无穷级数(数学一和数学
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八、 无穷级数（数学一和数学三）
引 言
所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同。历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如 +-++-+-+1
)
1(1111n
历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”， 第一种 0)11()11()11(=+-++-+- 第二种 1)11()11()11(1=-------- 第三种 设S n =+-++-+-+ 1
)1(1111
则[]S =+-+-- 11111 S S =-1， 12=S ， 2
1
=
S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识， （1）什么是无穷多项相加？如何考虑？ （2）无穷多项相加，是否一定有“和”？
（3）无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。
§8．1 常数项级数
A 内容要点
一．基本概念与性质
1．基本概念
无穷多个数 ,,,,,321n u u u u ，依次相加所得到的表达式
+++++=∑∞
=n n n
u u u u u
3211
() ,3,2,13211
=++++==
∑=n u u u u u
S n n
k k
n
称为级数的前n 项的部分和。 {}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。 若()
S S n n =∞
→存在lim ，则称级数
∑∞
=1n n
u
是收敛的，且其和为S ，记以
S u
n n
=∑∞
=1
若n n S ∞
→lim 不存在，则称级数
∑∞
=1
n n
u
是发散的，发散级数没有和的概念。
（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中，不作这种要求。）
2．基本性质
（1）如果
∑∞
=1
n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
皆收敛，b a ,为常数，则
()∑∞
=+1
n n n
bv au
收敛，且等于∑∑∞
=∞
=+1
1
n n n n v b u a
（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。
发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4）级数
∑∞
=1
n n
u
收敛的必要条件是0lim =∞
→n n u 。
（注：引言中提到的级数
()∑∞
=+-1
11n n ，具有1)1(lim +∞→-n n 不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，故
()
∑∞
=+-1
1
1n n 发散。调和级数∑∞
=11n n 满足01
lim =∞→n n ，但∑∞
=11n n
却是分散的。所以
满足收敛级数的必要条件0lim =∞
→n n u ，而
∑∞
=1
n n
u
收敛性尚不能确定。）
3．两类重要的级数
∑∞
=0
n n
ar ()0≠a
当1 r a ar n n -= ∑∞ =10收敛； 当1≥r 时， ∑∞ =0 n n ar 发散。 （2）p —级数 ∑∞ =1 1n p n 当1>p 时， ∑∞ =11 n p n 收敛； 当1≤p 时， ∑∞=1 1 n p n 发散。 （注：1>p 时， ∑∞=1 1 n p n 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知61212π=∑∞ =n n 。） 二．正项级数敛散性的判别法 若),3,2,1(0 =≥n u n 则∑∞ =1 n n u 称为正项级数，这时 () ,3,2,11=≥+n S S n n 所以{}n S 是单调增加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界。 因此 ∑∞ =1 n n u 收敛n S ⇔有上界，这是正项级数比较判别法的基础。从而也是正项级数其 它判别法的基础。 1．比较判别法 设0>c ，当N n ≥时，0>≥n n u cv 皆成立。 如果 ∑∞ =1 n n v 收敛，则 ∑∞ =1 n n u 收敛； 如果 ∑∞ =1 n n u 发散，则 ∑∞ =1 n n v 发散。 2．比较判别法的极限形式 设0≥n u ，0≥n v ，() ,3,2,1=n 若A v u n n n =∞→lim