无穷级数(数学一和数学

八、 无穷级数（数学一和数学三）引 言所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同。

历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。

例如 +-++-+-+1)1(1111n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”， 第一种 0)11()11()11(=+-++-+- 第二种 1)11()11()11(1=-------- 第三种 设S n =+-++-+-+ 1)1(1111则[]S =+-+-- 11111 S S =-1， 12=S ， 21=S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识， （1）什么是无穷多项相加？如何考虑？ （2）无穷多项相加，是否一定有“和”？（3）无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。

因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。

§8．1 常数项级数A 内容要点一．基本概念与性质1．基本概念无穷多个数 ,,,,,321n u u u u ，依次相加所得到的表达式+++++=∑∞=n n nu u u u u3211() ,3,2,13211=++++==∑=n u u u u uS n nk kn称为级数的前n 项的部分和。

{}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。

若()S S n n =∞→存在lim ，则称级数∑∞=1n nu是收敛的，且其和为S ，记以S un n=∑∞=1若n n S ∞→lim 不存在，则称级数∑∞=1n nu是发散的，发散级数没有和的概念。

（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中，不作这种要求。

）2．基本性质（1）如果∑∞=1n nu和∑∞=1n nv皆收敛，b a ,为常数，则()∑∞=+1n n nbv au收敛，且等于∑∑∞=∞=+11n n n n v b u a（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

（3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。

发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。

（4）级数∑∞=1n nu收敛的必要条件是0lim =∞→n n u 。

（注：引言中提到的级数()∑∞=+-111n n ，具有1)1(lim +∞→-n n 不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，故()∑∞=+-111n n 发散。

调和级数∑∞=11n n 满足01lim =∞→n n ，但∑∞=11n n却是分散的。

所以满足收敛级数的必要条件0lim =∞→n n u ，而∑∞=1n nu收敛性尚不能确定。

）3．两类重要的级数∑∞=0n nar ()0≠a当1<r 时，raar n n -=∑∞=10收敛； 当1≥r 时，∑∞=0n nar发散。

（2）p —级数∑∞=11n p n 当1>p 时，∑∞=11n pn 收敛； 当1≤p 时，∑∞=11n p n 发散。

（注：1>p 时， ∑∞=11n p n 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知61212π=∑∞=n n 。

）二．正项级数敛散性的判别法若),3,2,1(0 =≥n u n 则∑∞=1n nu称为正项级数，这时() ,3,2,11=≥+n S S n n所以{}n S 是单调增加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界。

因此∑∞=1n nu收敛n S ⇔有上界，这是正项级数比较判别法的基础。

从而也是正项级数其它判别法的基础。

1．比较判别法设0>c ，当N n ≥时，0>≥n n u cv 皆成立。

如果∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛；如果∑∞=1n nu发散，则∑∞=1n nv发散。

2．比较判别法的极限形式设0≥n u ，0≥n v ，() ,3,2,1=n 若A v u nnn =∞→lim（1）当+∞<<A 0时，∑∞=1n nu与∑∞=1n nv同时收敛或同时发散。

（2）当0=A 时，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu收敛。

（3）当+∞=A 时，若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nv收敛。

3．比值判别法（达朗倍尔）设0>n u ，而ρ=+∞→nn n u u 1lim（1）当1<ρ时，则∑∞=1n nu收敛。

（2）当1>ρ（包括+∞=ρ）时，则∑∞=1n nu发散。

（3）当1=ρ时，此判别法无效。

（注：如果nn n u u 1lim+∞→不存在时，此判别法也无法用。

）4．根值判别法（柯西）设0≥n u ，而ρ=∞→n n n u lim（1）当1<ρ时，则∑∞=1n nu收敛。

（2）当1>ρ（包括+∞=ρ）时，则∑∞=1n nu发散。

（3）当1=ρ时，此判别法无效。

事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论。

应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在1=ρ情形都无能为力，数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说，不作要求。

三．交错级数及其莱布尼兹判别法1．交错级数概念若0>n u ，()∑∞=+-111n n n u 称为交错级数。

2．莱布尼兹判别法设交错级数()∑∞=+-111n n n u 满足： （1）() ,3,2,11=≤+n u u n n （2）0lim =∞→n n u则()∑∞=+-111n n n u 收敛， 且()11110u u n n n <-<∑∞=+四．绝对收敛与条件收敛1．定理 若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu一定收敛；反之不然。

2．定义若∑∞=1n nu收敛，则称∑∞=1n nu为绝对收敛；若∑∞=1n nu收敛，而∑∞=1n nu发散，则称∑∞=1n nu为条件收敛。

3．有关性质（1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。

（2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即()∑∞=+121n n n u u 或()∑∞=-121n n n u u 一定是发散的。

4．一类重要的级数 设()∑∞=+-111n pn n（1）当1>p 时，()∑∞=+-111n pn n 是绝对收敛的。

（2）当10≤<p 时，()∑∞=+-111n pn n 是条件收敛的。

（3）当0≤p 时, ()∑∞=+-111n pn n 是发散的。

B 典型例题一．主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性例1．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。

（1）()∑∞=+111n n n（2）()()∑∞=++1211n n n n例2．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。

1）()()∑∞=+++1111n n n n n2）∑∞=-1212n nn 1）解：()()∑∞=+++1111n n n n n 的()()∑=+++=nk n k k k k S 1111()()()()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+=nk n k k k k kk S 122111∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=nk k k1111111+-=n1lim =∞→n n S()()11111=+++∴∑∞=n n n n n ，收敛[注] 如果只判别收敛性不需要求和，那么可以用比较判别法的极限形式 因为)(21~)1()1(123∞→+++n nn n n n 当而123>=p ,可知∑∞=12321n n 收敛，从而原级数收敛 2）解：nn n S 21225232132-++++= ① 143221223225232121+-+-++++=n n n n n S ② ①-②得132********122121+--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n n n S1121221121+---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n n 123223++-=n n 3lim =∞→n n S32121=-∴∑∞=n nn ，收敛 例3．设数列{}n na 收敛，级数()∑∞=--11n n na an 收敛，证明∑∞=0n n a 收敛（数学三可以不看）证：由题意可知A na n n =∞→lim 存在()S a ak S nk k kn n n =-=∑=-∞→∞→11limlim 存在而()()()()123120132--++-+-+-=n n n a a n a a a a a a S ∑-=-=1n k kn ana因此，∑-=-=10n k n n kS na a∑-=∞→∞→∞→-=-=1lim lim limn k n n n n kn S A S na a于是级数∑∞=-=0n nS A a是收敛的二．主要用判别法讨论级数的敛散性1．正项级数情形例1．若级数∑∞=1n n a ()0≥na收敛，则（1）∑∞=12n na收敛（2）∑∞=1n n na 收敛（3）∑∞=+11n nna a 收敛 证：(1)∑∞=1n na收敛0lim =∴∞→n n a ，取1=ε，存在N ，当N n >时，1<n a ，于是n n n a a a =⋅<12再用比较判别法，由∑∞=1n na收敛可知∑∞=12n na收敛（2）)1(2122na n a na n n n +≤=（几何平均值≤算术平均值） 已知∑∞=1n n a 收敛，∑∞=121n n 收敛，故⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=21121n a n n 收敛，再用比较判别法，可知∑∞=1n n na 收敛（3）0≥n a ，() ,3,2,11=≤+∴n a a a n nn已知∑∞=1n n a 收敛，用比较判别法可知∑∞=+11n nna a 收敛。

例2．判别下列级数的敛散性（1）∑∞=⋅1!n n n n n a (0>a 常数) （2）()()∑∞=12!2!n n n解：用比值判别法（1）()()!1! 1lim lim 111n a n n n a u u nn n n n nn n ⋅++=++∞→+∞→ea n a nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→11lim当e a <，则1<e a，故级数收敛 当e a >，则1>e a，故级数发散当e a =时，1=ea，比值判别法无效但这时1)11(1>+=+n nn neu u ，即n n u u >+1 那么收敛的必要条件0lim =∞→n n u 一定不满足，故级数也发散（2）()[]()[]()()221!!2! 12! 1lim lim n n n n u u n nn n ⋅++=∞→+∞→ ()()()4122121lim 2=+++=∞→n n n n故级数收敛例3．正项数列{}n a 单调减少，且()∑∞=-11n n na 发散，问nn n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111是否收敛？并说明理由。