相似三角形的判定和性质

儒洋教育学科教师辅导讲义

一．知识梳理【相似三角形的判定】

要点1：相似三角形的判定定理（相似三角形与全等三角形判定方法的联系）

要点2：常见的相似三角形的解题思路：

（1）、深刻理解并掌握“平行截比例”、“平行截相似”、“比例出平行”等平行与相似的关系；

（2）、增强识图能力，能够从已知图形中找出全部相似三角形，从中列出所需比例式；

（3）、确定“中间比”，“中间积”，方法是找到两组有联系的比例式或两对相似三角形；

（4）、准确完成等积式与比例式的互化，并可以依据图形变化比例式；

（5）、没有平行怎么办？运用相似三角形的判定定理，或添加平行线；

（6）、一对相似三角形可写出一个连比例，应择需而用或同时运用；

（7）、添辅助线要能够达到“一线两相似”，“一线两比例”并能与其它知识兼顾，这是辅助线特征“一举两得”在相似形中的体现；

（8）、熟悉下图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形

例题讲解：

例1：基础训练

1. 如图,BD 、CE 是△ABC 的两条高，BD 、CE 相交于O ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）△ADE∽△ABC （B ）△DOE∽△COB （C ）△BOE∽△C OD （D ）△BOE∽△BDE

2. 如图，O 是△ABC 的重心,29cm S ABC =∆,则BCO S ∆= .

3. 如图在矩形ABCD 中,AB=2,CB=1,E 是DC 上一点,∠DAE=∠BAC，则EC 的长为 .

图

相关练习：

1. D 、E

分别在△ABC 的边BA 、BC 上，BD=1.5，DA=0.5，BE•BC=3，∠A+∠B=︒135 则∠BDE=

度. 2. 如图，Rt△ABC 中,∠ACB=︒90，点E 是BC 的延长线的一点,EF⊥AB 于F,∠CGB=∠A.求证：CG•BE=EG•BG.

3．△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

O

E

D C

B

A

4．如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且满足AE

AC

DE BC AD AB ==，求证:①△ABD∽△ACE；②∠ABD=∠ACE.

5．如图，点O 是ABC △的垂心(垂心即三角形三条高所在直线的交点)，联结AO 交CB 的延长线于点D ，

联结CO 交AB 的延长线于点E ，联结DE. 求证：ODE ∆∽OCA ∆.

【相似三角形的性质】

要点1：相似三角形的性质：

相似三角形的对应角相等，对应边成比例

要点2：相似三角形的性质定理：

相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方

要点3

例题讲解：

例1：基础训练

1. 如图△ABC 中,中线AE 、CD 相交于G ，则AG C S ∆∶DEG S ∆= .

2. 如图ABC 中，G 是重心，AG 的延长线交BC 于D ，过点G 作GF∥AC,交BC 于F ，则

DGF S ∆∶DAC S ∆= .

3. Rt△ABC,∠ACB=︒90,AC=3,BC=4,正方形DEFG 内接于△ABC,则正方形的边长为 .

4. 如图平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE∶CE=2∶3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 相交于点F ，则DEF S ∆∶BAF S ∆ 为（ ）

（A ）2∶3 （B ）2∶5 （C ）4∶25 （D ）4∶9

相关练习：

1. 如图,已知梯形ABCD 的周长为16厘米,上底CD=3厘米,下底AB=7厘米,分别延长AD 和BC 交于点P ，

求△PCD 的周长.

2. 如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,ODC S ∆∶OBA S ∆=1∶4.求ODC S ∆∶OBC S ∆的值.

（1题图） （2题图） （3题图）

（4题图）

强化练习：

1． 如图，在ABC △中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作AF ∥BC 交ED 的

延长线于点F ，联结AE CF ，． 求证：（1）四边形AFCE 是平行四边形；

（2）AE CE BE FG ⋅=⋅．

2. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒

∠=，CD AB ⊥，垂足为点D ，E 、F 分别是AC 、BC 边上

的点，且

13CE AC =

，13BF BC =.

（1）求证：

AC CD

BC BD =； （2）求EDF ∠的度数.

3．已知：如图，△ABC 中M 、E 分别是AC 、AB 上的点，ME 、CB 延长线交于一点D ，且

ED EM AC

BC

=。

求证：AM =DB

D

4．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC

于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．

A E

C

B

F D

G

A

B

C

D

F

E