2020年立体几何高考题汇总
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【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B
考点：三视图
【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
10.（2016全国一文18）．如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
（Ⅰ）证明G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）作图见解析，体积为
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图知：该几何体是 个球，设球的半径为 ，则 ，解得 ，所以它的表面积是 ，故选A．
考点：三视图及球的表面积与体积
9.（2016全国一文11）．平面 过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A , ， ，则m，n所成角的正弦值为
由题设可得 平面 ， 平面 ，所以 ，因此
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 ，可得
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
试题分析：如图，设平面 平面 = ，平面 平面 = ，因为 平面 ，所以 ，则 所成的角等于 所成的角.延长 ，过 作 ，连接 ，则 为 ，同理 为 ，而 ，则 所成的角即为 所成的角，即为 ，故 所成角的正弦值为 ，选A.
考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.
2016年文科数学立体几何高考题汇总
1.（2016北京文11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
2.（2016北京文18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，
（ ）求证： ；
（ ）求证： ；
( )设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得 ?说明理由.
试题解析：（Ⅰ）证明：取 的中点为 ，连接 ，在 中，因为 是 的中点，所以 且 ，又因为 ，所以 且
，即四边形 是平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（Ⅱ）证明：在 中， ，由余弦定理可 ，进而可得 ，即 ，又因为平面 平面 平面 ；平面 平面 ，所以 平面 .又因为 平面 ，所以平面 平面 .
3.（2016天津文17）(本小题满分13分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE= ，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.
(Ⅰ)求证：FG||平面BED；
(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
（Ⅲ）解：因为 ，所以直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角.过点 作 于点 ，连接 ，又因为平面 平面 ，由（Ⅱ）知 平面 ，所以直线 与平面 所成角即为 .在 中， ，由余弦定理可得 ，所以 ，因此 ，在 中， ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为
考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角
又由已知可得， ，从而 是 的中点.
（Ⅱ）在平面 内，过点 作 的平行线交 于点 ， 即为 在平面 内的正投影.
理由如下：由已知可得 ， ，又 ,所以 ,因此 平面 ，即点 为 在平面 内的正投影.
连接 ，因为 在平面 内的正投影为 ，所以 是正三角形 的中心.
由（Ⅰ）知， 是 的中点，所以 在 上，故
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取 的中点为 ，可证四边形 是平行四边形，从而得出 （Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出 ，即 （Ⅲ）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点 作 于点 ，则 平面 ，从而直线 与平面 所成角即为 .再结合三角形可求得正弦值
【解析】
试题分析：证明 由 可得 是 的中点.（Ⅱ）在平面 内，过点 作 的平行线交 于点 ， 即为 在平面 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且 ，可得 在等腰直角三角形 中，可得 四面体 的体积
试题解析：（Ⅰ）因为 在平面 内的正投影为 ，所以
因为 在平面 内的正投影为 ，所以
所以 平面 ，故
（I）求证：BF⊥平面ACFD；
（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
7.（2016江苏文16） 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ， .
求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
8.（2016全国一文7）．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.
4.（2016天津文3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为
浙江卷
5.（2016浙江文2）已知互相垂直的平面 交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）
A.Fra Baidu bibliotek∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意知 ， ．故选C．
考点：线面位置关系.
6.（2016浙江文18）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.
【解析】
试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B
考点：三视图
【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
10.（2016全国一文18）．如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
（Ⅰ）证明G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）作图见解析，体积为
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图知：该几何体是 个球，设球的半径为 ，则 ，解得 ，所以它的表面积是 ，故选A．
考点：三视图及球的表面积与体积
9.（2016全国一文11）．平面 过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A , ， ，则m，n所成角的正弦值为
由题设可得 平面 ， 平面 ，所以 ，因此
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 ，可得
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
试题分析：如图，设平面 平面 = ，平面 平面 = ，因为 平面 ，所以 ，则 所成的角等于 所成的角.延长 ，过 作 ，连接 ，则 为 ，同理 为 ，而 ，则 所成的角即为 所成的角，即为 ，故 所成角的正弦值为 ，选A.
考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.
2016年文科数学立体几何高考题汇总
1.（2016北京文11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.
2.（2016北京文18）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，
（ ）求证： ；
（ ）求证： ；
( )设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得 ?说明理由.
试题解析：（Ⅰ）证明：取 的中点为 ，连接 ，在 中，因为 是 的中点，所以 且 ，又因为 ，所以 且
，即四边形 是平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（Ⅱ）证明：在 中， ，由余弦定理可 ，进而可得 ，即 ，又因为平面 平面 平面 ；平面 平面 ，所以 平面 .又因为 平面 ，所以平面 平面 .
3.（2016天津文17）(本小题满分13分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE= ，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.
(Ⅰ)求证：FG||平面BED；
(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
（Ⅲ）解：因为 ，所以直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角.过点 作 于点 ，连接 ，又因为平面 平面 ，由（Ⅱ）知 平面 ，所以直线 与平面 所成角即为 .在 中， ，由余弦定理可得 ，所以 ，因此 ，在 中， ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为
考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角
又由已知可得， ，从而 是 的中点.
（Ⅱ）在平面 内，过点 作 的平行线交 于点 ， 即为 在平面 内的正投影.
理由如下：由已知可得 ， ，又 ,所以 ,因此 平面 ，即点 为 在平面 内的正投影.
连接 ，因为 在平面 内的正投影为 ，所以 是正三角形 的中心.
由（Ⅰ）知， 是 的中点，所以 在 上，故
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取 的中点为 ，可证四边形 是平行四边形，从而得出 （Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出 ，即 （Ⅲ）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点 作 于点 ，则 平面 ，从而直线 与平面 所成角即为 .再结合三角形可求得正弦值
【解析】
试题分析：证明 由 可得 是 的中点.（Ⅱ）在平面 内，过点 作 的平行线交 于点 ， 即为 在平面 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且 ，可得 在等腰直角三角形 中，可得 四面体 的体积
试题解析：（Ⅰ）因为 在平面 内的正投影为 ，所以
因为 在平面 内的正投影为 ，所以
所以 平面 ，故
（I）求证：BF⊥平面ACFD；
（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
7.（2016江苏文16） 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ， .
求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
8.（2016全国一文7）．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.
4.（2016天津文3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为
浙江卷
5.（2016浙江文2）已知互相垂直的平面 交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）
A.Fra Baidu bibliotek∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意知 ， ．故选C．
考点：线面位置关系.
6.（2016浙江文18）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.