指数函数的性质及其应用_课件
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第三章 第五节 指数函数 课件(共53张PPT)
解析： 函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴 上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
高一数学必修1：2.1.2《指数函数及其性质的应用》课件
例3 求下列函数的定义域:
1
(1) y 5 x1 ;(2) y 2 x4 .
问题提出 1.什么是指数函数？其定义域是什么？大致 图象如何？
2.任何一类函数都有一些基本性质，那么指 数函数具有那些基本性质呢？
知识探究（一）：函数 y ax (a 1) 的性质
考察函数
y ax (的a图象:1)
一
2
想 共同点？
指数函数定义：
函数 y=ax （a>0,a≠1）叫做指数函数,
其中x是自变量，函数的定义域为R
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
①若a=0，则当x≤0时， ax无意义
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 ax无意义11来自如：a 2、a 4等等
③若a=1，则对于任何x R，
a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
思考3:上述函数在其结构上有何共同特点？
思考4:我们把形如 y ax的函数叫做指数函
数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的 取值范围应如何规定为宜？
a 0, a 1
思考5:指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的定义 域是什么？
知识探究（二）:指数函数的图象 思考1:研究函数的基本特性，一般先研究其
探究2：函数 y 2 3x是指数函数吗？
不是！指数函数中要求 a x的系数必须是1
思考:下列函数是指数函数吗,为什么?
y 2x2 y 4x2 y x y 2x
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y
1
x
2
x -3 -2 -1
2 x 0.13 0.25 0.5
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
人教高中数学必修一2.1.2指数函数及其性质(课件)
思考:这两个例子的式子有什么共同特征?
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 y ax (a 0, a 1, x R) 叫做指数函数
注意:
(1) 规定a 0, a 1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a 0 无意义
…...
2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年 剩留的质量约是本来的84%.求出这种物质的剩留 量随时间(单位:年)变化的函数关系.
设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示
则
经过1年, y 184% 0.841 经过2年, y 1 0.84 0.84 0.842
归纳出:经过x年, y 0.84 x
• (1)
1
y 3x
• (2) y 5 x1
• (3)函数 y a2x3 3 恒过点 ( 3 , 4)
2
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
布置作业：习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?
(8) y (2a 1)x (a 1 , a 1) 2
答案：（1）（6）（8）是指数函数
2：函数y (a2 3a 3) ax是指数函数，则a 2
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 y ax (a 0, a 1, x R) 叫做指数函数
注意:
(1) 规定a 0, a 1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a 0 无意义
…...
2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年 剩留的质量约是本来的84%.求出这种物质的剩留 量随时间(单位:年)变化的函数关系.
设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示
则
经过1年, y 184% 0.841 经过2年, y 1 0.84 0.84 0.842
归纳出:经过x年, y 0.84 x
• (1)
1
y 3x
• (2) y 5 x1
• (3)函数 y a2x3 3 恒过点 ( 3 , 4)
2
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
布置作业：习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?
(8) y (2a 1)x (a 1 , a 1) 2
答案：（1）（6）（8）是指数函数
2：函数y (a2 3a 3) ax是指数函数，则a 2
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
指数函数及其性质PPT课件
05 指数函数与其他函数的比 较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b，表示的是一种 匀速变化，增加或减少的 趋势。
指数函数
y=a^x，表示的是一种爆 炸式增长或衰减的趋势。
比较
线性函数的变化速率是恒 定的，而指数函数的变化 速率会随着x的增大或减小 而快速增大或减小。
与幂函数的比较
01
幂函数
y=x^n，当n>0时，表示的是一种增长趋势；当n<0时，表示的是一种
包括单调性、奇偶性、周期性等。
指数函数的应用
在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
练习与思考
练习题
根据指数函数的性质，判断下列哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由。
思考题
指数函数在生活和生产中有哪些应用？请举例说明。
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感谢您的观看
指数函数的运算性质
01
基本运算性质
02
$a^m times a^n = a^{m+n}$
03
$(a^m)^n = a^{mn}$
04
$frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
05
复合运算性质：如果 $u(x) = b^x$ 且 $b > 0$ 且 $b neq 1$，则 $y = a^{u(x)}$ 也是指数函数。
04
05
指数函数的值域为 $(0, +infty)$。
指数函数的图像
当 $a > 1$ 时，图像位于第一象限和第四象限 ；
绘制方法：选择一个 $a$ 值，例如 $y = 2^x$ 或 $y = frac{1}{2}^x$，然后使用计算器或数学软件绘制图
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
轴且与轴无交点.
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
指数函数及其性质的应用 课件
1.明确求定义域的依据
求定义域的依据有：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数
非负，0指数幂的底数不为0，如本例中的分母不为0，即
2x-1≠0.
2.重视常用代数变形方法的应用
如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变
形技巧的应用.如本例中对
1 2x
的变1 形用到了通分，对
12
2x 2x
的1变形用到了分子分母同乘以2x.
【解析】1.由32x－1－1≥0得32x－1≥3－2.
9
因为函数y=3x在R上是增函数,
所以2x－1≥－2故x≥－1 .
2
所以函数 y 32x的－1－定1义域为［
9
答案：［－1+, ∞)
2
+∞－).1 ,
2
2.(1)( )5－0.24与
6
(5可)－以14 看作函数y=( )x的5两个函数值.由
1
3.强化定义域优先的意识 解答函数问题始终是在定义域内进行的，如本例中定义域为 {x∈R|x≠0}，所以第(3)问要分别证明x＞0,x＜0时都有 f(x)＞0.
【类题试解】已知函数f(x)=2ax+2(a为常数)， (1)求函数f(x)的定义域． (2)若a＞0，试证明函数f(x)在R上是增函数. (3)当a=1时，求函数y=f(x),x∈(－1,3］的值域．
类型 二 指数函数单调性的综合应用
【典型例题】
1.函数 y 32x－1－1 的定义域为______.
9
2.比较下列各组数的大小：
(1)(
5
)－0.24
与(
5
－1
)4
.
6
6
(2)1.90.3与1.92.3.
指数函数课件(共16张PPT)
问题情境： 一种放射性物质不断变化为其他物质，毎经过一
年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩 留量随时间变化的函数解析式。
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
我们设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y．则 经过1年，y=1×84%=0.84； 经过2年，y=1×0.84×0.84=0.84； 经过3年，y=1×0.84×0.84×0.84=0.84； …… 一般地，经过x年，
y=0.84x.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
用描点法画出图象（图4-2).
从这个函数的对应值表和图象，可看到
y=2x在（-
,+
）上是增函数，y
1 2
x
在（-,+ ）上是减函数．这两个函数
的任意函数值y都大于0，且它们的图象
都经过点（0,1）.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
1.02365≈? 1.01365≈? 0.99365≈? 借助计算器，我们可以算得： 1.02365≈1377.41 1.01365≈37.78 0.99365≈0.03 1.02365×1.01365≈52043.22 1.01365×0.99365≈0.96 对比上述计算结果，你能感受到指数运算的“威力”吗？
年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩 留量随时间变化的函数解析式。
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
我们设最初的质量为1，经过x年，剩留量是y．则 经过1年，y=1×84%=0.84； 经过2年，y=1×0.84×0.84=0.84； 经过3年，y=1×0.84×0.84×0.84=0.84； …… 一般地，经过x年，
y=0.84x.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
用描点法画出图象（图4-2).
从这个函数的对应值表和图象，可看到
y=2x在（-
,+
）上是增函数，y
1 2
x
在（-,+ ）上是减函数．这两个函数
的任意函数值y都大于0，且它们的图象
都经过点（0,1）.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
1.02365≈? 1.01365≈? 0.99365≈? 借助计算器，我们可以算得： 1.02365≈1377.41 1.01365≈37.78 0.99365≈0.03 1.02365×1.01365≈52043.22 1.01365×0.99365≈0.96 对比上述计算结果，你能感受到指数运算的“威力”吗？
2022-2023学年人教A版必修第一册 4-2-2 指数函数及其性质的应用 课件(41张)
A．是增函数 B．是减函数 C．当 x＞2 时是增函数，当 x＜2 时是减函数 D．当 x＞2 时是减函数，当 x＜2 时是增函数
解析：令 2－x＝t，则 t＝2－x 是减函数．因为当 x＞2 时，f(x)＞1，所以当 t＜0 时， at＞1.所以 0＜a＜1，所以 f(x)在 R 上是增函数，故选 A.
(1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调性来 判断．
(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图象的变化 规律来判断，或运用幂函数的单调性比较大小．
(3)对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较，也常应用指 数函数图象的排列规律，应用数形结合法比较．
性质比较数的大小、解不等式． 生的数学运算及直观想象等素养．
精梳理·自主学习固基础
【主题 1】 1．如何比较 am 与 an(a>0 且 a≠1)的大小？
答案：提示：利用指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的单调性，由 m，n 的大小确定两个 函数值的大小关系．
2．如何比较 am 与 bn(a≠b，a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1)的大小？ 答案：提示：可利用中间值 1 或 an 或 bm 比较，也可借助指数函数的图象比较．
(1) 解析：∵c＜0，b＝53＞3,1＜a＜3，
∴b＞a＞c.故选 B.
(2)解：由于 a＞1 且 a≠2，∴a－1＞0 且 a－1≠1，
若 a－1＞1，即 a＞2，则 y＝(a－1)x 是增函数，
∴(a－1)1.3＜(a－1)2.4，
若 0＜a－1＜1，即 1＜a＜2，则 y＝(a－1)x 是减函数，
[自我检测]
1．(多选题)下列判断错误的是( ABC ) A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
解析：令 2－x＝t，则 t＝2－x 是减函数．因为当 x＞2 时，f(x)＞1，所以当 t＜0 时， at＞1.所以 0＜a＜1，所以 f(x)在 R 上是增函数，故选 A.
(1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调性来 判断．
(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图象的变化 规律来判断，或运用幂函数的单调性比较大小．
(3)对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较，也常应用指 数函数图象的排列规律，应用数形结合法比较．
性质比较数的大小、解不等式． 生的数学运算及直观想象等素养．
精梳理·自主学习固基础
【主题 1】 1．如何比较 am 与 an(a>0 且 a≠1)的大小？
答案：提示：利用指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的单调性，由 m，n 的大小确定两个 函数值的大小关系．
2．如何比较 am 与 bn(a≠b，a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1)的大小？ 答案：提示：可利用中间值 1 或 an 或 bm 比较，也可借助指数函数的图象比较．
(1) 解析：∵c＜0，b＝53＞3,1＜a＜3，
∴b＞a＞c.故选 B.
(2)解：由于 a＞1 且 a≠2，∴a－1＞0 且 a－1≠1，
若 a－1＞1，即 a＞2，则 y＝(a－1)x 是增函数，
∴(a－1)1.3＜(a－1)2.4，
若 0＜a－1＜1，即 1＜a＜2，则 y＝(a－1)x 是减函数，
[自我检测]
1．(多选题)下列判断错误的是( ABC ) A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
高中数学必修一课件：2.1.2.2指数函数及其性质的应用
11
2070年的人口数是 y 161.0250 43(亿);
2075年的人口数是 y 161.0255 48(亿);
2080年的人口数是 y 161.0260 52(亿);
2085年的人口数是 y 161.0265 58(亿); 2090年的人口数是 y 161.0270 6（4 亿);
13
（4）你是如何看待我国的计划生育政策的？ 计划生育是我国的基本国策，是千年大计！
14
三、导学（时间约18分钟）
探究点3 指数函数在解题中的应用
例9.将下列各数值按从小到大的顺序排列
(
4
)
1 3
,
(
2
)3
,
(
3
)
1 2
,
(
5
)0
.
3 34 6
分析：根据指数函数的性质，指数幂的运算法则进行，
注意采用中间值0和1进行比较。
所以，20年后的人口数是 131.0120 16(亿）， 33年后人口数是 131.0133 2（5 亿）。
9
（2）如果人口年平均增长率保持在2%，利用计算器分别 计算202X到2100年，每隔5年相应的人口数。 以例题中计算的202X年我国的人口数16亿为基准。
这时函数模型是 y 16 1.02x. 2025年的人口数是 y 161.025 18(亿）; 2030年的人口数是 y 161.0210 20(亿）;
解：( 2)3 0;
0
(
3
)
1 2
1;
(5)0 1;
(
4
)
1 3
1.
3
4
6
3
所以，
15
例10.解下列不等式：
2070年的人口数是 y 161.0250 43(亿);
2075年的人口数是 y 161.0255 48(亿);
2080年的人口数是 y 161.0260 52(亿);
2085年的人口数是 y 161.0265 58(亿); 2090年的人口数是 y 161.0270 6（4 亿);
13
（4）你是如何看待我国的计划生育政策的？ 计划生育是我国的基本国策，是千年大计！
14
三、导学（时间约18分钟）
探究点3 指数函数在解题中的应用
例9.将下列各数值按从小到大的顺序排列
(
4
)
1 3
,
(
2
)3
,
(
3
)
1 2
,
(
5
)0
.
3 34 6
分析：根据指数函数的性质，指数幂的运算法则进行，
注意采用中间值0和1进行比较。
所以，20年后的人口数是 131.0120 16(亿）， 33年后人口数是 131.0133 2（5 亿）。
9
（2）如果人口年平均增长率保持在2%，利用计算器分别 计算202X到2100年，每隔5年相应的人口数。 以例题中计算的202X年我国的人口数16亿为基准。
这时函数模型是 y 16 1.02x. 2025年的人口数是 y 161.025 18(亿）; 2030年的人口数是 y 161.0210 20(亿）;
解：( 2)3 0;
0
(
3
)
1 2
1;
(5)0 1;
(
4
)
1 3
1.
3
4
6
3
所以，
15
例10.解下列不等式：
指数函数的性质与图像公开课优质课件一等奖
2024/1/27
16
人口增长模型
人口增长模型
假设人口增长率保持不变，则人口数量与时间之间的关系可以用指数函数来描 述。即N(t) = N0e^(rt)，其中N(t)表示t时刻的人口数量，N0表示初始人口数 量，r表示人口增长率。
指数函数在人口增长模型中的应用
通过指数函数模型，可以预测未来人口数量的变化趋势，为城市规划、资源分 配等提供决策依据。
指数函数的性质与图像公 开课优质课件一等奖
2024/1/27
1
目录
2024/1/27
• 指数函数基本概念 • 指数函数性质分析 • 指数函数图像特征 • 指数函数在生活中的应用举例 • 求解指数方程和不等式方法探讨 • 总结回顾与拓展延伸
2
01
指数函数基本概念
2024/1/27
3
指数函数定义
指数函数是形如 f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函数，其中 a 是底数，x 是指 数。
当a=1时，指数函数f(x)=1是偶函数，因为 f(-x)=f(x)对于所有的x都成立。
当a=-1时，指数函数f(x)=(-1)^x是奇函数， 因为f(-x)=-f(x)对于所有的x都成立。
2024/1/27
10
03
指数函数图像特征
2024/1/27
ห้องสมุดไป่ตู้
11
图像形状及位置
指数函数图像是一条从左下方 向右上方延伸的曲线，形状类 似于指数增长的曲线。
指数函数的单调性可以通过其导数进行证明。对于底数a>1的指数函数，其导数恒大于0，因此函数单调增加； 对于0<a<1的指数函数，其导数恒小于0，因此函数单调减少。
指数函数的图像和性质(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3．函数 y＝121－x 的单调增区间为(
)
A．R
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
【答案】A [令 u(x)＝1－x，则 u(x)在 R 上是减函数，又 y＝12u(x)是减函数，故
y＝121－x 在 R 上单调递增，故选 A.]
4．已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)>f(n)，则 m，n 的大 小关系为________.
课堂小结 1、指数函数y ax与y ( 1 )x的图象关于y轴对称
a
a>1
0<a<1
指 数
图
y
y
函
象
1
1
数
o
x
o
x
图 象 与
(1)定义域:
性 (2)值域:
R (0,+∞)
性
(3)过定点:
(0,1)
质
(4)单调性：增函数 (4)单调性： 减函数
质 (5)奇偶性： 非奇非偶 (5)奇偶性：非奇非偶
(6)当x>0时，y>1. (6)当x>o时，0<y<1,
则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0
B．a＞1，b＞0 D. 0＜a＜1，b＜0
解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有 0 ＜a＜1；从曲线位置看，是由函数 y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移 |－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即 b＜0.
(2)因为y=0.6x是单调递减函数，且-1.2>-1.5, 所以0.6-1.2<0.6-1.5
(3)因为1.70.2>1.70=1，0.92.1<0.90=1， 所以1.70.2>0.92.1
人教A版必修第一册4.2指数函数课件
y 4x
y 4x3
y 1x
y ( 3)x
y (2x)x
y x4
y ( 2)x ( 3)x
3
2
y (4)x
新知应用：指数函数的概念
[例1]若函数f (x)=(a2－7a+7)ax是指数函数，求实数a的值.
a2 7a 7 1 a 1或a 6
解 : f (x)是指数函数 ,a 0
思考：5分与0.05元不一样吗？
钱某的本意
老板的理解
y 5x
y 0.05x
描点绘图，看图索质
y 2x
y 2x与y 1 x的图象关于 y轴对称 2
y
1
x
2
减函数
增函数
新知2：指数函数y=ax的图象及性质
(3) y ax均为非奇非偶函数 .
(4)
y
a
x与y
1
x
的图象关于
y轴对称
a
,即a 0
,得a 6.
a 1
a 1
[例2]若指数函数 f (x) ax过点(3, ),求f (0), f (1), f (3)的值.
解 : 依题意得 a3
a 3
1
x
3 , f (x) 3 .
f
(0)
0
1;
f
(1)
1
3
3
;
f
(3)
1
1
.
[变式]若指数函数 f (x)的图象过点 (2,9),求f (x)及f (2).
第28天，杰米支出134万多(227)元，收入10万元。
结果，杰米在一个月(31天)得到310万元的同时，共给韦伯2100多万元！杰米破产了。
指数的故事
4.2指数函数的图象与性质课件(人教版)
需的时间（倍增期）；
（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会
增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而
同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以
从图象中选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到
20年与倍增期的数量关系．
解：（1）视察图，发现该城市人口经过20年
或中间变量进行
比较
三、应用三
（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增的是（ C ）
A． f ( x) ln x
C． f ( x)
1
x
1
B． f ( x) x
2
| x 1|
D． f ( x) 3
三、应用四
如图，某城市人口呈指数增长．
（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所
4
7
3
7
不同底但可化同底
5 0.3
0.3
与 0.2
<
0.3
不同底但同指数
6
0.3
1.7
>
同底指数幂比大
小，构造指数函数，
利用函数单调性
与0.9
3.1
底不同，指数也不同
7
与
8
<
5
12
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
y 的图象，探究两个函数的图象有什
2
两个函数图像关于y轴对称
8
fx = 2x
7
6
x
x
y
y
5
-2
4
（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会
增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而
同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以
从图象中选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到
20年与倍增期的数量关系．
解：（1）视察图，发现该城市人口经过20年
或中间变量进行
比较
三、应用三
（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增的是（ C ）
A． f ( x) ln x
C． f ( x)
1
x
1
B． f ( x) x
2
| x 1|
D． f ( x) 3
三、应用四
如图，某城市人口呈指数增长．
（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所
4
7
3
7
不同底但可化同底
5 0.3
0.3
与 0.2
<
0.3
不同底但同指数
6
0.3
1.7
>
同底指数幂比大
小，构造指数函数，
利用函数单调性
与0.9
3.1
底不同，指数也不同
7
与
8
<
5
12
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
y 的图象，探究两个函数的图象有什
2
两个函数图像关于y轴对称
8
fx = 2x
7
6
x
x
y
y
5
-2
4
2024版高一数学指数函数及其性质PPT课件图文
学习方法建议
深入理解指数函数的概念
掌握指数函数的定义、图像和性质， 理解底数、指数和幂的含义。
多做练习题
通过大量的练习题，加深对指数函数 的理解和掌握，提高解题能力。
系统学习指数函数的运算
学习指数函数的四则运算，掌握运算 规则和技巧。
解题技巧分享
换元法
通过将指数函数中的变量 进行换元，简化问题，使 问题更容易解决。
指数函数在数学模 型中的应用举例
在经济学中，指数函数被用来描 述复利、折旧等问题；在物理学 中，指数函数被用来描述放射性 元素的衰变等问题；在工程学中， 指数函数被用来描述材料的疲劳 寿命等问题。
数学模型在解决实际问题中的价值
提高解决问题的效率
揭示问题的本质和规律
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为 数学问题，利用数学方法和技术进行求解， 从而提高解决问题的效率。
05
指数函数与数学模型
数学模型简介
01
数学模型的定义
数学模型是描述客观事物或它的本质和本质的一系列数学形 式。它或能利用现有的数学形式如数学公式、数学方程、数 学图形等加以表述，或能抽象出数学的基本概念和基本结构。
02
数学模型的分类
根据研究目的，可以将数学模型分为描述性模型和预测性模 型。
03
数学模型的作用
指数方程求解
通过对方程两边取相同的底数的对数或者 利用换元法等方法求解指数方程。
指数函数性质应用
利用指数函数的单调性、奇偶性、周期性 等性质解决相关问题。
03
指数函数性质探究
单调性
01
指数函数的单调性取决于底数a的 大小
02
当a>1时，指数函数在整个定义 域上是增函数；
高中新课程数学(新课标)必修一《2.1.2-2指数函数的性质及应用》课件.pptx
类型三 指数函数的最值问题 【例3】 设a>0，且a≠1，如果函数y＝a2x＋2ax－1在 [－1,1]上的最大值为14，求a的值．
解：本题是二次函数与指数函数的综合问题．
y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，由 x∈[－1,1]知：令 t ＝ax，此时 y＝(t＋1)2－2，
①当 a>1 时，t＝ax 为增函数，所以 t∈[a－1，a]，显 然函数 y＝(t＋1)2－2 在[a－1，a]上单调递增，从而最大值 在 t＝a，即 x＝1 时取到，从而(a＋1)2－2＝14，解之得 a ＝3 或 a＝－5(舍去)．
当 a>1 时，讨论函数 f(x)＝aaxx－＋11的奇偶性．
1．指数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指 数函数单调性有关的问题首先要看底数的范围．
2．解与指数函数有关的问题要注意数形结合． 3．y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f[g(x)]的单调性有如 下特点：
u＝g(x) y＝f(u) y＝f[g(x)]
(2)f(x)＝2＋ 2(2(2x－x－11) )·x3＝2(22xx＋－11)·x3. ∴f(－x)＝2(22－－xx＋－11)·(－x)3 ＝2(11＋－22xx)(－x3)＝2(22xx＋－11)·x3.
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)证明：x>0时，2x>1，∴2x－1>0， 又∵x3>0，∴f(x)>0. x<0时，2x<1，∴2x－1<0， 又∵x3<0，∴f(x)>0. ∴当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时f(x)>0.
一种放射性物质不断变为其他物质，每经过1年剩留 的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量y关于时间t的 函数关系式，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象， 并从图象上求出大约要经过多少年，剩留量是原来的 50%.(结果保留1个有效数字)
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个数(0,1 等)分别与之比较，从而得出结果．
1－1.已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m、n 满足 f(m) ＞f(n)，则 m、n 的大小关系为___m_＜_n___.
解析：a＝ 52－1∈(0,1)，函数 f(x)＝ax 在 R 上递减，由 f(m) ＞f(n)得 m＜n.
解：(1)∵y1＝y2，∴a3x+1＝a-2x， ∴3x＋1＝-2x，∴x＝-15. (2)∵y1>y2，∴a3x-1>a-2x. 当 a>1 时，由 3x＋1>－2x，得 x>－15； 当 0<a<1 时，由 3x＋1<－2x，得 x<－15.
指数函数的最值问题
例 3：函数 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值 比最小值大a2，求 a 的值．
思维突破：结合函数单调性，对 a 进行分类讨论求值． 解：(1)若 a＞1，则 f(x)在[1,2]上递增， ∴a2－a＝a2，即 a＝32或 a＝0(舍去)． (2)若 0＜a＜1，则 f(x)在[1,2]上递减， ∴a－a2＝a2，即 a＝12或 a＝0(舍去)． 综上所述，所以 a＝12或 a＝32.
指数函数 y＝ax(a＞1)为单调增函数，在闭 区间[s，t]上存在最大、最小值，当 x＝s 时，函数有最小值 as； 当 x＝t 时，函数有最大值 at.指数函数 y＝ax(0＜a＜1)为单调减 函数，在闭区间[s，t]上存在最大、最小值，当 x＝s 时，函数有 最大值 as；当 x＝t 时，函数有最小值 at.
4 3
0
1，
∴ 0.62
4 3
2
3
.
(3)
1 3
0.3
30.3 ，－0.3<－0.2，
∴30.3 30.2 ，
∴
1 3
0.3
30.2 .
在进行数的大小比较时，①若底数相同，则 可根据指数函数的增减性得出结果；②若底数不相同，则首先 考虑把它们化成同底数；不能化成同底数时，就考虑引进第三
3－1.函数 f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最 小值之和为 6，则 a 的值为__2__.
解析：∵f(x)＝ax 在区间[1,2]上是单调函数，∴f(x)在 x=1 或 x=2 时取得最值．∴a+a2=6，解得 a=2 或 a=-3，∵a＞0，∴a=2.
例 4：求函数 y＝14x＋12x＋1 的值域． 错因剖析：令 t＝12x 时，易忽略 t＞0 导致出错． 正解：令 t＝12x，则 y＝f(t)＝t2＋t＋1＝t＋122＋34. ∵t＞0，f(t)＝t＋122＋34在(0，＋∞)上为增函数， ∴y∈(1，＋∞)，即函数的值域为(1，＋∞)．
(2)a2＋a＋2＝
a
1 2
2
＋74>1.
∴y＝(a2＋a＋2)x 在 R 上是增函数．
∴x>1－x，解得 x>12. ∴x 的取值范围是 x>12.
利用指数函数的单调性解不等式需将不等
式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小．
2－1.设 y1＝a3x+1，y2＝a-2x，其中 a＞0，a≠1，确定 x 为何 值时，有：(1)y1＝y2；(2)y1＞y2.
(3)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数 大小的关系的判断方法：作直线 x＝1，与图象交点纵坐标即为 指数函数的底数值(如图 1)．
图1
利用指数函数的单调性比较大小
例 1：比较下列各组数的大小：
(1)
3 4
1.8
与
3 4
2.6
；
(2)
0.62
与
4 3
2 3
；
(3)
1 3
指数函数的性质及其应用
1．函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质：
a>1
0<a<1
图 象
定义域 R，值域(0，＋∞)
性 质
图象过定点(0,1)
(1)当 x＞0 时，__y_＞__1_； (2)当 x＞0 时，0_＜__y_＜__1_； 当 x＜0 时，_0_＜__y_＜__1__. 当 x＜0 时，__y_＞__1_.
解指数不等式
例
2：(1)解不等式
1 2
x2
≤2；
(2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1-x，求 x 的取值范围．
思维突破：利用指数函数的单调性求解．
解：(1)
1 2
x2
(2
1) x2
22x ，
∴原不等式等价于 22-x≤21.
∵y＝2x 是在 R 上的增函数，
∴2－x≤1，解得 x≥1.
0.3
与30.2
.
思维突破：(1)直接利用函数
y
3 4
x
的单调性进行比较；
(2)中引入中间数；(3)化为同底后进行比较．
解：(1)∵0<34<1，
∴
y
3 4
xБайду номын сангаас
在定义域
R
内是减函数．
又∵－1.8>－2.6，
∴
3 4
1.8
3 4
2.6
.
(2)∵0.6-2>0.60＝1，
4 3
2
3
重难点 指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的性质 (1)当底数 a 大小不定时，必须分“a＞1”和“0＜a＜1”两 种情况讨论．
(2)当 0＜a＜1 时，x→＋∞，y→0； 当 a＞1 时，x→－∞，y→0. 当 a＞1 时，a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增的速度越 快； 当 0＜a＜1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度 越快(其中“x→＋∞”意义是“x 接近于正无穷大”)不同．
(3)在 R 上是_增__函__数__.
(4)在 R 上是_减__函__数__.
2.(1)若 a＞b＞1，当 x＞0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象 的_上__方；当 x＜0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象的_下__方．
(2)若 1＞a＞b＞0，当 x＞0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图 象的_上__方；当 x＜0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象的_下__方．