偏微分方程教程特征理论与方程的分类讲解

(i)当 0 时, 其特征线是两族不同的实曲线
(x (x
y) y)
y y
1x 2 x
c1 c2
其中 1
b a
2
b a
且
c1 c2
为任意常数.
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利用这两族实特征线, 作可逆自变量变换
(x (x
y) y)
y y
1x 2 x
与方程的最高阶导数项有关, 即与其二阶导数项的系数有关, 换句话
说, 方程(2.1)的特征概念仅与它的主部有关．
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在讨论二阶偏微分方程的分类过程中, 常包含有化方程为标准形 式的问题, 这种通过变换使方程得到简化是研究偏微分方程常用的 手段,也就是说在我们研究一个方程的求解问题时, 先运用自变量变 换或函数变换将方程的形式尽量化简, 使其具有典型性.
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定义3.1 设 R2是一个区域, (x0 y0 ) (i) 若 (x0 y0 ) 0 ,则称方程(2.1)在点 (x0 y0 ) 处为双曲型 偏微分方程, 若在 内的每一点处, 方程(2.1)都是双曲型的,则 称(2.1)在 内为双曲型偏微分方程;
(ii)若 (x0 y0 ) 0, 则称方程(2.1)在点 ( x0 y0 )处为抛物型
注3 根据连续性，由 在一点大于零或小于零可推得 在该点
的某邻域中也是如此. 所以方程为双曲型或椭圆型的性质总是在一 个区域中成立的,即若方程(2.1)在点 (x0 y0 ) 是双曲型或椭圆型的，
则它必在(x0 y0 )的某邻域内是双曲型或椭圆型的.反之，在一点
等于零并不能告诉我们它在这一点的邻域中的符号.因此,我们又有：
《偏微分方程教程》 第三章 特征理论与方程的分类
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§2 二阶方程的分类
【知识点提示】 二阶方程的特征和分类,化方程为标准型。
【重、难点提示】 辨别方程的类型并化为标准型 。
【教学. 目的】 主要介绍二阶方程的特征和分类,并将一般方程化为 标准型。初步了解如何辨别椭圆型偏微分方程，双 曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程。 。
偏微分方程, 若在内 在内的每一点处,方程(2.1)抛物型的,则称 (2.1)在 内为抛物型偏微分方程;
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(iii) 若 (x0 y0 ) 0 , 则称方程(2.1)在点 (x0 y0 ) 处为椭圆型 偏微分方程, 若在 内的每一点处,方程(2.1)都是椭圆型的,则称 (2.1)在 内为椭圆型偏微分方程.
下面我们分别给出双曲型、 抛物型和椭圆型偏微分方程的标 准型.
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为了简便起见, 我们不妨假设方程(2.1)的系数都是常数, 即
auxx 2buxy cuyy dux euy gu f (x y)
(2.6)
其中 a b c d e g 都是常数, 由于判别式 b2 ac是常数,
所以方程(2.6)在区域中所有点处都是同一类型的.
设在点 P(x0 y0 )的邻域内, 这时(2.1)的特征方程可写为
dy b dy b （2.2）
dx
a dx
a
其中 b2 ac 通常称为方程(2.1)的判别式，作自变量变换
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(x y) (x y)
则方程(2.1)变为如下形式:
2u
2u
2u
A 2B C L F
2
程的判别式的符号保持不变.
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注2 在可逆自变量变换(2.3)下, 线性二阶偏微分方程(2.1)仍化 为线性二阶偏微分方程(2.4). 事实上, 由
2 x
x x
Leabharlann Baidu
2 x
2xy x y y x
2 x y
2 y
y y J 3 0
2 y
知 A(), B(), C() 不同时为零．
利用判别式的符号在可逆自变量变换下的不变性这一性质, 我 们来对方程(2.1)进行分类．
椭圆型的，在 的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称 方程(2.1)在区域 中为退化椭圆型方程.
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由(2.5)我们知道, 在可逆自变量变换(2.3)下, 方程的类型保持不 变, 即可逆自变量变换(2.3)将双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程, 椭圆型偏微分方程）仍变为双曲型偏微分方程(抛物型偏微分方程, 椭圆型偏微分方程). 因此, 为了求解方程(2.1), 我们常常需要找一个 可逆的自变量变换, 将方程(2.1)化成简单形式, 即标准型.
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(2.3) (2.4)
在自变量变换(2.3)下,方程(2.1)的判别式 与(2.4)的判别式
B2 AC 之间有如下关系:
J 2
(2.5)
其中 J表示变换(2.3)的Jacobi行列式:
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J x y x y
事实上, 由复合函数的微分法, 我们有
u u u x x x
u u u y y y
2u x2
2u 2
x
2
2
2u
x
x
2u 2
x
2
u
2 x2
u
2 x2
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2u 2u 2u 2u u 2 u 2
xy
2
x
y
x
y
y
x
2
x
y
xy
xy
2u y2
2u
2
y
2
2
2u
y
y
2u
2
y
2
u
2
我们先考虑两个自变量的线性偏微分方程
auxx 2buxy cuyy dux euy gu f
(2.1)
其中 a b c d和 e都g是 f 的已知x函数y, 且在 平面上的某区xo域y
内具有二阶连续偏导数. 假设在 内的每一点处,
a b c都不同时为零.
现在利用特征的性质对方程(2.1)进行分类. 我们知道特征概念仅
2
y2
u
2
y2
代入方程(2.1),得
A
2u
2
2B
2u
C
2u
2
L
F
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其中
A() ax2 2bxy cy2
B() ax x b(x y y x ) cy y
C()
a
2 x
2b
x
y
c
2 y
通过简单的计算，我们知道(2.5)成立.
注1 关系式(2.5)表明在可逆自变量变换(2.3)下, 即 时，J方 0
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定义3.2 若方程(2.1)在 区域的一个子区域上为双曲型的，
在 的另一个子区域上为椭圆型的，则称方程(2.1)在区域 中为 混合型方程;若方程(2.1)在区域 的一个子区域上为双曲型的，在
的其余点(不一定构成子区域)上为抛物型的，则称方程(2.1)在区
域 中为退化双曲型方程; 若方程(2.1)在区域 的一个子区域上为