欧拉法与龙格库塔法比较分析

解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法简单实例比较 欧拉方法（Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前EULER 法、后退EULER 法、改进的EULER 法。

缺点：

欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。

改进欧拉格式（向前欧拉公式）：

为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。

算法：

微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程：

(,)dy f x y dx

= [,]x a b ∈ 0()y a y =

可以将区间[,]a b 分成n 段，那么方程在第i x 点有'()(,())i i i y x f x y x =，再用向前差商近似代替导数则为：

((1)())(,())i i i i y x y x f x y x h

+-= 在这里，h 是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据i x 点和i y 的数值计算出1i y +来：

1(,)i i i i y y h f x y +=+⨯0,1,2,i L =L

这就是向前欧拉公式。

改进的欧拉公式：

将向前欧拉公式中的导数(,)i i f x y 改为微元两端导数的平均，即上式便是梯形的欧拉公式。

可见，上式是隐式格式，需要迭代求解。为了便于求解，使用改进的欧拉公式： 数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta ）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。实际上，龙格-库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为(,)n n f x y ,而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均。

龙格-库塔方法的基本思想：

在区间1[,]n n x x +内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。 龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。

令初值问题表述如下。

'(,)y f t y =00()y t y =

则，对于该问题的RK4由如下方程给出：

11234(22)6

n n h y y k k k k +=++++ 其中

1(,)n n k f t y =

21(,)22

n n h h k f t y k =++ 32(,)22

n n h h k f t y k =++ 43(,)n n k f t h y hk =++

这样，下一个值1n y +由现在的值n y 加上时间间隔h 和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均：

1k 是时间段开始时的斜率；

2k 是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率1k 来决定y 在点2

n h t +的值；

3k 也是中点的斜率，但是这次采用斜率2k 决定y 值；

4k 是时间段终点的斜率，其y 值用3k 决定。

当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值： 1234226

k k k k slope +++= RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是5h 阶，而总积累误差为4

h 阶。注

意上述公式对于标量或者向量函数(y 可以是向量)都适用。 例子：0.2;0::4h x h ==

下面给出了数值求解该微分方程的简单程序。

其中1234,,,y y y y 分别为向前欧拉公式，改进的欧拉公式，4级4阶龙格-库塔公式及精确解。

结果分析：

图1中显示在2x <时，3种算法与精确值较接近，即误差不大，但当x 继续增加时则4级4阶龙格库塔法较精确，但也有一定限度，当 3.5x >时，计算值与精确值得差别将越来越大。从图2中可以清楚的看到这一结果，其中141''y y y →-，242''y y y →-，343''y y y →-。

图1

图2

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