线性与非线性规划问题求解

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3.3.2_非线性_规划问题(二)

ay＋b 对形如z＝ (ac≠0)型的目标函数，可先 cx＋d
b y－－a a z＝c · d的形式，将问题化为可行域内的点(x，y)与 x－－ c
变形为
d b a －，－连线斜率的倍的范围、最值等． a c c
x－4y＋3≤0 1－1.变量 x、y 满足3x＋5y－25≤0 x≥1
x－2y＋1≤0 例 3：若变量 x、y 满足 2x－y≥0 x≤1 则点 P(2x－y， x＋y)表示区域的面积为( ） a＋b x＝ 3 2x－y＝a 思维突破：， . x＋y＝b y＝2b－a 3 a－b＋1≤0 代入 x、y 的关系式得：a≥0 ， a＋b－3≤0
3．3.3
简单的线性规划问题(二)
题型一：最优整数解
x＋y≤7 2 x≥0 y≥0
1．x、y 满大值与最小值分别为_______.
解析：可行域如图 15.
图15 方法一：平移直线 x－y＝0，因为 x、y 为整数，当直线经
2x＋5y≥15 x＋5y≥10 件 x≥0 y≥0
.
思维突破：把 z＝ x2＋y＋12看成区域内的点到点(0，－1) 的距离．
解：作出不等式组所表示的可行域如图 3.
图3 把 z 当作常数时，它表示点(x，y)到点(0，－1)的距离，点(x， y)在可行域内．由图 3 可知，z 的最小值为点(0，－1)到直线 2x ＋5y＝15 的距离?．
过 A(3,0)点时，z 取得最大值；当直线经过 B(0,3)点时，z 取得
最小值．所以 zmax＝3－0＝3，zmin＝0－3＝－3.
方法二：可行域内的整点分别为(0,3)，(0,2)，(0,1)，(0,0)，
(1,2)，(1,1)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(3,0)，分别代入 z＝x－y，可求得 zmax＝3－0＝3，zmin＝0－3＝－3. 方法三：在可行域内 z＝x－y 的最大值为 3.5，最接近 z 取最大值的整点为(3,0)，所以 zmax＝3－0＝3，同理 zmin＝0－3＝－3.

线性和非线性优化的算法研究

线性和非线性优化的算法研究优化问题是现代科学与工程领域中的重要问题之一。

在日常生活中，我们经常面临着各种各样的优化问题。

例如，我们要求自己每天的工作和生活都能够更加高效地完成，我们要让自己的饮食和运动更加合理科学，我们的公司要最大化盈利并最小化成本，我们的政府要优化资源配置以满足人民的不同需求等等。

为了解决这些优化问题，科学家们利用数学建立了各种优化模型，并研究了相应的优化算法。

其中，线性和非线性优化算法是两种最常用也最基础的优化算法之一。

1. 线性优化的算法研究线性优化问题指的是目标函数和约束条件都是线性的优化问题。

这类问题在现实中非常常见。

例如，制定一个最佳的生产计划以最大化利润、最小化成本；设计一个最优的物流运输方案以最小化总运费等等。

线性优化问题的数学基础是线性代数和线性规划。

线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支，在许多优化问题的模型建立中，经常需要使用向量和矩阵进行表达。

而线性规划是一个针对线性优化问题的数学分支，它的主要目标是寻找一个在所有满足约束条件的解中，能够最大/最小化目标函数值的解。

而解决线性规划问题有两个重要的算法：单纯形法和内点法。

单纯性法是由美国数学家George Dantzig在1947年发明的算法。

它是目前解决线性规划问题最重要且最常用的算法之一。

单纯性法的核心思想是：通过不断地将无界的解空间向各约束的可行域逼近，最终找到全局最优解。

单纯性法不断调整进入基变量和离开基变量，直到找到满足约束条件的最大/最小值。

此外，内点法是针对线性规划问题的另一种重要算法。

它于1984年被美国数学家Narendra Karmarkar发明，相对于单纯性法而言，内点法对于大规模更为复杂的问题具有很高的求解效率。

内点法的基本思想是：将可行域内的每个解都转化为具有一定可行性的解，然后在这个集合中找到全局最优解。

2. 非线性规划的算法研究对于非线性优化问题，目标函数和/或约束条件包含非线性项。

——线性规划与非线性规划

软件中多为 Dantzig 单纯形法.
参考书目：薛嘉庆.线性规划.北京：高等教育出版社,1989 刁在筠郑汉鼑等. 运筹学.北京：高等教育出版社,2001
4. 特殊的线性规划
当所有决策变量都取整数时，称为整数规划(IP). 当所有决策变量只取 0 或 1 时，称为 0-1 规划. 当只有部分决策变量取整数时，称为混合整数规划(混合 IP).
数学建模会涉及数学的众多学科：微分方程，运筹学，概率统计，图论，层次分析，变分法……，要求建模者有较高的数学素养，有综合应用已学到的数学方法和思维对问题进行分析、抽象及简化的能力.
数学建模既是建立实际问题的数学模型.
一、最优化模型
数学建模的目的是使决策人的“利益”最大化，因此而建立的数学模型即所谓的最优化模型.
一般形式与其标准形式问题的求解等价，因为这两个问题的可行解一一对应，目标函数值对应相等.所以如果这两个问题之一有最优解，那么另一个也必有最优解，且最优值相等.
2. 线性规划的特点 (1)线性规划的可行域是凸集：凸多边形、凸多面体或空集.
凸集
非凸集
凸多边形
凸多面体
(2)目标函数的等值面(或等值线)是平行的(超)平面(或直线).
运筹学
——线性规划与非线性规划
线性规划与非线性规划是运筹学的一个分支.
运筹学研究什么呢?运筹学是研究“如何做出正确决策或选择，以达到最好结果”的一门数学学科.
有一句成语形象地说明了运筹学的特点：运筹帷幄，决胜千里.
数学因实际的需要而产生，数学的很多重大发现也因实际的需要而出现. 数学建模竞赛既因实际的重要需要而在世界范围内(在我国近十几年)各大学蓬勃开展. 没有受到条条框框制约、富有聪明才智的大学生们，在每次竞赛中都能对实际中的一些重要问题与难题给出富有新鲜创意的解决办法，往往因此产生重大的社会效益和经济效益.建模竞赛就是知识的“强行军”.竞赛会极大地激发学生们的创造性思维，是对学生们思考能力和动手能力的考验.竞赛能让学生们切身感受到学习各科知识的必要性、重要性，成为学生们认真学习的推动力.

实验利用Lingo求解整数规划和非线性规划问题

三、Lingo 循环编程举例
例5 用Lingo循环编程语句求解线性规划模型
max z 72x1 64x2
x1 x2 50, 132xx1 1180x0,2 480, x1 0, x2 0.
三、划模型
max z 72x1 64x2
MODEL: SETS: person/A,B,C,D/; task/1..4/; assign(person,task):a,x; ENDSETS DATA: a=1100,800,1000,700,
600,500,300,800, 400,800,1000,900, 1100,1000,500,700; ENDDATA min=@sum(assign:a*x); @for(person(i):@sum(task(j):x(i,j))=1); @for(task(j):@sum(person(i):x(i,j))=1); @for(assign(i,j):@bin(x(i,j))); END
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目的函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6、指派问题
企业在各地有4项业务，选定了4位业务员去处理。因为业务能力、经验和其他情况不同，4业务员去处理4项业务旳费用（单位：元）各不相同，见下表：
(3) 集合旳循环函数集合旳循环函数能够使全部旳元素反复完毕某些操作.
函数
函数功能
• 形成集合全部元素需满足旳约
@for
束条件
• 计算集合中元素所在体现式旳
@sum

非线性规划问题的求解及其应用

非线性规划问题的求解及其应用非线性规划，可以说是一种非常复杂的数学问题。

在实际应用中，许多系统的优化问题，都可以被转化为非线性规划问题。

但是，由于这种问题的复杂性，非线性规划的求解一直是数学界的一个研究热点。

一、非线性规划的基本概念1. 可行域在非线性规划中，可行域指的是满足所有约束条件的点集。

在二维平面上，可行域能够很容易地表示出来，但在多维空间中，可行域的表示就变得非常困难。

2. 目标函数目标函数是一个数学公式，它用来评估在可行域中各个点的“好坏程度”。

一个非线性规划问题的求解，其实就是在可行域内寻找一个能够最大化目标函数值的点。

3. 约束条件约束条件是指规划问题中需要满足的条件。

这些条件包括函数值的范围限制、变量之间相互制约等。

通常来说，非线性规划的约束条件相对于线性规划而言更加复杂。

二、非线性规划的求解方法在非线性规划问题的求解中，有很多种方法可供选择。

下面，我们来介绍其中一些常用的方法。

1. 半定规划半定规划（Semi-definite Programming, SDP）是非线性规划的一个子集，它具有线性规划的一些特性，但可以解决一些非线性问题。

与线性规划不同的是，半定规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。

2. 内点法内点法是一种非常流行的求解非线性规划问题的方法。

它是一种基于迭代的算法，可以在多项式时间内求解最优解。

内点法的一个优点是，它能够解决带有大量约束条件的规划问题。

3. 外点法外点法是另一种常用的求解非线性规划问题的方法。

外点法首先将非线性规划问题转化为一组等式和不等式约束条件的问题。

然后，采用一种迭代的方法，不断地拟合目标函数，以求得最优解。

4. 全局优化法全局优化法是非线性规划问题中最难的问题之一。

全局优化法的目标是寻找一个区域内的全局最优解，这个解要在这个区域中所有可能的解中处于最佳位置。

由于非线性规划问题的复杂性，全局优化法通常需要使用一些高级算法来求解。

三、非线性规划的应用非线性规划被广泛地应用于各种领域，下面我们来介绍其中一些应用。

第六讲线性规划与非线性规划

f=f(x); •
(2)若有非线性约束条件：c1 x 0 或c2 x 0, 则建立M
文件c.m定义函数c1 x,c2 x, 一般形式为
function [c1,c2]=c(x)
c1=…
c2=… (3)建立主程序。求解非线性规划的函数是fmincon,
调用格式为 x=fmincon(‘fun’,x0,A1,b1);
故它属于一个整数线性规划问题，这里当成一个线性规划求解，求得最优解刚好是整数x1=9，x2=0，故它就是该整数规划的最优解.若用线性规划解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法求解.
二、非线性规划
1、二次规划
❖
标准形式：min
z
1
xT
x1 4x2 5
•
x1, x2 0
❖
改写成标准形式：min z
x1 2x2
1 2
x12
1 2
x22
s.t.
2x1 3x2 x1 4x2
6 5
0 0
0 0
x1 x2
❖ 建立M文件fun1.m
❖ 建立主程序(见MATLAB程序(feixianxingguihua1))
工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加
工工件的要求，又使加工费用最低？
车床类型
甲
乙
单位工件所需加工台时数工件 1 工件 2 工件 3
0.4
1.1
1.0
0.5
1.2
1.3
单位工件的加工费用工件 1 工件 2 工件 3
13
9
10
11
12
8
可用台时数
800

非线性规划的解法

非线性规划的解法非线性规划是一类重要的数学规划问题，它包含了很多实际应用场景，如金融市场中的资产配置问题，工程界中的最优设计问题等等。

由于非线性目标函数及约束条件的存在，非线性规划问题难以找到全局最优解，面对这样的问题，研究人员提出了众多的解法。

本文将从梯度法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等方法进行介绍，着重讨论它们的优劣性和适用范围。

一、梯度法首先介绍的是梯度法，在非线性规划中，它是最简单的方法之一。

梯度法的核心思想是通过寻找函数的下降方向来不断地优化目标函数。

特别是在解决单峰函数或弱凸函数方面优势明显。

然而，梯度算法也存在一些不足之处，例如：当函数的梯度下降速度过慢时，算法可能会陷入局部最小值中无法跳出，还需要关注梯度方向更新的频率。

当目标函数的梯度非常大，梯度法在求解时可能会遇到局部性和发散性问题。

因此，它并不适合解决多峰、强凸函数。

二、牛顿法在牛顿法中，通过多项式函数的二阶导数信息对目标函数进行近似，寻找下降方向，以求取第一个局部极小值，有时还可以找到全局最小值。

牛顿法在计算方向时充分利用二阶导数的信息，使梯度下降速度更快，收敛更快。

因此，牛顿法适用于单峰性函数问题，同时由于牛顿法已经充分利用二阶信息，因此在解决问题时更加精确，准确性更高。

但牛顿法的计算量比梯度法大，所以不适合大规模的非线性规划问题。

此外，当一些细节信息不准确时，牛顿法可能会导致计算数值不稳定和影响收敛性。

三、共轭梯度法共轭梯度法是非线性规划的另一种解法方法。

共轭梯度法沿预定义的方向向梯度下降，使梯度下降的方向具有共轭性，从而避免了梯度下降法中的副作用。

基于共轭梯度的方法需要存储早期的梯度，随着迭代的进行，每个轴线性搜索方向的计算都会存储预定的轴单位向量。

共轭梯度方法的收敛速度比梯度方法快，是求解非线性规划的有效方法。

四、拟牛顿法拟牛顿法与牛顿法的思路不同，它在目标函数中利用Broyden、Fletcher、Goldfarb、Shanno（BFGS）算法或拟牛顿法更新的方法来寻找下降方向。

非线性规划问题的求解方法研究

非线性规划问题的求解方法研究随着科技的不断发展，各行各业也在不断发展变化。

非线性规划问题的求解方法也成为了当下热门的话题之一。

非线性规划是指优化问题中目标函数或约束条件是非线性的情况，这类问题在实际应用中很常见。

解决非线性规划问题的数学方法又被称为非线性规划算法。

非线性规划算法主要分为两类：确定性算法和随机算法。

确定性算法是通过一系列有规律的计算来达到问题的最优解。

而随机算法则是简单而暴力的方法，通过一些随机序列来优化思路，最终达到问题的最优解。

下面将介绍几类典型的非线性规划算法。

一、传统算法1. 信赖域算法信赖域算法是一种可应用于大规模非线性规划问题的优化方法。

它考虑了简单的限制条件，以期得到最优解。

它是迭代求解算法，通过寻找限制条件来达到最优解。

2. 罚函数算法罚函数算法的思想是将限制条件进行“惩罚”，使其变得更加强烈。

它可以转化为一个无限制最优化问题来求解原问题。

3. 共轭梯度法共轭梯度法是一种求解大规模非线性规划问题的高效算法。

它是迭代法，通过寻找相互垂直的方向来达到最优解。

二、元启发式算法元启发式搜索（也称为群智能）是一种通过模拟自然界的行为以解决优化问题的算法，包括蚁群算法、粒子群算法、遗传算法等。

1. 蚁群算法蚁群算法是一种基于蚂蚁行为的元启发式算法。

它通过模拟蚂蚁寻找食物的方式来优化问题，即将蚂蚁的行为规则应用于优化问题中。

2. 粒子群算法粒子群算法是一种仿照群体行为的元启发式算法。

它通过模拟鸟群、鱼群等集体行为来寻找最优解。

3. 遗传算法遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的元启发式算法。

它通过模仿生物进化的过程来寻找最优解。

遗传算法适用于搜索空间大、目标函数复杂的优化问题。

三、其他算法除了传统算法和元启发式算法，还有一些其他的算法也被应用于非线性规划问题中，包括模拟退火算法、蒙特卡罗方法等。

1. 模拟退火算法模拟退火算法是一种随机退火过程，通过在优化问题的解空间中随机地搜索来寻找最优解。

第四讲线性规划与非线性规划

运筹学——线性规划与非线性规划线性规划与非线性规划是运筹学的一个分支.运筹学研究什么呢?运筹学是研究“如何做出正确决策或选择，以达到最好结果”的一门数学学科.有一句成语形象地说明了运筹学的特点：运筹帷幄，决胜千里.数学因实际的需要而产生，数学的很多重大发现也因实际的需要而出现.数学建模竞赛既因实际的重要需要而在世界范围内(在我国近十几年)各大学蓬勃开展.没有受到条条框框制约、富有聪明才智的大学生们，在每次竞赛中都能对实际中的一些重要问题与难题给出富有新鲜创意的解决办法，往往因此产生重大的社会效益和经济效益.建模竞赛就是知识的“强行军”.竞赛会极大地激发学生们的创造性思维，是对学生们思考能力和动手能力的考验.竞赛能让学生们切身感受到学习各科知识的必要性、重要性，成为学生们认真学习的推动力.数学建模会涉及数学的众多学科：微分方程，运筹学，概率统计，图论，层次分析，变分法……，要求建模者有较高的数学素养，有综合应用已学到的数学方法和思维对问题进行分析、抽象及简化的能力.数学建模既是建立实际问题的数学模型.一、最优化模型数学建模的目的是使决策人的“利益”最大化，因此而建立的数学模型即所谓的最优化模型.决策人在作决策时要有“科学观”，为实现目标(“利益”最大化)应进行“科学决策”.最优化模型正是为实现科学决策而建立的数学模型，是科学决策的科学体现.科学决策的目的是要对为实现目标而提出的设计和操作最佳化，最终实现决策人的“利益”最大化.一个最优化模型包括决策变量、目标函数和约束条件，它将“说明”决策变量在满足约束条件的前提下应使目标函数值最优化(最大或最小).决策变量是指影响并决定目标实现的变量，其变化范围一般是可控制的.目标函数是指根据决策变量建立的目标的函数表达式.约束条件是指决策变量所受的限制(用等式、不等式的函数方程表示).人们建立最优化模型的目的是，希望通过科学的计算方法(称为最优化方法)找出使目标函数值最优(最大或最小)的决策变量的值(称为最优决策).实际问题的7步建模过程：第1步：表述问题.说明目标及各种因素.第2步：分析数据或采集(或收集)并分析数据.第3步：建立数学模型.第4步：对模型求解.即寻找最优决策.第5步：检验、评价模型.如果与实际情况(或实际数据)吻合，则转到第7步，否则转到第6步.第6步：修改或矫正模型，并返回到第1步、第2步或第3步.第7步：模型应用，提出合理化建议.最优化数学模型的一般形式为.,,1,0),,,(,,,1,0),,,(..);,,,(max 212121min)(m p i x x x g p i x x x g t s x x x f z n i n i n +=≥===或 (1.1)其中，),,1(n j x j =是决策变量；),,,(21n x x x f z =是目标函数；),,1(0),,,(21p i x x x g n i ==和),,1(0),,,(21m p i x x x g n i +=≥是约束条件，前者称为等式约束，后者称为不等式约束.不带约束条件的(1)式是无约束问题的模型.由满足所有约束条件的决策向量Tn x x x x ),,,(21=组成的集合称为可行域，通常记为D .求解(1)是指，寻找D x x x x Tn ∈=),,,(**2*1* 使),,,(**2*1n x x x f z =为目标函数f 在可行域D 上的最小值(或最大值).*x称为最优解，),,,(**2*1n x x x f 称为最优值.最优解有严格与非严格和全局与局部之分.优化模型的最优解是指全局最优解. 严格极小点严格极小点局部全局非严格极小点图1 一维函数的最优解图示这里指出：最优化方法解出的多是优化模型的局部最优解.由于最优化方法多为迭代法，所以取不同的初始点一般会得到一个或多个局部最优解，然后再从这些局部最优解中找出“全局”最优解. 二、线性规划(LP)线性规划在银行、教育、林业、石油、运输……等各种行业以及科学的各个领域中有着广泛的应用. 1. 线性规划模型目标函数、约束函数均为线性函数的最优化模型既是所谓的线性规划模型.(1)标准形式.,,1,0,,,1,..;min 22112211max)(n j x m i b x a x a x a t s x c x c x c z j i n in i i n n =≥==++++++=或 (2.1)这里，约束i n in i i b x a x a x a =+++ 2211),,1(m i =是对决策变量的主要约束，称为主约束，而约束),,1(0n j x j =≥(),,1(n j x j =称为非负变量)是对决策变量的符号约束；(1,,)j b i m = 是主约束的右端常数项(通常不妨设为非负数)；),,1(n j c j =称为价值系数.(2.1)式可以写成如下矩阵形式.0,..;min max)(≥==x b x A t s x c z T 或 (2.2)其中，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n n mn m m n n b b b b x x x x c c c c a a a a a a a a a A212121212222111211,,,. T n x x x x ),,,(21=——决策向量，T m b b b ),,(1 =——主约束右端常数向量，1(,,)T n c c c =——价值向量.(2)一般形式.,,1,,,,1,0,,,1,,,,1,,,,1,..;min 2211221122112211max)(n q j x q j x m u i b x a x a x a u p i b x a x a x a p i b x a x a x a t s x c x c x c z j j i n in i i i n in i i i n in i i n n +==≥+=≤++++=≥+++==++++++=任意或 (2.3)这里，约束),,1(2211p i b x a x a x a i n in i i ==+++、in in i i b x a x a x a ≥+++ 2211),,1(u p i +=和),,1(2211m u i b x a x a x a i n in i i +=≤+++是主约束，而约束),,1(0q j x j =≥和j x 任意),,1(n q j +=是符号约束，其中j x ),,1(n q j +=称为自由变量.一般形式可以(通过如下办法)转化为标准形式. (i)将不等式约束转化为等式约束引入剩余变量0≥i s ，将不等式约束i n in i i b x a x a x a ≥+++ 2211改写为i i n in i i b s x a x a x a =-+++ 2211，u p i ,,1 +=. (2.4)引入松弛变量0≥i e ，将不等式约束i n in i i b x a x a x a ≤+++ 2211改写为i i n in i i b e x a x a x a =++++ 2211，m u i ,,1 +=. (2.5)(ii)去除自由变量去掉自由变量),,1(n q j x j +=有两种办法： ①用非负变量的差表示自由变量设j j j x x x +-=-， (2.6)其中0≥+j x ，0≥-j x ，代入到目标函数和其它约束中便可去掉j x .②取一个包含j x 的等式约束(如果有的话)，比如：11i ij j in n i a x a x a x b ++++= ，由此解出11i i in j n ijijijb a a x x x a a a =---， (2.7)代入到目标函数和其它约束函数中便可去掉j x .第一种方法将增加变量的数目，导致问题的维数增大.第二种方法正好相反.用(2.4)、(2.5)两式替换(2.3)式中相应的不等式约束，将(2.6)式或(2.7)式代入目标函数和其它约束函数中，去掉目标函数与主约束中的所有自由变量，最后将),,1(0u p i s i +=≥、),,1(0m u i e i +=≥和),,1(0,0n q j x x j j +=≥≥-+加入(2.3)式的符号约束中，(2.3)式就此转化为标准形式的线性规划.,,1,0;,,1,0;,,1,0,0;,,1,0,,,1,,,,1,,,,1,..;min 11111111111111111111max)(m u i e u p i s n q j x x q j x m u i b e x x a x x a x a x a u p i b s x x a x x a x a x a p i b x x a x x a x a x a t s x x c x x c x c x c z i i j j j i i nn in q q iq q iq i i i n n in q q iq q iq i i n n inq q iq q iq i n n nq q q q q +=≥+=≥+=≥≥=≥+=≤+-++-++++=≥--++-+++==-++-+++-++-+++=-+++++++++++++++++++++++++++++）（）（）（）（）（）（）（）（或，一般形式与其标准形式问题的求解等价，因为这两个问题的可行解一一对应，目标函数值对应相等.所以如果这两个问题之一有最优解，那么另一个也必有最优解，且最优值相等.2. 线性规划的特点(1)线性规划的可行域是凸集：凸多边形、凸多面体或空集.凸集非凸集凸多边形凸多面体(2)目标函数的等值面(或等值线)是平行的(超)平面(或直线).(3)如果线性规划有最优解，那么可行域的某个顶点必是最优解.(4)求解线性规划将出现下列4种情况之一.情况1：有唯一(最优)解.情况2：有无穷多(最优)解.情况3：解无界.情况4：无解.有唯一解有无穷多解有无界解无解3. 一般线性规划的解法线性规划的解法有Dantzig单纯形法，大M法，对偶单纯形法，Karmarkar法，列生成法，目标规划，分解算法等.软件中多为Dantzig单纯形法.参考书目：薛嘉庆.线性规划.北京：高等教育出版社,1989刁在筠郑汉鼑等. 运筹学.北京：高等教育出版社,20014. 特殊的线性规划当所有决策变量都取整数时，称为整数规划(IP).当所有决策变量只取0或1时，称为0-1规划.当只有部分决策变量取整数时，称为混合整数规划(混合IP).解整数规划的方法主要有穷举法(对决策变量过多的问题不适用)、分枝定界法和割平面法.分枝定界法比较常用.解小规模0-1规划的常用方法——隐枚举法.分枝定界法也适用于求解混合整数规划.参考书目：刁在筠郑汉鼑等. 运筹学.北京：高等教育出版社,2001胡运权.运筹学基础及应用.北京：高等教育出版社,20045. 特殊的线性规划问题及其解法(1)运输问题运输问题用“运输”单纯形法求解.(2)转运问题转运问题可以化为运输问题，所以也用“运输”单纯形法求解.(3)指派问题指派问题是特殊的0-1规划，常用匈牙利法求解.线性规划的算法可在Matlab “优化”工具箱中寻找. 6. 线性规划建模实例在一个线性规划模型中，(1)决策变量应当完全描述要做出的决策.(2)决策者都希望由决策变量表示的目标函数最大化(通常为收入或利润)或最小化(通常为成本).目标函数中的系数反映的是决策变量对目标函数的单位贡献.(3)主约束条件中决策变量的系数称为“技术”系数，这是因为技术系数经常影响用于“生产”不同“产品”的技术.右端项常表示可用资源的数量.示例1 一家汽车公司生产轿车和卡车.每辆车都必须经过车身装配车间和喷漆车间处理. 车身装配车间如果只装配轿车，每天可装配50辆；如果只装配卡车，每天可装配50辆.喷漆车间如果只喷轿车，每天可喷60辆；如果只喷卡车，每天可喷40辆. 每辆轿车的利润是1600元，每辆卡车的利润是2400元.公司的生产计划部门须制定一天的产量计划以使公司的利润最大化.建模过程：公司追求的目标是其利润的最大化，生产计划部门为此要决定每一种车型的产量，所以定义两个决策变量：=1x 每天生产的轿车数量，=2x 每天生产的卡车数量. 公司每天的利润为2124001600x x +，因此该公司追求利润最大化即为2124001600max x x z +=.按题意，决策变量须满足以下3个条件(如果把每天的时间设为1，那么每天的工作时间应该小于等于1.)(1)1x 辆轿车和2x 辆卡车的时间应满足11121≤+x x . (2)所以处理1x 辆轿车和2x 辆卡车的时间应满足140160121≤+x x . (3)非负限制j x 为负整数,2,1=j .该汽车公司追求利润最大化的数学模型为如下线性规划.2,1,,1401601,1501501..24001600max 212121=≤+≤++=j x x x x x t s x x z j 为非负整数；示例2(饮食问题) 有一个美国人的饮食方案要求他吃的所有食物都来自四个“基本食物组”之一(巧克力蛋糕、冰淇淋、苏打水和干酪蛋糕).目前他可以消费的食物有下列4种：胡桃巧克力糖、巧克力冰淇淋、可口可乐和菠萝干酪蛋糕.一块胡桃巧克力糖的价格为50美分，一勺巧克力冰淇淋的价格为20美分，一瓶可口可乐的价格为30美分，一块菠萝干酪蛋糕的价格为80美分.他每天至少必须摄取500卡路里、6盎司巧克力、10盎司糖和8盎司脂肪.表1列出了每种食物每单位的营养含量.这个美国人想以最小成本满足自己每天的营养要求，那他应该怎样做.建模过程：这个美国人追求的目标是使饮食的费用最少.因此这个美国人必须做出决策：对于每种食物，每天应当吃多少.因此，需要定义下列决策变量：=1x 每天吃的胡桃巧克力糖的数量(单位：块)，=2x 每天吃的巧克力冰淇淋的数量(单位：勺)， =3x 每天喝的可口可乐的数量(单位：瓶)，=4x 每天吃的菠萝干酪蛋糕的数量(单位：块).他追求的目标是使饮食的费用最少，因此目标函数为432180302050x x x x z +++=.决策变量必须满足以下4个条件：(1) 每天摄取的卡路里至少必须达到500卡路里.即5005001502004004321≥+++x x x x .(2)每天摄取的巧克力至少必须达到6盎司.即62321≥+x x .(3)每天摄取的糖至少必须达到10盎司.即1044224321≥+++x x x x .(4)每天摄取的脂肪至少必须达到8盎司.即85424321≥+++x x x x .以及非负限制4,3,2,1,0=≥j x j .该美国人饮食费用最少的数学模型为.4,3,2,1,0,8542,104422,623,500500150200400..80302050max 432143212143214321=≥≥+++≥+++≥+≥++++++=i x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z i ；这个问题的最优解是90,1,3,03241=====z x x x x ，表示每天最少花90美分便可得到符合饮食要求的750卡路里、6盎司巧克力、10盎司糖和13盎司脂肪.列出更现实的食物和营养需求的饮食问题是计算机解决的最早的LP 之一.整数规划已用于计划每周或每月的公共饮食业菜单.菜单计划模型包含反映可口性和多样性要求的约束条件.示例3 某服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五至少需要80人，周六和周日至少需要90人.规定应聘者需连续工作5天.试确定聘用方案：使在满足需要的条件下聘用的总人数最少.建模过程：该服务部门追求的目标是一周中聘用的总人数最少.该服务部门因此必须做出决策：每天聘用多少人.为此，定义以下决策决量：721,,,x x x 分别表示周一至周日聘用的人数. 因此目标函数为7654321x x x x x x x z ++++++=.决策变量必须满足以下7个条件：周一工作的雇员应是周四到周一聘用的，按照需要至少有50人，即5076541≥++++x x x x x . 类似地，有.90,90,80,50,50,50765436543254321743217632176521≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x人数应该是整数，所以决策变量须是非负的整数变量，即i x 为非负整数，7,,2,1 =i .该服务部门聘用总人数最少的数学模型是如下的整数规划模型：.7,,2,1,,90,90,80,50,50,50,50..min 765436543254321743217632176521765417654321 =≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++++++++=i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x z i 为非负整数；示例4(工作调度问题) 在每周的不同工作日，一个邮局需要不同数量的专职员工.表1给出了每天需要的专职员工的数量.工会章程规定：每个专职员工每周必须连续工作五天，然后休息两天.这个邮局希望通过只使用专职员工来满足每天的需要，那么这个邮局至少要聘用多少专职员工.首先来看一个不正确的模型.有许多学生定义决策变量i 为第天上班员工的数量(第1天=星期一，第2天=星期二，依次类推),然后推出邮局专职员工的数量=(星期一上班员工的数量+星期二上班员工的数量+…+星期日上班员工的数量)/5，于是得到如下目标函数7654321x x x x x x x z ++++++=.添加约束条件≥i x (第i 天需要的员工数量)和符号限制条件)7,,2,1(0 =≥i x i 后，得到如下不正确的线性规划模型：,11,16,14,19,15,13,17..;min 76543217654321≥≥≥≥≥≥≥++++++=x x x x x x x t s x x x x x x x zi x 为非负整数,7,,2,1 =i .这里目标函数是专职员工的数量的5倍，问题是约束条件不能反映员工连续工作五天然后休息两天的事实.建模过程：这个邮局追求的目标是聘用尽可能少的专职员工.正确表述这个问题的关键是，定义的决策变量不应该是每天有多少人上班，而是一周中每天有多少人开始上班.定义决策变量：i x =第i 天开始上班员工的数量. 例如，1x 是星期一开始上班员工的数量(这些人从星期一工作到星期五).那么邮局(专职员工的数量)=(星期一开始上班员工的数量)+(星期二开始上班员工的数量)+…+(星期日开始上班员工的数量).由于每个员工都只在一周的某一天开始上班，所以这个表达式不会重复计算员工.因此，追求聘用尽可能少的专职员工的目标函数为;7654321x x x x x x x z ++++++= 决策变量满足以下约束条件：在星期一上班员工的数量不少于17人：1776541≥++++x x x x x ；在星期二上班员工的数量不少于13人：1376521≥++++x x x x x ；在星期三上班员工的数量不少于15人：1576321≥++++x x x x x ；在星期四上班员工的数量不少于19人：1974321≥++++x x x x x ；在星期五上班员工的数量不少于14人：1454321≥++++x x x x x ；在星期六上班员工的数量不少于16人：1665432≥++++x x x x x ；在星期日上班员工的数量不少于11人：1176543≥++++x x x x x . 及符号限制条件：i x 为非负整数,7,,2,1 =i .邮局追求聘用尽可能少的专职员工的调度方案数学模型为;min 7654321x x x x x x x z ++++++=,17 ..76541≥++++x x x x x t s,13 76521≥++++x x x x x 15 76321≥++++x x x x x , 19 74321≥++++x x x x x , 14 54321≥++++x x x x x , 16 65432≥++++x x x x x , 11 76543≥++++x x x x x ,i x 为非负整数,7,,2,1 =i .这个模型的一个最优解为3,4,0,6,2,4,47654321=======x x x x x x x ，最优值23=z . □该模型存在另外一个问题：只有在周一、周二开始上班的员工才能在周末休息，而在其它时间开始上班的员工永远不会有在公休日与家人团聚的机会.显然这不公平合理.从该模型的解出发，我们可以设计出如下公平合理的以23周为一个轮转周期的员工调度方案：·第1-4周：在星期一开始上班 ·第5-8周：在星期二开始上班 ·第9-10周：在星期三开始上班 ·第11-16周：在星期四开始上班 ·第17-20周：在星期六开始上班 ·第21-23周：在星期日开始上班员工1将遵守这个调度方案23周，员工2从第2周开始遵守这个调度方案23周(在星期一开始上班的时间为3周，在星期二开始上班的时间为4周，…，在星期日开始上班的时间为3周，在星期一开始上班的时间为1周).以这样的方式继续下去，就可以为每个员工制定一个23周调度方案.例如，员工13的调度方案如下：·第1-4周：在星期四开始上班 ·第5-8周：在星期六开始上班 ·第9-11周：在星期日开始上班 ·第12-15周：在星期一开始上班 ·第16-19周：在星期二开始上班 ·第20-21周：在星期三开始上班 ·第22-23周：在星期四开始上班本示例提醒我们，所建立的模型一定要考虑合理性，符合实际.而本示例更符合实际的考虑是员工还有年休假.在邮局这个示例中，如果邮局可以同时使用专职员工和兼职员工来满足每天的需要，且在每一周，专职员工必须连续工作5天，每天工作8小时；兼职员工必须连续工作5天，每天工作4小时. 专职员工的工资是每小时15美元，而兼职员工的工资只有每小时10美元(没有附加福利).工会把每周的兼职劳动限制在25%，表述一个LP ，使这个邮局每周的劳动力成本最少.比示例5的单阶段工作调度模型更复杂的是多阶段工作调度模型. 类似的还有多阶段库存模型、多阶段财务管理(投资)模型等.示例5(指派问题) 某班准备从5名游泳队员中选4人，组队参加学校的1004⨯m 混合泳接力比赛.5名队员4种泳姿的百米平均成绩如表1所示，问应该怎样选拔接力队成员?建模过程：该班追求的目标是接力队的成绩最好.该班因此要做出决策：从5名队员中选出4人，每人一种泳姿，且4人的泳姿各不相同(容易想到的一个办法是穷举法，组成接力队的方案共有5!=120种.).设5,4,3,2,1=i 分别代表甲、乙、丙、丁和戊队员，4,3,2,1=j 分别代表蝶泳、仰泳、蛙泳和自由泳泳姿，ij c 表示队员i 的第j 种泳姿的百米平均成绩.定义决策决量ij x ：若选择队员i 参加泳姿j 的比赛(4,3,2,1,5,4,3,2,1==j i )，则1=ij x ，否则0=ij x .该班追求的目标是接力队的成绩最好(只要对每一方案的成绩作比较，即可找出最优方案，但显然这不是解决问题的好办法.随着问题规模的变大，穷举法的计算量将是无法接受的).当队员i 入选泳姿j 时，ij ij x c 表示他的成绩，否则0=ij ij x c ，因此目标函数为∑∑===4151j i ij ij x c z .决策变量必须满足以下3个条件：(1) 每人最多只能入选4种泳姿之一，即141≤∑=j ijx，5,4,3,2,1=i .(2)每种泳姿必须有1人而且只能有1人入选，即151=∑=i ijx，4,3,2,1=j .(3)取值受限0=ij x 或1，4,3,2,1,5,4,3,2,1==j i .该班追求接力队成绩最好的数学模型为0-1规划：.4,3,2,1,5,4,3,2,1,10,4,3,2,1,1,5,4,3,2,1,1..;min 51414151======≤=∑∑∑∑====j i or x j xi xt s x c z ij i ijj ijj i ij ij三、非线性规划(NLP)非线性规划广泛存在于科学与工程领域. 1.非线性规划模型目标函数、约束函数中至少有一个非线性函数的最优化模型既是所谓的非线性规划模型..,,1,0)(,,,1,0)(..);(min max)(m p i x g p i x g t s x f z i i+=≥===或其中函数),,1(),,,1(,m p i g p i g f i i +==中至少有一个为非线性函数.非线性规划有无约束问题与有约束问题之分. 2.非线性规划的特点非线性规划的可行域及最优解的情况远比线性规划的可行域及最优解复杂的多：可能有最优解，也可能没有最优解；约束问题的最优解可能在可行域的内部，也可能在可行域的边界上.一些常用概念：等值面(线)——函数值相等的决策变量曲面(曲线)C x f =)(.上升/下降方向——至少在局部范围内，函数值升的方向/函数值降的方向),0(),()(/),0(),()(δδ∈>+∈>+t x f p t x f t x f p t x f.梯度——多元函数的“一阶导数”，由函数的偏导数组成的向量()()()()12,,,∂∂∂⎛⎫∇= ⎪∂∂∂⎝⎭Tn f x f x f x f x x x x .当梯度()f x ∇ 连续时，若()0f x ∇≠ ，则()f x ∇ 必垂直于()f x 过点x的等值面；梯度()f x ∇ 的方向是函数()f x 在点x具有最大变化率的方向.方向导数——函数在某方向上的变化率(下式中e 是p方向上的单位向量)tx f e t x f p x f t )()(lim )(0 -+=∂∂+→. e x f px f T)()(∇=∂∂. 若0)(>∂∂p x f，即()00T f x p ∇> ，则p方向是()f x 在点0x 处的上升方向；若0)(<∂∂px f，即()00T f x p ∇< ，则p 方向是()f x 在点0x 处的下降方向. 海赛矩阵——多元函数的“二阶导数”，由函数的二阶偏导数组成的矩阵()22⎛⎫∂∇=⎪ ⎪∂∂⎝⎭ i j nf f x x x . 空间中由点0x 和方向p所确定的直线方程为10,x x tp t R =+∈.图2 直线的几何图示3.非线性规划的解法(1)非线性规划基本解法基本解法的迭代格式一般为1k k k k x x t p +=+, k = 0,1,….称0x 为初始点，k p 为k x处的搜索方向，k t 为步长因子，满足()()k k k k f x t p f x +<，且+k k k x t p 仍在可行域内.判断1k x + 是否为最优解.若是，则输出1k x + 和1()k f x +；否则，继续迭代.由基本解法解出的一般是局部最优解.k t 的确定方法——直线搜索(一维优化问题的数值迭代方法)()()k k t f x tp ϕ=+，min ()t ϕ.直线搜索方法有“精确的”对分法、黄金分割法、抛物线插值法……和不精确的直线搜索技术.k p的确定方法——各种优化方法求解无约束问题的基本方法按确定k p方法的不同，有使用导数的最速下降法、Newton 法、阻尼-Newton 法、共轭梯度法、逆Newton 法(DFP 法、BFGS 法)等，有不使用导数的单纯形替换法、步长加速法、Power 法等，以及最小二乘法.最速下降法——1()k k k k x x t f x +=-∇, k = 0,1,…. 特点：简单，存储量小，锯齿现象.线性收敛.Newton 法：211()()k k k k x x f x f x -+=-∇∇, k = 0,1,…. 特点：对目标函数的要求高，计算量、存储量大.二阶收敛.阻尼-Newton 法：211()()k k k k k x x t f x f x -+=-∇∇, k = 0,1,…. 特点：比Newton 法相对有效的方法，计算量、存储量大.F-R 共轭梯度法：1k k k k x x t p +=+, k = 0,1,…，其中211121()(),()k k k k k k k f x p f x p f x αα----∇=-∇+=∇. 特点：存储量小.是二次收敛算法.超线性收敛.DFP 法：1k k k k x x t p +=+, k = 0,1,…，其中()k k k p H f x =-∇.特点：是二次收敛算法.是拟Newton 法.超线性收敛.∶ ∶ ∶单纯形替换法、步长加速法、Power 法等适用于目标函数的导数不存在或导数过于复杂的情形.最小二乘法是求解最小二乘问题的特定解法. 求解约束问题的基本方法有Z-容许方向法、梯度投影法、外点法(外部罚函数法)、内点法(内部罚函数法)、乘子法、线性化法、简约梯度法等.Z-容许方向法：利用线性规划得到搜索方向k p，然后再通过受限的直线搜索确定步长因子k t .梯度投影法：利用对梯度投影的方式得到搜索方向k p，然后再通过受限的直线搜索确定步长因子k t .外点法、内点法、乘子法：通过求解一系列的无约束问题解约束问题.而这一系列无约束问题的目标函数则是根据目标函数及约束函数，通过“惩罚”方式产生.∶ ∶ ∶ (2)非线性规划智能算法遗传算法、蚁群算法、粒子群算法、禁忌搜索算法……. 非线性规划的算法可在Matlab “优化”工具箱中寻找.参考书目：薛嘉庆.最优化方法.北京：冶金工业出版社邢文训,谢金星.现代优化计算方法.北京：清华大学出版社,1999《现代应用数学手册》编委会.现代应用数学手册—运筹学与最优化理论卷.北京：清华大学出版社,1998 4. 特殊的非线性规划问题及其解法 (1)二次规划(QPP)1min ()2..T T f x x Qx b x cs t Ax p Cx d =++≥=Wolfe 法.参考书目：赵凤治.约束最优化方法.北京：科学出版社,1991 (2)数据拟合问题(最小二乘问题) 最小二乘法 5. 非线性规划建模实例示例1 某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置(用平面坐标),(b a 表示，距离单位：km)及水泥日用量d (单位：t (吨))由表1给出.目前有两个临时料场位于)1,5(A 和)7,2(B ，日储量各有20t .请回答以下两个问题：(1)假设从料场到工地之间均有直线道路相连，试制定每天从A 、B 两料场分别向各工地运送水泥的供应计划，使总的吨公里数最小.(2)为进一步减少吨公里数，打算舍弃目前的两个临时料场，修建两个新料场，日储量仍各为20t ，问建在何处最佳，可以节省多少吨公里数.表1 工地的位置),(b a 及水泥日用量d 的数据建模过程：公司追求的目标是每天从A 、B 两料场分别向各工地运送水泥总的吨公里数最小.为表述该问题，设工地的位置与水泥日用量分别为),(i i b a 和i d (6,,2,1 =i )，料场位置及其日储量分别为),(j j y x 和j e (2,1=j ).定义决策变量ij w (6,,2,1 =i ,2,1=j )：料场j 向工地i 的运送量(6,,2,1 =i ,2,1=j )，在问题(2)中，新建料场位置),(j j y x 也是决策变量.公司追求总的吨公里数最小的目标函数为∑∑==-+-=216122)()(j i i j i j ij b y a x w f .决策变量ij w (6,,2,1 =i ,2,1=j )必须满足以下约束条件：(i)满足各工地的水泥日用量6,,2,1,21==∑=i d wi j ij.(ii)各料场的运送量不能超过日储量2,1,61=≤∑=j e wj i ij.(iii)符号限制条件0≥ij w , 6,,2,1 =i ,2,1=j .(1)公司追求总的吨公里数最小的数学模型是如下线性规划模型∑∑==-+-+-+-=6122261221)7()2()1()5(min i i i i i i i i b a w b a w f ;6,,2,1,..21 ==∑=i d wt s i j ij,2,1,61=≤∑=j e wj i ij,0≥ij w , 6,,2,1 =i ,2,1=j .总的吨公里数为136.2275.(2)这时公司追求总的吨公里数最小的数学模型是如下有约束的非线性规划模型∑∑==-+-=216122)()(min j i i j i j ij b y a x c f ;6,,2,1,..21 ==∑=i d wt s i j ij,2,1,61=≤∑=j e wj i ij,0≥ij w , 6,,2,1 =i ,2,1=j .以(1)的解及临时料场的坐标为初始迭代值，利用Matlab 优化工具箱求得这个模型的一个数值解，两个新料场的位置为)3943.4,3875.6(A 和)1867.7,7511.5(B 和它们向6个工地运送总的吨公里数为105.4626，比用临时料场节省约31吨公里.若初始迭代值取为上面的计算结果，那么得到的数值解为)9194.4,5369.5(A 和)2852.7,8291.5(B 和它们向6个工地运送水泥的计划为总的吨公里数为103.4760，又节省约2吨公里.若初始迭代值取为上面的计算结果，却计算不出解.若初始迭代值取为ij w (6,,2,1 =i ,2,1=j )=[3,5,4,7,1,0,0,0,0,0,],),(j j y x (2,1=j )=[5.6348,4.8687;7.2479,7.7499]，那么得到的数值解为)9285.4,6959.5(A 和)7500.7,2500.7(B 和它们向6个工地运送水泥的计划为总的吨公里数为89.8835，又节省约13.5吨公里.通过此例可以看出初始迭代值的选取对非线性规划方法的重要性.总结：以建线性规划模型为第一选择，单纯形法能求到全局最优解.非线性规划模型往往求不到全局最优解，而且数值解受初始迭代值的影响很大.6. 建模说明对于大规模实际问题，清晰地表述问题，以正确的方式和方法采集(或收集)数据，准确地分析数据是非常重要的.应该多角度建立既合理又尽可能简单的数学模型.这需要建模者有较高的数学素养，要有灵性、有想象力、判断力、洞察力.选择最适合模型的最优化解法，这要求建模者有较多的数学知识储备.掌握检验、评价模型的基本原理与方法.灵敏度分析常被用在检验与评价模型中. 如果模型的解明显不正确或与实际情况吻合的不好，建模者应该具有发现问题所在的能力：是第1步的问题、第2步的问题，还是第3步的问题.。

非线性规划

非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。

与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。

非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。

非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。

以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。

它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。

常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。

常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。

3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。

它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。

4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。

它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。

以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。

在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。

非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。

数学建模常用模型及代码

数学建模常用模型及代码
一.规划模型
1.线性规划
线性规划与非线性规划问题一般都是求最大值和最小值，都是利用最小的有限资源来求最大利益等，一般都利用lingo工具进行求解。

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2.整数规划
求解方式类似于线性规划，但是其决策变量x1,x2等限定都是整数的最优化问题。

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3. 0-1规划
决策变量只能为0或者为1的一类特殊的整数规划。

n个人指派n项工作的问题。

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４.非线性规划
目标函数或者存在约束条件函数是决策变量的非线性函数的最优化问题。

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５.多目标规划
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。

把求一个单目标，在此单目标最优的情况下将其作为约束条件再求另外一个目标。

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6.动态规划
运筹学的一个分支。

求解决策过程最优化的过程。

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二. 层次分析法
是一种将定性和定量相结合的，系统化的，层次化的分析方法，主要有机理分析法和统计分析法。

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三.主成分分析
指标之间的相关性比较高，不利于建立指标遵循的独立性原则，指标之间应该互相独立，彼此之间不存在联系。

传送门。

《线性与非线性规划》试题A及其标准答案

《线性与非线性规划》试题A及其标准答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 以下哪个问题是线性规划问题？A. 最小化目标函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，约束条件为x ≥ 0B. 最大化目标函数 f(x) = 3x + 4y，约束条件为x + 2y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0C. 最小化目标函数 f(x) = 2x + 3y，约束条件为 x^2 + y^2 ≤ 4D. 最大化目标函数 f(x) = e^x，约束条件为x + y ≤ 5，x ≥ 0，y ≥ 02. 在线性规划中，以下哪个条件不是线性规划的基本假设？A. 目标函数是线性函数B. 约束条件是线性不等式C. 变量可以取负值D. 约束条件是线性方程3. 以下哪个非线性规划问题是凸规划问题？A. 最小化目标函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，约束条件为 x ∈ [0, 3]B. 最小化目标函数 f(x) = sin(x)，约束条件为x ∈ [0, π]C. 最小化目标函数 f(x) = x^2 + y^2，约束条件为 x^2 +y^2 ≤ 1D. 最小化目标函数 f(x) = -x^2，约束条件为x ≤ 04. 在非线性规划中，以下哪个方法属于无约束优化方法？A. 拉格朗日乘数法B. KKT条件C. 梯度下降法D. 罚函数法5. 以下哪个非线性规划问题有唯一极值点？A. 最小化目标函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，约束条件为 x ∈ [0, 3]B. 最小化目标函数 f(x) = sin(x)，约束条件为x ∈ [0, π]C. 最小化目标函数 f(x) = x^2 + y^2，约束条件为 x^2 +y^2 ≤ 1D. 最小化目标函数 f(x) = -x^2，约束条件为x ≤ 0二、填空题（每题10分，共30分）6. 线性规划问题的标准形式为：______。

7. 在非线性规划中，梯度下降法的基本思想是：______。

非线性规划问题的求解方法[优质ppt]

4.2、内点法（内部惩罚函数法）： min F ( x, )
s.t. x S
算法：（ 1）给定初始内点 x (0) S ，允许误差 e>0，
障碍参数 (1) ，缩小系数 b (0 ,1) ，置 k= 1 ；
（ 2）以 x (k1) 为初始点，求解下列规划问题：
f21=subs(fx2x1); f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)
a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; else m(k+1)=c*m(k);
min f ( x ) ( k ) B ( x )
s.t. x S
，令 x (k) 为所求极小点
（ 3）如果 (k)B (x (k) ) e ，则停止计算，得到结果x (k) ，
(k 1) b (k )

用LINGO解决非线性规划问题

注意比较：
当去掉第二个约束条件y<=0.5时,最小值为-3 当x=0, y=1时;
当去掉所有约束条件无条件最值时,最小
值为-5 当x=1, y=2时;
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三、用LINGO解决非线性规划问题
例3 求解非线性规划问题：
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三、用LINGO解决非线性规划问题
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三、用LINGO解决非线性规划问题
18
X1+ 3X2<=18;
X1,X2为决策变量;
2X1+ X2<=16;
4X2<=20; 第二到四行均为约束条件
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二、用LINGO解决基本的线性规划问题
我们编辑程序并求解后,得到LINGO Model窗口、 Solution report窗口和Solver status窗口如下：
9
二、用LINGO解决基本的线性规划问题
6

二、用LINGO解决基本的线性规划问题
例1 求解如下的线性规划模型：
m ax z 50 x1 70 x2 ,
x1 3 x2 1 8,
2 x 1 x 2 1 6 ,
4x2 20,
x 1 , x 2 0
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二、用LINGO解决基本的线性规划问题
我们编辑一个LINGO程序：
MAX=50X1+70X2; 目标函数;
三、用LINGO解决非线性规划问题
例4 求解二次规划问题：
直接使用LINGO最大化过程：
max=98x1+277x2-x1^2-0.3x1x2-2x2^2; x1 + x2 <= 100; x1 <= 2x2; ginx1;ginx2;
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三、用LINGO解决非线性规划问题

“线性规划”题型中的非线性问题举例

所以一２ｓ≥ ｔ一ｔ２，
ｆ — ｔ≥ ０．
象上存在区域Ｄ上点，则ａ的取值范围是（（Ａ）（，３１］（Ｃ）（，２１］故答案选Ａ，解答过程略．（）［，３Ｂ２］（Ｄ）［，＋。３ｏ］
）．
又因 ≤ｓ，线性约为１ ≤４可得束条件ｔｔ２，一 ≥０或Ｓ＋
、Ｊ，
｝
ｌ＼，
当与曰重合时ｋ最小，最小值为一１，且直线肼绕点Ｐ
斗
直线Ｙ＝ｋ过点ｃ，所以当且ｘ＋４
ｊ
从｝旋转到时，直线肼的斜率总存在，
所以
Ｓ
的值为『１２．取范围一，］
Ｌ叶Ｊ
标式得（，）以＝× ＋，＝，答公易Ｄ手，手ｋ１ｋ丁故争所４７
案选Ａ．
【评析】此题并没有求一个目标函数的最值问题，只是研究了约束条件所对应的区域的面积问题．平面区域的面积、周长等
如本题中的直线系为ｔｋ一１与区域有公共点的条件下，求＝ｓ）直线系的斜率的最值问题．
问题已成为在约束条件下研究的一个重要内容，２００９年湖南省
二、约束条件非线性
例３（０１江苏常州市期末考试１２１年２题）已知实数，Ｙ高考理科卷第６题就是求解与圆相关的区域中的一段弧长问题．
例５（０１年江苏省高考１题）设集合Ａ＝２１４
ｌ１≤ ｓ ≤ ４．ｆ — ｔ≤ ０．
ｆ ≥ ０．
例４（０９２０年安徽省文科高考题）若不等式组｛＋ｙ，３ ≥４

例谈线性规划中目标函数非线性问题的解法

2012-01教学实践高中数学线性规划问题中，经常出现目标函数非线性问题，解决此类问题的关键是充分把握其目标函数的几何意义.一、目标函数为：z =ay+b cx+d （ac ≠0）型几何意义：z =ay+b cx+d =a c ·y-（-b a ）x-（-d c ）表示点（x ，y ）与点（-d c ，-b a ）连线的斜率的a c 倍.例1.已知x 、y 满足约束条件2x+y -2≥0x -2y +4≥0，3x-y -3≤0求z =y+1x+2的最值.解：可行域为：∵z =y+1x+2=y-（-1）x -（-2）表示点（x ，y ）与点（-2，-1）的连线的斜率，∴Z min =13，Z max =32.例2.如果实数x 、y 满足条件x-y +1≥0y +1≥0x+y +1≤0{，求z =y -1x -1的取值范围.解：可行域为:z =y -1x -1表示点（x ，y ）与点M （1，1）的连线的斜率，∵k MA =2，k MB =12∴z =y -1x -1的取值范围是［12，2］.二、目标函数为：Z =Ax+By+C （A 、B 不同时为0）型几何意义：Z =A 2+B 2√·Ax+By+C A 2+B 2√表示点（x ，y ）到直线Ax+By+C =0的距离的A 2+B 2√倍.例3.实数x 、y 满足不等式组x-y +2≥02x-y -5≤0，x+y -4≥0{求Z =x +2y -4的最大值.解：可行域为：（如下图）∵Z =x +2y -4=5√·x +2y -45√表示点（x ，y ）到直线x +2y -4=0的距离的5√倍，∴Z max =5√·7+2×9-45√=21.y -4=0三、）几何意义：Z =（x-a ）2+（y-b ）2=［（x-a ）2+（x-b ）2√］2表示点（x ，y ）与点（a ，b ）间的距离的平方.例4.已知实数x 、y 满足不等式组2x+y -2≥0x -2y +4≥03x-y -3≤0{，求x 、y 取何值时，Z =x 2+y 2取得最大、最小值.解：可行域为:Z=x 2+y 2表示原点O （0，0）与点（x ，y ）的距离的平方.点O （0，0）到直线2x+y -2=0的距离d 1=25√.可行域内垂足为（45，25），点O （0，0）与点B （2，3）的距离为d 2=13√.∴当x =45y =25⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐时Z min =45；当x =2y =3{时Z max =13.例5.已知实数x 、y 满足不等式组x-y +2≥0x+y -4≥02x-y -5≤0{，求Z=x 2+y 2-10y+25的最小值.解：可行域为：Z=x 2+y 2-10y x 2+（y -5）2√］2求点M （0，5）到点（x ，y ）的距离的平方.过M （0，5）作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上.∴Z min =MN 2=92.非线性目标函数问题在高考中还经常出现，教学中应给以足够重视.（作者单位云南省建水第一中学）例谈线性规划中目标函数非线性问题的解法文/王云峰82--Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。