指数函数的性质及其应用_课件

指数函数 y＝ax(a＞1)为单调增函数，在闭 区间[s，t]上存在最大、最小值，当 x＝s 时，函数有最小值 as； 当 x＝t 时，函数有最大值 at.指数函数 y＝ax(0＜a＜1)为单调减 函数，在闭区间[s，t]上存在最大、最小值，当 x＝s 时，函数有 最大值 as；当 x＝t 时，函数有最小值 at.
个数(0,1 等)分别与之比较，从而得出结果．
1－1.已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m、n 满足 f(m) ＞f(n)，则 m、n 的大小关系为___m_＜_n___.
解析：a＝ 52－1∈(0,1)，函数 f(x)＝ax 在 R 上递减，由 f(m) ＞f(n)得 m＜n.
解：(1)∵y1＝y2，∴a3x+1＝a-2x， ∴3x＋1＝-2x，∴x＝-15. (2)∵y1>y2，∴a3x-1>a-2x. 当 a>1 时，由 3x＋1>－2x，得 x>－15； 当 0<a<1 时，由 3x＋1<－2x，得 x<－15.
指数函数的最值问题
例 3：函数 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值 比最小值大a2，求 a 的值．
思维突破：结合函数单调性，对 a 进行分类讨论求值． 解：(1)若 a＞1，则 f(x)在[1,2]上递增， ∴a2－a＝a2，即 a＝32或 a＝0(舍去)． (2)若 0＜a＜1，则 f(x)在[1,2]上递减， ∴a－a2＝a2，即 a＝12或 a＝0(舍去)． 综上所述，所以 a＝12或 a＝32.
0.3
与30.2
.
思维突破：(1)直接利用函数
y
3 4
x
的单调性进行比较；
(2)中引入中间数；(3)化为同底后进行比较．
解：(1)∵0<34<1，
∴
y
3 4
x
在定义域
R
内是减函数．
又∵－1.8>－2.6，
∴
3 4
1.8
3 4
2.6
.
(2)∵0.6-2>0.60＝1，
4 3
2
3
解指数不等式
例
2：(1)解不等式
1 2
x2
≤2；
(2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1-x，求 x 的取值范围．
思维突破：利用指数函数的单调性求解．
解：(1)
1 2
x2
(2
1) x2
22x ，
∴原不等式等价于 22-x≤21.
∵y＝2x 是在 R 上的增函数，
∴2－x≤1，解得 x≥1.
(2)a2＋a＋2＝
a
1 2
2
＋74>1.
∴y＝(a2＋a＋2)x 在 R 上是增函数．
∴x>1－x，解得 x>12. ∴x 的取值范围是 x>12.
利用指数函数的单调性解不等式需将不等
式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小．
2－1.设 y1＝a3x+1，y2＝a-2x，其中 a＞0，a≠1，确定 x 为何 值时，有：(1)y1＝y2；(2)y1＞y2.
3－1.函数 f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最 小值之和为 6，则 a 的值为__2__.
解析：∵f(x)＝ax 在区间[1,2]上是单调函数，∴f(x)在 x=1 或 x=2 时取得最值．∴a+a2=6，解得 a=2 或 a=-3，∵a＞0，∴a=2.
例 4：求函数 y＝14x＋12x＋1 的值域． 错因剖析：令 t＝12x 时，易忽略 t＞0 导致出错． 正解：令 t＝12x，则 y＝f(t)＝t2＋t＋1＝t＋122＋34. ∵t＞0，f(t)＝t＋122＋34在(0，＋∞)上为增函数， ∴y∈(1，＋∞)，即函数的值域为(1，＋∞)．
指数函数的性质及其应用
1．函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质：
a>1
0<a<1
图 象
定义域 R，值域(0，＋∞)
性 质
图象过定点(0,1)
(1)当 x＞0 时，__y_＞__1_； (2)当 x＞0 时，0_＜__y_＜__1_； 当 x＜0 时，_0_＜__y_＜__1__. 当 x＜0 时，__y_＞__1_.
4 3
0
1，
∴ 0.62
4 3
2
3
.
(3)
1 3
0.3
30.3 ，－0.3<－0.2，
∴30.3 30.2 ，
∴
1 3
0.3
30.2 .
在进行数的大小比较时，①若底数相同，则 可根据指数函数的增减性得出结果；②若底数不相同，则首先 考虑把它们化成同底数；不能化成同底数时，就考虑引进第三
重难点 指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的性质 (1)当底数 a 大小不定时，必须分“a＞1”和“0＜a＜1”两 种情况讨论．
(2)当 0＜a＜1 时，x→＋∞，y→0； 当 a＞1 时，x→－∞，y→0. 当 a＞1 时，a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增的速度越 快； 当 0＜a＜1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度 越快(其中“x→＋∞”意义是“x 接近于正无穷大”)不同．
(3)在 R 上是_增__函__数__.
(4)在 R 上是_减__函__数__.
2.(1)若 a＞b＞1，当 x＞0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象 的_上__方；当 x＜0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象的_下__方．
(2)若 1＞a＞b＞0，当 x＞0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图 象的_上__方；当 x＜0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象的_下__方．
(3)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数 大小的关系的判断方法：作直线 x＝1，与图象交点纵坐标即为 指数函数的底数值(如图 1)．
图1
利用指数函数的单调性比较大小
例 1：比较下列各组数的大小：
(1)
3百度文库4
1.8
与
3 4
2.6
；
(2)
0.62
与
4 3
2 3
；
(3)
1 3