中点四边形的探究活动设计

“中点四边形的探究”活动设计
德化第三中学苏华强 2014-10
一、活动目的：
1．通过活动进一步加深学生对“三角形中位线”性质的理解。

2．通过活动渗透常见数学思想与方法如一般与特殊、转化、整体思想等。

3．通过活动进一步发展学生的推理能力。

4．通过活动进一步培养学生的综合分析问题的能力和严密的逻辑思维能力。

5、通过活动，使学生获取成功的体验，进一步培养学生合作学习的能力。

二、知识准备：
“三角形中位线”性质
三、器材准备：
多媒体、白纸、直尺、刻度尺、铅笔、各种四边形
四、活动方式：
教师主导，学生小组合作
五、活动准备：
有关操作的熟悉和使用：课件、找中点、作平行线、量线段长、测面积等等。

六、活动过程：
（一）最新华师大版九年级数学课本P79页中，有一道关于中点四边形的练习题。

现在，我们来探究一下中点四边形的问题。

1、中点四边形概念：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

2、探索问题：
（1）、任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）、任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（3）、任意矩形菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？
（4）、这些中点四边形的周长和面积是什么？
（二）探究
探索1.不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形（配合几何画板展示）
A
C
D
设有一任意四边形ABCD ，AB 中点为E,BC 中点F ，CD 中点为G ，AD 中点H ，连接四边形EFGH ，则四边形EFGH 为中点四边形，连接BD
解法一：在ΔABC 中，E 、F 为AB 、BC 中点 所以 EF=21AC ， EF ∥21 AC
同理GH=2
1 AC ， GH ∥21
AC
EH=2
1 BD EH ∥21
BD
GF=2
1BD GF ∥21
BD
所以四边形EFGH 为平行四边形
解法二：利用两组对边分别相等证明 解法三：利用两组对边分别平行证明
探索2、满足什么条件的四边形其中点四边形是特殊四边形？ ① 分组探讨矩形、菱形的中点四边形的特征。

②分组探讨梯形，等腰梯形的中点四边形的特征。

（在以上两个活动中，学生利用画图并思考，得出结论并说明理由。

老师要不停指点及时鼓励，同时引导学生发现其中的一般规律。

③分析矩形、等腰梯形的中点四边形都是菱形，它们有什么共同特征？
（学生思考，引导学生从对角线角度去考虑）
问题1：是不是所有对角线相等的四边形的中点四边形均为菱形？
学生画图，验证。

附：说理过程
在ΔABC 中，E 、F 为AB 、BC 中点
所以 EF=21
AC
同理 GH=21
AC
EH=21
BD
GF=2
1
BD
又因为 AC=BD
所以 EF=FG=GH=HE
所以四边形EFGH 为菱形
问题2：那什么情况下中点四边形是矩形？
（从前面证明过程及问题1引导学生发现对角线的特征，并画图、验证）
附：说理过程
在ΔABC 中，E 、F 为AB 、BC 中点
所以 EF=21AC ， EF ∥21
AC
同理GH=2
1 AC ， GH ∥21
AC
A
B
C
EH=2
1 BD EH ∥21
BD
GF=2
1BD GF ∥21
BD
所以四边形EFGH 为平行四边形
又因为AC ⊥BD 所以AC ⊥EH 所以EH ⊥EF 即∠HEF=90° 所以四边形EFGH 为矩形
问题3：那什么情况下中点四边形是正方形？（学生自己说明） 结论1
1、任意四边形的中点四边形为平行四边形；
2、对角线相等的四边形中点四边形为菱形；
3、对角线垂直的四边形中点四边形为矩形；
4、对角线相等且垂直的四边形的中点四边形为正方形。

探索3：
中点四边形的每条边都是原四边形对角线的一半，所以中点四边形周长是原四边形对角线的和。

① 画画量量：
学生通过画图、测量得出结论。

②教师用《几何画板》进行展示验证。

③说明结论
（小组讨论：由中点考虑如何解决） 解：连接AC
在ΔABC 中，E 、F 为AB 、BC 中点 所以EF ∥21 AC, EF=2
1 AC
同理 GH ∥21 AC, GH=2
1AC
所以： EF+GH ＝AC
同理：EH+FG ＝BD EF+GH+EH+FG ＝AC+BD
即四边形EFGH 的周长为原四边形对角线的和。

探索4：
中点四边形的面积与原图形面积关系 ① 特殊化：
Ⅰ、利用《几何画板》算算矩形及其中点四边形的面积 Ⅱ、算算菱形及其中点四边形的面积
②猜测结论：中点四边形的面积为原图形面积的一半。

③验证说理：
如图，四边形ABCD 取其四边中点E 、F 、G 、H ，得四边形EFGH 。

若四边形ABCD 的面积为a ，则：EFG H S 四边形 =？
成果展示： 思路一：（整体思想与转化思想）
要说明，四边形EFGH 的面积是
21
ABCD
S
，转化为说明ABCD HGD FCG BEF AEH S S S S S 四边形2
1
=
+++∆∆∆∆。

连接BD ，说明： ①ABCD FCG
AEH S S S 41=+，② ABCD DGH BEF S S S 四边形4
1
=+即可。

方法二：（转化思想） 要说明，四边形EFGH 的面积是
2
1
ABCD S ，转化为说明 PQH E 四边形S =21ABD S 和FPQ G 四边形S =2
1
BCD S
连接BD ，找BD 中点M ，连接EM 、HM 。

只需说明ΔAHE ≌ΔMEH
ΔDHQ ≌ΔMPE
ΔEBP ≌ΔHMQ 即可。

方法三：（整体思想与转化思想） 延长EH 于M ，使HM=EH
延长FG 至N ，使GN=FG ，连接MN 要说明，EFG H S 平行四边形=
21
ABCD
S
，转化为说明 EFG H S 平行四边形 =2
1
EFNM S 平行四边形；EFNM S 平行四边形=ABCD S 四边形
只要说明： ΔAEH ≌ΔDHM
ΔFCG ≌ΔNDG
ΔMDN ≌ΔEBF 即可。

结论2：
5、中点四边形的周长为原四边形对角线的和。

6、中点四边形的面积为原四边形面积的一半。

（三）应用： 1、（2011湖北襄阳）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ）
A .菱形
B .对角线互相垂直的四边形
C .矩形
D .对角线相等的四边形 2、（ 2011重庆江津）如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n .
（1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；
（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积； （3）写出四边形A n B n C n D n 的面积； （4）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长. 3、 （2011
甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的
中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。

已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 。

… A 1
A
A 2 A 3 B
B 1 B 2
B 3
C
C 2 C 1 C 3
D D 2 D 1 D 3 第2题图
七、活动感受：
……。