二项分布应用举例

二项分布及其应用

知识归纳

1．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表

示，其公式为P (B |A )＝ .

在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个

数，则P (B |A )＝ . (2)条件概率具有性质：

① ；

②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ＋C |A )＝ ． 2．相互独立事件

(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝ ， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝ ．

(3)若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则 ． 3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 ．

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1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.12

解析：条件概率P (B |A )＝P AB P A P (A )＝C 23＋1

C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝1

1025

＝14

.

2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )

A ．C 1012

⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B ．C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫58238 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D ．C 911

⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭

⎫582 解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911

⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582·38

. 3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢

两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )

A.12

B.35

C.23

D.34

解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，∴每场比赛甲、乙赢的概率均为12.

记甲获冠军为事件A ，则P (A )＝12＋12×12＝

3

4

4．(2010·福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．

解析：由题设分两种情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4. (2)第1、2个错误，第3、4个正确，由互斥事件的概率公式得P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. ∴P ＝P 1＋P 2＝0.128. 5．(2011·上海高考，12)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．

解析：设事件A 为“至少有2位同学在同一月份出生”，则A 的对立事件A 为“所有人出生月份均不相同”，则P (A )＝1－P (A )＝1－A 912

129＝1－12×11×10×9×8×7×6×5×4129

≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985.

题型讲解

例1.(2011·湖南高考，15)如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地

扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________.

[解析] ∵P (A )＝S 正方形

S 圆

＝

2

2

π

＝2π

. P (B |A )＝

P AB P A ＝S △EOH S 正方形＝14

.

[规律方法]……………►►条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P AB

P A

.这

是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件

A 发生的条件下求事件

B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n AB

n A

.

练习1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点

数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．

解析：(1)①P (A )＝26＝1

3. ②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有

10个．∴P (B )＝1036＝5

18. ③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故

P (AB )＝536. (2)由(1)知P (B |A )＝P AB

P A ＝53613

＝512

.

例 2.(2012·重庆高考，18)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，

且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 解析] 设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝1

2

(k ＝1,2,3)．

(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3)

＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫123＝13

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. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3) ＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3) ＝⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫13＝427.

[规律方法]……………►►(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件

是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单．

练习2．(2011·山东高考，18改编)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；

(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．

解析：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F .则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.

红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的