图论课件--特殊平面图与平面图的对偶图35页PPT
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图论平面图
AD
f4
B D f2 DC
f1 F D
f3
DD
f1 : 边界:ABCDFDA f2 : 边界:ABCA f3 : 边界:ACDA f4 : 边界:ADA
deg(f1)=6 deg(f2)=3
deg(f3)=3 deg(f4)=2
欧拉公式
定理4.2 G是个连通的平面图, 设n、m、r分别表示G中
结点数、边数、面数, 则有 n-m+r=2. 称此式为欧拉公式.
的 extJ ，使得同一
类中的任意一对点能用 一条不与 J 相交的曲线 相连，而连接一对属于 不同类点的任意曲线必 须与 J 相交。
Jordan曲线定理: Jordan曲线把平面分为2部分， 连接内部与外部点的任意曲线必然与Jordan曲线 相交.
¾ 说明： 该定理看似无可置疑的明显结论。 该定理是 C.Jordan（1838－1933）首先提出， 并给出了（长而复杂又有缺陷）的证明，但后来 发现Jordan的证明有缺陷。 第一个严格的证明相当复杂，对于训练有素的数 学家来说，也是很难理解的。 对于多边形的Jordan曲线，证明是简单的。
u1
上的一条Jordan曲线，
C
设 v3 ∈ int C ,于是 (u1, v3), (u2, v3) 连同C将
v1
v2
u2 (2)
平面分成三个两两不
相交的的区域，而 u3 应落入这三个区域中的
某一个区域，不妨假设 u3 ∈ extC ，则由定理
知 (u3,v3)必须与C相交，故 K3,3 是非可平面图。
说明： 一个可平面图与其平面嵌入图拓扑同构， 因此我们将一个可平面图的平面嵌入也称为平面 图。
例如右图.就是
v1 D
《图论》第5章 平面图
5
第五页，编辑于星期六：八点 分。
5.1 平面图及其性质
[例] K3,3 可嵌入 Mőbius 带面。
6
第六页，编辑于星期六：八点 分。
5.1 平面图及其性质
[定理5-1-2] 一个图可嵌入平面当且仅当它可嵌入球面。
[证明] 通过连续球极投影建立图的平面嵌入与球面嵌入的一一 对应关系。
7
第七页，编辑于星期六：八点 分。
[推论] 设简单平面图G的连通分支数为 k，且有 n 个顶点，m 条边，d 个域，各个域的度至少是 l，则有
m (nk 1)l l 2
[证明] 由欧拉公式： nm+d =k+1 得 d = k+1+mn
由[定理5-1-1]：2mld = l (k+1+mn)= (k+1n)l +ml
联立得不等式： (l2)m (n k1)l 又G是简单图， l >2，结论形式可以得到证明。
m (n 2)l l2
[证明]
由欧拉公式： nm+d =2 得 d =2+mn
由[定理5-1-1]：2mld = l (2+mn)= (2n)l +ml
联立得不等式： (l2)m (n2)l
又G是简单图， l >2，结论形式可以得到证明。
12
第十二页，编辑于星期六：八点 分。
5.1 平面图及其性质
[例] K3,3
18
第十八页，编辑于星期六：八点 分。
5.1 平面图及其性质
[定理5-1-9] K5 和 K3,3 是不可平面的。
K5
K3,3
[证明] 反证法。设 K5 是可平面的。将 n=5，m=10，l=3 代 入[定理5-1-5]公式，得 109，矛盾。同理设K3,3 是可 平面的。将 n=6，m=9，l=4代入[定理5-1-5]公式，得
第五页，编辑于星期六：八点 分。
5.1 平面图及其性质
[例] K3,3 可嵌入 Mőbius 带面。
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第六页，编辑于星期六：八点 分。
5.1 平面图及其性质
[定理5-1-2] 一个图可嵌入平面当且仅当它可嵌入球面。
[证明] 通过连续球极投影建立图的平面嵌入与球面嵌入的一一 对应关系。
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第七页，编辑于星期六：八点 分。
[推论] 设简单平面图G的连通分支数为 k，且有 n 个顶点，m 条边，d 个域，各个域的度至少是 l，则有
m (nk 1)l l 2
[证明] 由欧拉公式： nm+d =k+1 得 d = k+1+mn
由[定理5-1-1]：2mld = l (k+1+mn)= (k+1n)l +ml
联立得不等式： (l2)m (n k1)l 又G是简单图， l >2，结论形式可以得到证明。
m (n 2)l l2
[证明]
由欧拉公式： nm+d =2 得 d =2+mn
由[定理5-1-1]：2mld = l (2+mn)= (2n)l +ml
联立得不等式： (l2)m (n2)l
又G是简单图， l >2，结论形式可以得到证明。
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第十二页，编辑于星期六：八点 分。
5.1 平面图及其性质
[例] K3,3
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第十八页，编辑于星期六：八点 分。
5.1 平面图及其性质
[定理5-1-9] K5 和 K3,3 是不可平面的。
K5
K3,3
[证明] 反证法。设 K5 是可平面的。将 n=5，m=10，l=3 代 入[定理5-1-5]公式，得 109，矛盾。同理设K3,3 是可 平面的。将 n=6，m=9，l=4代入[定理5-1-5]公式，得
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
闭卷考试 （60%-70%）
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关 系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为： a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
第六章 平面图1 图论及其应用课件
外可平面图
外平面图1
外平面图2
10
1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
注：对外可平面图G来说，一定存在一种外平面嵌入， 使得G的顶点均在外部面的边界上。这由球极投影法可 以说明。
下面研究极大外平面图的性质。
定义3 设G是一个简单外可平面图，若在G中任意不邻 接顶点间添上一条边后，G成为非外可平面图，则称G是 极大外可平面图。极大外可平面图的外平面嵌入，称为极 大外平面图。
1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
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0 .6 0.4 x 0 .2
图论及其应用
任课教师：杨春 Email: yc517922@
应用数学学院
1
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0 .5 n 0
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1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
定义1 设G是简单可平面图，如果G是Ki (1≦i≦4),或 者在G的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是
非可平面图，则称G是极大可平面图。
极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图。
3
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1
注：该定理可以简单记为是“极大平面图的三角形特 征”，即每个面的边界是三角形。
证明：“必要性”
由引理知，G是单图、G无割边且G的每个面的次数 至少是3。
假设G中某个面f的次数大于等于4。记f的边界是 v1v2v3v4…vk。如下图所示。
图论课件第六章平面图
A6
A2
A5
A3
A4
7
第7页，本讲稿共35页
例子3：3间房子和3种设施问题
问题：要求把3种公用设施(煤气，水和电)分别用煤气管 道、水管和电线连接到3间房子里，要求任何一根线或管道 不与另外的线或管道相交，能否办到？
上面问题可以模型为如下偶图：
G
W
E
H1
H2
H3
问题转化为，能否把上面偶图画在平面上，使得边与边 之间不会交叉？
1、平面图的次数公式
12
第12页，本讲稿共35页
定理1 设G=(n, m)是平面图，则：
deg(f )2m
f
证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义 ，它也给总次数贡献2次。于是有：
19
第19页，本讲稿共35页
所以， l (n2)4(62)8
l2
2
而m=9，这样有：
m l (n 2) l 2
所以，由推论2，K3,3是非平面图。
推论3 设G是具有n个点m条边ф个面的简单平面图， 则：
m3n6
20
第20页，本讲稿共35页
证明：情形1，G连通。 因为G是简单图，所以每个面的次数至少为3，即l=3 。于是，由推论2得：
如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且 仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应 的图为：
A1
A6
A2
A5 A3
A4
于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不 会相互交叉？
6
第6页，本讲稿共35页
通过尝试，可以把上图画为：
图论的介绍ppt课件
chedules
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时 间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分 析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效 率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径 解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡 七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton） 周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点 表示世界上20个城市 各经每个城市一次 最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算 法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
图论讲义第7章-平面图
第七章 平面图§7.1 平面图的概念定义7.1.1 如果图G 能画在曲面S 上，使得任意两边互不交叉，则称G 可嵌入曲面S 。
若图G 可嵌入平面，则称G 是可平面图或平面图，画出的无交叉边的图形称为图G 的平面嵌入。
例如，下面是三个平面图及其平面嵌入。
根据定义，下列定理是显然的。
定理7.1.1 若图G 是平面图，则G 的任何子图都是平面图。
定理7.1.2 若图G 是非平面图，则G 的任何母图都是非平面图。
定理7.1.3 若图G 是平面图, 则在G 中添加重边或环边后所得之图仍是平面图。
注：由以上定理知(1) K n ( n ≤4 ) 和 K 1,n (n ≥ 1)及其所有子图都是平面图。
(2) 环边和重边不影响图的平面性。
故以下讨论平面性时总假定图G 是简单图。
定义7.1.2 设图G 是平面图 (已平面嵌入)，G 的边将平面划分出的若干区域都称为图G 的面。
其中面积无限的面称为无限面或外部面，面积有限的面称为有限面或内部面。
包围一个面的所有边称为该面的边界。
一个面边界上的边数称为该面的次数 (割边按两次计)，面R 的次数记为deg (R )。
定理7.1.4 平面图G 中所有面的次数之和等于G 的边数的两倍，即其中R 1, R 2, … , R r 是G 的所有面。
证明： 对G 的任何一条边e ，若e 是两个面 R i 和 R j 的公共边界，则在计算R i 和 R j 的次数时，e 各提供了1；若e 只是某一个面的边界，则在计算该面的次数时，e 提供了2。
可见每条边在计算总次数时，都提供2。
因而结论成立。
1deg()2().r ii R G ε==∑定义7.1.3设G为简单平面图，若在G的任意不相邻的顶点u, v之间加边uv 后，所得之图成为非平面图，则称G是极大平面图。
易见K1, K2, K3, K4, K5– e 都是极大平面图。
定义7.1.4 若非平面图G任意删除一条边后，所得之图都是平面图，则称G为极小非平面图。
《离散数学课件图论》PPT课件
，m3n6为真. 否则G中含圈，每个面至少由l（l3）条边围成
，又
l 1 2
l 2 l 2
在l=3达到最大值，由定理17.11可知m3n6.
定理17.13 设G为n（n3）阶m条边的极大平面图，则m=3n6. 证明：由定理17.4, 欧拉公式及定理17.7所证。
定理17.14 设G 为简单平面图，则 (G)5. 证明： 阶数 n6，结论为真。 当n7 时，用反证法。否则会 推出2m6n m3n，这与定理17.12矛盾.
如上面的例子。
18
精选PPT
平面图与对偶图之间的关系
定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则d(v*i)=deg(Ri) 证明： (1)、(2)平凡 (3) 应用欧拉公式 (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两
20
精选PPT
自对偶图
定义：设G*是平面图G的对偶图，若G*G，则称G为自 对偶图. 概念： n阶轮图（ Wn ）、奇阶轮图、偶阶轮图 轮图都是自对偶图。 画出W6和W7的对偶图，并说明它们都是自对偶图。
21
精选PPT
第十七章 小结
❖ 主要内容 ▪ 平面图的基本概念 ▪ 欧拉公式 ▪ 平面图的判断 ▪ 平面图的对偶图
22
精选PPT
练习1
1. 设G是连通的简单的平面图，面数r<12，(G)3. (1) 证明G中存在次数4的面 (2) 举例说明当r=12时，(1) 中结论不真.
解 设G的阶数、边数、面数分别为n, m, r.
图论-总结PPT课件
q-p+1条弦。 (2) 若G是一个(p,q)连通图，则T至少有多少个圈?(q-p+1) 若G是一个(p,q)连通图，则T有多少个圈? 若G是一个(p,q)连通图，则T至少（多）有多少个生成树？
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
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例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
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第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
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第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
平面对偶
注1 只有射影命题才有对偶命题. 注2 对偶原则是一个双射
F：
点几何
线几何
因此, 对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化, 可以起到事半功倍的作用.
§ 1.4 平面对偶原则
二、代数对偶
考察方程
Aξ1 + Bξ 2 + Cξ 3 = 0.
视 (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) 为点的流动坐标，则方程表示直线 [ A, B, C ]. 视 [ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ] 为直线的流动坐标，则方程表示点 ( A, B, C ). 考察方程组
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则 1、基本概念 2、对偶图形举例
3、作一图形的对偶图形 例 1 作下列图形的对偶图形(P.32，例1.12). 翻译 2个 点 P, Q 5条 直线 l , a, b, c, d 关联关系 (1) P,Q在l上； (2) a,b,l共点于P; c,d,l共点于Q
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则
2. 基本对偶图形举例 (1) 点 (2) 点列(共线点集) l (P) (1)' 直线 (2)' 线束(共点线集)
L( p )
(3) 点场(共面点集) (4) 简单n点形：n个点(其中无 顺次连线 三点共线)及其两两顺次 顺次 构成的图形. 顶点：n个；边：n条.
§ 1.4 平面对偶原则
(5) 完全n点形：n个点(其中 无三点共线)及其每两点连线 构成的图形. n(n − 1) 条 顶点：n个； 边： 2 完全三点形ABC (5)' 完全n线形：n条直线(其 中无三线共点)及其每两直线 交点构成的图形. 边：n条；
n(n − 1) 顶点： 个 2
完全n点(线)形：n=3 完全三线形abc
第六章 平面图3 图论及其应用课件(共30张PPT)
H G
称 H 是G容许(róngxǔ)的。 例2 在G中，我们(wǒ men)取红色边导出的子图为HH, 并H取
G
G
容易知道： H 是G容许的。
6
第六页，共30页。
1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
例3 在G中，我们(wǒ men)取红色边导出的子图为HH,并H取
B3 G[v4v5] F (B 3,H 4)f1,f5
B4 G[v5v8] F(B4,H 4)f1
B5 G[v6v8] F(B5,H4)f1
v5 v6 f3 v7
v8
第十八页，共30页。
f5
18
1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
v8 v7
v3 v4
v6
v5 图G
v1
v2 f2 f1
v3 v4
H1
v5 v6 f3
v7 v8
15
第十五页，共30页。
1
0 .5 n 0
0 .5
1 2 1 .5 t1 0 .5 00
1 0 .8
0 .6 0.4 x 0 .2
B1 G[v1v4] F (B 1,H 2)f1,f3
B2 Gì)知H 道： 不 是G容许的。
定义4 设B是G中子(zhōngzǐ)图H的任意一座桥，假设B对H的所有
附着顶点都位于 H 的某个面f的边界上，那么称B在面 f 内可画入，
否那么，称B在面 f 内不可画入。
7
第七页，共30页。
图论平面图
定理: K5是非可平面图 证明： 反证法 若G是与K5对应的平面图, v1 , v2 , v3 , v4 , v5 是G 的顶 点， 因为G是完全图，任意两点邻接， 所以 回路 C = v1v2 v3v1 是一个Jordan曲线，则 v4 ∈ int C 或 v4 ∈ extC 。
设 v4 ∈ int C ，（v4 ∈ extC 同理），那么边 (v4 , v1),(v4 , v2 ),(v4 , v3 ) int C1 , int C2 , int C3 这里 将 int C 分成3割区域： C1 = v1v4 v2 v1 , C2 = v2 v4 v3v2 , C3 = v3v4 v1v3 v5 一定在4个区域中的一个区域内，如果 v5 ∈ extC 那么因为 v4 ∈ int C 根据 Jordan定理，边(v4 , v5 ) 一定 与 C 相交， 这就与G是平面图的假设矛盾，对于 v5 ∈ int Ci 可以按照同样的方法处理。
v3*
证明：
若
D
v5
v2
D
D
F1 F2 Dv * 2
D v1 Dv1* D v3
F3
D v4ห้องสมุดไป่ตู้
9.2.10 举例说明下列命题： “平面图G有度 数为1 的顶点，则其对偶图G*含有环；若G有 度数为2的顶点，则G*含有重边。”的逆命题不 真。
9.2.10 举例说明下列命题： “平面图G有度 数为1 的顶点，则其对偶图G*含有环；若G有 度数为2的顶点，则G*含有重边。”的逆命题不 真。 提示：它的对偶图既含环又含重边。
定义:如果G1和G2是同构的,或者通过反复插入或删去度 数为2的结点, 使得它们变成同构的图, 称G1和G2 是在2 D 次结点内同构. D D D D D 例如右边3个图就是 D D D D D D 在2度结点内同构. 定理4.7 (Kuratowski定理)一个图是平面图的充分且必 要条件是它不含有任何与K5、K3,3在2次结点内同构的子 图. (此定理证明略.) 判断下面彼得森(Petersen)图: D v1 D v1 Dv6 v Dv6 v Dv1 Dv8 Dv9 v7 v 10 7 10 Dv3 v2 D D Dv4 D Dv5 v2 D D D Dv5 Dv10 Dv8 Dv9 Dv8 Dv9 Dv2Dv7 Dv6 Dv5 Dv3 Dv4 Dv3 Dv4
图论课件特殊平面图与平面图的对偶
嵌入法
首先将原始图嵌入到平面 上，然后根据嵌入的图构 造对偶图。
Hale Waihona Puke 递归构造法通过对原始图的递归分割， 构造出对偶图。
04
特殊平面图与平面图的对 偶关系
欧拉图与对偶图的关系
欧拉图
一个连通图，其每一条边都恰好在一个欧拉路径 上。
对偶图
将原图的每条边替换为其对偶边，即反转边的方 向。
关系
如果一个图是欧拉图，那么其在对偶图中也是欧 拉图。
在其他领域的应用
生物信息学
在生物信息学中，特殊平面图和平面图的对偶可以用于描述基因组序列和蛋白质 相互作用网络。
电子工程
在电子工程中，特殊平面图和平面图的对偶可以用于描述电路设计和信号处理。
THANKS
感谢观看
经过原图每条边至少一次的回路。
表现
在对偶图中，欧拉路径和哈密顿路径的方向也会发生反转。
05
特殊平面图和平面图对偶 的应用
在计算机科学中的应用
1 2
路由算法
在计算机网络中，对偶图可以用于描述数据包的 传输路径，通过对偶图的计算可以找到最优路径。
计算机图形学
在计算机图形学中，特殊平面图和平面图的对偶 可以用于描述图形的渲染和光照计算。
02
特殊平面图
欧拉图
定义
一个连通图，它的边可以按照某 种顺序排列，使得每条边恰好被 走过一次，则称这个图为欧拉图 。
判定条件
一个连通图是欧拉图当且仅当存 在一个顶点，从它出发的边数等 于它与其它顶点的度数之和。
哈密顿图
定义
一个连通图，它的顶点可以由一个顶点开始遍历一次（包括 起点），且只遍历一次所有顶点，则称这个图为哈密顿图。
哈密顿图与对偶图的关系
图论课件-特殊平面图与平面图的对偶
图论课件-特殊平面图 与平面图的对偶
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REPORTING
目录
• 引言 • 平面图的对偶 • 特殊平面图01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
特殊平面图与平面图对偶的定义
特殊平面图
哈密顿图与对偶图的关系
01
02
03
哈密顿图的对偶图是一 个哈密顿图，其顶点对 应于原图的边，边对应
于原图的顶点。
哈密顿图的哈密顿路径 和哈密顿回路在对偶图 中表现为一个简单的闭
环。
哈密顿图的度数限制为4， 即每个顶点的度数不能超
过4。
PART 04
特殊平面图与平面图对偶 的应用实例
REPORTING
电路设计中的对偶图应用
在电路设计中，对偶图被用于表示电路元件之间的连接关系。通过将对偶图应用 于电路设计，可以简化电路分析和设计过程。
对偶图可以帮助电路设计师更好地理解电路的结构和功能，从而进行有效的电路 优化和改进。此外，对偶图还可以用于电路仿真和测试，以确保电路的性能和可 靠性。
网络设计中的对偶图应用
无环平面图的判定：一个平面 图是无环的当且仅当它的所有 面都是三角形。
欧拉图
欧拉图是指存在一条路径，该路径可以遍历其所有边且每条边只遍历一次的图。
欧拉路径是指遍历欧拉图的路径，而欧拉回路是指起点和终点是同一点的欧拉路径。
欧拉定理：一个连通图是欧拉图当且仅当它的所有顶点的度都是偶数。
哈密顿图
哈密顿图是指存在一条路径，该路径 可以遍历其所有顶点且每条边只遍历 一次的图。
对偶图的性质
对偶图的节点数等于原平面图 的边数，对偶图的边数等于原
平面图的节点数。
对偶图是二部图，即其节点 可以划分为两个不相交的子 集，使得每条边都连接这两
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REPORTING
目录
• 引言 • 平面图的对偶 • 特殊平面图01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
特殊平面图与平面图对偶的定义
特殊平面图
哈密顿图与对偶图的关系
01
02
03
哈密顿图的对偶图是一 个哈密顿图，其顶点对 应于原图的边，边对应
于原图的顶点。
哈密顿图的哈密顿路径 和哈密顿回路在对偶图 中表现为一个简单的闭
环。
哈密顿图的度数限制为4， 即每个顶点的度数不能超
过4。
PART 04
特殊平面图与平面图对偶 的应用实例
REPORTING
电路设计中的对偶图应用
在电路设计中，对偶图被用于表示电路元件之间的连接关系。通过将对偶图应用 于电路设计，可以简化电路分析和设计过程。
对偶图可以帮助电路设计师更好地理解电路的结构和功能，从而进行有效的电路 优化和改进。此外，对偶图还可以用于电路仿真和测试，以确保电路的性能和可 靠性。
网络设计中的对偶图应用
无环平面图的判定：一个平面 图是无环的当且仅当它的所有 面都是三角形。
欧拉图
欧拉图是指存在一条路径，该路径可以遍历其所有边且每条边只遍历一次的图。
欧拉路径是指遍历欧拉图的路径，而欧拉回路是指起点和终点是同一点的欧拉路径。
欧拉定理：一个连通图是欧拉图当且仅当它的所有顶点的度都是偶数。
哈密顿图
哈密顿图是指存在一条路径，该路径 可以遍历其所有顶点且每条边只遍历 一次的图。
对偶图的性质
对偶图的节点数等于原平面图 的边数，对偶图的边数等于原
平面图的节点数。
对偶图是二部图，即其节点 可以划分为两个不相交的子 集，使得每条边都连接这两
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图论课件--特殊平面图与平面图的对偶 图
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左