数值分析课件-6曲线拟合

第六章 曲线拟合的最小二乘 /函数平方逼近初步

实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实

际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:

编 号拉伸倍数 强 度编 号拉伸倍数 强 度1 1.9 1.4

135 5.522 1.314 5.253 2.1 1.8156 5.54 2.5 2.516 6.3 6.45 2.7 2.817 6.566 2.7 2.5187.1 5.37 3.53198 6.58 3.5 2.72087944218.98.5104 3.5229811 4.5 4.2239.58.112 4.6

3.5

24

10

8.1

i i y x i

i y x 一.实例讲解

6.2 数据拟合(最小二乘法)

§

2

(())

m n

j j i i i j a x f ϕ===-∑∑2

(())m

i i i S x f ==-∑三、法方程组

22

δ

∑==n

j j j x a x S 0

)

()(ϕ由的函数为拟合系数),,1,0(n j a j =可知

因此可假设

01(,,,)n F a a a 2

(())

m

n

j j i i i j a x f ϕ===-∑∑因此求最小二乘解转化为

二次函数

四、加权最小二乘法

(,)(0,1,,)

i i x f i m = 对于一组给定的数据点(,)(0,1,,)i i x f i m = 在拟合的数据点中

各点的重要性可能是不一样的

()(,)0,1,,i i i i x x f i m

ρρ= 假设=表示数据点的权(或权重),权:

即权重或者密度，统称为权系数.

定义加权平方误差为

222

m i i i δ

ρδ==∑2

(())

m

i i i i S x f ρ==-∑-----(9)

6.3 连续函数的最佳平方逼近

§0102

**2

22

*

[,],{,,,}[,].

(),()();

()[()()]()[()()]()().min n n

i i i b a b a S f C a b span C a b S x S x a x f S x f x S x dx x f x S x dx S x f x ϕϕϕϕρρ=∈Φ∈Φ=⊂∀∈Φ=-=-=-∑⎰⎰ 设为的最佳平方逼近1. 最佳平方逼近问题

-----(14)

0(,)(,)(,)()()()(,)()()()0,1,,x n k i i k k i b k i k i a b k k k a a f d x x x dx d f x f x x dx

k n

G d

ϕϕϕϕϕρϕϕϕρϕ=⎧==⎪⎪⎪=⇒⎨⎪==⎪⎪=⎩⇒=∑⎰⎰ ⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛),(),(),(01000n ϕϕϕϕϕϕ ),(),(),(11101n ϕϕϕϕϕϕ ),(),(),(10n n n n ϕϕϕϕϕϕ G =

最小二乘法方法评注

曲线拟和的最小二乘法是实验数据处理的常用方法。最佳逼近可以在一个区间上比较均匀的逼近函数且具有方法简单易行，实效性大，应用广泛等特点。但当法方程组阶数较高时，往往出现病态。因此必须谨慎对待和加以巧妙处理。有效方法之一是引入正交多项式以改善其病态性。

指数模型和双曲线模型-----线性化拟合

超定方程组的最小二乘解

See you next chapter!

《应用数值分析》复习题：

例题 3.2.2；

习题 3.1、3.6、3.9