8-液滴蒸发与燃烧
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• 瞬时（准稳态）蒸发率可以用来计算 液滴寿命。
2016/5/1
29
液滴寿命
• 按照与第3章对质量传递控制的蒸发过程相 同的分析，我们可以由质量平衡得到液滴半 径（或直径）的历史。该质量平衡为液滴质 量减小速度等于液体蒸发速度，也就是：
dmd , m dt
2016/5/1 30
• 其中液滴质量， md ，由下式给出
2016/5/1
22
液气两相界面上的能量平衡
• 方程10.7本身并没有提供求解蒸发率 m 的方法， 但它可以求解传递到液滴表面的热量，参见图 10.9b中所示的分界面（表面）能量平衡。热量从 热气体传入分界面，因为我们假定液滴温度处处 T 为 ，所有这些热量都会用来蒸发燃料，而不 boil 会有热量传到液滴内部。
2016/5/1
11
• 5、我们假设二元扩散的Lewis数具有一致性（ =D ）。 这使得我们可以使用第7章介绍过的简单的ShvabZeldovich能量方程。 • 6、我们还假设所有的热物理属性，如热传导系数、密 度、比热等都是常数。虽然从液滴到周围远处的气相中， 这些属性的变化很大，但常属性的假定使我们可以求得 简单分析解。在最后的分析中，对平均值合理的选择可 以得到相当精确的结果。
8 液滴的蒸发与燃烧
总述
• • • • 球形液滴的蒸发与燃烧 系统简单，便于分析物理现象之间的联系。 可以得到封闭的解析解。 研究液滴尺寸和环境条件对液滴蒸发或燃烧时间 的影响。 • 液滴气化速度和液滴寿命很重要。
2016/5/1
2
内容
• • • • • • • • •
2016/5/1
概述 一些应用 液滴蒸发的简单模型 液滴燃烧的简单模型 总结和求解 扩展到对流环境 其它因素 一维气化控制燃烧 总结
2016/5/1
5
• 这对周围温度很高的燃烧环境是一个 很好的近似，而且蒸发过程的数学描 述可能是最简单的形式，这对工程计 算非常有用。
2016/5/1
6
• 图10.8定义了这个球对称系统，半径r是唯 一的变量。半径的起点是液滴中心。液汽 表面处的液滴半径用rs表示。离液滴表面 无穷远处（ r ）的温度为T。
8k g dD ln(Bq 1). dt l c pg
2
2016/5/1 32
• 方程10.17表明，液滴直径的平方对时间的 微分是一个常数。因此D2随t线性变化，斜 率为-(8k/lcpg)ln(Bq+1) ，如图10.10所示。 该斜率被定义为蒸发常数K：
K
8k g
l c pg
md lV lD / 6
3
• V 和 D 是液滴的体积和直径。 • 将方程 10.15 和 10.13 代入方程10.14， 求导得：
2016/5/1
31
4k g dT ln(Bq 1). dt l c pg D
• 前面曾讨论过（见第3章），方程10.16经 常表达成D2的形式而不是D ，也就是：
2016/5/1
13
• 质量守恒 由准稳态燃烧的假设可知，质量流 率m (r ) 是一个与半径无关的常数，因此， • 以及
m F vr 4r 2 constant m
d ( v r r 2 ) 0 dr
• 其中，v r 是整体流动速度。
2016/5/1
14
能量守恒
• 由前面第7章可得，图10.9a中所述情形的 质量守恒可用方程7.05来表示。运用常属 性及一致性Lewis数的假设，该方程可改写 为：
D2
2 D0
ˆ 2 Kdtˆ, d D
0
t
2016/5/1
35
• 由此可得：
D (t ) D Kt
2 2 0
• 方程10.19类似于我们在第3章介绍过的液 滴蒸发的D2定律。实验证明，在液滴加热 到沸点的初始的短暂时间里D2定律仍然可 用。（参见图3.7b）。
2016/5/1
2016/5/1
12
气相分析
• 有了上面的假设，我们可以通过气相质量守恒方程、 气相能量方程、液滴气相边界能量平衡及液滴液相 m 质量守恒方程来求解质量蒸发率 ，和液滴半径 随时间的关系 r。气相能量方程提供了气相中 s (t ) 的温度分布，由此我们可以去估计从表面传导给液 滴的热量。必须求解分界面能量平衡才能得到蒸发 (t ) m 率 。知道了 之后，我们就很容易得到液滴 m 大小与时间的关系。
ln(Bq 1).
2016/5/1
33
2016/5/1
34
• 注意这个方程与方程3.58的相似之处：方程 的形式相似，而且如果Lewis数是1 （ kg/cpg=D ）两个方程就完全一样了，尽 管B的定义不一。我们可以结合方程10.17来 得到表达D （或D2 ）随变化的更一般的关 系式：
36
• 使D2(td)＝0 ，便可得到液滴从初始直到完全 蒸发所需的时间，即液滴寿命：:
td D / K
2 0
• 使用方程10.19及10.20很简单就可以预测液滴的 蒸发；然而我们面临的问题是如何合适地选择出 现在蒸发常数中的气相比热 cpg和热传导系数kg的 平均值。
2016/5/1
37
• 在我们的分析中，我们假定cpg和kg都是 常数，而实际上从液滴表面到气流，它 们的变化很大。在Law和Williams关于 燃烧液滴的论述中， cpg和kg由下面的方 法近似：
• 将C2代回到方程10.6，应用第二个边界条 件（方程10.5b），而且用指数代替对数， 可以解出C1 ，即：
2016/5/1 20
[T (Zm / rs ) Tboil ] Zm C1 . / rs ) 1 exp(Zm
• 将C1代入上面的C2表达式里，便可得到第 二个积分常数：
dT d (r ) m c pg dT dr dr 4k dr
2
2016/5/1 15
2016/5/1
16
• 其中反应速率为零，因为纯蒸发过程中没 有化学反应发生。 • 为了以后研究的方便起见，我们定义 Zcpg/4k ，则：
dT d (r ) dT dr Zm . dr dr
2016/5/1
27
• 回想一下第3章，我们曾导出过在质 量传递控制下液滴蒸发的类似的表达 式。方程10.12所定义的B仅适用于前 面提及的那一套假设下，下标表示它 基于仅考虑热传递的情况。还有一些 其它形式的定义，它们的函数形式取 决于各自的所做出的假设。
2016/5/1
28
• 例如，如果假设液滴周围为球形火焰， B的定义就会不同。
• 接下来我们要在前面的研究基础上扩展，对 液滴周围的球对称扩散火焰进行研究。开始， 我们仍然保留静止环境及球对称的假设，但 随后我们还要看看如果考虑由于火焰产生的 自然对流或强制对流导致燃烧的加强；球对 称的结果要作怎样的调整。我们还会去掉液 滴处于沸点这一限制。
2016/5/1
40
假设
• • • 下面的假设会大大简化液滴燃烧模型，但 仍然保留着必要的物理特征而且和实验结 果符合得很好。 1、被球对称火焰包围着的燃烧液滴，存 在于静止、无限的介质中。没有其它液滴 的影响，也不考虑对流的影响。 2、和我们前面的分析一样，燃烧过程是 准稳态的。
c pg c pF (T )
2016/5/1
38
kg 0.4kF (T ) 0.6k (T ),
• 其中下标F代表燃料蒸气， T 为燃料和气流的 平均沸点，
T (Tboil T ) / 2
• 还有一些对属性的更精确的估计，但上述是 最容易的一种。
2016/5/1
39
液滴燃烧的简化模型
(T Tboil ) 1 Zm C2 ln . 1 exp(Zm / rs ) Zm
2016/5/1 21
• 最后，将C1 ， C2代回到方程10.6的通式 中便可以得到温度分布。得到的结果有一 些复杂，如下：
/ r ) T exp(Zm / rs ) Tboil (T Tboil ) exp(Zm T r . / rs ) 1 exp(Zm
2016/5/1
9
假设
• 下面的这些关于热气体中液滴蒸发的假设经常会 用到，因为它们能极大的简化问题，主要原因是 排除了处理质量传递的必要，而且仍与实验结果 符合得很好。
• 1、液滴在静止、无穷大的介质中蒸发。 • 2、蒸发过程是准稳态的。这意味着蒸发过程在任一时 刻都可以认为是稳态的。这一假设去掉了处理偏微分方 程的必要。 • 3、燃料是单成份液体，且其气体溶解度为零。
2016/5/1 41
•
• •
3
一些应用
• 柴油机、火箭、燃气轮机、燃油锅 炉、工业窑炉、加热器。 • 喷雾燃烧——而不是——单个液滴 燃烧 • 在研究复杂火焰之前，了解单个液 滴的燃烧是必要的。
2016/5/1 4
液滴蒸发的简单模型
• 第3章中为了介绍质量传递定律，我们曾通 过将stephan问题转化成球坐标而建立了一 个液滴蒸发模型。由于液滴表面温度假设 为一已知参数，这个模型只包括质量传递。 在这里的分析中，我们假设液滴表面温度 接近液滴沸点，则蒸发速率就由从环境到 液滴表面的热传递速率决定。
2016/5/1
7
2016/5/1
8
• 理论上讲，从周围环境得到的热量提供了 液体燃料蒸发必需的能量，然后燃料蒸气 从液滴表面扩散到周围空气。质量的流失 导致液滴半径随时间而缩短直到液滴完全 蒸发（rs=0）。我们希望解决的问题是求任 一时刻液滴表面燃料蒸发的质量流率。知 道了这些，我们就可以计算液滴半径关于 时间的函数以及液滴寿命。
2 g s
rs
h fg m
• 对方程10.7求导，得液滴表面处的气相温 度梯度为：
dT dr
2016/5/1
rs
/ rs ) (T Tboil ) exp( Zm Zm 2 . / rs ) rs 1 exp( Zm
25
• 将这一结果代入到方程10.9，然后求 ，可得： 解 m 4k g rs c pg (T Tboil ) m ln 1. c pg h fg • 在燃烧学里将括号内第一项定义为：
Bq
2016/5/1
c pg (T Tboil ) h fg
,
26
• 有：
m
4k g rs c pg
ln(Bq 1)
• 参数是一个无量纲参数B ，就像雷诺数一 样，在燃料学里有着很重要的意义，经常 出现在这一领域的文献中。有时它被称为 Spalding数，或简单称做输送数， B 。
2016/5/1
10
•源自文库
4、液滴内各处温度均匀一致，而且假定该温度是燃料的 沸点， Td=Tboil 。在许多问题里，液体短暂加热过程不 会对液滴寿命有很大影响。而且许多严密的计算证明， 液体表面温度只比液体在燃烧条件下的沸点略低。这一 假设去掉了求解液相（液滴）能量方程的必要，而且更 重要的是，去掉了求解气相中燃料蒸气（组分）传递方 程。这一假设的隐含条件是Td >Tboil 。（为分析方便）
2
• 其中是积分常数。第二次分离变量并积分 后可得到通式：
1 1 T C1 ) C2 , ln( Zm Zm r
2016/5/1 19
• 其中C2是第二个积分常数。将方程10.5a 代入方程10.6，将C2用C1表示：
1 T C1 ). C2 ln( Zm Zm
2016/5/1
23
• 这要比考虑液滴短暂加热过程要相对容易 一些，而后者会出现在液滴燃烧分析中。 表面能量平衡可写成：
Q cond m(hvap hliq ) mh fg .
• 将Fourier定律代入 Q ，注意到正 cond 负号变化，可得：
2016/5/1
24
dT 4k r dr
2
2016/5/1 17
• 求解方程10.4可以得到气相下的温度 分布T(r)。这个方程有两个边界条件：
• 边界条件 1： T(r)=T • 边界条件 2： T(rrs)=Tboil. • 方程10.4很容易求解，只需两次分离变量 并积分。第一次积分后可解得：
2016/5/1
18
dT T C1 , r Zm dr
2016/5/1
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液滴寿命
• 按照与第3章对质量传递控制的蒸发过程相 同的分析，我们可以由质量平衡得到液滴半 径（或直径）的历史。该质量平衡为液滴质 量减小速度等于液体蒸发速度，也就是：
dmd , m dt
2016/5/1 30
• 其中液滴质量， md ，由下式给出
2016/5/1
22
液气两相界面上的能量平衡
• 方程10.7本身并没有提供求解蒸发率 m 的方法， 但它可以求解传递到液滴表面的热量，参见图 10.9b中所示的分界面（表面）能量平衡。热量从 热气体传入分界面，因为我们假定液滴温度处处 T 为 ，所有这些热量都会用来蒸发燃料，而不 boil 会有热量传到液滴内部。
2016/5/1
11
• 5、我们假设二元扩散的Lewis数具有一致性（ =D ）。 这使得我们可以使用第7章介绍过的简单的ShvabZeldovich能量方程。 • 6、我们还假设所有的热物理属性，如热传导系数、密 度、比热等都是常数。虽然从液滴到周围远处的气相中， 这些属性的变化很大，但常属性的假定使我们可以求得 简单分析解。在最后的分析中，对平均值合理的选择可 以得到相当精确的结果。
8 液滴的蒸发与燃烧
总述
• • • • 球形液滴的蒸发与燃烧 系统简单，便于分析物理现象之间的联系。 可以得到封闭的解析解。 研究液滴尺寸和环境条件对液滴蒸发或燃烧时间 的影响。 • 液滴气化速度和液滴寿命很重要。
2016/5/1
2
内容
• • • • • • • • •
2016/5/1
概述 一些应用 液滴蒸发的简单模型 液滴燃烧的简单模型 总结和求解 扩展到对流环境 其它因素 一维气化控制燃烧 总结
2016/5/1
5
• 这对周围温度很高的燃烧环境是一个 很好的近似，而且蒸发过程的数学描 述可能是最简单的形式，这对工程计 算非常有用。
2016/5/1
6
• 图10.8定义了这个球对称系统，半径r是唯 一的变量。半径的起点是液滴中心。液汽 表面处的液滴半径用rs表示。离液滴表面 无穷远处（ r ）的温度为T。
8k g dD ln(Bq 1). dt l c pg
2
2016/5/1 32
• 方程10.17表明，液滴直径的平方对时间的 微分是一个常数。因此D2随t线性变化，斜 率为-(8k/lcpg)ln(Bq+1) ，如图10.10所示。 该斜率被定义为蒸发常数K：
K
8k g
l c pg
md lV lD / 6
3
• V 和 D 是液滴的体积和直径。 • 将方程 10.15 和 10.13 代入方程10.14， 求导得：
2016/5/1
31
4k g dT ln(Bq 1). dt l c pg D
• 前面曾讨论过（见第3章），方程10.16经 常表达成D2的形式而不是D ，也就是：
2016/5/1
13
• 质量守恒 由准稳态燃烧的假设可知，质量流 率m (r ) 是一个与半径无关的常数，因此， • 以及
m F vr 4r 2 constant m
d ( v r r 2 ) 0 dr
• 其中，v r 是整体流动速度。
2016/5/1
14
能量守恒
• 由前面第7章可得，图10.9a中所述情形的 质量守恒可用方程7.05来表示。运用常属 性及一致性Lewis数的假设，该方程可改写 为：
D2
2 D0
ˆ 2 Kdtˆ, d D
0
t
2016/5/1
35
• 由此可得：
D (t ) D Kt
2 2 0
• 方程10.19类似于我们在第3章介绍过的液 滴蒸发的D2定律。实验证明，在液滴加热 到沸点的初始的短暂时间里D2定律仍然可 用。（参见图3.7b）。
2016/5/1
2016/5/1
12
气相分析
• 有了上面的假设，我们可以通过气相质量守恒方程、 气相能量方程、液滴气相边界能量平衡及液滴液相 m 质量守恒方程来求解质量蒸发率 ，和液滴半径 随时间的关系 r。气相能量方程提供了气相中 s (t ) 的温度分布，由此我们可以去估计从表面传导给液 滴的热量。必须求解分界面能量平衡才能得到蒸发 (t ) m 率 。知道了 之后，我们就很容易得到液滴 m 大小与时间的关系。
ln(Bq 1).
2016/5/1
33
2016/5/1
34
• 注意这个方程与方程3.58的相似之处：方程 的形式相似，而且如果Lewis数是1 （ kg/cpg=D ）两个方程就完全一样了，尽 管B的定义不一。我们可以结合方程10.17来 得到表达D （或D2 ）随变化的更一般的关 系式：
36
• 使D2(td)＝0 ，便可得到液滴从初始直到完全 蒸发所需的时间，即液滴寿命：:
td D / K
2 0
• 使用方程10.19及10.20很简单就可以预测液滴的 蒸发；然而我们面临的问题是如何合适地选择出 现在蒸发常数中的气相比热 cpg和热传导系数kg的 平均值。
2016/5/1
37
• 在我们的分析中，我们假定cpg和kg都是 常数，而实际上从液滴表面到气流，它 们的变化很大。在Law和Williams关于 燃烧液滴的论述中， cpg和kg由下面的方 法近似：
• 将C2代回到方程10.6，应用第二个边界条 件（方程10.5b），而且用指数代替对数， 可以解出C1 ，即：
2016/5/1 20
[T (Zm / rs ) Tboil ] Zm C1 . / rs ) 1 exp(Zm
• 将C1代入上面的C2表达式里，便可得到第 二个积分常数：
dT d (r ) m c pg dT dr dr 4k dr
2
2016/5/1 15
2016/5/1
16
• 其中反应速率为零，因为纯蒸发过程中没 有化学反应发生。 • 为了以后研究的方便起见，我们定义 Zcpg/4k ，则：
dT d (r ) dT dr Zm . dr dr
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• 回想一下第3章，我们曾导出过在质 量传递控制下液滴蒸发的类似的表达 式。方程10.12所定义的B仅适用于前 面提及的那一套假设下，下标表示它 基于仅考虑热传递的情况。还有一些 其它形式的定义，它们的函数形式取 决于各自的所做出的假设。
2016/5/1
28
• 例如，如果假设液滴周围为球形火焰， B的定义就会不同。
• 接下来我们要在前面的研究基础上扩展，对 液滴周围的球对称扩散火焰进行研究。开始， 我们仍然保留静止环境及球对称的假设，但 随后我们还要看看如果考虑由于火焰产生的 自然对流或强制对流导致燃烧的加强；球对 称的结果要作怎样的调整。我们还会去掉液 滴处于沸点这一限制。
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假设
• • • 下面的假设会大大简化液滴燃烧模型，但 仍然保留着必要的物理特征而且和实验结 果符合得很好。 1、被球对称火焰包围着的燃烧液滴，存 在于静止、无限的介质中。没有其它液滴 的影响，也不考虑对流的影响。 2、和我们前面的分析一样，燃烧过程是 准稳态的。
c pg c pF (T )
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kg 0.4kF (T ) 0.6k (T ),
• 其中下标F代表燃料蒸气， T 为燃料和气流的 平均沸点，
T (Tboil T ) / 2
• 还有一些对属性的更精确的估计，但上述是 最容易的一种。
2016/5/1
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液滴燃烧的简化模型
(T Tboil ) 1 Zm C2 ln . 1 exp(Zm / rs ) Zm
2016/5/1 21
• 最后，将C1 ， C2代回到方程10.6的通式 中便可以得到温度分布。得到的结果有一 些复杂，如下：
/ r ) T exp(Zm / rs ) Tboil (T Tboil ) exp(Zm T r . / rs ) 1 exp(Zm
2016/5/1
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假设
• 下面的这些关于热气体中液滴蒸发的假设经常会 用到，因为它们能极大的简化问题，主要原因是 排除了处理质量传递的必要，而且仍与实验结果 符合得很好。
• 1、液滴在静止、无穷大的介质中蒸发。 • 2、蒸发过程是准稳态的。这意味着蒸发过程在任一时 刻都可以认为是稳态的。这一假设去掉了处理偏微分方 程的必要。 • 3、燃料是单成份液体，且其气体溶解度为零。
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•
• •
3
一些应用
• 柴油机、火箭、燃气轮机、燃油锅 炉、工业窑炉、加热器。 • 喷雾燃烧——而不是——单个液滴 燃烧 • 在研究复杂火焰之前，了解单个液 滴的燃烧是必要的。
2016/5/1 4
液滴蒸发的简单模型
• 第3章中为了介绍质量传递定律，我们曾通 过将stephan问题转化成球坐标而建立了一 个液滴蒸发模型。由于液滴表面温度假设 为一已知参数，这个模型只包括质量传递。 在这里的分析中，我们假设液滴表面温度 接近液滴沸点，则蒸发速率就由从环境到 液滴表面的热传递速率决定。
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• 理论上讲，从周围环境得到的热量提供了 液体燃料蒸发必需的能量，然后燃料蒸气 从液滴表面扩散到周围空气。质量的流失 导致液滴半径随时间而缩短直到液滴完全 蒸发（rs=0）。我们希望解决的问题是求任 一时刻液滴表面燃料蒸发的质量流率。知 道了这些，我们就可以计算液滴半径关于 时间的函数以及液滴寿命。
2 g s
rs
h fg m
• 对方程10.7求导，得液滴表面处的气相温 度梯度为：
dT dr
2016/5/1
rs
/ rs ) (T Tboil ) exp( Zm Zm 2 . / rs ) rs 1 exp( Zm
25
• 将这一结果代入到方程10.9，然后求 ，可得： 解 m 4k g rs c pg (T Tboil ) m ln 1. c pg h fg • 在燃烧学里将括号内第一项定义为：
Bq
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c pg (T Tboil ) h fg
,
26
• 有：
m
4k g rs c pg
ln(Bq 1)
• 参数是一个无量纲参数B ，就像雷诺数一 样，在燃料学里有着很重要的意义，经常 出现在这一领域的文献中。有时它被称为 Spalding数，或简单称做输送数， B 。
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4、液滴内各处温度均匀一致，而且假定该温度是燃料的 沸点， Td=Tboil 。在许多问题里，液体短暂加热过程不 会对液滴寿命有很大影响。而且许多严密的计算证明， 液体表面温度只比液体在燃烧条件下的沸点略低。这一 假设去掉了求解液相（液滴）能量方程的必要，而且更 重要的是，去掉了求解气相中燃料蒸气（组分）传递方 程。这一假设的隐含条件是Td >Tboil 。（为分析方便）
2
• 其中是积分常数。第二次分离变量并积分 后可得到通式：
1 1 T C1 ) C2 , ln( Zm Zm r
2016/5/1 19
• 其中C2是第二个积分常数。将方程10.5a 代入方程10.6，将C2用C1表示：
1 T C1 ). C2 ln( Zm Zm
2016/5/1
23
• 这要比考虑液滴短暂加热过程要相对容易 一些，而后者会出现在液滴燃烧分析中。 表面能量平衡可写成：
Q cond m(hvap hliq ) mh fg .
• 将Fourier定律代入 Q ，注意到正 cond 负号变化，可得：
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dT 4k r dr
2
2016/5/1 17
• 求解方程10.4可以得到气相下的温度 分布T(r)。这个方程有两个边界条件：
• 边界条件 1： T(r)=T • 边界条件 2： T(rrs)=Tboil. • 方程10.4很容易求解，只需两次分离变量 并积分。第一次积分后可解得：
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dT T C1 , r Zm dr