相似三角形的判定和性质

儒洋教育学科教师辅导讲义
一．知识梳理【相似三角形的判定】
要点1：相似三角形的判定定理（相似三角形与全等三角形判定方法的联系）
要点2：常见的相似三角形的解题思路：
（1）、深刻理解并掌握“平行截比例”、“平行截相似”、“比例出平行”等平行与相似的关系；
（2）、增强识图能力，能够从已知图形中找出全部相似三角形，从中列出所需比例式；
（3）、确定“中间比”，“中间积”，方法是找到两组有联系的比例式或两对相似三角形；
（4）、准确完成等积式与比例式的互化，并可以依据图形变化比例式；
（5）、没有平行怎么办？运用相似三角形的判定定理，或添加平行线；
（6）、一对相似三角形可写出一个连比例，应择需而用或同时运用；
（7）、添辅助线要能够达到“一线两相似”，“一线两比例”并能与其它知识兼顾，这是辅助线特征“一举两得”在相似形中的体现；
（8）、熟悉下图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形
例题讲解：
例1：基础训练
1. 如图,BD 、CE 是△ABC 的两条高，BD 、CE 相交于O ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）△ADE∽△ABC （B ）△DOE∽△COB （C ）△BOE∽△C OD （D ）△BOE∽△BDE
2. 如图，O 是△ABC 的重心,29cm S ABC =∆,则BCO S ∆= .
3. 如图在矩形ABCD 中,AB=2,CB=1,E 是DC 上一点,∠DAE=∠BAC，则EC 的长为 .
图
相关练习：
1. D 、E
分别在△ABC 的边BA 、BC 上，BD=1.5，DA=0.5，BE•BC=3，∠A+∠B=︒135 则∠BDE=
度. 2. 如图，Rt△ABC 中,∠ACB=︒90，点E 是BC 的延长线的一点,EF⊥AB 于F,∠CGB=∠A.求证：CG•BE=EG•BG.
3．△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.
O
E
D C
B
A
4．如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且满足AE
AC
DE BC AD AB ==，求证:①△ABD∽△ACE；②∠ABD=∠ACE.
5．如图，点O 是ABC △的垂心(垂心即三角形三条高所在直线的交点)，联结AO 交CB 的延长线于点D ，
联结CO 交AB 的延长线于点E ，联结DE. 求证：ODE ∆∽OCA ∆.
【相似三角形的性质】
要点1：相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例
要点2：相似三角形的性质定理：
相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方
要点3
例题讲解：
例1：基础训练
1. 如图△ABC 中,中线AE 、CD 相交于G ，则AG C S ∆∶DEG S ∆= .
2. 如图ABC 中，G 是重心，AG 的延长线交BC 于D ，过点G 作GF∥AC,交BC 于F ，则
DGF S ∆∶DAC S ∆= .
3. Rt△ABC,∠ACB=︒90,AC=3,BC=4,正方形DEFG 内接于△ABC,则正方形的边长为 .
4. 如图平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE∶CE=2∶3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 相交于点F ，则DEF S ∆∶BAF S ∆ 为（ ）
（A ）2∶3 （B ）2∶5 （C ）4∶25 （D ）4∶9
相关练习：
1. 如图,已知梯形ABCD 的周长为16厘米,上底CD=3厘米,下底AB=7厘米,分别延长AD 和BC 交于点P ，
求△PCD 的周长.
2. 如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,ODC S ∆∶OBA S ∆=1∶4.求ODC S ∆∶OBC S ∆的值.
（1题图） （2题图） （3题图）
（4题图）
强化练习：
1． 如图，在ABC △中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作AF ∥BC 交ED 的
延长线于点F ，联结AE CF ，． 求证：（1）四边形AFCE 是平行四边形；
（2）AE CE BE FG ⋅=⋅．
2. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒
∠=，CD AB ⊥，垂足为点D ，E 、F 分别是AC 、BC 边上
的点，且
13CE AC =
，13BF BC =.
（1）求证：
AC CD
BC BD =； （2）求EDF ∠的度数.
3．已知：如图，△ABC 中M 、E 分别是AC 、AB 上的点，ME 、CB 延长线交于一点D ，且
ED EM AC
BC
=。

求证：AM =DB
D
4．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC
于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．
A E
C
B
F D
G
A
B
C
D
F
E
B
二．面积问题
相似三角形中面积问题：
有关三角形或其它图形面积的题目，常用到两个知识点：
一、三角形面积公式：S ＝
2
1
底×高，这里特别注意图形中“同高”或“同底”这个隐含条件
二、相似三角形的面积比等于相似比的平方。

【典型例题】
例1：如图，在△ABC 中，DE∥FG∥BC，并将△ABC 分成三块S 1、S 2、S 3，若S 1：S 2：S 3＝1：4：10，
BC ＝15，求DE 、FG 的长。

例2：如图，△ABC 中，CE ：EB ＝1：2，DE ∥AC ，若△ABC 的面积为S ，求△ADE 的面积。

例3：如图，BE 、CD 是△ABC 的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ．
求：（1）FC DF
的值；（2）BFC
ADE S S ∆∆的值．
例4：已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，
DC
AD
A B C
D E F G
S 12
3S S
B A E
C
F
D
＝
3
1， DE ＝6，（1）求AB 的长；（2）求BCD
ADE
S S ∆∆．
三．分类讨论思想归纳总结
A 由于对应边不确定，需要分类讨论：
例：已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，要使△DEF 与△ABC 相似，
则另两边的长分别是
B 由于对应角不确定，需要分类讨论。

例：均有一个角为84°的两个等腰三角形一定相似吗？
均有一个角为104°的两个等腰三角形一定相似吗？
C 由于位置的不确定，需要分类讨论。

【典型例题】
例1：在直角坐标系中有两点A （4，0），B （0，2），如果点C 在x 轴上（C 与A 不重合），
当点C 的坐标为 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似。

例2：已知：如图，P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且PB=3，BF ⊥BP ，垂足为B ，
请在射线BF 上找一点M ，使以B 、M 、C 为顶点的三角形与△ABP 相似。

例3．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG 。

（1）试求△ABC 的面积；
C
A D E
（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；
（3）设AD=x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域。

四．综合应用（与其他知识结合）
1．如图，已知△ABC 是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。

（1）当点D 在边AC 上移动时，△DEF 中的哪个角的大小保持不变？并求出它的大小；
（2）当点D 在AC 上移动时，△ADE 与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程。

又问，当点D 移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？
（3）若等边三角形ABC 的边长为6，AD=2，试求BE ：BF 的值。

B
2．在正方形ABCD 中，P 是CD 上一动点（与C,D 不重合），使得三角板的直角顶点与点P 重合，并且一条直角边始终经过点B ，另一条直角边与正方形的某一边所在的直线交于点E 。

（1）观察、操作、猜想哪一个三角形与△BPC 相似。

请证明你的猜想。

（2）当点P 位于CD 中点时，你得到的三角形与△BPC 的周长比是多少？
3．已知AC ⊥CM,点B 是射线CM 上一点(点B 不与点C 重合),AC=4,∠CAB 的平分线AD 与射线CM 交于点D,过点D 作DN ⊥AB,垂足为N ． （1）如果AB=5，求BD 的长；
（2）设y BD x AB ==,，求出y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）当AB 取何值时，四边形ACDN 的面积是△BDN 面积的3倍．
4．如图，在直角三角形ABC 中，直角边AC＝3 cm , BC＝4cm ．设P，Q 分别为AB , BC 上的动点，在点P自点A 沿AB 方向向点B 做匀速移动的同时，点Q 自点 B 沿BC 方向向点C 做匀速移动，它们移动的速度均为每秒1 cm ，当Q 点到达C 点时，P点就P停止移动，设P , Q 移动的时间为t （秒）.
(1)写出△PBQ 的面积S( cm2）与时间t （秒）之间的函数表达式，并写出t 的取值范围．
(2)当t 为何值时，△PBQ 为等腰三角形？
(3)△PBQ 能否与直角三角形ABC 相似？若能，求t 的值；若不能，说明理由．
5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？。