斯坦纳-雷米欧斯定理的三种证明方法
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关于斯溉纳一雷米欧 定理的三种证明方法
肖 敏 湖南中医药高等专科学校 ４２ １ １ ０２
摘 寒
斯坦纳一雷米欧斯定理的内容对所有中学生 来说都是很熟悉，但对于它的证明我们却很
少见过 ，为此本人通过研 究得到 了证明该 定
Ｂ ＝ Ｆ 过 Ｈ作 Ｈ ／ Ｃ Ｈ Ｃ， Ｋ ／ Ｆ交 Ｂ 于 Ｋ， Ｅ 在三角形 ＣＦＤ 和三角形 ＢＨ Ｋ 中，
：ｓ Ｚ ｓｌ ． ｎ ｉ ａ ｉ（ ｌ２口＋ａ １ ２日 卜５１ １
·灿 ·汕
与Ｃ Ｄ是乙 璐陀ｃ 的角平分线且Ｂ ＝ Ｄ ＥＣ ， 证明：△ＡＢＣ为等腰三角形。 利用积化和差公式得： ａｓ ２口 翎 ［ ｉ（ ｎ 证明： Ｂ Ａ ， 假设Ａ ＞ Ｃ 则由大边对大 一＋ａ Ｓ Ｚ日一 目ｓ （ ＋ｎ ）ｉ ］血 ｌｎＺ日十ａ十 ｉ ）弧 角得： ＡＣ ＞乙 Ｃ， 乙 Ｂ ＡＢ 从而乙 Ｄ＜ 一Ｚ 二 ＡＣ ］ ａ ０ 乙ＡＢＥ。 展开上式整理得： ｉ 昌＋ａ （ｎ ｓ （ ｎＺ ）ｉ ｓ 在角乙 作乙 Ｃ ＝ Ａ Ｅ 则在 Ｃ内 Ｄ Ｆ 乙 Ｂ ， ｛ａ ｓ 时＋ ａ Ｚ 一 Ｚ 咖 口 一 ｎ ｉ ｎ ｉ ｓ 血 ｐ血 ａ 三角形Ｆ Ｃ中得Ｆ ＞ Ｃ， Ｂ Ｂ Ｆ 在Ｂ Ｆ上取 １＝ ， ０
２ ２ ４
‘ ‘ 十 ）ｓ ｓ Ｌ ｕｃ 不厂十ｓ“， ｓ一 ） ｍｐ ｏ ” ５ｐ， 歹￣ｕ ｍ ｎ ｎ ，
。， 睽 二 …ａ ＝ 日，
ａ十 日 ＿ ．ｏ． ｐ 。 ａ＋
分、取对数等适当的变形，转化为基本不 定式，然后再用洛必达法则计算。用洛必 达法则求极限出现震荡而失效时，应选用
分母每求一次导数，分子、分母的无穷小 一阶数都只减少一次，而利用麦克劳林公式 一可以马上得到分子、分母的无穷小阶数， 一然后可直接迅速地得到答案。
阎 宣 立新 主编． 高等数学学习 指导． 高等
教 育 出版社
【 华东师范大学数学系 数学分析． ６ 〕 高等
教 育 出版社
臻稚熏 拚抓心洲从娜爪价布价一一
（ｎ ｔ ｐ２ ｔ 匆＋ａ ） ａ ｎ
求限 击击 ） 极斌 ·一六
故 数令收 。此 级 客 敛 因， 悠 。 令一。．
对于一个具体求极限的问题，可能有 多种方法都能解决，这就要求我们选择恰
当的方法 ，以取得事半功倍的效果 。
又因为 Ｉ ＯＤ｝ ＢＣＩ ＝｝ ，所以有 ｝Ｄ２旧Ｃ’ Ｏ｝ ＝ ｝ ，
其它方法求极限。
ｅ ，万＋ 。ｘ） 若 一 了＋几
ｒ
扩
ＣＳ Ｏ Ｘ一亡 ２
一比 ＋ （ ） ０ｘ ． ｓ
．Ｂ Ｃ即△Ａ Ｃ为等腰三角形。 ’＝ ． Ｂ 方法三：利用平面解析几何知识证明 证明： 所示， 如图３ 在△Ａ Ｏ中， Ｂ 角
１
＝ｃ ｓ ｉ ｏ Ｚｌ ｍ
乎 感 、
－了
宝￣ ２ 全
ｌｉｍ 兰 宜 ｝ 二
Ｘ一２
ｏ Ｚ， ｃｓ
之
十三、 利用数项收敛的必要性求
极限
求正无穷小量的极限时， 采用此方法 较 简便 。
二 犷 ＝ｓ 飞 甥。 。二 ｕ
十一、用定积分求极限
根据变量的特征， 借助定积分的几何 意义 ，获得简捷的解题方法 。
ｈ ｘ ２ 二ｃ ｓ ｉｌ ｌ一 《 ） ｏ Ｚｌ ｎ
上 渔 一．
直线Ｏ Ａ的方程为： ＝ ｔ ｙ ｘ· ａｎ Ｚ ａ“… （ · １） 直线ＯＤ的方程为： ＝ｘ · ｙ ｔａｎ ａ· （ ‘… ２） · 直线Ｂ Ｃ的方程为： 二 ｘ· ａｎ日 ｙ一 ｔ ＋ｔ ｂ ａｎ日 …… （） ３ 直线Ａ 的方程为： ＝ ｘ· ａｎ ｐ Ｂ ｙ一 ｔ Ｚ
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２
碑 熬土接头 舀妇 碑页
在三角形中，由题设可知 ：
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‘ 兀
型可直接用洛必达法则求极限， 而对于‘ · ０ ， ｏ 、“ ｃ” ｃ 一 ｃ” １’ 、“ ” 。 ｏ ｏ 、“ ” ００ 、“
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图２
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图３
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万方数据
川， 沈文选主编． 初等数学 教程． 研究 湖南师 范大学出 版社． ９ １ ９ ５ 例２ 、求极限ｌ ０ ｍ ｉ
Ｊ ２
作脚 考 介
何向荣：（９０一）女 满族 河北丰宁人 １ ７ 承德师专数学系高级讲师， 理学学士。工作 单位：承德民族师范高等专科学校数学系。
ｃｓ ｏ ｘ一ｅ Ｚ
wenku.baidu.com
例７求 咒 路 ‘ 黔 碧异 、
解 ：原式 ＝
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因而求得
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平分线｝ 卜Ｂ ， 为原点， 点的坐 Ｏ ｝ ０ Ｄ Ｃ Ｉ 设Ｂ 标为 （， 化六 Ｂ ２ ，Ａ Ｏ ２日 ０ｂ ） Ｏ＝ 以匕 Ｂ＝ 则
由已知条件可知：
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， 娜卿鹦１
例， 辣 格 １ 求粤 、
舞 考熏粼
Ｌ 刘玉涟 等编 数学分析讲义． ｌ 科学普及
出版社
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，化解得 ： 最后整理
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图 吉米多维奇． 数学分析 人民 教育出 版
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所以｝ 叫，
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证明： Ｃ 在△Ｄ Ｂ与△Ｂ Ｃ中， 正弦 Ｅ 由
定 理可 得 ：
缪
〔Ｄ 一
垫 ， 哩 二 全誉 Ｂ艺 Ｂ〔
图１
又由已知 Ｃ ＝ Ｅ，所以以上二式相 Ｄ Ｂ 除得 ：
事实上斯坦纳— 雷米欧斯定理就是 我们在学习等腰三角形时多次应用过的一 个证明等腰三角形的结论： 有两条内角平 分线长度相等的三角形必为等腰三角形。 当时听老师讲此定理证明比较难，所以本
社
）ｓ ｎ ｉ ｉ 日 ｎ 得： Ｚａｓ （ 日＋ａ ＝ ２日ｓ （ ｎ ｉ ｓ ｎ ｉ２
＋ ） Ｚａ 此时读者可以按照方法二继续证完。
阎吉 林大学数学系 编． 数学分析． 教 人民
育 出版社
囚 同济大学 教研室 编， 高等数学． 教 人民
育 出版社
１ 十 有 ，不 洛 达 则 分 、 时分效 它象 必法 ，子
ｘ ４
一３ ５ ３一
万方数据
办ｔ２ｐ ｔ２ｐｔＺ） ，ａ ２ ＋ａ ２ ｌｎ （ｏ ｎ ａａ （ｎ ＋ａＺ） ｔａ ｔ 日２ ａ ｎ
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解以 · · ） ： 击击·六 二
忽演 菩
一一砍 ｌ十 ＝２ １ 一 ｘ 匕· 上 ｎ） （１
十二、利用泰勒公式求极限
用麦克劳林公式计算某些不定式极限
…ｉ 一 睽ｇ ， ，‘ ） ｍ Ｓ” 一 睽 ｎ Ｚ
ｎ ｓ ｎ ０ ＋ ｓ ａ ｉｐ 坚卫ｉ 尘＿ ４ｉ ｓ ｓ 竺 ‘ 竺 ｎ ｎ ｉ
２ ２
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方法二： 利用正弦定理 如图２ 如图２ 所示： 所示， 在△Ａ Ｃ Ｂ
线且Ｂ 云 Ｄ， Ｅ Ｃ 证明： △Ａ Ｃ为等腰三 Ｂ
解： 忽 ｌｉｍ ￣
告丢毛 卜 （＋十斗 与 、‘ １ｎｌｅ， ， ” １ ’ 才
例１ 、 ９
，考 察 正 项 级 数
联立方程 （ ） （ １ 和 ３）解得Ｃ 点
ｂｎ 比 ｐ ． 旦 竺、 的坐标为 ： ｔ 孤 ＋ａｐ些 ＋ｔ ｐ ． （ｎ ｔ ’ 竺 竺 ” ａ ｎ ｔ 胡址 ａ ｎ
“ ”型的不定式 ，可以经过 倒代换 、通
对基 定 号型 。 不 式“” 和‘ 于本 黔
解 ：本题可用洛必达法则求解 （ 较 繁琐） ，在这里可应用泰勒公式求解． 考 虑到极限式的分母为刃，我们用麦克劳林 公式表示极限的分子 （ ｎ ４ 取 ＝ ）得
二 一 ＋ ＋ （， １ 立 二 ０ｘ） ．
丝旦 竺
弓 Ｃ ｍ
ｓ Ｂ （ ｎ ｉ ＋
５《 山 Ｃ＋
盲 左）
护 ｝ ２
（） １
人一直在寻求此定理的比较简单的证明方 法，通过深入的研究，发现以下三种证明 方法是既适合中学生又相对比较简单。
方法一： 反证法 如图１ 在△Ａ Ｃ中，已知Ｂ 所示， Ｂ Ｅ
ｃ ２目 则 （ ） ， １ 然后令 Ｂ＝ ａ， ＝ １ 城 ｐ 旦鱼 ５ 加 ＋ ） 鱼 式可变为 ｓ Ｚ ５ ｐ ａ ｎ ｉ 协 城Ｚ ＋ ）
Ｃ Ｆ ＝ Ｂ Ｈ ， Ｃ ＦＤ ＝ 乙 Ｂ Ｈ Ｋ ， 乙
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日ｃｓ日一 ｓｌ ａｓｌ日Ｃ ｓａ＝ ｏ Ｚｌ ｉ ｉ ｌ ｏ ０
理的几种方法，写出来和大家探讨。
袭 询 御
斯坦纳一雷米欧斯定理； 反正法； 正弦定理； 平面
解 析 几何
乙 Ｃ ＝ Ｈ Ｋ，所以△ 尸 二 刀 犬。所 ＤＦ 乙 Ｂ Ｃ Ｄ △刀 以Ｃ 二 Ｋ Ｂ 与已知Ｃ ＝ Ｅ ＤＢ＜Ｅ Ｄ Ｂ 矛盾。所 以假设错误 ，同理 假设ＡＣ＞ＡＢ时，也得到与已知 Ｃ ＝ Ｅ矛盾， Ｄ Ｂ 所以 ＡＢ ＡＣ，所以△ ＝
１ ）２ １ ．灿 ２口＋ａ（ ａ 一 ５１门 日＋ 溢１ ’ ． （ ） 翎 ａｓ （ ｓ ｃｓ ）０ ｉ ｃ 日一 ｏ ａ ＝ ， ｎ日 ｏ
肖 敏 湖南中医药高等专科学校 ４２ １ １ ０２
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斯坦纳一雷米欧斯定理的内容对所有中学生 来说都是很熟悉，但对于它的证明我们却很
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与Ｃ Ｄ是乙 璐陀ｃ 的角平分线且Ｂ ＝ Ｄ ＥＣ ， 证明：△ＡＢＣ为等腰三角形。 利用积化和差公式得： ａｓ ２口 翎 ［ ｉ（ ｎ 证明： Ｂ Ａ ， 假设Ａ ＞ Ｃ 则由大边对大 一＋ａ Ｓ Ｚ日一 目ｓ （ ＋ｎ ）ｉ ］血 ｌｎＺ日十ａ十 ｉ ）弧 角得： ＡＣ ＞乙 Ｃ， 乙 Ｂ ＡＢ 从而乙 Ｄ＜ 一Ｚ 二 ＡＣ ］ ａ ０ 乙ＡＢＥ。 展开上式整理得： ｉ 昌＋ａ （ｎ ｓ （ ｎＺ ）ｉ ｓ 在角乙 作乙 Ｃ ＝ Ａ Ｅ 则在 Ｃ内 Ｄ Ｆ 乙 Ｂ ， ｛ａ ｓ 时＋ ａ Ｚ 一 Ｚ 咖 口 一 ｎ ｉ ｎ ｉ ｓ 血 ｐ血 ａ 三角形Ｆ Ｃ中得Ｆ ＞ Ｃ， Ｂ Ｂ Ｆ 在Ｂ Ｆ上取 １＝ ， ０
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作脚 考 介
何向荣：（９０一）女 满族 河北丰宁人 １ ７ 承德师专数学系高级讲师， 理学学士。工作 单位：承德民族师范高等专科学校数学系。
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Ａ ｃ 等 三角 。 Ｂ为 腰 形
方法二： 利用正弦定理 如图２ 如图２ 所示： 所示， 在△Ａ Ｃ Ｂ
线且Ｂ 云 Ｄ， Ｅ Ｃ 证明： △Ａ Ｃ为等腰三 Ｂ
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告丢毛 卜 （＋十斗 与 、‘ １ｎｌｅ， ， ” １ ’ 才
例１ 、 ９
，考 察 正 项 级 数
联立方程 （ ） （ １ 和 ３）解得Ｃ 点
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人一直在寻求此定理的比较简单的证明方 法，通过深入的研究，发现以下三种证明 方法是既适合中学生又相对比较简单。
方法一： 反证法 如图１ 在△Ａ Ｃ中，已知Ｂ 所示， Ｂ Ｅ
ｃ ２目 则 （ ） ， １ 然后令 Ｂ＝ ａ， ＝ １ 城 ｐ 旦鱼 ５ 加 ＋ ） 鱼 式可变为 ｓ Ｚ ５ ｐ ａ ｎ ｉ 协 城Ｚ ＋ ）
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理的几种方法，写出来和大家探讨。
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斯坦纳一雷米欧斯定理； 反正法； 正弦定理； 平面
解 析 几何
乙 Ｃ ＝ Ｈ Ｋ，所以△ 尸 二 刀 犬。所 ＤＦ 乙 Ｂ Ｃ Ｄ △刀 以Ｃ 二 Ｋ Ｂ 与已知Ｃ ＝ Ｅ ＤＢ＜Ｅ Ｄ Ｂ 矛盾。所 以假设错误 ，同理 假设ＡＣ＞ＡＢ时，也得到与已知 Ｃ ＝ Ｅ矛盾， Ｄ Ｂ 所以 ＡＢ ＡＣ，所以△ ＝
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