高中数学函数定义域值域求法总结

函数定义域、值域求法总结

一。求函数得定义域需要从这几个方面入手:

(１)分母不为零

(2)偶次根式得被开方数非负。

(３)对数中得真数部分大于0。

(４)指数、对数得底数大于0,且不等于1

(5)y=tanｘ中x≠ｋπ＋π／2;ｙ=cotｘ中x≠kπ等等。

( 6 )中ｘ

二、值域就是函数y=ｆ(x)中y得取值范围。

常用得求值域得方法: (1)直接法(２)图象法(数形结合)

(3)函数单调性法 (4)配方法

(５)换元法 (包括三角换元)(６)反函数法(逆求法)

(7)分离常数法 (8)判别式法

(9)复合函数法 (1０)不等式法

(11)平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。

定义域得求法

1、直接定义域问题

例1 求下列函数得定义域:

①;②;③

解:①∵x—2=0,即x=2时,分式无意义,

而时,分式有意义,∴这个函数得定义域就是、

②∵3ｘ+2〈0,即x<－时,根式无意义,

而,即时,根式才有意义,

∴这个函数得定义域就是｛｜｝.

③∵当,即且时,根式与分式同时有意义,

∴这个函数得定义域就是｛|且｝

另解:要使函数有意义,必须:

例2 求下列函数得定义域:

①②

③④

⑤

解:①要使函数有意义,必须: 即:

∴函数得定义域为: [］

②要使函数有意义,必须:

∴定义域为:{ x｜｝

③要使函数有意义,必须: ⇒

∴函数得定义域为:

④要使函数有意义,必须:

∴定义域为:

⑤要使函数有意义,必须:

即 x< 或 x〉∴定义域为:

２定义域得逆向问题

例３若函数得定义域就是Ｒ,求实数a得取值范围(定义域得逆向问题)

解:∵定义域就是R,∴

∴

练习: 定义域就是一切实数,则m得取值范围;

3复合函数定义域得求法

例4 若函数得定义域为［-１,1],求函数得定义域

解:要使函数有意义,必须:

∴函数得定义域为:

例5 已知f(x)得定义域为［—1,1],求f(2x—１)得定义域。

分析:法则f要求自变量在［-１,1]内取值,则法则作用在2x－1上必也要求2x-1在［－1,1］内取值,即－１≤2x-1≤１,解出ｘ得取值范围就就是复合函数得定义域;或者从位置上思考f(2ｘ－1)中2x－１与f(ｘ)中得x位置相同,范围也应一样,∴—1≤２x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。

(注意:f(x)中得x与f(2x-1)中得x不就是同一个x,即它们意义不同。)

解:∵ｆ(ｘ)得定义域为［—1,1］,

∴—1≤２x－1≤1,解之0≤x≤1,

∴f(2x－1)得定义域为[0,１］。

例6已知已知ｆ(x)得定义域为[－1,1],求f(ｘ２)得定义域。

答案:—１≤x2≤1 x２≤1－１≤ｘ≤1

练习:设得定义域就是[-3,］,求函数得定义域

解:要使函数有意义,必须: 得:

∵≥0 ∴

∴函数得定域义为:

例7 已知f(2x－1)得定义域为［0,１］,求f(x)得定义域

因为2x-1就是R上得单调递增函数,因此由2x-１, x∈［0,1］求得得值域［-1,1］就是f(ｘ)得定义域、

练习:

1已知f(3ｘ－１)得定义域为[—1,２),求f(2ｘ+１)得定义域。)

(提示:定义域就是自变量ｘ得取值范围)

2已知ｆ(ｘ2)得定义域为［－１,１］,求f(x)得定义域

3 若得定义域就是,则函数得定义域就是 ( )

A 、 ﻩ

B ﻩﻩ

C 、

Ｄ、 ４ 已知函数得定义域为Ａ,函数得定义域为Ｂ,则( )

Ａ.ﻩＢ。Ｂ

C.

Ｄ.

求值域问题

利用常见函数得值域来求(直接法)

一次函数y=a ｘ+b(a0)得定义域为R,值域为Ｒ;

反比例函数得定义域为｛x ｜ｘ0｝,值域为｛y|ｙ0}; 二次函数得定义域为Ｒ,

当a 〉0时,值域为｛};当ａ〈０时,值域为｛｝. 例1 求下列函数得值域

① y=3ｘ+2(－1ｘ１) ② ③ (记住图像) 解:①∵—1x1,∴-3３x3,

∴-13ｘ+25,即-１ｙ５,∴值域就是［－１,5］ ②略

③ 当x>０,∴=, 当x 〈0时,＝-

∴值域就是[2,＋)。(此法也称为配方法) 函数得图像为:

二次函数在区间上得值域(最值):

例2 求下列函数得最大值、最小值与值域:

①; ②; ③; ④;

解:∵,∴顶点为(２,-３),顶点横坐标为2. ①∵抛物线得开口向上,函数得定义域R,

∴x=2时,y ｍi ｎ=－3 ,无最大值;函数得值域就是｛ｙ｜y －3 }. ②∵顶点横坐标２［3,4］, 当x ＝3时,y= -2;x=4时,y=1;

∴在［３,4］上,=—2,=1;值域为[—2,１］、 ③∵顶点横坐标2 [0,１],当x=0时,y=1;x=1时,y ＝-2, ∴在[０,1]上,＝－2,=1;值域为［－2,1］.

④∵顶点横坐标2 ［0,5］,当x＝0时,y=1;ｘ=2时,y＝－3, x=５时,y=6,

∴在［０,１］上,＝—３,=6;值域为［—3,6].

注:对于二次函数,

⑴若定义域为R时,

①当ａ〉０时,则当时,其最小值;

②当a〈0时,则当时,其最大值;

⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0就是否属于区间［ａ,b]。

①若[ａ,ｂ],则就是函数得最小值(ａ〉0)时或最大值(a＜0)时,

再比较得大小决定函数得最大(小)值。

②若［a,b],则［a,ｂ］就是在得单调区间内,只需比较得大小即可决定函数得最大(小)值、

注:①若给定区间不就是闭区间,则可能得不到最大(小)值;

②当顶点横坐标就是字母时,则应根据其对应区间特别就是区间两端点得位置关系进行讨论. 练习:1、求函数y=3+得值域

解:由算术平方根得性质,知≥０,故3+≥3。∴函数得值域为、

2、求函数得值域

解:对称轴

1 单调性法

例3 求函数ｙ=４x—(x≤1/３)得值域。

设f(x)＝4x,g(ｘ)= －,(x≤１／3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)＋ｇ(x)=4x—

在定义域为x≤１／３上也为增函数,而且y≤f(1/３)+g(１/3)=4／3,因此,所求得函数值域为｛y|ｙ≤４/3｝、

小结:利用单调性求函数得值域,就是在函数给定得区间上,或求出函数隐含得区间,结合函数得增减性,求出其函数在区间端点得函数值,进而可确定函数得值域。

练习:求函数y=3+得值域、(答案:｛y|y≥3})

2换元法

例4 求函数得值域

解:设,则

点评:将无理函数或二次型得函数转化为二次函数,通过求出二次函数得最值,从而确定出原函数得值域、这种解题得方法体现换元、化归得思想方法。它得应用十分广泛。

练习:求函数y=得值域、(答案:｛y｜y≤—3/4｝

求得值域;

例5 (三角换元法)求函数得值域

解:设

小结:(1)若题目中含有,则可设

(2)若题目中含有则可设,其中

(３)若题目中含有,则可设,其中