量子力学讲义最新版

(ω
)
(11)
可把式(10)中
E
2 0
换为 8π
∫ dωρ
(ω)，就得出非偏振自
然光引起的跃迁速率
w k ′k = D k ′k 2 ρ ( ω k ′k )
( ) =
4π 2e 2
32
rk ′k 2 ρ
ω k ′k
(12)
可以看出，跃迁快慢与入射光中角频率为ω k ′k的光
强度ρ (ωk′k )成比例。如入射光中没有这种频率成分，
§11.6.1 光的吸收与受激辐射
为简单起见，先假设入射光为平面单色光，其电磁
场强度为
⎧⎪ E = E 0 c o s (ω t − k ⋅ r )
⎨
(1)
⎪⎩ B = k × E / k
其中 k 为波矢，其方向即光传播方向，ω 为角频率。
在原子中，电子的速度 v c (光速)，磁场对电子
的作用力远小于电场对电子的作用力：
−ω)/ 2)
(8)
而跃迁速率为
wk ′k
=
d dt
Pk ′k
=
π
22
W k ′k
2 δ (ω k ′k
−ω)
=π
22
Dk′k ⋅ E0 2 δ (ωk′k − ω )
=π
22
Dk′k 2 E02 cos2 θδ (ωk′k − ω )
(9)
其中 θ 是 Dk′k 与 E0 的夹角.
如果入射光为非偏振光,光偏振(E0 )的方向是完全 无规的,因此把 cos2θ换为它对空间各方向的平均值,
限制，自发辐射光子相应的辐射波列的长度 ∆x ≈ cτ ，因而光子动量不确定度 ∆p ≈ ∆x ≈ cτ ,
能量(E = cp )的不确定度∆E = c∆p ≈ τ ，由于
观测到的光子能量有这样一个不确定度，由此
而得出的激发态能量也有一个不确定度,即宽度
Γ ，而
Γτ ≈
v
∆x
x
图 11.6
(5)
激发态
但对于光的受激和辐射现象，可以在非相对论 量子力学中采用半经典方法来处理，即把光子 产生和湮灭的问题，转化为在电磁场的作用下 原子在不同能级之间跃迁的问题。在这里，原 子已作为一个量子力学体系来对待，但辐射场 仍然用一个连续变化的经典电磁场来描述，并 未进行量子化，即把光辐射场当作一个与时间 有关的外界微扰，用微扰论来近似计算原子的 跃迁速率。
利用§5.1的式(3)，即
d A = [ A, H ] / i
(7)
dt
式(6)可以表示为
∆E.∆A > d A
(8)
2 dt
令
则得
τA
=
∆A /
d dt
A
(9)
∆E ⋅τ A > / 2
(10)
这里 τ A 是 A 改变 ∆A 所需的时间间隔，表征 A 变化
的快慢的周期。在给定状态下，每个力学量 A都有
宇称， 改变。
(14)
其次，考虑角动量的选择定则，利用
⎧ ⎪ ⎪
x
=
r
sinθ
cosϕ
=
r 2
sinθ
(eiϕ
+
e−iϕ
)
⎨ ⎪ ⎪ ⎩
y
=
r
sinθ
sinϕ =
z=r
r sinθ
2i
cosθ
(eiϕ
−
e−iϕ
)
cosθ Ylm =
(
(l 2l
+ +
1)2 1)(
− 2l
m +
2
3)
Yl
+1,m
在不确定度关系∆x.∆px ≥ / 2中，∆x与∆px都是指同一时 刻而言。因此，如果把 x 或者 px 之一换为t, 试问
“同一时刻”的 ∆t表示何意？这是很难理解的。此
外，如果套用§4.3.1不确定度关系的论证方法，就
必须计算[H ,t]，但与H不同，t并非该体系的力学
量，有人令 H = i
∂ ∂t
为确切起见,下面先讨论原子吸收光的跃迁,Ek′ > Ek , 此时,只当入射光 ω ≈ ωk′k = (Ek′ − Ek ) / 的情况,才会引 起 Ek → Ek′ 的跃迁。此时
C (1) = − W k ′k e − 1 i (ω k ′k − ω )
(6)
k ′k
2
ω k ′k − ω
因此从 k → k′(≠ k) 的跃迁概率
例1 设粒子初始状态为：ψ (r, 0) ≈ψ1(r) +ψ 2 (r)， ψ1 和 ψ 2 是粒子的两个能量本征态，本征值为 E1
和 E2 ，则
ψ (r, t) =ψ1(r)e−iE1t +ψ 2 (r)e−iE2t (1)
ψ (r,t) 是一个非定态。在此态下，各力学量的概
率分布，一般说来，要随时间而变。例如粒子在
Ek′
hν k′k
Ek′
hν k ′k hν k′k
Ek ′
hν k′k
Ek
(a) 吸收
Ek
(b) 自发辐射
Ek
(c) 受激辐射
对原子吸收或放出的光进行光谱分析，可获得 关于原子能级及有关性质的知识。光谱分析中两 个重要的观测量——谱线频率(或波数)与谱线相 对强度，前者取决于初末态的能量差 ∆E ( ν = ∆E / ,频率条件)，后者则与跃迁速率成比 例。光的吸收和辐射现象，涉及到光子的产生与 湮灭，其严格处理需要用量子电动力学，即需要 把量子场量子化(光子即电磁场量子)。
则不能引起 Ek → Ek′ 两能级之间的跃迁。跃迁速率 还与 r 2成比例，这就涉及初态与末态的性质。设
k ′k
原子初态： k = nlm , 宇称∏ = (−1)l 原子末态： k′ = n′l′m′ , 宇称∏′ = (−1)l′ (13)
考虑到 r 为奇宇称算符，只当宇称Π′ = −Π 时，rk′k 才 可能不为零。由此得出电偶极辐射的宇称选择定则:
∂t
可得出
⎣⎡l , H ⎦⎤ = ⎢⎣⎡l ,i
∂ ∂t
⎤ ⎥⎦
=
0
即 l 都是守恒量，这显然是不妥当的。
以上做法来自对Schrodinger 方程的不正确理解。事 实上 Schrodinger 方程
i ∂ ψ (t) = Hψ (t)
∂t
只是表明：在自然界中真正能实现的ψ (t)的演化，
必须满足上述方程。它绝不表明，对于任意函数
0
∫ = W k ′k
t
e (e iω k′k t iω t + e − iω t )d t
2i 0
=
− W k ′k 2
⎡ ⎢ ⎣
e − i (ω k′k + ω ) t
ω k ′k + ω
1
+
e i (ω k′k −ω ) t − 1 ⎤
ω k ′k − ω
⎥ ⎦
(5)
对于可见光，ω 很大(例如 λ ≈5000×10−10m 的光，ω≈4×1015 /s )。对于原子的光跃迁，ωk′k 也很大。式(5)中的两项， 只当 ω ≈ ωk′k 时，才有显著的贡献。
Γ
γ
基态
图 11.7
下面对能量不确定度关系给一个较普遍的描
述。设体系的Hamilton量为 H ，A为另一个力
学量(不显含t)。按照§4.3.1给出的不确定度关
系
∆E ⋅ ∆A > 1 [ A, H ]
2
(6)
其中
∆E
=
⎡⎣(H
−
H
)2
⎤1/ ⎦
2
,
∆A
=
⎡⎣(
A
−
A)2
⎤1/ ⎦
2
分别表示在给定的状态下能量和力学量 A 的不 确定度。
ψ (t )，上式都成立。因此随便让H = i
∂ ，往往会引
∂t
起误解。
§11.6 光的吸收与辐射的半经典处理
关于原子结构的知识,主要来自对光(辐射场)与原 子的相互作用的研究。在光的照射下,原子可能吸 收光而从低能级跃迁到较高能级,或从较高能级跃 迁到较低能级并放出光。这现象分别称为光的吸收 (absorption)和受激辐射(induced radiation)。实验 上还观察到，如果原子本来处于激发能级，即使没 有外界光的照射，也可能跃迁到某些低能级而放出 光来，这称为自发辐射(spontaneous radiation)。 如图所示：
∫ ∫ ∫ 即
cos2θ = 1
dΩcos2θ =
1
2π π
dϕ sinθ cos2θdθ =1/3
所以
4π
4π 0 0
w k ′k
=π
62
D k ′k
2
E
2 0
δ
(ω
k ′k
−ω)
(10)
这里ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
是角频率为
0
ω
的单色光的电场强度。以上
讨论的是理想的单色光,自然界不存在严格的单色
光(只不过有的光的单色性较好,例如激光)。对于
征时间 ∆t = ∞ ，这并不违反关系式(3)。
例2 设自由粒子状态用一个波包来描述(图
11.6)，波包宽度 ≈ ∆x ，群速度为 v ，相应于
经典粒子的运动速度。波包掠过空间某点所需时
间 ∆t ≈ ∆x ν 。此波包所描述的粒子的动量的不
确定度为 ∆p ≈ ∆x 。因此,其能量不确定度为
∆E ≈ (∂E ∂p)∆p = v∆p ，所以
，于是得出
[H ,t] = ⎡⎢⎣i
∂ ∂t