微积分B总复习题(带答案)

微积分(B)复习题

一、 基本题:

（一） 微分学：

1、函数ln()arccos

2

x y

z y x -=-+的定义域是 {}

20),(≤->-=y x x y y x D 且 2、

()()(),0,0ln 1lim

sin(22)cos x y x y x y xy →--=+⋅ 21

-

3、设22(,)43f x y x xy y =-+，则h

f h f h )

2,1()2,1(lim

-+→= 8

4、已知函数22(,)f xy x y x y xy +=++，则

(,)(,)

f x y f x y x y

∂∂+∂∂ = )(3y x + 5、设 ln(2)z y x =- 则

211

x y z

x y

==∂=∂∂ 2

6、(1,0,1)

(),z

u x y du

=-=设则 dy dx -

22(,),______,______.(2,,),__________,_________,_________.xy x y

z u u u f x y e x y u f x xy xyz f f f ∂∂=-==∂∂'''====7、若则

若则

212f ye xf xy

+; 212f xe yf xy

+-; 3212yzf yf f ++; 32xzf xf +; 3xyf 。 8、二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足的关系为（ B ）

A ) 可微⇔可导⇒连续

B ) 可微⇒ 可导，或可微⇒连续，

但可导不一定连续

C ) 可微⇒可导⇒连续

D ) 可导⇒连续，但可导不一定可微 （二） 积分学：

1、{

}22

(,)14,2_______.D

D x y x y d σ=≤+≤=⎰⎰设则 π6

2、二次积分

()1

1

,y

e

dy f x y dx ⎰

⎰交换积分次序后为⎰

⎰1

ln 1),(x

e dy y x

f dx

3、二次积分

(

)2

2

2

dx f x y dy +⎰

化为极坐标形式的二次积分为⎰⎰θ

π

θcos 20

220)(rdr r f d

（三） 级数：

1、级数023

n

n n ∞

=∑的和为3

2、判定下列级数的敛散性：

A ) 15()2n n ∞

=∑发B )

1n ∞

=收C )

1

(1)

n n ∞

-=-∑)1

1(1)23n

n n ∞

=--∑收（条件收敛）

3、若级数

1

21

(3)31

n n n a n ∞

=--

+∑收敛，则lim n n a →∞=92.

4、若幂级数

1

n n n a x ∞

=∑在3x =-处收敛，则此级数在点2x =处的收敛性为收敛.

5、若幂级数

1

(1)n n n a x ∞

=-∑的收敛半径R =2，则此级数在点2x =-处的收敛性为发散.

6、幂级数03!

n n n x n ∞

=∑的和函数为x

e 3.

7、函数项级数

1

1

(21)(1)

n

n n x n

∞

-=+-∑的收敛域为]0,1(-. （四）微分方程：

1、微分方程30xy y '-=的通解3

-=cx y 。

2、微分方程2

2

()xy dx dy y dx x dy -=+是齐次方程（可分离变量方程，齐次，一阶线性） 3、1

22

2

2+=+'-'''x e y y x y x 是3阶微分方程。

二、计算题：

（一） 微分学：

1、设22

3

(32)x

z e x y =-，求 2,z z

x y x

∂∂∂∂∂.

解：

)646(322x y x e x

z

x +-=∂∂； )12(222y e y

x z x -=∂∂∂

2、设2(2)x y z x y +=+，（(2)0x y +>）

，求 ,z z

x y

∂∂∂∂. 解：

())2ln()2()2(22)2()12(y x y x y x y x x z

y x y x +++++=∂∂+-+ ())2ln()2(2)2(2)2()12(y x y x y x y x x

z

y x y x +++++=∂∂+-+ 3、设2sin(2),,cos3,.t

dz z x y x e y t dt

=-==而求 解：)3sin 62)(3cos cos(22t e t e dt

dz

t t ++= 4、设函数(,)z f x y =是由方程：

2sin(23)x y z +-求 ,z z

x y

∂∂∂∂. 解：

z

xy z y x x yz z y x F F x z Z x 2

1

)32cos(621

)32cos(2-

-+--+=-=∂∂

z

xy z y x y xz z y x F F y z Z

y 2

1)32cos(621

)32cos(4-

-+--+=-=∂∂

5、求函数 3

3

2

2

(,,)339f x y z x y x y x =-++-的极值.

解：)2,1()0,3(和-无极值；3)2,3()2,3(=--f 极大值；5-)0,1()0,1(=f 极小值。 （二） 积分学： 1、计算二重积分：D

xyd σ⎰⎰，其中D 由直线x =2, y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域。

（

2ln 2

1

815-) 2

、计算二重积分：2

1

1

0y

dx -⎰ (11--e )

3

、计算二重积分：

D

σ，其中{}

91),(22≤+≤=y x y x D (

π3

52) （三） 级数：

1、判别级数

1

2sin

3

n n

n π

∞

=∑的敛散性。 （收敛）