特别解析：线性规划求最值
线性规划最值问题
线性规划最值问题什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类最值问题。
在线性规划中，我们试图找到一组变量的值，使得目标函数取得最大（或最小）值，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
线性规划问题的一般形式线性规划问题可以用下列一般形式来表示：$$\max (或 \min) c^T x$$$$s.t.\quad Ax \leq b$$其中，$x$是变量向量，$c$是目标函数系数向量，$A$是约束条件系数矩阵，$b$是约束条件右侧常数向量。
求解线性规划最值问题的步骤求解线性规划最值问题的一般步骤如下：1. 确定目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数向量$c$和优化目标（最大化或最小化）。
2. 设置约束条件：根据问题要求确定约束条件的系数矩阵$A$和右侧常数向量$b$。
3. 求解最值：应用线性规划算法，求解线性规划问题，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量$x$。
4. 解释结果：将最值代入目标函数，得到最终的最值结果，并解释其含义。
线性规划最值问题的应用线性规划最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：- 产品混合问题：决定不同产品的生产数量，以最大化收益或最小化成本。
- 运输问题：确定不同货物在不同运输路线上的分配方案，以最小化运输成本。
- 资源分配问题：决定资源的最优分配，以最大化效益或实现平衡。
总结线性规划最值问题是一种在实际应用中常见的问题求解方法。
通过确定目标函数和约束条件，并应用线性规划算法，我们可以找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量向量。
该方法可以应用于多个领域，帮助优化决策和资源分配。
线性规划求最值
线性规划求最值线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，通过建立线性模型来求解最大或最小值。
线性规划的目标是在给定的限制条件下，找到一个最优解，使得目标函数取得最大（或最小）值。
线性规划的数学模型可以表示为：目标函数：max（min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中x₁, x₂, …, xₙ为决策变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, a₈ₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …,bₙ为约束条件的常数。
解线性规划问题的过程可以分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数以及约束条件。
2. 线性规划的几何表示：将目标函数和约束条件用图形表示，目标函数是一个线性函数，而约束条件则是一组线性不等式。
3. 求解可行解：通过图形方法，找到目标函数与所有约束条件的交点，得到一组可行解。
4. 求解最优解：在可行解中，通过计算目标函数在每个可行解点的函数值，找到使目标函数取得最大（或最小）值的可行解，即为最优解。
5. 检验最优解的可行性：将最优解代入到原始线性规划问题中，检验是否满足所有约束条件。
如果不满足，则需要重新调整模型。
线性规划在实际应用中广泛使用，例如生产计划、资源分配、运输调度等领域。
通过线性规划，可以有效地进行决策，并找到最优解，提高效率，节约资源。
然而，线性规划也有一些局限性，如对问题的要求较高，不能解决非线性的问题等。
总之，线性规划是一种数学方法，通过建立线性模型，在给定的约束条件下求解最大或最小值，可以在各种实际问题中应用，并得到最优解。
通过线性规划，可以优化决策，提高效率，实现最大化利益。
题型02 线性规划(解析版)
秒杀高考数学题型之线性规划【秒杀题型一】：线性规划求最值。
『秒杀策略』：确定线性区域：二元一次不等式0(0)Ax By C ++><区域的确定只与系数B 有关，当B 与 后面的符号一致在直线上方，不一致在直线下方，或简记为“同上异下”，或通过移项等方式把B 变为正值， 若0>，则在直线上方；若0<，则在直线下方。
另注意实虚线(有等号为实线)。
【题型1】：构造截距求最值。
『秒杀策略』：对于线性目标函数：a z z ax by y x b b=+⇒=-+，可看作直线平行移动穿过可行域时截距的范围。
注意：①可行域边界的斜率与平行直线系斜率的大小比较，然后确定直线平移规律；②b 的符号，当0b >时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 最大；反之，z 最小。
当0b <时，与上面正好相反，且0b <是考生最容易出错的一个知识点。
1.(2009年新课标全国卷6)设y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ,则y x z += ( )A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值【解析】：如图画出区域，选B 。
2.(2012年新课标全国卷14)设,x y 满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的取值范围为 。
【解析】：画出区域可得取值范围为[]3,3-。
3.(2013年新课标全国卷II9)已知0>a ，y x ,满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若y x z +=2的最小值为1，则a = ( )A.14B.12C.1D.2 【解析】：画出区域，选B 。
4.(2016年新课标全国卷III13)若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0220201y x y x y x ，则y x z +=的最大值为 。
线性规划求最大值或最小值
线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog 函数格|字号大中小订阅式: linprog (f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a: w不等式条件约束矩阵其均为形式b:a 对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1 对应不等式右边的常数项xstart:x 的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1 的矩阵xend:x 的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1 的矩阵函数说明: 不存在的项填写[] 即可函数功能: 线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3 的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3 w 2x1+3*x2+2*x3 w 1且x1 、x2、x3 均大于等于0Matlab 求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3 -6-2 ] %这里为什么会是负数, 因为Matlab 求的是f 的最小值, 要求最大值则取要求系数的相反数即可x=[ 0 00 ]linprog (f,a,b,[],[],x,[]) %执行的matlab 命令后输出的如下内容. 注意这里的[] 表示那一项不存在. 当然最后那一个[] 也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.000 0%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0 为最优解. 带回原式我可以知道f 的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3 的最小值满足的条件是x1+x2+x3W 3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab 求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4 的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4W3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab 输入如下内容a=[1 1 1 0] b=[3] a1=[1 4 7 1] b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-1 0]linprog (f,a,b,a1,b1,x) %执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000 %说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0 取得最小值说明：任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时，例如求f=a1*x1+a2*x2+ ……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2- ......... -an*xn 的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+ ....... +an*xn >b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+ ...... +an*xn -xnn=b 即多了一个xnn(xnn > 0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时，其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3> 0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题:J TPmin f r smch t hnt Apq，jf - fw7b jr线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量,A, Aeq为矩阵。
不等式简单的线性规划问题利用简单的线性规划求最值
线性规划问题的应用
生产计划
如何安排各种资源（如人力、原材 料、设备等）以生产出最大利润或 最小成本的产品。
货物运输
如何安排车辆或船只运输货物，使 得运输成本最低或运输时间最短。
资源分配
如何将有限的资源分配给不同的项 目或任务，以获得最大的效益。
配料问题
如何在满足一定质量要求的条件下 ，使用最少的原料或以最小的成本 配制出所需的产品。
引入人工变量
对于不等式约束条件，可以引入人工变量来扩展变量的维度，将不等式约束条件 转换为等式约束条件。
不等式约束条件下线性规划问题的求解方法
将不等式约束条件加入目标函数中
将不等式约束条件加入目标函数中，并求解目标函数的最小值或最大值。
利用线性规划求解
对于不等式约束条件下线性规划问题，可以利用线性规划的求解方法，如单 纯形法、椭球法等来求解目标函数的最小值或最大值。
数据科学
1. 研究大数据分析中的优化问题；2. 探索高效的数据处理和特征提取方法；3. 提高数据 分析和处理的精度和效率。
THANKS
谢谢您的观看
迭代法
通过不断迭代，逼近最优解。
优化问题的实际应用
资源分配问题
如何分配有限资源，使得产出最大化或成本最小 化。
运输问题
如何制定最优运输计划，使得运输成本最低且满 足需求。
选址问题
如何在多个候选地点中选择最优地点，使得某项 业务运营成本最低或收益最大。
06
总结与展望
不等式简单的线性规问题求解方法的优缺点
05
利用简单的线性规划解决优化问题
优化问题的定义与分类
定义
优化问题是在一定约束条件下，寻求一个或多个自变量取何值时，使得目标 函数取得极值（极大值或极小值）。
线性规划基本题型
例5
(2023年北京-7)设不等式组
3x表x达y旳y平1面13
0 0
区(A域)(1为，D3，] 若(B指)数[2，函3数] y=(aCx旳) (1图，像2上] 存在(D区)[域35D，x上+旳∞3]点y，则9a旳0取值范围是
解：作出可行域如右图所示绿色
区域． 0<a<1 时 ， x>0 时 ， 0<ax<1 ， y=ax
离旳平方旳最值问题．
题型三 求非线性目旳函数旳最值—斜率型
例3
x＋y－6≥0， 已知实数 x，y 满足4x－3y＋12≥0，
x≤4.
求xy的最大值与最小值.
【解】
x＋y－6≥0， 作出不等式组4x－3y＋12≥0，
x≤4
平面区域，如图所示．
表示的
(1)令 z＝xy，则 y＝zx.故求xy的最大值与最小值就是求 不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的 最大值与最小值，由图易知，kOC 最小，kOA 最大．
联立2x＋x＋2yy＝ ＝4500 ，得xy＝＝2100 ， ∴A(10,20)． ∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20＝70.
题型二 求非线性目旳函数旳最值—距离型
若目旳函数不是线性函数，我们可先将目旳函数变形找 到它旳几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0 ，求：
的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值 12，即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163＋2＝ 265，故2a＋3b的最小值为265.
检测：
线性规划求最大值或最小值
线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog |字号大中小订阅函数格式:linprog(f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a:≤不等式条件约束矩阵其均为形式b:a对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1对应不等式右边的常数项xstart:x的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1的矩阵xend:x的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1的矩阵函数说明:不存在的项填写[]即可函数功能:线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3≤2x1+3*x2+2*x3≤1且x1、x2、x3均大于等于0Matlab求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3-6-2 ]%这里为什么会是负数,因为Matlab求的是f的最小值,要求最大值则取要求系数的相反数即可. x=[ 00 ]linprog(f,a,b,[],[],x,[])%执行的matlab命令后输出的如下内容.注意这里的[]表示那一项不存在.当然最后那一个[]也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.0000%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0为最优解.带回原式我可以知道f的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3的最小值满足的条件是x1+x2+x3≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab输入如下内容a=[1 1 1 0]b=[3]a1=[1 4 7 1]b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-10]linprog(f,a,b,a1,b1,x)%执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000%说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0取得最小值说明:任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时,例如求f=a1*x1+a2*x2+……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2-……-an*xn的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+……+an*xn≥b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+……+an*xn-xnn=b即多了一个xnn(xnn≥0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时,其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3≥0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题：线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量, A, Aeq为矩阵。
【备战】高考数学 高频考点归类分析 应用线性规划求最值(真题为例)
应用线性规划求最值典型例题：例1. （2012年天津市理5分）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ▲ .【答案】(0,1)(1,4)。
【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点。
【分析】函数1)1)(1(112-+-=--=x x x x x y ，当1>x 时，11112+=+=--=x x x x y ，当1<x 时，⎩⎨⎧-<+<≤---=+-=--=1,111,11112x x x x x x x y ， 综上函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，。
作出函数的图象，要使函数y 与kx y =有两个不同的交点，则直线kx y =必须在蓝色或黄色区域内，如图，此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ，k 满足21<<k ，当经过蓝色区域时，k 满足10<<k ，综上实数k 的取值范围是(0,1)(1,4)。
例2. （2012年陕西省理5分）设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 ▲ . 【答案】2。
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，简单线性规划。
【解析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D ，利用线性规划的方法求出目标函数z 的最大值即可：∵1,0()2,0x y f x x x ⎧>⎪'==⎨⎪-≤⎩，(1)1f '=，∴曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-。
∴由x 轴和曲线()y f x =及1y x =-围成的封闭区域为三角形。
2z x y =-在点(0,1)-处取得最大值2。
利用简单的线性规划求最值 课件
作出直线 y＝34x，平移得最优解 M(3,5)，N(5,3 x＝5，y＝3 时，zmax＝3.
答案：A
[研一题]
[例 2]
x－y＋2≥0， 已知x＋y－4≥0，
2x－y－5≤0，
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(2)z＝2xy＋＋11的取值范围．
名称
意义
最优解
线性规划 问题
使目标函数取得 最大值或最的小可值行解
线性约束
在
条件下求线性目标函数的最大值或最小
值问题
[小问题·大思维] 1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？
提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可 行域中的某条边界直线平行时求目标函数z＝ax＋by＋c 的最值，最优解就可能有无数多个．
4．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小 值与截距的对应关系又是怎样的？ 提示：z的最大值对应截距的最小值，z的最小值对应 截距的最大值．
[研一题]
[例 1]
x≥－3， 设 x、y 满足约束条件－y≥4－x＋4，3y≤12，
4x＋3y≤36，
求目
标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值．
[自主解答] 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩 形ABCD(包括边界)．
点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋8在y轴上 的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1，＋∞)．
在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大 值的点有无数个，求a的取值范围．
[自主解答] 作出可行域如图，并求 出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3，1)、C(7,9)． (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域 内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的 平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值|MN|2＝92.
谈谈简单线性规划中最值的求法
例 ４ 求 证 ：＿ ￣ ±： ：± ： ≤
不等式证 明是不等式教学 中的一个难
简解：。＞ ， ＞ ， ｙｌ ． ｘ； ‘ ０ｙ ０ｘ ＝ ’＿ ／／≤ ． ｘ ＋ ． ｙ
ｘ＋ ｙ
一
２
．探 索 ． 【 癌学莹新探】 教．
例谈柯西不等式在不等式证 明中的应用
浙江 摘 要： 本文 着重探讨 柯西不等式在 金华 ●陶立平 例 ７ 设 ｘ ， ＞０ｘ ｙ ｌ 求（＋ ） ＞０ ｙ ， ＝ ， ｘ ＋ ２（＋ ）的最小值 。 ＋ｙ ｚ
ｙ
・
．
．
例 ３ 求 ｙａｉｘｂ ｏｘ ＝ ｓ ＋ ｃｓ 的极 值 。 ｎ
＝ ） ＝ （１） ｌ （ ｝ ≤ Ｋ２ Ｋ ｋ｝ ＝ ） ＝
ｋ １
例 ２ 求证 ：
中 ａ ｂ ｃ∈Ｒ ． ＋＋
＋ ＋ Ｉａｂ ｃ 其 ＞ ＋＋ ，
ｃ 即｝ｓ ｓ Ｂｓ １ 。 ｆ （２＋２＋ ２） ｓ ） ｉ ｉ ｉ ｎ ｎ ｎ ≤
２ ‘Ｉｎ ａ＋ｉ２ ｓ ２ ≤２ ｖ ． ，． ｉ ． ２ ｓ ｐ＋ｉ ｌ 、 ＿＿ ｓ ｎ ｎ ，
不 等式 证 明 中的 应 用 。 关 键 词 ： 西 不 等 式 ； 明 ； 用 柯 证 应
简 解 ： 由 Ｃ ｘ ａ ｂ）ｓ Ｚ ｃｓ ）ａ ｂ， ａｉ ＋ ｃｓ） ｎ ≤（ （ｉｘ ｏ２ ＝ ２ ｎ＋ ｘ ＋
） ａ ｂ， 一 ｒ ２ 即 、 ２ ＋ ＝
【 （￣ 嘉 ） （ ｖ ｘ】 Ｔ ）（ ‘ １ 【 －
≥ （ ｂ 即 ＋ ａ ） ＋ ， ≥（＋） ａｂｚ ．
（｝２ ）小 为 ｘ ） 值 等． ＋ ＋ 最 （
线性规划求最值的常见题型
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
������0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理 解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点 或最小值点．
(2)������ = ������������++31的最值.
从目标函数的 几何意义思考
非线性目标函 数
（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值
可求得������可���目���9���行标���,���域8函���������中数.=的���的������点几������������到������何���������P2意=点义=的���可���距2���表���离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中 徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题 二、求非线性目标函数的最值问题 三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函 数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视 台的广告时间为主要变 量，公司的收益为两个 电视台获得的收益总和， 故可设两个电视台的广 告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别
线性规划最值问题
C 1,1
1
0
x1
x
x 4y 3 0 例:变量x,y满足 3 x 5 y 25 0， x 1 (1)设z=4x-3y,求z的最大值； y (2)设z= ，求z的最小值；
x
y
5
22 A 1, 5
y y0 ( 2) z x x0 z的值是可行域中的点 与原点O连线的斜率。
y1 (其中k为小于零的常数)时， 的最小值为2， x
能力提升
则实数k的值是________． -3
解析：不等式组所表示的 可行域如图所示， 点P(x，y)为可行域内的点时
k 1 y1 3 有 ＝kBP≥kBA＝ ＝2， x k 3 解得k＝－3.
一个半平面内的点的坐标适合不等式 Ax＋By＋C＞0 , 而另一个半平面内的点的坐标适合不等式Ax＋By＋C＜0 , 即直线Ax＋By＋C＝0划分平面所成两个半平面的点,分 别由不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C＜0决定.因此, 如同前面所学平面内的直线可以视为二元一次方程的 几何表示一样,半平面就是二元一次不等式的几何表示．
B 5,2
1
C 1,1
1
观察可知zmin kOB
x
2 5
0
x 4y 3 0 例:变量x,y满足 3 x 5 y 25 0， x 1 (3)设z= x 2 y 2 ,求z的取值范围.
( 3) z x 2 y 2的几何意义 是可行域中的点到原点 O
基础自查
(2)判断不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域,可在直 线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点， 如选原点或坐标轴上的点来验证 Ax＋By＋C 的 符号的正负．当C≠0时，常选用 原点 ． 2．二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中， 表示平面区域，直线l应画成 虚线 ，画不等式 Ax＋By＋C≥0所表示的区域时,应把边界画成 实线 ．
三类线性规划问题及其解法
方法集锦线性规划问题是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，重点考查同学们的建模、运算、分析能力.本文主要探讨三种不同类型目标函数的线性规划问题及其解法.一、z =ax +by 型若目标函数为z =ax +by 型（直线型），我们一般需先将目标函数变形为：y =-a b x +zb，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值，这样便将求目标函数最值问题转化为求直线的截距的最值.①若b >0，当y =-a b x +z b截距最大时z 最小，当截距最小时z 最大；若b <0，当y =-a b x +zb截距最大时z 最大，当截距最小时z 最小.例1.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïïï2x +y ≤40,x +2y ≤50,x ≥0,y ≥0,则z =3x +2y 的最大值为_____.解：将z =3x +2y 变形为y =-32x +z2.作出如图1所示的可行域，由图可知当y =-32x +z 2过点A 时，直线的截距最大，则{2x +y =40，x +2y =50，解得ìíîx =10,y =20，此时z max =70.在画出可行域后，我们通过观察图形便能很快确定当直线经过A 点时y =-32x +z2的截距最大，此时z 最大，解方程组便可求得z 的最值.图1图2图3二、z =y -bx -a型对于目标函数为z =y -bx -a （斜率型）的线性规划问题，我们一般要依据y -bx -a的几何意义来求解.首先，根据线性约束条件画出可行域，将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与定点A (a ,b )连线的斜率，求得斜率的最值便可求出z 的最值.例2.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,x >0,x ≤1,求z =yx的最大值.解析：该目标函数为斜率型，可将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与原点连线的斜率，求出斜率的最值即可.解：作出如图2所示的可行域，将z =yx变形为z =y -0x -0，可将z 看作可行域内任意一点P (x ,y )与原点的连线的斜率.由图2可知当直线过交点A 时，PO 的斜率最大，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z max =2.三、z =(x -a )2+(y -b )2型当遇到目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2（距离型）的线性规划问题时，我们可以把z 看作可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )的距离的平方，结合可行域找到最值点，利用两点间的距离公式便能求出z 的最值.例3.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,2x -y -2≤0,x ≥1,则z =x 2+y 2的最小值为_____.解析：该目标函数为距离型，可将z 看作是可行域内任意一点P (x ,y )到原点的距离的平方，求得PO 两点间距离的最小值，便可求得z 的最小值.解：将z =x 2+y 2变形为z =（x -0）2+(y -0)2，作出如图3所示的可行域，由图可知点A 到原点的距离最小，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z min =5.可见，解答线性规划类问题的基本思路是，（1）根据线性约束条件画出可行域；（2）将目标函数变形为直线型、斜率型、距离型；（3）在可行域内移动直线、点，找出最值点；（4）联立交点处的直线方程，求出最值点的坐标；（5）将点的坐标代入目标函数中求得最值.（作者单位：中国烟台赫尔曼·格迈纳尔中学）44。
论线性规划在求解最值中的应用
论线性规划在求解最值中的应用作者：余安娜来源：《西部论丛》2017年第10期在高中数学的学习过程中，求解最值是一大重点和难点，也是每年高考的一大热点，题型和方法多种多样。
而利用线性规划求解最值也是我们常运用的一种较简单的手段，它需要学生建立数形结合，转化与化归的思想，而且还能体现学生的综合分析能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，故本文就对利用线性规划求解最值问题进行浅析。
（题型一）求与目标函数有关的最值问题：当目标函数的关系式如（）时，可把目标函数变形为，则目标函数表示斜率为，上的截距为的直线l，然后通过平移寻找最优解.一般步骤如下：（1）作出可行域；（2）平移目标函数的直线系，根据截距求出最优解.例1. 已知实数x、y满足则求目标函数z=x-2y的最小值. 【解析】画出满足不等式组的可行域如下图：目标函数化为：-z，画直线及其平行線，可知当此直线经过点A时，-z的值最大，z的值最小，解方程组得到A点的坐标为（3，6），所以，z的最小值为：3-2×6=-9。
（题型二）求比值的最值问题：当目标函数形如时，可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为连线斜率的最值。
例2 设实数满足，则求的最大值.【解析】画出不等式组所确定的平面区域如下图，表示两点确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.由上图可以看出直线的斜率最大，故为与的交点，即A点.∴.故的最大值为.（题型三）求与距离有关的最值问题：当目标函数形如时，可把z看作是定点与动点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为距离平方的最值。
例3.已知，求的最小值.【解析】作出可行域如下图：并求出顶点的坐标，而表示定点到可行域内任一点的距离的平方，过定点作直线的垂线，易知垂足在线段上，故z的最小值是.（题型四）求与截距有关的最值问题：例4.不等式组表示的平面区域面积为81，求的最小值.【解析】由可行域的面积为81求出，作出可行域如下图：令，则此式变形为，z可看作是动抛物线在y轴上的截距，当此抛物线与相切时z最小，故联立方程组，得到方程，，得到答案。
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特别解析：线性规划求最值
一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题
例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩
，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的
取值范围是（ ）．
（A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］
（C ）［－1，2］ （D ）［1，2］
解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z x y =-，
变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行 直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）． 注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．
例2 已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则24z x y =+的最小值为（ ）
分析：将目标函数变形可得124z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直12
y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。
解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：
当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-。
-5 5
3
O x y
C A
B L
二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题
例3 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩
，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），00
y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，
要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交
点，即A 点． ∴31
2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．故答案为32． 注：解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -=
=-的 几何意义，当然本题也可设y t x
=，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时，
t 最大．代入y tx =，求出32
t =， 即得到的最大值是32
． 例3.已知实数x 、y 满足不等式组2240
x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆22
4x y +=的右半圆(含边界)，
31y z x +=
+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．问题的几何意义：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线
斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)z --==--．过 -2 2 O
x y •（-1，-3） -2。