九年级数学竞赛试卷

九年级数学竞赛试卷

（时量 120分钟 总分 100分）

一、选择题：（将唯一正确的答案的序号填入下表内，每小题4分，满分32分） 题 次 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案

1. 已知2a b ==

，且ab ＜0，则b

的值是（ ） A ．8 B. ﹣8 C. 16 D. 16-

2. 若一个三角形三边的长均能使代数式2918x x -+的值为0 ，则此三角形的周长可能是（ ）

A. 9或18

B. 12或15

C. 9或15或18

D. 9或12或15或18

3.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+6

12

y x y x 的实数解的个数为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4 4. 在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 坐标为（3，－3），点

P 是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点P 共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 5. 如图，已知在三角形ABC 中，D 是AB 的中点，F 是AD 的中

点，且FG ∥DE ∥BC ，△AFG 的面积是2，则梯形DBCE 的面积是（ ） A. 32 B. 8 C. 16 D. 24

6. 已知关于x 的一元二次方程2

(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合此条件的a 的值有（ ）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

7. 一个样本为1，3，2，2，,,,a b c 已知这个样本的众数3，平均数为2，那么这个样本的方差是（ ）

A. 8

B. 4

C.

87 D. 4

7

8. 如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上一个动点，点

M 、N 分别是AD 、DC 边上的中点，MP NP +的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. 2 D.

2

1

二、填空题（每小题5分，满分30分）： 9. 化简1

____________a

--

=。 10. 已知一次函数y ax b =+的图像经过一、二、三象限，且与x 轴交于点（﹣2，0），则不等式ax ＞b 的解集为 。

11.如果11a a -=，那么代数式1

a a

+的值是 。

12. 绕湖的一周长是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发，反向而行，小王以每小时4千米速度每走60分钟后休息5分钟；小张以每小时6千米速度每走50分钟后休息10分钟，则两人出发后__ ____分钟后第一次相遇.

13. 已知αβ、是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足

1

1

1α

β

+

=-，则m 的值是 。

14. 如图，在长方形内画一些直线，已知边上有三块面积分别为13，35，49，图中的数据表示所在的小块面积，则图中的阴影部分的面积为 。

三、解答题（本大题4个小题，满分38分，应写出必要的证明过程和演算步骤）

15. （本题满分8分）已知,a b 为有理数，,x y 分别表示57的整数部分和小数部分，且满

A

M

B

P

N

D

C

A B

E C

F

D

G

足21axy by +=，试求a b +的值。

16. （本小题满分10分）

若方程20x ax b ++=和方程20x bx a ++=有且只有一个公共根，试求2010()a b +的值。

17. （本题满分10分）某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复，已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完，下图是油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数图象。根据图象回答下列问题： (1)．求在第一个加工过程中，油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数关系式(不必写出自变量x 的取值范围)；

(2)．机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止? (3)．加工完这批工件，机器耗油多少升?

18. （本小题满分10分）

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90

AEF

∠=，且EF交正方形外角DCG

∠的平行线CF于点F，求证：AE＝EF。

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证AME ECF

△≌△，所以AE EF

=．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

⑴小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

⑵小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

A D

F

C G

E

B

图1 A D

F

C G

E

B

图2

A D

F

C G

E

B

图3