高中数学函数定义域值域求法总结

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函数定义域值域求法(全十一种)

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
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实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
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故
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22
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2
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根据实际问题的意义知
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故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。

函数定义域、值域,解析式求法总结

函数定义域、值域，解析式求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒⎩⎨⎧≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

函数定义域值域求法总结精彩

函数定义域值域求法总结精彩GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax 第一页∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

高中数学函数值域的种求法总结

高中数学函数值域的种求法总结高中数学中，函数值域是指函数在定义域内所有可能的取值的集合。

求函数值域是解决各类函数问题的重要方法之一、下面将总结高中数学中常用的求函数值域的11种方法。

1.利用定义法：根据函数的定义，直接求解函数的取值范围。

例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方永远非负，所以其值域为[0,+∞)。

2. 利用图像法：通过绘制函数的图像，观察图像的上下界即可求得函数的值域。

例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，故其值域为[-1, 1]。

3.利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用函数的对称性来快速求解其值域。

例如，对于奇函数f(x)=x^3，由于x^3关于原点对称，故其值域为整个实数轴。

4.利用函数的性质：通过函数的特点和性质来求解其值域。

例如，对于指数函数f(x)=a^x，由于指数函数永远大于0，所以其值域为(0,+∞)。

5. 利用最值的求解方法：对于具有最值的函数，可以通过求解最值来确定函数的值域。

例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，由于 a > 0，故二次函数的开口向上，函数的最小值为顶点的 y坐标，可以通过求解顶点坐标来确定函数的值域。

6.利用函数的递增性或递减性：对于递增函数或递减函数，可以根据函数递增性或递减性来求解其值域。

例如，对于递增函数f(x)=2x+1，由于斜率大于零，函数单调递增，故值域为(-∞,+∞)。

7. 利用函数的周期性：对于具有周期性的函数，可以利用函数的周期性来求解其值域。

例如，对于正弦函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值在一个周期内是重复的，故其值域为 [-1, 1]。

8. 利用函数的复合性：对于复合函数，可以将函数拆解成多个简单的函数，然后求解每个简单函数的值域，最后将值域组合起来得到复合函数的值域。

例如，对于函数 f(x) = sqrt(x^2 + 1)，可以拆解成 f(x) = g(h(x)), 其中 g(x) = sqrt(x) 和 h(x) = x^2 + 1，然后求解 g(x) 和h(x) 的值域，最后得到 f(x) 的值域。

函数定义域值域求法(全十一种)

高中函数界说域和值域的求法总结之南宫帮珍创作一、惯例型即给出函数的解析式的界说域求法, 其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组, 解此不等式（或组）即得原函数的界说域.例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的界说域. 解：要使函数有意义, 则必需满足由①解得 3x -≤或5x ≥. ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5.故所求函数的界说域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且.例2 求函数2x 161x sin y -+=的界说域. 解：要使函数有意义, 则必需满足由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π，③ 由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部份, 得故函数的界说域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部份？你会吗？二、笼统函数型笼统函数是指没有给出解析式的函数, 不能惯例方法求解, 一般暗示为已知一个笼统函数的界说域求另一个笼统函数的解析式, 一般有两种情况.（1）已知)x (f 的界说域, 求)]x (g [f 的界说域.（2）其解法是：已知)x (f 的界说域是［a, b ］求)]x (g [f 的界说域是解b )x (g a ≤≤, 即为所求的界说域.例3 已知)x (f 的界说域为［－2, 2］, 求)1x (f 2-的界说域. 解：令21x 22≤-≤-, 得3x 12≤≤-, 即3x 02≤≤, 因此3|x |0≤≤, 从而3x 3≤≤-, 故函数的界说域是}3x 3|x {≤≤-.（2）已知)]x (g [f 的界说域, 求f(x)的界说域.其解法是：已知)]x (g [f 的界说域是［a, b ］, 求f(x)界说域的方法是：由b x a ≤≤, 求g(x)的值域, 即所求f(x)的界说域.例4 已知)1x 2(f +的界说域为［1, 2］, 求f(x)的界说域.解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，. 即函数f(x)的界说域是}5x 3|x {≤≤. 三、逆向型即已知所给函数的界说域求解析式中参数的取值范围.特别是对已知界说域为R, 求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决.例5 已知函数8m mx 6mx y 2++-=的界说域为R 求实数m 的取值范围.分析：函数的界说域为R, 标明0m 8mx 6mx 2≥++-, 使一切x ∈R 都成立, 由2x 项的系数是m, 所以应分m=0或0m ≠进行讨论.解：当m=0时, 函数的界说域为R ；那时0m ≠, 08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式, 其对一切实数x 都成立的充要条件是综上可知1m 0≤≤.评注：很多学生容易忽略m=0的情况, 希望通过此例解决问题. 例6 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的界说域是R, 求实数k 的取值范围.解：要使函数有意义, 则必需3kx 4kx 2++≠0恒成立, 因为)x (f 的界说域为R, 即03kx 4kx 2=++无实数①当k ≠0时, 0k 34k 162<⨯-=∆恒成立, 解得43k 0<<；②当k=0时, 方程左边=3≠0恒成立.综上k 的取值范围是43k 0<≤.四、实际问题型这里函数的界说域除满足解析式外, 还要注意问题的实际意义对自变量的限制, 这点要加倍注意, 并形成意识.例7 将长为a 的铁丝折成矩形, 求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式, 并求函数的界说域. 解：设矩形一边为x, 则另一边长为)x 2a (21-于是可得矩形面积.ax 21x 2+-=. 由问题的实际意义, 知函数的界说域应满足2a x 0<<⇒.故所求函数的解析式为ax21x y 2+-=, 界说域为（0, 2a ）.例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架, 如图, 若矩形底边长为2x, 求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式, 并求界说域.解：由题意知, 此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积, 如图.因为CD=AB=2x, 所以x CD π=⋂, 所以2xx 2L 2CD AB L AD π--=--=⋂,故2x 2x x 2L x 2y 2π+π--⋅= 根据实际问题的意义知故函数的解析式为Lxx )22(y 2+π+-=, 界说域（0, 2L +π）.五、参数型对含参数的函数, 求界说域时, 必需对分母分类讨论.例9 已知)x (f 的界说域为［0, 1］, 求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的界说域.解：因为)x (f 的界说域为［0, 1］, 即1x 0≤≤.故函数)x (F 的界说域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0, 即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a1x a a 1x a即两个区间［－a, 1－a ］与［a, 1+a ］的交集, 比力两个区间左、右端点, 知（1）那时0a 21≤≤-, F （x ）的界说域为}a 1x a |x {+≤≤-；（2）那时21a 0≤≤, F （x ）的界说域为}a 1x a |x {-≤≤；（3）当21a >或21a -<时, 上述两区间的交集为空集, 此时F（x ）不能构成函数.六、隐含型有些问题从概况上看其实不求界说域, 可是不注意界说域, 往往招致错解, 事实上界说域隐含在问题中, 例如函数的单调区间是其界说域的子集.因此, 求函数的单调区间, 必需先求界说域. 例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间.解：由03x 2x 2>++-, 即03x 2x 2<--, 解得3x 1<<-.即函数y 的界说域为（－1, 3）. 函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的.4)1x (3x 2x t 22+--=++-=, 对称轴x=1, 由二次函数的单调性,可知t 在区间]1(，-∞上是增函数；在区间)1[∞+，上是减函数, 而t log y 2=在其界说域上单调增； 3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞- , 所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(，-上是增函数, 在区间)31[，上是减函数. 函数值域求法十一种1. 直接观察法对一些比力简单的函数, 其值域可通过观察获得. 例1. 求函数x 1y =的值域.解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域. 解：∵0x ≥故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一. 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2xy 2-∈+-=的值域.解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时, 4y min =, 那时1x -=, 8y max = 故函数的值域是：[4, 8] 3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域.解：原函数化为关于x 的一元二次方程（1）那时1y ≠, R x ∈解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时, 0x =, 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域.解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的界说域由0)x 2(x ≥-, 得2x 0≤≤由0≥∆, 仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根, 而不能确保其实根在区间[0, 2]上, 即不能确保方程（1）有实根, 由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围年夜, 故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.可以采用如下方法进一步确定原函数的值域. ∵2x 0≤≤21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即那时22222x 41-+=,原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时, 若原函数的界说域不是实数集时, 应综合函数的界说域, 将扩年夜的部份剔除. 4. 反函数法直接求函数的值域困难时, 可以通过求其原函数的界说域来确定原函数的值域.例6. 求函数6x 54x 3++值域.解：由原函数式可得：3y 5y 64x --=则其反函数为：3x 5y 64y --=, 其界说域为：53x ≠故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53, 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时, 可以利用已学过函数的有界性, 反客为主来确定函数的值域.例7. 求函数1e 1e y xx +-=的值域.解：由原函数式可得：1y 1y e x -+=∵0e x >∴01y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域.解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-, 可化为：即1y y 3)x (x sin 2+=β+∵R x ∈∴]1,1[)x (x sin -∈β+即11y y 312≤+≤-解得：42y 42≤≤-故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42 6. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域. 解：令1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2, 10]上都是增函数所以21y y y +=在[2, 10]上是增函数当x=2时,8112log 2y 33min =-+=-当x=10时, 339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81 例10. 求函数1x 1x y --+=的值域.解：原函数可化为：1x 1x 2y -++=令1x y ,1x y 21-=+=, 显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =, 2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时, 21y y y +=有最小值2, 原函数有最年夜值222=显然0y >, 故原函数的值域为]2,0( 7. 换元法通过简单的换元把一个函数酿成简单函数, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 换元法是数学方法中几种最主要方法之一, 在求函数的值域中同样发挥作用. 例11. 求函数1x x y -+=的值域. 解：令t 1x =-, )0t (≥ 则1t x 2+=∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥, 由二次函数的性质可知那时0t =, 1y min = 那时0t →, +∞→y 故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域.解：因0)1x (12≥+-即1)1x (2≤+故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= ∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域.解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=可令β=tg x , 则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2那时82k π-π=β,41y max =那时82k π+π=β,41y min -= 而此时βtan 有意义. 故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域.解：)1x )(cos 1x (sin y ++=令t x cos x sin =+, 则)1t (21x cos x sin 2-=由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x可得：2t 22≤≤∴那时2t =,223y max +=, 那时22t =,2243y +=故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243. 例15. 求函数2x 54x y -++=的值域.解：由0x 52≥-, 可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ=∵π≤β≤0那时4/π=β, 104y max += 那时π=β, 54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+- 8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义, 如两点的距离公式直线斜率等等, 这类题目若运用数形结合法, 往往会更加简单, 一目了然, 赏心悦目.例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域. 解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2）, )8(B -间的距离之和. 由上图可知, 当点P 在线段AB 上时, 10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, 10|AB ||8x ||2x |y =>++-=故所求函数的值域为：],10[+∞ 例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域. 解：原函数可变形为：上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,43)12()23(|AB |y 22min =+++==,故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域. 解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A （3, 2）到点P （x, 0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差. 即：|BP ||AP |y -=由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时, 如点'P , 则构成'ABP ∆, 根据三角形两边之差小于第三边, 有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时, 有26|AB |||BP ||AP ||==-综上所述, 可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17, 18可知, 求两距离之和时, 要将函数式变形, 使A 、B 两点在x 轴的两侧, 而求两距离之差时, 则要使A, B 两点在x 轴的同侧.如：例17的A, B 两点坐标分别为：（3, 2）, )1,2(--, 在x 轴的同侧；例18的A, B 两点坐标分别为（3, 2）, )1,2(-, 在x 轴的同侧. 9. 不等式法利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈, 求函数的最值, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值, 解析式是积时要求和为定值, 不外有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧.例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域.解：原函数变形为：当且仅当x cot x tan =即那时4k x π±π=)z k (∈, 等号成立故原函数的值域为：),5[+∞例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域. 解：x cos x sin x sin 4y = 当且仅当x sin 22x sin 22-=, 即那时32x sin 2=, 等号成立.由2764y 2≤可得：938y 938≤≤- 故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,938 10. 一一映射法原理：因为)0c (d cx bax y ≠++=在界说域上x 与y 是一一对应的.故两个变量中, 若知道一个变量范围, 就可以求另一个变量范围. 例21. 求函数1x 2x31y +-=的值域. 解：∵界说域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或由1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-=故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-=解得23y 23y ->-<或故函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, 11. 多种方法综合运用例22. 求函数3x 2x y ++=的值域.解：令)0t (2x t ≥+=, 则1t 3x 2+=+（1）那时0t >, 21t1t 11t t y 2≤+=+=, 当且仅当t=1, 即1x -=时取等创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日号, 所以21y 0≤< （2）当t=0时, y=0.综上所述, 函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0注：先换元, 后用不等式法例23. 求函数42432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域. 解：4234242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-= 令2tan x β=, 则β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222cos x 1x 1 ∴那时41sin =β,1617y max = 那时1sin -=β, 2y min -= 此时2tan β都存在, 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1617,2注：此题先用换元法, 后用配方法, 然后再运用βsin 的有界性. 总之, 在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、认真观察其题型特征, 然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法, 函数单调性法和。

高考数学中的函数值域与定义域求解总结

高考数学中的函数值域与定义域求解总结在高中数学中，函数是一个非常基础并且非常重要的概念。

函数值域与定义域的求解是函数学习中的重点和难点。

在高考中，对于函数的掌握程度和对函数值域与定义域求解的熟练程度都是非常重要的。

一、函数域的定义在提及函数值域与定义域求解之前，我们需要先来回顾一下函数域的定义。

函数域即为定义域和值域的并集。

其中，定义域指的是函数的自变量所在的取值范围，通俗地理解，就是能够代入函数中的数字集合。

值域指的是函数因变量的取值范围，即将所有自变量都代入函数中所得到的所有函数值的集合。

理解了这两个术语的定义后，再来看看如何求解函数的值域和定义域。

二、函数值域的求解1.分段函数值域求解对于分段函数，我们需要对每一个分段分别求解，最后再将结果合并。

求解过程具体如下：1)对于线性函数 y = kx + b，当 k > 0 时，y 的最小值是固定的，即 b；当 k < 0 时，y 的最大值是固定的，即 b。

因此，对于线性函数而言，它的值域就是一条直线。

2)对于二次函数 y = ax² + bx + c，由于 a 的正负性不确定，因此可以根据判别式来判断这个函数的值域。

a > 0 时，y 取最小值 f(x = -b/2a)，此时 y ∈ [ f(x), +∞)。

a < 0 时，y 取最大值 f(x = -b/2a)，此时 y ∈ (-∞, f(x)]。

3)对于绝对值函数 y = |x|，其值域为 y ∈ [0, +∞)。

4)对于反比例函数 y = 1/x，其值域为 y ∈ (-∞, 0) U (0, +∞)。

2.连续函数值域求解对于连续函数 y = f(x)，我们可以通过求导来判断函数的最值，通过函数的最值来推导出值域。

对于一个实数集合内的连续函数，当其定义域为闭区间时，函数的值域即为右端点和左端点函数值的较大值和较小值的区间。

当其定义域为开区间时，值域即为函数的最大值和最小值的区间。

函数值域定义域解析式方法总结

函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

三、典例解析1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。

2、求值域问题例4 求函数x x y -+=12 的值域例7 求13+--=x x y 的值域例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域例9 例9求函数x x y 2231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛= 的值域例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域例11 求函数21+-=x x y 的值域例12 求函数133+=x xy 的值域练习：y =1212+-x x ；（y ∈(-1，1)）例13 函数1122+-=x x y 的值域例14 求函数34252+-=x x y 的值域例15 函数11++=x x y 的值域三、求函数的解析式1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

函数定义域值域求法(全十一种)

实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

2x2x 15例 1 求函数 y的定义域。

| x 3| 8解：要使函数有意义，则必须满足2x 2x 15 0① | x 3 | 8 0②由①解得 x 3或 x 5。

③由②解得x5或 x 11 ④ ③和④求交集得 x 3且 x 11或 x>5。

故所求函数的定义域为 {x | x 3且x 11} {x | x 5} 。

例 2 求函数1ysin x的定义域。

216 x解：要使函数有意义，则必须满足sin x0 ① 216 x② 由①解得 2kx2k ，kZ③ 由②解得 4 x 4 ④由③和④求公共部分，得4 x 或0 x 故函数的定义域为 ( 4， ] (0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知 f (x) 的定义域，求 f[g(x )] 的定义域。

（2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a ，b ］求 f [g(x)] 的定义域是解 a g(x) b ，即为所求的定义域。

2 例3 已知 f (x) 的定义域为［－2，2］，求 f ( x 1)的定义域。

2 解：令 2 x 1 2 2 ，得 1 x 32，即 0x3，因此 0 | x |3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是 { x | 3 x 3} 。

（2）已知 f [g( x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域。

其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a ， b ］，求 f(x) 定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求 f(x) 的定义域。

例 4 已知 f (2x 1) 的定义域为［1，2］，求 f(x) 的定义域。

高中数学求函数值域解题方法大全

高中数学求函数值域解题方法大全高中数学求函数值域解题方法大全一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。

例1：求函数y=x+1的值域。

解析：由于x≥-1，所以x+1≥0，因此函数y=x+1的值域为[1,+∞)。

例2：求函数y=1/x的值域。

解析：显然函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，当x>0时，y>0；当x<0时，y<0.因此函数的值域是：例3：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。

解析：因为x∈{-1,1,2}，而f(-1)=f(3)=3，f(2)=-1，f(1)=-∞，所以：y∈{-1,3}。

注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x∈R，则函数的值域为{y|y≥-1}。

二、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数y=x2-2x+5，x∈[-1,2]的值域。

解析：将函数配方得：y=(x-1)2+4，当x=1∈[-1,2]时，y取得最小值4，当x=-1或x=2时，y取得最大值8，因此函数的值域是：[4,8]。

变式：已知f(x)=ax2+bx+c，其中a>0，且在区间[-1,1]内的最小值为1，求函数在[-2,2]上的最值。

解析：由已知，可得a>0，且f(x)在x=0处取得最小值1，即b=0.又因为在区间[-1,1]内的最小值为1，所以a≤4.将f(x)配方得：f(x)=a(x-1)2+1，当x=-2或x=2时，f(x)取得最大值5a+1；当x=1时，f(x)取得最小值1.因此，当a=4时，函数在[-2,2]上的最值分别为9和17.当a<4时，函数在[-2,2]上的最值分别为1和5a+1.三、其他方法：对于一些特殊的函数，可以采用其他方法求解。

例：已知函数f(x)=sinx+cosx，求函数的值域。

函数定义域与值域求法总结

函数定义域与值域求法总结一：函数定义域的求法 1.求函数定义域的一般原则是：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③0x y =要求0≠x .（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2.抽象函数的定义域（1）已知)(x f 的定义域为A ，求())(x f ϕ的定义域，其实质是已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围.（2）已知())(x f ϕ的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知())(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的范围，此范围就是)(x f 的定义域.例1.求出下列函数的定义域（1）32+=x y ；（2）21)(+=x x f ；（3）xx f -=21)(；（4）x x y -+-=11；（5）11)(2-+=x x x f ；（6）02)13(13-+-=x xx y .例2.抽象函数求定义域（1）设)(x f y =的定义域是[0,2]，求)3(+x f 的定义域；（2）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)(x f 的定义域；（3）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)2(-x f 的定义域.巩固练习：1.求下列函数的定义域： (1)=)(x f 21+x ； (2)=)(x f 23+x ； (3)=)(x f xx -++311.2.若函数)(x f 的定义域为[]2,1-，则函数)23(x f -的定义域为________．二：函数值域的求法考查角度1 配方法求值域（此种方法适用于求二次函数或可化为二次函数的函数的值域）【例1】当1≤x ≤2时，求函数y ＝﹣x 2﹣x +1值域．【练1.1】已知二次函数245y x x =-+，分别求下列条件下函数的值域：（1）[1x ∈-，0]；（2）(1,3)x ∈；（3）(4x ∈，5]．【练1.2】已知函数2()41f x x x =-+，求函数[()]y f f x =的值域．【练1.3】求函数222()21f x a x a x =-+在[1-，2]的值域．【考查角度2 分离常数法求值域】【例2】（1）求函数2331x y x -=-+的值域．（2）已知函数1()2x f x x +=+，求()f x 的值域．【练2.1】（1）求下列函数的值域：)1(132≥++=x x x y .（2）求函数321xy x -=-的值域．【练2.2】（1）求下列函数的值域：2132x y x -=+．（2）求函数225941x x y x ++=-的值域．【练2.3】（1）求函数22223x xy x x -=-+的值域．（2）求函数2221()3x f x x -=+的值域．考查角度3 换元法求值域【例3】求2y x =【练3.1】求下列函数的值域．（1）22y x =-（2）5y x =+（3）y x =+．【练3.2】求下列函数的值域．（1）22221(2)x x y x x -+=>（2）2854y x x =-+【练3.3】求函数()f x 的值域．考查角度4 判别式法求值域【例4】利用判别式求函数231xy x x =-+的值域．【练4.1】已知3x >，求函数22173x y x -=-的值域．【练4.2】求函数的值域：22221x x y x x -+=++．考查角度5 列分段函数求值域【例4】求函数的值域：|1||4|y x x =-++．【练5.1】求函数的值域：|1||21|y x x =+--【练5.2】已知函数224,(03)()6,(20)x x x f x x x x ⎧-=⎨+-⎩()()0230<≤-<≤x x ，求()f x 的值域．【练5.3】求函数24||3(33)y x x x =---<<的值域．【趁热打铁】1. 按要求求下列函数的值域：（1）1y =（观察法）；（2）y =（配方法）；（3）2y x =-+；（4）211x y x -+=-（分离常数法）．（5）28(45)y x x =÷-+（判别式法）．2. 求值域：（1）22566x x y x x -+=+-；（2）2224723x x y x x +-=++；（3）()f x x = （4）()f x =3. 求下列函数的值域：（1）2()231f x x x =--；（2）222()x xf x x x+=-；（3）()f x x =+ （4）()2f x x =（5）221()1x f x x -=+；（6）()5f x x =-+．4. 求下列函数的值域：（1）y x =（2）y x =+（3）4241y x x =++ （4）6y =．5. 求下列函数的值域．（1）31y x =+，[1x ∈，2]；（2）245y x x =--，[1x ∈-，1]；（3）11x y x +=-；（4）2211x y x -=+；（5）2y x =+．6. 求函数|3||5|y x x =+--的值域．7.求下列函数值域(1){}3,2,1,12∈+=x x y ； (2)1-=x y ； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2； (5)y ＝x ＋x ；（6）12++=x x y .三：函数解析式的求法1.待定系数法：如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程（组），求出参数，即可确定函数解析式.2.配凑法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，可从))((x g f 的解析式中配凑出)(x g ，即用)(x g 来表示，再将解析式两边的)(x g 用x 代替即可.3.换元法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，也可令t =)(x g ，再求出)(t f 的解析式，然后用x 代替)(t f 解析式中所有的t 即可.4.方程组法：常见的含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 时，将原式中的x 用x -（或x 1）代替，从而得到另一个同时含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 的关系式，将这两个关系式联立，列方程组解出)(x f .例4.(1)已知，求； 3311()f x x x x+=+()f x（2）已知是一次函数，且满足，求；（3）已知满足，求)(x f .巩固练习：1.已知)(x f 是一次函数，且34))((+=x x f f ，求)(x f ．2.已知()x x x f21+=+，求)(x f ．3.设函数f (x )满足f (x )＋2f (x1)＝x (x ≠0)，求f (x ).课后练习1.函数f (x )＝x-21的定义域为M ，g (x )＝2+x 的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．[－2，＋∞) B ．[－2,2) C ．(－2,2)D ．(－∞，2) 2.设f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋)1(xf ＝( ) A ．1－x 1＋x B ．1x C ．1 D ．0()f x 3(1)2(1)217f x f x x +--=+()f x ()f x 12()()3f x f x x +=3.若函数y ＝21-x 的定义域是A ，函数y ＝62+x 的值域是B ，则A ∩B ＝________. 4.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧<≥.,,,b a a b a b 则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 5.求函数的值域（1）113+-=x x y ；（2）112-++=x x y .6.求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－x -1；(2)y ＝35--x x .7.求下列函数的解析式（1）已知二次函数564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f ；（2）若函数)0(1)1(22≠+=-x x x x x f ，求)(x f ；(3)设函数f (x )满足x x f x f 3)(2)(=-+，求)(x f ．8.已知函数f (x )＝2211xx -+， (1)求f (x )的定义域； (2)若f (a )＝2，求a 的值； (3)求证：)1(x f ＝)(x f -．。

(完整版)求函数定义域及值域方法及典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。

则称f:为A 到B 的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。

由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。

（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。

二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
练习：求函数 y = x2 + 9 + (5 − x)2 + 4 的值域。（答案：｛y|y≥ 5 2 ｝）
九、比例法：
对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
例：已知 x,y∈R，且 3x-4y-5=0,求函数 z = x2 + y2 的值域。
例：求函数 y = x - 3 + 2x +1 的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设 t = 2x +1 （t≥0）,则
x = t2 -1 。 2
于是 y = t2 -1 - 3 + t = (t +1)2 − 4 ≥ 1 − 4 = − 7 .
( )( ) 例：已知 2x2 - x - 3 3x2 + x +1 ≤ 0 ，且满足 x + y = 1，求函数 z = xy + 3x 的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：3x2 + x +1 0 ，上述分式不等式与不等式 2x2 - x - 3 ≤ 0 同解，解之得
3 3 3
3
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数 y = 3 + 4 - x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)
七、换元法：
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

函数定义域值域求法(全十一种)

例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。

③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。

故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。

例 2求函数 y sin x1的定义域。

16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。

（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。

例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。

解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。

（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。

其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。

例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。

即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。

高中数学求函数值域的10种常见方法

高中数学求函数值域的10种常见方法
一、显函数法：
须先将函数写成显函数的形式，然后通过分析函数表达式的特征，确定其值域。

二、图像法：
一般通过函数的图像来确定其值域，可以在纸上绘制函数的图像，或者利用数学软件进行绘图分析。

三、函数增减性：
通过函数的增减性来确定其值域，即分析函数在定义域上的单调性。

四、函数的周期性：
若函数具有周期性，则值域受周期性的限制。

五、函数的有界性：
若函数在定义域上有上下界，则其值域也受到该有界性的限制。

六、反函数法：
通过求函数的反函数，获得原函数的值域。

七、导数法：
通过求函数的导数，分析其在定义域内的极值和拐点，得出值域的上下界。

八、极限法：
通过求函数在定义域两端的极限，确定函数值域的范围。

九、变量替换法：
可将复杂的函数转化为简单的函数，通过分析简单函数的值域，确定复杂函数的值域。

十、函数值的性质：
根据函数的性质和定义，通过推理和证明，确定函数值域。

以上是求函数值域的十种常见方法，根据不同的题目和函数形式，我们可以选择适用的方法来解决问题。

在实际应用中，经常需要综合运用多种方法来确定函数的值域。

函数定义域值域求法(全十一种)

函数定义域值域求法(全十一种)高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。

解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例如，对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数有意义，则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。

解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$，且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。

将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$，即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。

二、抽象函数型抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条件求解。

一般有两种情况：1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。

解法是：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解$a\leq g(x)\leq b$。

例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的定义域。

令 $-2\leq x^2-1\leq 2$，得 $-1\leq x^2\leq 3$，即 $-|x|\leq x\leq |x|$。

因此，$-3\leq x\leq 3$，即函数的定义域为$\{x|-3\leq x\leq 3\}$。

2）已知 $f[g(x)]$ 的定义域，求 $f(x)$ 的定义域。

解法是：已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f(x)$ 的定义域为$g(x)$ 的值域。

例如，已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$，求 $f(x)$ 的定义域。

因为 $1\leq x\leq 2$，所以 $2\leq 2x\leq 4$，$3\leq2x+1\leq 5$。

(完整版)高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 2 定义域的逆向问题例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-a ax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于练习：322log+-=mx x y 定义域是一切实数，则m 的取值范围；3 复合函数定义域的求法例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。