特别解析：线性规划求最值

特别解析：线性规划求最值

一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题

例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩

，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的

取值范围是（ ）．

（A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］

（C ）［－1，2］ （D ）［1，2］

解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z x y =-，

变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行 直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）． 注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．

例2 已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩

，则24z x y =+的最小值为（ ）

分析：将目标函数变形可得124z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直12

y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。 解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：

当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-。

-5 5

3

O x y

C A

B L

二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题

例3 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩

，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），00

y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，

要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交

点，即A 点． ∴31

2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．故答案为32． 注：解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -=

=-的 几何意义，当然本题也可设y t x

=，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时，

t 最大．代入y tx =，求出32

t =， 即得到的最大值是32

． 例3.已知实数x 、y 满足不等式组2240

x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆22

4x y +=的右半圆(含边界)，

31y z x +=

+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．问题的几何意义：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线

斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)z --==--．过 -2 2 O

x y •（-1，-3） -2