、工程学以及其他科学领域，并且在现代科学研究和技术应用中扮演着重要角色。
本文将介绍偏微分方程的基本概念、分类以及一些经典的偏微分方程模型。
1. 偏微分方程的基本概念偏微分方程描述了多个变量之间的关系，其中包括未知函数、偏导数以及自变量之间的关系。
偏微分方程可以分为线性和非线性两类，它们分别具有不同的性质和求解方法。
2. 偏微分方程的分类根据方程中未知函数的阶数以及变量的个数，偏微分方程可以分为常微分方程、偏微分方程以及它们的组合。
常见的偏微分方程包括椭圆型、双曲型和抛物型方程，它们分别对应于不同的物理问题和数学模型。
3. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程在自变量的各个方向上具有平衡性，常用于描述稳态问题和静态现象。
其中最著名的方程是拉普拉斯方程和泊松方程，它们在电场、热传导等领域中有着广泛的应用。
4. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程在自变量的某些方向上具有超越性，常用于描述波动传播和传输问题。
典型的双曲型偏微分方程包括波动方程和传输方程，它们在声波传播、电磁波传输等领域中具有重要意义。
5. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程在自变量的某些方向上具有光滑性，常用于描述动态演化和扩散现象。
常见的抛物型偏微分方程有热传导方程和扩散方程，它们在热传导、扩散以及化学反应等问题中有着广泛应用。
6. 经典的偏微分方程模型偏微分方程在实际问题中的应用非常广泛，其中一些经典的模型具有重要的科学和工程意义。
比如，热传导方程可以描述物体的温度分布和热平衡状态；波动方程可用于描述机械波的传播和振动现象；扩散方程可以描述溶质在溶液中的传输和浓度分布。
综上所述，大学数学中的偏微分方程是一门重要的数学学科，它用于描述多变量函数与其偏导数之间的关系。
偏微分方程具有广泛的应用领域，包括物理学、工程学等。
《偏微分方程》 华中师范大学
取 A 4 R,函0 数
g(M
M0)
R
40rMM1
于是球 K上的Green函数具有如下形式
6
1
R
G(MM0)4rMM0 40rMM1
(3.4)
显然, g(M作M为0) 的函M 数,在球 内是调K 和的,因此,
G(M M0 )
作为 M 的函数, 在球 内K 除 点M外0 是调和的,且在球面 上的S 点 P处有 G(PM,这0)表0 明函数(3.4)具备Green函数的所有条件.
表示点 到rP点M0 rPM1的距离(P如图6-M20).M1
图6-2
5
考察 OP与M0 ,它OM们1P有一个公共角 ,由(3P.O2M)知0
此夹角的两对应边成比例,因此这两个三角形相似,由此推出
或者
rPM 0 0
rP M 1
R
1 R1
0
rPM0
r 0 PM1
从(3.3)不难看出,对于球 内K 的任一点 M,只(x要yz)
G nSG R
1
4(02
0cos 220cos)32
(R4
R(02R20cos) 0222R20cos)32
R
(3.5)
1
4R(R2
R2 02 022R0cos)32
,ห้องสมุดไป่ตู้
于是由§2的公式(2.7),我们得到Dirichlet问题(3.1)的解为
u ( M 0 ) S( P ) G ( P n M 0 )d S P 4 1 R S ( R 2 ( R 2 0 2 2 0 2 R )0 ( c P o ) s) 3 2d S P (3.6)
M 1 K
下面我们给出Harnack不等式的一个直
偏微分方程简介
偏微分方程简介偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述自然界中许多现象的一个重要数学工具。
它涉及到物理、工程、经济、生物等领域的许多问题的建模与求解。
本文将对偏微分方程进行简要介绍。
一、偏微分方程的定义与分类偏微分方程是函数的偏导数与自变量之间的关系所构成的方程。
它可以分为几个主要的分类：1. 一阶偏微分方程：包含一阶偏导数的方程，如线性一阶偏微分方程和非线性一阶偏微分方程。
2. 二阶偏微分方程：包含二阶偏导数的方程，如椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方程。
3. 高阶偏微分方程：包含更高阶偏导数的方程，如三阶、四阶甚至更高阶的偏微分方程。
二、偏微分方程的应用偏微分方程在各个领域中都有广泛的应用，下面以几个典型的应用为例进行介绍：1. 热传导方程：描述热传导现象，在工程领域中常用于热传导问题的建模与求解。
2. 波动方程：描述波动现象，如声波、光波等，广泛应用于声学、光学等领域。
3. 扩散方程：描述物质扩散现象，常用于描述化学反应、生物学扩散等问题。
4. 电磁场方程：描述电磁场分布，在电磁学领域中被广泛应用于电磁波传播、电磁感应等问题的研究。
三、偏微分方程的解法对于偏微分方程，求解其解析解往往是非常困难的。
因此，通常采用数值解法对其进行求解。
常见的数值方法包括：1. 有限差分法：将偏微分方程中的导数用差分代替，转化为代数方程组进行求解。
2. 有限元法：将区域分割成有限个小单元，通过对各个单元进行逼近，得到整个区域上的解。
3. 特征线法：通过沿特征线追踪，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解。
四、总结偏微分方程作为一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域中的问题建模与求解。
通过对偏微分方程的分类和应用进行了简要介绍，并介绍了常见的数值解法。
当然，这仅仅是对偏微分方程的简单概述，实际上，偏微分方程是一个复杂而庞大的研究领域，需要在数学、物理、计算机等多个学科的知识基础上深入研究，才能更好地理解和应用。
微分方程和偏微分方程的基本理论
微分方程和偏微分方程的基本理论微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两大类。
本文将介绍微分方程和偏微分方程的基本理论，包括定义、分类、解的存在唯一性以及一些常见的解法方法。
1. 微分方程的定义与分类微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为 F(x, y,y', y'', ..., y^(n)) = 0，其中 x 是自变量，y 是因变量，y' 是 y 对 x 的导数，y'' 是 y' 对 x 的导数，y^(n) 是 y^(n-1) 对 x 的导数，n 是非负整数。
根据方程中包含的未知函数和它的导数的最高阶数，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程仅涉及一个自变量，例如 dy/dx = f(x)。
偏微分方程涉及多个自变量，其中一个是因变量，其他是自变量的函数，例如∂u/∂t = k∇^2u。
2. 解的存在唯一性对于给定的初始条件或边界条件，微分方程的解可能存在且唯一。
常微分方程的初始条件是在某个点上给出的函数值及其导数值，偏微分方程的边界条件是在某个区域边界上给出的函数值或导数值。
存在唯一性定理是解微分方程的基本工具之一。
根据皮卡-林德洛夫定理和格朗沃尔不等式，可以证明解的存在唯一性。
3. 常见的解法方法解微分方程的方法多种多样，以下介绍几种常用的方法：3.1. 变量分离法变量分离法适用于一阶常微分方程。
通过将方程中的变量分离并分别积分，得到方程的解。
例如，对于 dy/dx = f(x)g(y)，可以将方程变形为 g(y)dy = f(x)dx，然后对两边同时积分，进而得到解 y 的表达式。
3.2. 微分方程的积分因子法积分因子法适用于一阶常微分方程中的线性方程。
通过乘以一个适当的函数，使得方程变为可积的形式，然后再对方程进行积分。
例如，对于 dy/dx + p(x)y = q(x)，可以乘以一个积分因子μ(x)，使得μ(x)(dy/dx) + μ(x)p(x)y = μ(x)q(x)。
计算流体力学基础_P2_偏微分方程的性质讲解
?
?u ?y
(2)
? ?x
?u ??? v
? ?? ?
?
?b ???
/a 1
c
/
a? 0??
? ?y
?u
?? ?
v
? ?? ?
?
? ?? ?
d 0
/
a
? ?? ?
转化为一阶偏微方程组
矩阵
?? 0
b2
?
4ac
? ?
?
0
??? 0
?b / a c / a ?
A ? ??? 1
0
? ?
? I ? A ? 0 ? a?2 ? b? ? c ? 0
?t
?x
? ? diag(?1, ? 2 ,......? m )
令： V ? SU 有
?V ? Λ ?V ? 0 ?t ?x
即：
?v j ?t
?
?j
?v j ?x
?
0
m个方程完全解耦， 可独立求解
有m 条特征线：
x ? ? jt ? 0
m个特征相容关系式： vj G ? const.
如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是 双曲型的
第四章 偏微分方程的性质
Behavior of Partial Differential Equations
Slide 1
超音速钝体绕流问题的解决
Slide 2
偏微方程的分类及特征
1. 一阶偏微分方程
? （常用）特例：常系数线性单波方程
?u ? c ?u ? 0 ?t ?x
初值： u(x,0) ? ? (x)
?
a(x,
y)
? ?
偏微分方程理论
偏微分方程理论偏微分方程(Partial Differential Equations, PDEs)是数学中的一个重要分支，它探究的是多变量函数的偏导数与函数本身之间的关系。
在物理学、工程学以及经济学等领域，PDEs的应用广泛而深远。
本文将介绍偏微分方程理论的基本概念、分类以及一些解法。
一、基本概念偏微分方程是描述真实世界现象的数学模型，它包含了一个或多个未知函数及其偏导数。
一般来说，一个PDE可以用如下形式表示：F(x, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ..., ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ...) = 0其中，x表示自变量，u表示未知函数，∂u/∂x表示u对x的偏导数。
二、分类根据常系数与偏导数的次数，PDEs可分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程。
1. 线性偏微分方程：具有形如下式的特点：a(x, y)∂^2u/∂x^2 + b(x, y)∂^2u/∂x∂y + c(x, y)∂^2u/∂y^2 + ...+ d(x, y)∂u/∂x + e(x, y)∂u/∂y + f(x, y)u = g(x, y)其中，a、b、c等为常系数。
2. 非线性偏微分方程：指不能写成如上形式的偏微分方程，通常较难求解，需借助数值方法。
三、解法1. 分离变量法：适用于某些特殊的线性偏微分方程，假设解可以表示为两个或多个单变量函数的乘积，然后通过代入和分离变量的方法，将PDE分解为一系列常微分方程。
2. 特征线法：适用于一类特殊的线性偏微分方程，通过对特征线上的偏导数进行积分，将PDE转化为一系列常微分方程。
3. 变换法：通过变换自变量或因变量，将PDE转化为标准形式，进而求解。
四、应用偏微分方程广泛应用于自然科学和工程学等领域。
以下是一些常见的应用案例：1. 热传导方程：用于描述物体的温度分布与时间之间的关系，如热传导、热扩散等问题。
2. 波动方程：描述机械波、声波以及电磁波等的传播与变化，如弦的振动、声音的传播等。
高等数学中的偏微分方程理论
高等数学中的偏微分方程理论导语：偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本教案将从基本概念、分类、解法和应用等方面，深入探讨高等数学中的偏微分方程理论。
一、基本概念与分类偏微分方程是含有多个未知函数的方程，其中包含偏导数。
在高等数学中，常见的偏微分方程包括波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。
这些方程描述了不同物理过程中的变化规律。
1. 波动方程波动方程描述了波动传播的规律，如机械波、电磁波等。
它的一般形式为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u表示波函数，t表示时间，c表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
2. 热传导方程热传导方程描述了热量在物体中传导的规律。
它的一般形式为：∂u/∂t = α∇²u其中，u表示温度分布，t表示时间，α表示热扩散系数，∇²表示拉普拉斯算子。
3. 拉普拉斯方程拉普拉斯方程描述了无源场的分布规律，如电势分布、流体静压力分布等。
它的一般形式为：∇²u = 0其中，u表示场的分布，∇²表示拉普拉斯算子。
二、解法与应用解偏微分方程的方法有很多，常见的有分离变量法、特征线法和变换法等。
不同的方程和边界条件需要选择不同的解法。
1. 分离变量法分离变量法适用于具有分离变量解的方程。
通过假设解可以分解为多个未知函数的乘积形式，将方程分离成多个常微分方程，再求解得到最终解。
2. 特征线法特征线法适用于具有特征线解的方程。
通过寻找特征线，将方程转化为常微分方程，再求解得到最终解。
3. 变换法变换法适用于具有特殊变换解的方程。
通过适当的变换将方程转化为更简单的形式，再求解得到最终解。
偏微分方程的应用广泛，例如：- 波动方程可用于描述声波在空气中传播、水波在水面上传播等；- 热传导方程可用于描述材料中的温度分布、热传导过程等；- 拉普拉斯方程可用于描述电场、重力场等无源场的分布。
偏微分方程教程特征理论与方程的分类讲解
偏微分方程教程特征理论与方程的分类讲解偏微分方程是数学的一个分支，研究的是包含未知函数及其偏导数的方程。
在偏微分方程的研究中，特征理论是一种重要的数学工具，用于探讨偏微分方程的性质和解的存在性。
本文将介绍特征理论的基本概念，并通过几个常见的偏微分方程示例，讲解偏微分方程的分类方法。
首先，我们来了解特征理论的基本概念。
特征线是描述偏微分方程的变量之间关系的曲线，也可以说是方程的解曲线。
在二维空间中，特征线是由沿一个曲线方向的点的集合组成的。
特征线的切线方向与方程的主导数有关，所以我们可以通过观察主导数的正负性来确定特征线的走向。
在特征线的理论中，重要的概念是确定性和非确定性。
当特征线的走向在整个曲线上是确定的，我们称其为确定性的；当特征线的走向随着点的变化而变化，我们称其为非确定性的。
对于一个偏微分方程，特征线的确定性与方程的类型和性质有关。
特征线的确定性对于解方程和研究方程的性质都有着重要意义。
接下来，我们来讲解偏微分方程的分类方法。
根据特征线的性质，偏微分方程可以分为椭圆型、双曲型和抛物型三类。
其中，椭圆型方程的特征线是确定性的，其主导数为负数；双曲型方程的特征线是非确定性的，其主导数为正数；抛物型方程的特征线的性质介于前两者之间，其主导数为零。
椭圆型方程是指方程的特征线走向在整个曲面上是确定的。
椭圆型方程的一个经典例子是拉普拉斯方程，常用于描述稳态下的物理现象。
椭圆型方程的解在整个空间上是光滑且唯一的，这使得椭圆型方程在实际问题的建模与求解中具有重要作用。
双曲型方程是指方程的特征线走向随着点的变化而变化，通常是沿着平行曲线走向确定的。
双曲型方程的一个经典例子是波动方程，常用于描述波的传播过程。
双曲型方程的解具有波动性质，存在波的传播速度和方向，因此双曲型方程在物理学、电磁学等领域有着广泛的应用。
抛物型方程是指方程的主导数既不是正数也不是负数，即主导数为零。
抛物型方程的一个典型例子是热传导方程，常用于描述物体内部温度分布的演化过程。
偏微分方程教程特征理论与方程的分类讲解
设在点 P(x0 y0 )的邻域内, 这时(2.1)的特征方程可写为
dy b dy b （2.2）
dx
a dx
a
其中 b2 ac 通常称为方程(2.1)的判别式，作自变量变换
4
(x y) (x y)
则方程(2.1)变为如下形式:
2u
2u
2u
A 2B C L F
2
16
(iii) 当 0 时,这时没有实的特征曲线, 变换(2.7)中
1 i 2 i 且 ba
a
.为了不涉及复
变数, 我们试图通过(2.7)找一个实的变换,为此令
1 ( ) 1 ( )
2
2i
即可得到可逆自变量变换
y
b a
x
ac b2 x a
17
应用变换(2.11)就可把方程(2.6)化成(见本节的习题5, 6)
情形1:当 y 0 时, 方程(2.13)的特征方程为
dy 1 dy 1
dx y dx
y
19
所以在上半平面内, 两族特征线为
3
3
3x 2y 2 c13x 2y 2 c2
其中 c1 c2为任意常数, 这时利用变换
3x
2
y
3 2
3x
3
2y2
就可把方程(2.13)化成双曲型第一标准型
9
定义3.1 设 R2是一个区域, (x0 y0 ) (i) 若 (x0 y0 ) 0 ,则称方程(2.1)在点 (x0 y0 ) 处为双曲型 偏微分方程, 若在 内的每一点处, 方程(2.1)都是双曲型的,则 称(2.1)在 内为双曲型偏微分方程;
(ii)若 (x0 y0 ) 0, 则称方程(2.1)在点 ( x0 y0 )处为抛物型
特征理论与方程的分类
0 0
(1.19)
u
n
是u 在
G 0 上的外微商, 所以在点 P 附近可求出所有一阶偏导数
u (i 1 2 n) 的值. 于是 xi
由
u u xn G u ( ) 1 n xn n xn xn
第三章 特征理论与方程的分类
§1 【知识点提示】 特征方程, 特征方向和特征曲面。 【重、难点提示】 两个自变量和多个自变量情形的特征方程。 【教学目的】 本节主要介绍特征方程, 特征方向和特征曲面,并根据一般方程写出特征方 程, 特征方向和特征曲面。 【教学内容】 第一节 1.1. 1.2. 二阶方程的特征 两个自变量的情形 多个自变量的情形 二阶方程的特征
(1.20)
改写上式为
n 1 n 1 2u 2u 2u Ann 2 2 Ain Aij 0 n i n i j 1 i j i 1
(1.21)
其中以省略号代之的都是关于 u 的低于二阶偏导数的项，且
Ann
i j 1
(1.16)
不难看出, 利用 (116) 中的初始条件可求出除
2u 外的所有二阶偏导数在曲面 S 上的值. 2 xn
关于
2u 在曲面 S 上的值, 只有依靠方程(1.12)来求得, 这时将方程(1.12)改写为 2 xn ann
n 1 n 1 n 2u 2u 2u u 2 a a bi cu f in ij 2 xn xi xn i j 1 xi x j i 1 xi i 1
a 2b c
则 u xx u xy u yy 就被惟一确定, 这时我们称曲线 为方程(1.1)的非特征曲线, 若沿着曲线
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1
§2 二阶方程的分类
【知识点提示】 二阶方程的特征和分类,化方程为标准型。
【重、难点提示】 辨别方程的类型并化为标准型 。
【教学. 目的】 主要介绍二阶方程的特征和分类,并将一般方程化为 标准型。初步了解如何辨别椭圆型偏微分方程，双 曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程。 。
注3 根据连续性，由 在一点大于零或小于零可推得 在该点
的某邻域中也是如此. 所以方程为双曲型或椭圆型的性质总是在一 个区域中成立的,即若方程(2.1)在点 (x0 y0 ) 是双曲型或椭圆型的，
则它必在(x0 y0 )的某邻域内是双曲型或椭圆型的.反之，在一点
等于零并不能告诉我们它在这一点的邻域中的符号.因此,我们又有：
2
y2
u
2
y2
代入方程(2.1),得
A
2u
2
2B
2u
C
2u
2
L
F
7
其中
A() ax2 2bxy cy2
B() ax x b(x y y x ) cy y
C()
a
2 x
2b
x
y
c
2 y
通过简单的计算，我们知道(2.5)成立.
注1 关系式(2.5)表明在可逆自变量变换(2.3)下, 即 时，J方 0
11
定义3.2 若方程(2.1)在 区域的一个子区域上为双曲型的，
在 的另一个子区域上为椭圆型的，则称方程(2.1)在区域 中为 混合型方程;若方程(2.1)在区域 的一个子区域上为双曲型的，在
的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称方程(2.1)在区
域 中为退化双曲型方程; 若方程(2.1)在区域 的一个子区域上为
程的判别式的符号保持不变.
8
注2 在可逆自变量变换(2.3)下, 线性二阶偏微分方程(2.1)仍化 为线性二阶偏微分方程(2.4). 事实上, 由
2 x
x x
2 x
2xy x y y x
2 x y
2 y
y y J 3 0
2 y
知 A(), B(), C() 不同时为零．
利用判别式的符号在可逆自变量变换下的不变性这一性质, 我 们来对方程(2.1)进行分类．
下面我们分别给出双曲型、 抛物型和椭圆型偏微分方程的标 准型.
13
为了简便起见, 我们不妨假设方程(2.1)的系数都是常数, 即
auxx 2buxy cuyy dux euy gu f (x y)
(2.6)
其中 a b c d e g 都是常数, 由于判别式 b2 ac是常数,
所以方程(2.6)在区域中所有点处都是同一类型的.
设在点 P(x0 y0 )的邻域内, 这时(2.1)的特征方程可写为
dy b dy b （2.2）
dx
a dx
a
其中 b2 ac 通常称为方程(2.1)的判别式，作自变量变换
4
(x y) (x y)
则方程(2.1)变为如下形式:
2u
2u
2u
A 2B C L F
2
与方程的最高阶导数项有关, 即与其二阶导数项的系数有关, 换句话
说, 方程(2.1)的特征概念仅与它的主部有关．
3
在讨论二阶偏微分方程的分类过程中, 常包含有化方程为标准形 式的问题, 这种通过变换使方程得到简化是研究偏微分方程常用的 手段,也就是说在我们研究一个方程的求解问题时, 先运用自变量变 换或函数变换将方程的形式尽量化简, 使其具有典型性.
(i)当 0 时, 其特征线是两族不同的实曲线
(x (x
y) y)
y y
1x 2 x
c1 c2
其中 1
b a
2
b a
且
c1 c2
为任意常数.
14
利用这两族实特征线, 作可逆自变量变换
(x (x
y) y)
y y
1x 2 x
9
定义3.1 设 R2是一个区域, (x0 y0 ) (i) 若 (x0 y0 ) 0 ,则称方程(2.1)在点 (x0 y0 ) 处为双曲型 偏微分方程, 若在 内的每一点处, 方程(2.1)都是双曲型的,则 称(2.1)在 内为双曲型偏微分方程;
(ii)若 (x0 y0 ) 0, 则称方程(2.1)在点 ( x0 y0 )处为抛物型
椭圆型的，在 的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称 方程(2.1)在区域 中为退化椭圆型方程.
12
由(2.5)我们知道, 在可逆自变量变换(2.3)下, 方程的类型保持不 变, 即可逆自变量变换(2.3)将双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程, 椭圆型偏微分方程）仍变为双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程, 椭圆型偏微分方程). 因此, 为了求解方程(2.1), 我们常常需要找一个 可逆的自变量变换, 将方程(2.1)化成简单形式, 即标准型.
2
(2.3) (2.4)
在自变量变换(2.3)下,方程(2.1)的判别式 与(2.4)的判别式
B2 AC 之间有如下关系:
J 2
(2.5)
其中 J表示变换(2.3)的Jacobi行列式:
5
J x y x y
事实上, 由复合函数的微分法, 我们有
u u u x x x
u u u y y y
2u x2
2u 2
x
2
2
2u
x
x
2u 2
x
2
u
2 x2
u
2 x2
6
2u 2u 2u 2u u 2 u 2
xy
2
x
y
x
y
y
x
2
x
y
xy
xy
2u y2
2u
2
y
2
2
2u
y
y
2u
y
2
u
偏微分方程, 若在内 在内的每一点处,方程(2.1)抛物型的,则称 (2.1)在 内为抛物型偏微分方程;
10
(iii) 若 (x0 y0 ) 0 , 则称方程(2.1)在点 (x0 y0 ) 处为椭圆型 偏微分方程, 若在 内的每一点处,方程(2.1)都是椭圆型的,则称 (2.1)在 内为椭圆型偏微分方程.
2
我们先考虑两个自变量的线性偏微分方程
auxx 2buxy cuyy dux euy gu f
(2.1)
其中 a b c d和 e都g是 f 的已知x函数y, 且在 平面上的某区xo域y
内具有二阶连续偏导数. 假设在 内的每一点处,
a b c都不同时为零.
现在利用特征的性质对方程(2.1)进行分类. 我们知道特征概念仅