4.8 完全区组设计：Page 检验

L E ( L) 55 48 7 2 故 ZL 2.4749. 4 D ( L) 2 2 计算 p 值为 0.0067. 故在 5％的显著性水平下，拒绝零假设.
或者由于 u10.05 1.65 Z L，故拒绝零假设，存在上升趋势.
Page 检验还可以很容易地推广到每一个 i, j 位置有任意多 的观测值 nij 的情况. 并且简单地对每一个区组对观测值排序. 这里所必需的假设是：不存在区组和处理的交互作用.
对于所有 i, j 位置的观测值都相等 nij n ， 大样本时的近似正态统计量的 E ( L) 和 D( L) 为 nbk (k 1)(nk 1) E ( L) ； 4 3 nbk (n 2 k 2 1) ij ij i j D( L) nk (k 2 1) . 144(k 1)
L iRi .
i 1
k
• 每一项乘以 i 的原理在于： 如果备择假设 H1 正确，可以放大备择假设 H1 的效果.
注：在总体分布为连续的条件下，如果没有打结， 则该检验是和总体分布无关的.
Page 检验统计量的性质
bk (k 1)2 b(k 3 k )2 E ( L) ；D( L) . 4 144(k 1)
查表得，对于 k 3, b 4，P L 55 0.00694. 即精确检验 p 值为 0.00694.
对于水平 0.05，可以拒绝零假设. 也就是说，不同汽车密度的城市居民的血铅含量的确不一样.
方法二：应用正态分布近似 nk (k 1) 2 4 3 42 由于 E ( L) 48, 4 4 n(k 3 k ) 2 4 (33 3) 2 242 D ( L) 8. 144(k 1) 144 2 72
在表中加上各处理在每个区组(职业) 中的秩，得
区组(职业) 处理(城市)
I
40(1) 52(2) 80(3)
II
52(1) 76(2) 100(3)
Hale Waihona Puke Baidu
III
34(1) 52(3) 51(2)
IV
35(31) 53(2) 65(3)
Ri
4 9 11
C B A
可以得到 R1 4， R2 9， R3 11，而且 L 4 2 9 3 11 55.
4.8 完全区组设计：Page检验
• 对于完全区组设计数据，也可以进行趋势性检验， 进行类似于 Jonckheere Terpstra 检验的 Page 检验.
1. 建立假设检验
H0 : 1 2 k . H1 : 1 2 k .
2. 选择检验统计量
• 与 Friedman 检验统计量一样， 首先 在每个区组中，对各处理排序； 然后 对每个处理把观测值在各区组中的秩累加， 得到 Ri , i 1, 2, , k； 最后构造统计量：
IV 65 53 35
A B C
试判断对于显著性水平 0.05， 不同汽车密度的城市居民的血铅含量是否一样.
解：建立假设检验 H 0 : 1 2 3 H 1 : 1 2 3 .
为了符号简单起见，把第一个城市 A 和第三个城市 C 对调. 于是检验成为 H 0 : 1 2 3 H 1 : 1 2 3 .
144(k 1)
.
这里 ij 为第 j 个处理中及第 i 个结中的观测值个数(结统计量). i 1, 2, , e k.
3. 作出决策
对于一部分 k， b 和 的值，可以由查表来得到在零假设下 的临界值 c, 满足 P L c .
可利用正态分布近似计算 p 值.
Page 检验统计量的大样本近似
当 k 固定, b 时，在零假设下有正态近似： L E ( L) ZL N (0,1) D( L)
有结数据情形
在区组内有打结的情况下，D L 作如下修正： D( L) k (k 2 1)
3 bk (k 2 1) ij ij i j
例 4.2 在不同的城市对不同的人群进行血液中铅含量的测试， 一共有 A, B, C 三个城市，代表着三种不同的处理 (k 3). 对试验者按职业分成四组 (b 4) 取血. 他们血铅含量如下表所示：
区组(职业) 处理(城市)
I 80 52 40
II 100 76 52
III 51 52 34
此时 Page 检验统计量的大样本近似：
当 k 固定, b 时，在零假设下有正态近似： ZL L E ( L) N (0,1) D( L)