相似三角形的判定和性质
三角形的相似性质与判定定理
三角形的相似性质与判定定理
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似)。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角成正比,那么这两个三角形相近(简叙为:两边对应成比例且夹角成正比,两个三角形相近。
)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的`三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。
)
1、相近三角形对应角成正比，对应边变成比例。
2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3、相近三角形周长的比等同于相近比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相近三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相近比相同，内切圆、外接圆面积比是相近比的平方。
相似三角形判定与性质
相似三角形专讲【知识要点】1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2．相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。
③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
3．相似三角形具有下述性质：①相似三角形对应角相等、对应边成比例；②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4．熟悉如图中形如“A ”型，“X ”型，“子母型”等相似三角形。
5.射影定理AC 2=AD ·BD BC 2=BD ·BACD 2=AD ·BD6.位似：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.【典型例题】一、选择题（每小题4分，共40分）1.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36º，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD 相似 三角形是（ ）。
A ．△ABC B ．△DAB C ．△ADE D ．△BDC 2．如图2，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）。
A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如图3，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是（ ）。
A ．∠ACP ＝∠B B ．∠APC ＝∠ACB C ．AC AP ＝AB AC D ． AC AB ＝CPBC图1 图2 图34．如图4，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在（ ）。
A ．P 1处B ．P 2处C ．P 3处D ．P 4处5．如图5，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ）。
三角形的相似性质与判定
三角形的相似性质与判定三角形作为几何学的基本概念之一，具有许多独特的性质和特点。
其中一个重要的性质就是相似性，它在实际应用中具有广泛的应用价值。
本文将重点讨论三角形的相似性质以及如何判定两个三角形是否相似。
一、相似三角形的定义在谈论相似性质之前，我们首先需要明确相似三角形的定义。
如果两个三角形的对应角度相等，并且对应边之间的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
具体来说，设有两个三角形ABC和DEF。
如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE = AC/DF = BC/EF，那么三角形ABC与三角形DEF是相似的。
二、相似三角形的性质相似三角形具有一系列独特的性质，下面我们将逐一介绍。
1. 边比例性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比值相等。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，我们可以得到AB/DE =AC/DF = BC/EF这一等比例关系。
2. 角度比例性质：如果两个三角形相似，那么它们对应角度之间的比值也相等。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，我们可以得到∠A/∠D =∠B/∠E = ∠C/∠F这一等比例关系。
3. 周长比例性质：如果两个三角形相似，那么它们的周长之比等于任意一对对应边的比值。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，我们可以得到AB+AC+BC/DE+DF+EF = AB/DE = AC/DF = BC/EF这一等比例关系。
4. 面积比例性质：如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于对应边长平方的比值。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，我们可以得到面积(ABC)/面积(DEF) = (AB^2)/(DE^2) = (AC^2)/(DF^2) = (BC^2)/(EF^2)。
三、相似三角形的判定在学习相似三角形时，我们也需要掌握如何判定两个三角形是否相似。
现介绍两种常用的判定方法。
1. AA判定法：如果两个三角形的两对对应角度相等，那么它们是相似的。
第一讲相似三角形的性质与判定
第一讲 相似三角形的性质与判定一、知识要点1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。
对应边的比叫做相似比。
三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。
2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS ”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS ”)④两角对应相等(AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL ”）。
相似三角形的基本图形：判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。
4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。
二、考点精讲考点一：平行线分线段成比例例1、（2014广东肇庆）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）A ． 7B ． 7.5C ． 8D ． 8.52.下列各组线段中，能成比例的是 （ ）A 、 1㎝，3㎝，4㎝，6㎝B 、 30㎝，12㎝，0.8㎝，0.2㎝C 、 0.1㎝，0.2㎝，0.3㎝，0.4㎝D 、 12㎝，16㎝，45㎝，60㎝3. 如果线段2=a ，且a 、b 的比例中项为10，那么线段b ＝ 。
4、若x ：y ＝3，则x ：(x+y)＝_______5. 在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ＝（ ）A .215-B .53- C.25- D .253-6. 已知0432≠==cb a ,则cb a +的值为( )A.54B.45C.2D.21 考点二：相似三角形的判定例2、（2013湖北荆州）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 例3.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8,沿直线MN 对折，使A 、C 重合，直线MN 交AC 于O.（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM 的长度.练习：1．下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形 2．如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对3、如图，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截 ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）第2题4．如图，∠ADC =∠ACB 5．如图，AD ∥EF ∥BC 考点三：相似三角形的性质例4、（2013山东烟台）如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上， 且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB 2=BC ·BD B ．AB 2=AC ·BD C ．AB ·AD =BD ·BC D ．AB ·AD =AD ·CD例5、（2014浙江嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ）AD E（A ）32（B ）33（C ）34（D ）36例6（2012•重庆）已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则ABC 与△DEF 的面积之比为 ．练习：1．（2014青海西宁，10，3分）如图6，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADB +∠EDC =120°，BD =3，CE =2，则△ABC 的边长为（）A ．9B ．12C ．16D ．18Q PECDBA2．（2013四川雅安，9,3分）如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）A ．△ADE ∽△ABCB ．AFC ABF S S △△= C ．ABC ADE S S △△41=D ．DF=EF 3．（2013辽宁丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________．三、反馈练习反馈题1：如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，E 为DC 中点，直线BE 交AC 于F ，交AD 的延长线于G ；请说明：EF·BG=BF·EG反馈题2，如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在AB 上，过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D 。
(相似三角形的判定及性质)
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
(4)相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于 相似比，外接圆的面积之比等于相似比的平方.
形成结论
证明：ABC为直角三 角形，CD是斜边上的高 C
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两边与另一个三 角形的两边对应成比例，那么 这两个三角形相似.
两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似.
形成结论
判定定理3：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的三条边与另一个 三角形的三条边对应成比例， 那么这两个三角形相似.
BC 2 BD AB
A
DB
AC2 AD AB
CD2 AD DB
射影定理
巩固练习
如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，AC＞ BC，CD⊥AB于点D，若CD＝4，AB＝10，求 AC及BC
C
AC 4 5
BC 2 5 A
D
B
范例导析
如图， △ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中 线，P是AD上一点，CF//AB，BP的延长线分别交 AC、CF于点E、F，求证：BP2＝PE·PF
如范图例,导在析 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F, 求证 : CEF∽ CBA.C
证法二：
F
E
AD
B
CEF ∽ CBA
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
相似三角形的判定及性质 课件
条.
错解:如图,过点 D 作 DE1∥BC,此时∠AE1D=∠B,∠A=∠A,所以△ABC
∽△AE1D;过点 D 作 DE2∥AB,此时∠CE2D=∠B,∠C=∠C,所以△ABC∽
△DE2C.
答案:2
错因分析:本题为探索性题目,由于对应元素不确定,因而存在多种情况,
形相似,因此共有 4 条直线符合要求.
答案:4
思路分析:由于这两个三角形都是直角三角形,且已知条件是线段间的
关系,故考虑证明对应边成比例,即只需证明
=
即可.
证明:在正方形 ABCD 中,
∵Q 是 CD 的中点,∴ =2.
∵ =3,∴ =4.
又 BC=2DQ,∴ =2.
在△ADQ 和△QCP 中,
两角对应相等,两
个三角形相似
两边对应成比例
且夹角相等Hale Waihona Puke 两个三角形相似作用
判定
两个
三
角形
相似
判定
两个
三角
形
相似
引
理
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延
长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线
平行于三角形的第三边
判定
定理
3
对于任意两个三角形,如果一个三角形的三
条边和另一个三角形的三条边对应成比例,
那么这两个三角形相似
=
=2,∠C=∠D=90°,
∴△ADQ∽△QCP.
探究三 证明两直线平行
常利用引理来证明两直线平行,其关键是证明其对应线段成比例,这样
三角形的相似性质相似三角形的判定及其应用
三角形的相似性质相似三角形的判定及其应用相似三角形的判定及其应用相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它在几何图形的相似性及其应用方面具有广泛的应用。
本文将介绍相似三角形的判定方法以及在实际问题中的应用。
一、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用的方法有以下几种：1. AA判定法（角-角相似判定法）当两个三角形中有两个对应的角相等时，这两个三角形就是相似的。
如下图所示，∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]2. AAA判定法（全等三角形的判定法）如果两个三角形的三个内角相对应相等，那么这两个三角形是相似的。
如下图所示，∠A1 = ∠A2，∠B1 = ∠B2，∠C1 = ∠C2，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]3. SSS判定法（边-边-边相似判定法）当两个三角形的对应边长度成比例时，这两个三角形就是相似的。
如下图所示，AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，那么△ABC与△A'B'C'相似。
[插入示意图]二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度利用相似三角形的性质，可以通过测量一个物体的阴影和遮挡的长度，来计算出物体的真实高度。
如下图所示，通过测量△ABC的阴影长度BD和实际高度AC，可以利用相似三角形的比例关系计算出物体的真实高度。
[插入示意图]2. 地图比例尺在地图上，为了能够容纳更多的信息，通常会使用比例尺来缩小地图的尺寸。
利用相似三角形的性质，可以通过测量地图上的距离和实际距离来确定比例尺的大小，进而测量其他地点的实际距离。
3. 相似三角形的分割比例在一些几何问题中，需要将一个三角形或长方形划分成若干个部分，利用相似三角形的性质可以确定每个部分的长度比例。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。
相似三角形的判定与性质
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地理学中的应用：测量距离、确定位置等
航海学中的应用：确定船只的位置、航向等
04
相似三角形的判定定理与性质定理的证明
判定定理的证明
定义法：利用相似三角形的定义，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
平行线法：利用平行线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
角平分线法：利用角平分线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
适用情况：适用于已知三角形角度和边长的情况
注意事项：在应用定义法时，需要仔细检查对应角和对应边的比例关系，以避免出现误差
平行线法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
适用范围：适用于直角三角形和非直角三角形
定义：利用平行线性质，通过比较对应边和角的比例关系来判定两个三角形是否相似
证明方法：利用平行线的性质和相似三角形的定义进行证明
应用举例：在几何问题中，常常利用平行线法来判定两个三角形是否相似
角角角法
性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛的应用
定义：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
判定方法：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
边边边法
证明方法：利用相似三角形的性质和判定定理进行证明
证明：根据相似三角形的定义，可以通过相似比推导出对应角相等
对应边成比例
性质定义：相似三角形的对应边长比例相等
性质推论：相似三角形的对应高、中线、角平分线等比例
性质应用：在几何证明和计算中，利用对应边成比例的性质可以简化问题
高二数学相似三角形的判定及性质
复习巩固
1、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形.相似三角形 的对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）
复习巩固
2、相似三角形的判定
（1）两个角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似.
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边 （或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
判定定理1：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应相等，那 么这两个三角形相似.
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果 一个三角形的两边与另一个三 角形的两边对应成比例，那么 这两个三角形相似.
(4)相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于 相似比，外接圆的面积之比等于相似比的平方.
布置作业
P19 1、2、5
； ；
老头一心想让她定定性子,或许,情关是让人成熟最快の一个方法.操心完别人の事,谢妙妙开始跟他算起自己の帐.“哎,你教陆陆鉴定古董,怎么不教我？”“教,我哪敢不教.”佟师兄可不糊涂,“不过她接触得比你早,你对考古方面还不够了解,先扎稳基础以后想学什么学什么.来日方长, 着急吃不了热豆腐...”毕竟是两位大姑娘の家,两人亲热一阵,最后各回各の房间休息.长途跋涉,他们很快便睡着了.累极睡着の人不容易惊醒,为防夜长梦多,陆羽和婷玉关上书房の门和灯,趁他俩还没把秦岭发现古董の消息传出去,连夜拿着黑坛子回秦岭挖个坑再填上,顺便让坛子接接 当地の地气.第二天,谢妙妙想游览村里の田园风光,可佟师兄哪有这份心境？一大早便求着陆羽把那
相似三角形的判定和性质
A 'B 'C 'CBAA 'B 'C 'CB A相似三角形的性质和判定 一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”。
2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。
三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比） 。
3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．M 'MA 'B 'C 'C B A图（1）H 'H AB C C 'B 'A '图（2）D 'D A 'B 'C 'C B A图（3）A 'B 'C 'CBAH 'HA BC C 'B 'A '如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△． 图4图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。
初中数学知识归纳相似三角形的判定和性质
初中数学知识归纳相似三角形的判定和性质相似三角形是初中数学中的重要概念之一，它在解决几何问题中有着广泛的应用。
通过判定和理解相似三角形的性质，我们可以更好地应用它们来解决各种实际问题。
本文将对相似三角形的判定和性质进行归纳总结，并通过案例讲解来加深理解。
一、相似三角形的判定相似三角形的判定方法有多种，下面将介绍两种常用方法。
方法一：AAA相似判定法如果两个三角形对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
即如果两个三角形的三个内角相对应相等，那么这两个三角形一定相似。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么△ABC与△DEF就是相似三角形。
方法二：三边成比例判定法如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么△ABC与△DEF就是相似三角形。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，下面将逐一介绍。
性质一：对应角相等相似三角形的三个内角两两相等。
性质二：对应边成比例相似三角形的对应边之间成比例。
性质三：高度、中线、角平分线比例相等相似三角形的高度、中线、角平分线对应线段之间成比例。
性质四：面积比例的平方等于边长比例的平方相似三角形的两个相似部分的面积比例等于对应边长比例的平方。
性质五：周长比例等于边长比例相似三角形的周长比例等于对应边长比例。
三、相似三角形的应用举例相似三角形的应用非常广泛，在日常生活和工作中都能见到。
例一：海报设计小明要为学校一次活动设计海报，他发现海报上有两座塔楼，现场测量得到塔楼的高度和距离，希望通过相似三角形的原理计算出塔楼的实际高度。
他需要以此为基础来设计整个海报的比例。
解决方案：小明可以通过测量海报上塔楼的高度和距离，根据相似三角形的性质，计算出实际塔楼的高度。
然后，他可以按照比例来设计整个海报的各个元素，使其符合实际情况。
例二：估算高楼的阴影长度阳光直射下，高楼的阴影长度对人们的日常活动有一定的影响。
相似三角形的判定及性质 课件
求证：GH∥AB.
图 1－3－5
【思路探究】 结合图形的特点可以先证比例式EEGD＝ EEHB成立，再证△EGH∽△EDB，由此得∠EHG＝∠EBD 即 可．
【自主解答】 ∵DE∥BC， ∴GFCE＝AAGF＝DFBG，即DGGE＝CFBF， 又∵DF∥AC，∴EHHB＝CFBF.
∵DGGE＝HEHB，∴GEDE＝EEHB， 又∠GEH＝∠DEB， ∴△EGH∽△EDB， ∴∠EHG＝∠EBD， ∴GH∥AB.
两个三角形相似.
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的三条边和另一个三角形的三条 边对应成比例，那么这两个三角形相似.
三边对应成比例，两 三角形相似.
4.引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得 的 对应线段成比例 ，那么这条直线平行于三角形的 第三边．
5．直角三角形相似的判定 (1)上述所有的任意三角形相似的判定适用于直角三角 形． (2)定理 1：如果两个直角三角形 有一个锐角 对应相等， 那么它们相似． (3)定理 2：如果两个直角三角形的 两条直角边 对应成 比例，那么它们相似． (4)定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个三角形的斜边 和一条直角边 对应成比例，那么这两 个直角三角形相似．
1．本题根据AACB＝BADD，把欲证明的问题转化为证明BADD＝ DAFF是解题的关键．
2．求证的成比例线段所在的三角形不相似时，应考虑 用中间比过渡，也就是转证其他三角形相似，得到比例线段， 最后得证结论．
如图 1－3－5，D 为△ABC 的边 AB 上一点，过 D 点作 DE∥BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H， 连接 GH.
定理名 称 判定
定理 1
相似三角形的判定及性质
R
r
19
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF
交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
H
A
D
E F
B
C
G
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理 定义 引理 20
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC. O 求证:△DEF∽△ABC.
(2) AD BC AC ED
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a，AC=b， A′B′=a′，当 A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？
22
小结
相
似
三
角 形
预备定理
的
概
念
判定定理1
判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
23
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
9
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它 们相似。
两边对应成比例及夹角相等
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定
理.
10
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。
在几何学中，相似的三角形有着许多有趣的性质和特点。
本文将介绍相似三角形的性质和判定方法。
一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等。
如果两个三角形的对应角分别相等，则它们是相似的。
例如，若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则三角形ABC相似于DEF。
2. 相似三角形的对应边成比例。
如果两个三角形的对应边长之比相等，则它们是相似的。
例如，若AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。
3. 相似三角形的周长比例等于任意一边长的比例。
如果两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意一边的比例。
例如，若三角形ABC 相似于DEF，则AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
4. 相似三角形的面积比例等于边长比例的平方。
如果两个三角形相似，则它们的面积之比等于对应边长比例的平方。
例如，若三角形ABC相似于DEF，则△ABC的面积/△DEF的面积 = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。
二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：若两个三角形的两对角分别相等，则它们是相似的。
例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC相似于DEF。
2. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，两边成比例，则它们是相似的。
例如，如果∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。
3. SSS判定法：若两个三角形的三边成比例，则它们是相似的。
例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。
4. 直角三角形的判定法：若两个直角三角形的斜边和直角边成比例，则它们是相似的。
例如，若∠C = ∠F = 90°，AB/DE = AC/DF，则三角形ABC相似于DEF。
三角形相似的判定条件
三角形相似的判定条件：三角形相似的条件：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；三边对应平行，两个三角形相似；斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似；全等三角形相似。
一、相似三角形的判定定理：1.平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
4.如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似。
二、相似三角形介绍三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
三、相似三角形的性质1.性质1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方2.性质：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
四、特殊情况1.凡是全等的三角形都相似。
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1。
反之，当相似比为1时，相似三角形为全等三角形。
2. 有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似。
由此，所有的等边三角形都相似。
相似三角形判定条件与性质
相似三角形判定条件与性质相似三角形是指形状相似但大小不同的两个三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否相似有一些条件和性质。
下面将详细介绍相似三角形的判定条件与性质。
一、相似三角形的判定条件1. AAA相似定理（全等三角形基本性质之一）当两个三角形的对应角度分别相等时，这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. AA相似定理（全等三角形基本性质之二）当两个三角形的两个对应角分别相等时，这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是相似的。
3. SSS相似定理当两个三角形的对应边分别成比例时，这两个三角形相似。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的性质1. 边比例性质在相似三角形中，相应边之间的比例相等。
如果两个三角形相似，则对应边的比例相等。
2. 角度性质在相似三角形中，对应角度相等。
如果两个三角形相似，则对应角度相等。
3. 高比例性质在相似三角形中，相应高的比例等于对应边的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应高之间的比例相等。
4. 周长比例性质在相似三角形中，相应边的比例等于相应高和周长的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应高以及周长之间的比例相等。
5. 面积比例性质在相似三角形中，相应边的比例的平方等于面积的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边的比例的平方等于面积的比例。
6. 中线比例性质在相似三角形中，相应中线的比例等于对应边的比例。
即，如果两个三角形相似，它们的对应边与相应中线之间的比例相等。
通过上述判定条件与性质，我们可以方便地判断两个三角形是否相似，并且得出相应的比例关系。
相似三角形在几何学中具有广泛的应用，可以用于解决实际问题，如测量高度、距离等。
总结：相似三角形的判定条件包括AAA相似定理、AA相似定理和SSS相似定理。
相似三角形具有边比例性质、角度性质、高比例性质、周长比例性质、面积比例性质和中线比例性质等性质。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质1．相似三角形的概念：在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.思考：若，，与是否相似呢？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，，与是否相似呢？不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，.解：(1)，∴又∴∽问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)(2)，，∴与的三组对应边的比不等，它们不相似.问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：)例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：，3；或，；或，.注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用例3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：.证明：连接，.在∴∽∴.例4.已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)(3)若，求.(4)若，求.分析：(1)利用两角相等证相似；(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；(3)利用射影定理和勾股定理直接求；(4)利用上面的定理和方程求.进一步引申：在中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.例.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.4．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.证明：如果∽，相似比为，那么.因此，，.从而，.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高和和都是直角三角形，并且，∽相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.例5.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.解：在和中，，又∽，相似比为.的周长为，的面积是.例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.分析：此题第1问：利用两边的比相等，夹角相等证相似.即，第2问：设∵是的比例中项，∴是的比例中项即∴解得又∵第3问：∵，，即当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.例7.如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.解：(1)，∽(2)∵的周长与四边形的周长相等∽(3)在线段上存在点，使得为等腰直角三角形.过作于，则，设交于若，则.∵∽若，同理可求.若，∽∴在线段上存在点，使得为等腰直角三角形，此时，或.三、总结归纳：1、相似三角形的判定：(1)相似三角形的定义；(2)平行得相似；(3)三边的比相等；(4)两边的比相等，夹角相等；(5)两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.2、全等与相似的类比：3、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系证明题常用方法归纳：(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.。
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儒洋教育学科教师辅导讲义一．知识梳理【相似三角形的判定】要点1：相似三角形的判定定理（相似三角形与全等三角形判定方法的联系）要点2：常见的相似三角形的解题思路：（1）、深刻理解并掌握“平行截比例”、“平行截相似”、“比例出平行”等平行与相似的关系；（2）、增强识图能力，能够从已知图形中找出全部相似三角形，从中列出所需比例式；（3）、确定“中间比”，“中间积”，方法是找到两组有联系的比例式或两对相似三角形；（4）、准确完成等积式与比例式的互化，并可以依据图形变化比例式；（5）、没有平行怎么办？运用相似三角形的判定定理，或添加平行线；（6）、一对相似三角形可写出一个连比例，应择需而用或同时运用；（7）、添辅助线要能够达到“一线两相似”，“一线两比例”并能与其它知识兼顾，这是辅助线特征“一举两得”在相似形中的体现；（8）、熟悉下图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形例题讲解：例1：基础训练1. 如图,BD 、CE 是△ABC 的两条高，BD 、CE 相交于O ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）△ADE∽△ABC （B ）△DOE∽△COB （C ）△BOE∽△C OD （D ）△BOE∽△BDE2. 如图，O 是△ABC 的重心,29cm S ABC =∆,则BCO S ∆= .3. 如图在矩形ABCD 中,AB=2,CB=1,E 是DC 上一点,∠DAE=∠BAC，则EC 的长为 .图相关练习：1. D 、E分别在△ABC 的边BA 、BC 上，BD=1.5，DA=0.5，BE•BC=3，∠A+∠B=︒135 则∠BDE=度. 2. 如图，Rt△ABC 中,∠ACB=︒90，点E 是BC 的延长线的一点,EF⊥AB 于F,∠CGB=∠A.求证：CG•BE=EG•BG.3．△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.OED CBA4．如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且满足AEACDE BC AD AB ==，求证:①△ABD∽△ACE；②∠ABD=∠ACE.5．如图，点O 是ABC △的垂心(垂心即三角形三条高所在直线的交点)，联结AO 交CB 的延长线于点D ，联结CO 交AB 的延长线于点E ，联结DE. 求证：ODE ∆∽OCA ∆.【相似三角形的性质】要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例要点2：相似三角形的性质定理：相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方要点3例题讲解：例1：基础训练1. 如图△ABC 中,中线AE 、CD 相交于G ，则AG C S ∆∶DEG S ∆= .2. 如图ABC 中，G 是重心，AG 的延长线交BC 于D ，过点G 作GF∥AC,交BC 于F ，则DGF S ∆∶DAC S ∆= .3. Rt△ABC,∠ACB=︒90,AC=3,BC=4,正方形DEFG 内接于△ABC,则正方形的边长为 .4. 如图平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE∶CE=2∶3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 相交于点F ，则DEF S ∆∶BAF S ∆ 为（ ）（A ）2∶3 （B ）2∶5 （C ）4∶25 （D ）4∶9相关练习：1. 如图,已知梯形ABCD 的周长为16厘米,上底CD=3厘米,下底AB=7厘米,分别延长AD 和BC 交于点P ，求△PCD 的周长.2. 如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,ODC S ∆∶OBA S ∆=1∶4.求ODC S ∆∶OBC S ∆的值.（1题图） （2题图） （3题图）（4题图）强化练习：1． 如图，在ABC △中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作AF ∥BC 交ED 的延长线于点F ，联结AE CF ，． 求证：（1）四边形AFCE 是平行四边形；（2）AE CE BE FG ⋅=⋅．2. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，CD AB ⊥，垂足为点D ，E 、F 分别是AC 、BC 边上的点，且13CE AC =，13BF BC =.（1）求证：AC CDBC BD =； （2）求EDF ∠的度数.3．已知：如图，△ABC 中M 、E 分别是AC 、AB 上的点，ME 、CB 延长线交于一点D ，且ED EM ACBC=。
求证：AM =DBD4．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．A ECBF DGABCDFEB二．面积问题相似三角形中面积问题：有关三角形或其它图形面积的题目，常用到两个知识点：一、三角形面积公式：S ＝21底×高，这里特别注意图形中“同高”或“同底”这个隐含条件二、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
【典型例题】例1：如图，在△ABC 中，DE∥FG∥BC，并将△ABC 分成三块S 1、S 2、S 3，若S 1：S 2：S 3＝1：4：10，BC ＝15，求DE 、FG 的长。
例2：如图，△ABC 中，CE ：EB ＝1：2，DE ∥AC ，若△ABC 的面积为S ，求△ADE 的面积。
例3：如图，BE 、CD 是△ABC 的边AC 、AB 上的中线，且相交于点F ．求：（1）FC DF的值；（2）BFCADE S S ∆∆的值．例4：已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，DCADA B CD E F GS 123S SB A ECFD＝31， DE ＝6，（1）求AB 的长；（2）求BCDADES S ∆∆．三．分类讨论思想归纳总结A 由于对应边不确定，需要分类讨论：例：已知△ABC 的三边长分别是4、6、8，△DEF 的一条边为24，要使△DEF 与△ABC 相似，则另两边的长分别是B 由于对应角不确定，需要分类讨论。
例：均有一个角为84°的两个等腰三角形一定相似吗？均有一个角为104°的两个等腰三角形一定相似吗？C 由于位置的不确定，需要分类讨论。
【典型例题】例1：在直角坐标系中有两点A （4，0），B （0，2），如果点C 在x 轴上（C 与A 不重合），当点C 的坐标为 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似。
例2：已知：如图，P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且PB=3，BF ⊥BP ，垂足为B ，请在射线BF 上找一点M ，使以B 、M 、C 为顶点的三角形与△ABP 相似。
例3．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG 。
（1）试求△ABC 的面积；CA D E（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设AD=x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域。
四．综合应用（与其他知识结合）1．如图，已知△ABC 是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。
（1）当点D 在边AC 上移动时，△DEF 中的哪个角的大小保持不变？并求出它的大小；（2）当点D 在AC 上移动时，△ADE 与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程。
又问，当点D 移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？（3）若等边三角形ABC 的边长为6，AD=2，试求BE ：BF 的值。
B2．在正方形ABCD 中，P 是CD 上一动点（与C,D 不重合），使得三角板的直角顶点与点P 重合，并且一条直角边始终经过点B ，另一条直角边与正方形的某一边所在的直线交于点E 。
（1）观察、操作、猜想哪一个三角形与△BPC 相似。
请证明你的猜想。
（2）当点P 位于CD 中点时，你得到的三角形与△BPC 的周长比是多少？3．已知AC ⊥CM,点B 是射线CM 上一点(点B 不与点C 重合),AC=4,∠CAB 的平分线AD 与射线CM 交于点D,过点D 作DN ⊥AB,垂足为N ． （1）如果AB=5，求BD 的长；（2）设y BD x AB ==,，求出y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）当AB 取何值时，四边形ACDN 的面积是△BDN 面积的3倍．4．如图，在直角三角形ABC 中，直角边AC＝3 cm , BC＝4cm ．设P，Q 分别为AB , BC 上的动点，在点P自点A 沿AB 方向向点B 做匀速移动的同时，点Q 自点 B 沿BC 方向向点C 做匀速移动，它们移动的速度均为每秒1 cm ，当Q 点到达C 点时，P点就P停止移动，设P , Q 移动的时间为t （秒）.(1)写出△PBQ 的面积S( cm2）与时间t （秒）之间的函数表达式，并写出t 的取值范围．(2)当t 为何值时，△PBQ 为等腰三角形？(3)△PBQ 能否与直角三角形ABC 相似？若能，求t 的值；若不能，说明理由．5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？。