各种练习题

10、已知矢量场函数 f ( x, y ) = x ye1 + yze 3 ，计算 ∇ ⋅ f , ∇f , ∇ × f 。
2
c
120
b
60
a
Oபைடு நூலகம்
图3.9
x
三、计算题
1、设有矩形截面的竖柱，其密度为 ρ ，在一边侧面上受均布剪力 q ，见图 7.7，求 应力分量。提示：假设 σ x = 0 或 τ xy = f ( x) 。
= 10 MPa ， σ y = 10MPa ，τ xy = 5MPa ，其余应
x 0 0 σ ij = 0 y 0 0 0 0
试计算该点在 xy 平面内与 x 轴成 θ 角的斜面的正应力和剪应力。
3、已知物体内一点的六个应力分量为： σ x = 50a ， σ y = 0 ， σ z = −30a ， τ yz = −75a ， τ zx = 80a ， τ xy = 50a 试求法线方向余弦为 n1 = 1 ， n2 = 1 ， n3 = 12 的微分面上的总应力 T 、正应力 σ n 和 2 2 剪应力 τ n 。 4、某点的应力分量为 σ= σ= 0 ， σ= σ= 11 σ= 22 33 12 23 σ= 31 σ ，求： (1)过此点法向为 = n
图 11.2
θ
y
6、设有矢量 u = ui ei 。原坐标系绕 z 轴转动 θ 角度，得到新坐 标系，如图 2.4 所示。试求矢量 u 在新坐标系中的分量。
7、设在一个确定的坐标系中的应变分量为 ε ij ，让坐标系绕 z 轴转动 θ 角，得一个新 的坐标系，求在新坐标系中的应变分量。
y
8、在 Oxy 平面上， Oa 、 Ob 、 Oc 和 x 轴正方向之间的夹 角分别为 0 、 60 、120 ，如图 3.9 所示，这三个方向 的正应变分别为 ε a 、 ε b 和 ε c 。求平面上任意方向的相 对伸长度 ε n 。 9、设 a 为矢量， A 为二阶张量，试证明： (1) a × A = −( AT × a )T ，(2) A× a = −(a × AT )T
O h
x
O
y
α
q
ρg
q
x
y
图7.7
图8.19
2、图 8.19 表示一尖劈，其一侧面受均布压力 q 作用，求应力分量 σ r 、σ θ 和 τ rθ 。提
示：用量纲分析法确定应力函数的形式。
3、如图 11.2 所示长为 L 的等截面简支梁受集中力 P 作用，抗弯刚度为 EI，试用瑞 利——里兹法求挠度ω(x)的近似解。
1 (e1 + e 2 + e3 ) 的面上的正应力和剪 3
应力； (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。 5、物体的表面由 f ( x, y , z ) = 0 确定，沿物体表面作用着与其外 法向一致的分布载荷 p ( x, y , z ) ，试写出其边界条件。
z z'
y'
o x θ
x'
图2.4
一、边界条件练习题
y P 300 M O x
q
h/2
q
l t=1
(1)
p x y=0.5x2 y q
α
h/2
(2)
O x
β
A y
B
(3)
e a
(4)
P M
M P
x
θ
b
x
α
y
y
(5)
P e a M x b
(6)
q
y
(7)
二、分析题 1、已知弹性体中某点的应力分量为 σ x 力分量为零。试求三个主应力的大小。 2、设在 xyz 坐标系中，一点的应力状态为