Z变换
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Z变换
z 1
4.左边序列，x lim z 1 1X z
z 1
使用条件： 极点在单位圆外 z=1处只允许有 一阶极点
5.双边序列，x 与 x 无法由X(z)简单确定。
1 z 1 z 2 ，a) z 2 b) z 1 例7：⑴ X z 1 2 1 z 1 2 z
§8.3 Z变换的基本性质 n x n 3 X z [例3]：①
左移：
右移：
z 1 xn 1 X z z z 3 1 3 z 3 z 3 1 1 1 x n 1 X z z 1 z 3 1 3 z 3 z 3 z
z 1n u n z z 解： Z u n ① z 1 Z z 1 z 1 z 2 z cos 0 ② Z cosn 0 u n 2 z 2 z cos 0 1
z z cos 0 n z Z cosn 0 un 2 z z 2 cos 0 1
z Y z 1 3z 2 z 2 z 1 1 z z2 z z 1 1 1 1 z 2z 1 1 z 2 z 1 1 z2 z2 Y z 1 3z 1 2 z 2 1 z 1 1 2 z 1 z3 z2 1 2z 6z 6z 1 z 3z 2z 1 1 z z 1 z 2 z 3 y n (2 62n 6 n )u (n) 3
xn un X z xn mun m z m X z
[例4]：已知 y n 3 y n 1 2 y n 2 xn xn 1，且 x n 3n u n ， 1 1, y 2 1 y Y 。求单边Z变换 z 和 y n n 0 解： z 3z 1 Y z zy 1 2 z 2 Y z zy 1 z 2 y 2 Y
4.左边序列，x lim z 1 1X z
z 1
使用条件： 极点在单位圆外 z=1处只允许有 一阶极点
5.双边序列，x 与 x 无法由X(z)简单确定。
1 z 1 z 2 ，a) z 2 b) z 1 例7：⑴ X z 1 2 1 z 1 2 z
§8.3 Z变换的基本性质 n x n 3 X z [例3]：①
左移：
右移：
z 1 xn 1 X z z z 3 1 3 z 3 z 3 1 1 1 x n 1 X z z 1 z 3 1 3 z 3 z 3 z
z 1n u n z z 解： Z u n ① z 1 Z z 1 z 1 z 2 z cos 0 ② Z cosn 0 u n 2 z 2 z cos 0 1
z z cos 0 n z Z cosn 0 un 2 z z 2 cos 0 1
z Y z 1 3z 2 z 2 z 1 1 z z2 z z 1 1 1 1 z 2z 1 1 z 2 z 1 1 z2 z2 Y z 1 3z 1 2 z 2 1 z 1 1 2 z 1 z3 z2 1 2z 6z 6z 1 z 3z 2z 1 1 z z 1 z 2 z 3 y n (2 62n 6 n )u (n) 3
xn un X z xn mun m z m X z
[例4]：已知 y n 3 y n 1 2 y n 2 xn xn 1，且 x n 3n u n ， 1 1, y 2 1 y Y 。求单边Z变换 z 和 y n n 0 解： z 3z 1 Y z zy 1 2 z 2 Y z zy 1 z 2 y 2 Y
Z变换
但是，一个离散函数f*(t)所对应的连续函数却不是 唯一的，而是有无穷多个。从这个意义上来说，连 续时间函数x (t)与相应的离散时间函数x*(t)具有相 同的z变换，即
Z[ f (t)] Z[ f * (t)] F (z) f (kT)z k k 0
8.4.2 Z变换方法
求离散函数的方法有很多，本书介绍其中三 种。
z z esT
]
例8-5 已知系统传递函数为 F(s) 1 ，应 s(s 1)
用留数计算法求F（z）。
解：F(s)的极点为单极点
s1 0, s2 1
X (z)
2 i 1
Re s[F (s) s si
z z esT
]
Re s[ 1
z ] Re s [ 1
因此可直接写出f *(t)的脉冲序列表达式 f *(t) fk (t kT) k 0
上式就是我们要求的通过z反变换得到的离散
信号f *(t) 。
例8-7：已知 F(z) 2z 2 0.5z ，试用幂级数法求 F(z)的z反变换。 z 2 0.5z 0.5
解：用综合除法得到
z]
ssi 0 s(s 1) z eTs ss2 1 s(s 1) z eTs
lim [ 1 s0 s(s 1)
s
z
z eTs
]
lim [ 1 s1 s(s 1)
(s
1)
z
z eTs
]
z
z
z(1 eT )
z 1 z eT (z 1)( z eT )
等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以 eaT z 取代原
算子z。
Z[ f (t)] Z[ f * (t)] F (z) f (kT)z k k 0
8.4.2 Z变换方法
求离散函数的方法有很多，本书介绍其中三 种。
z z esT
]
例8-5 已知系统传递函数为 F(s) 1 ，应 s(s 1)
用留数计算法求F（z）。
解：F(s)的极点为单极点
s1 0, s2 1
X (z)
2 i 1
Re s[F (s) s si
z z esT
]
Re s[ 1
z ] Re s [ 1
因此可直接写出f *(t)的脉冲序列表达式 f *(t) fk (t kT) k 0
上式就是我们要求的通过z反变换得到的离散
信号f *(t) 。
例8-7：已知 F(z) 2z 2 0.5z ，试用幂级数法求 F(z)的z反变换。 z 2 0.5z 0.5
解：用综合除法得到
z]
ssi 0 s(s 1) z eTs ss2 1 s(s 1) z eTs
lim [ 1 s0 s(s 1)
s
z
z eTs
]
lim [ 1 s1 s(s 1)
(s
1)
z
z eTs
]
z
z
z(1 eT )
z 1 z eT (z 1)( z eT )
等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以 eaT z 取代原
算子z。
Z变换理论
i 1
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上 乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延 迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法 （反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例 求 解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上 乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延 迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法 （反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例 求 解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e
第9章Z变换
为： z 2 2 z cos w 0 1
6）正弦序列的 Z 变换 同样的方法：
1 sin( w 0 n ) 的 Z 变换为 2 j z e z sin w 0 ( z
jw 0
z ze
jw 0
)
，
为： z 2 2 z cos w 0 1
9.3 Z变换的基本性质
1、线性
做长除有：
X ( z ) z 1 2 z 2 nz n
所以有： x ( n ) nu ( n ) 可见，长除法是将 Z 变换分解成一个累加序列 然后总结规律。
2、部分分式展开法
这一方法同拉氏反变换中的方法基本相同 例：求
X ( z)
X ( z)
z2
z2 z 2 1.5 z 0.5 的逆变换
9.2 Z变换
1、Z变换的引出
从采样信号的拉氏变换出发：
X (s)
0
x ( t ) ( nT s )e st dt
，其中，T s 为采样间隔。
于是有：
X (s)
x ( n ) e snt s
n0
如果令 z
X (z)
e st s
，则： ，当采样间隔取 1 时，z
介绍了Z变换的收敛域的确定方法 在逆Z变换的方法中，我们有选择地介绍 了长除法和部分分式法，其中部分分式 法的过程同拉氏变换中的部分分式法是 相同的。 最后我们介绍了拉氏变换的S空间同Z变 换的Z空间之间的映射关系，它们之间是 一种典型的复变函数关系。
N N
，
等比无穷序列要收敛，要求后项与前项的比值的 模必须小于 1，即要求 | z | 1 ，有：
z变换
半径和以|z2|为半径的两个圆之间的环状区域。
(5) 不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其双边Z变换不是 一一对应的。序列的双边Z变换连同收敛域一起与序列才是一 一对应的。
第 4 章 Z变换
ZT的ROC及其零极点
(1) ROC不包含任何极点； (2) 右边序列ZT的ROC 是以模最大的有限极点的模为半径的圆 外区域（不包括圆周）。
z
1
z
1
α<|z|<∞
f (k ) F ( z )
f (0) lim F ( z )
第 4 章 Z变换
4.3 Z 逆 变 换
4.3.1 双边Z逆变换的定义
1 k 1 f (k ) F ( z ) z dz C 2j
第 4 章 Z变换
4.3.2 双边Z逆变换的计算
(k m) z
k
z
m
第 4 章 Z变换 (3) f (k ) u (k ).
F ( z)
(4) f (k ) u(k 1).
k
u (k ) z
k
z z 1
k
|z|>1
F ( z)
k
[u(k 1)]z a u (k ) z
第 4 章 Z变换 3. 序列乘ak(Z域尺度变换)
若f (k ) F ( z), a z , 则
z a f (k ) F a
k
aa z a
a0
式中，a为常数（实数、虚数、复数），
第 4 章 Z变换 4. 序列域卷积 若
f1 (k ) F1 ( z ) f 2 (k ) F2 ( z )
7.4 z变换
Tz z z 1 2 2 Z[ x( t T ) x( t )] Z[2Tt T ] 2T T T z 2 ( z 1) z 1 ( z 1)2
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
Z变换
z
−n
收敛域的充分条件为
x n=− ∞
∞
n z−n < ∞
∑ 判定正项级数 an 是否收敛？
正项级数
n=−∞
⎧< 1 收敛
①比值判别法：lim an+1 = ρ = ⎪⎨= 1
a n→∞ n
⎪⎩> 1
不一定 发散
⎧< 1
②根式判别法：lim n n→∞
an
= ρ = ⎪⎨= 1 ⎩⎪> 1
① n1 ≥ 0 时，序列的收敛域为：z > 0，包括 z = ∞ 点； ②n2 ≤ 0时，序列的收敛域为：z < ∞，不包括 z = ∞点；
③n1 < 0, n2 > 0时，序列的收敛域为：0 < z < ∞
§8.1 Z变换
6. 右边序列的Z变换收敛域至少为：∞ > z > Rx1
x(n)定义在 n ≥ n1 上。根据 n1值不同，可分为以下两种情况：
§8.1 Z变换
7①．x(左nn)2边定≤序义0n列时在2 ，的n 序Z≤变n列2换上为的。反收+根因∞ 敛据果域n序2至值列少不，为同收：，敛0可域< 分的z <为形R以式x2 下为两：种z <情R况x2： Z ⎡⎣x (n)⎤⎦ = ∑ x (n) z−n = ∑ x (−n) z，n 根据级数收敛的判别方法，
=
z2
zβ sinω0 − 2βz cosω0
+
β2
(z
>
β
)
§8.1 Z变换
[例1]：求下列各序列的Z变换
①δ (n − m)(m > 0)
n=+∞
第三章 Z变换
n
x[n] re
j n
可见，x[n]的z变换：指数序列r-n乘以x[n]后的傅立叶变换。 当︱z︱=1，即 r = 1时，z变换就是傅立叶变换。 z变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是z变换的特例；
z平面： z 1 称为单位圆 傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换 傅立叶变换的周期性解释
1 x [ n ] u[n] 通过比较可直接得到其反变换： 2
n
特点：简单求解
3.3.2 部分分式展开法 对于任意有理函数形式的X(z) -------- 主要方法 通常的X(z)表示形式： （z-1多项式之比）
或： M个零点（分子z的M次多项式） N个极点（分母z的N次多项式） z =0 的多重极点或零点 相同的有限值零点和极点数（包括z = 0，不包括z = ∞）
n
jn x [ n ] e
ejωz，傅立叶变换X (ejω)z变换X(z) 将复变量z表示成极坐标形式：z = rejω z变换可以写成：
X ( z ) X ( re ) 或 X ( re )
j n n -jn x [ n ] r e j
为方便部分分式展开，可将X(z)表示为：
ck -------- M个非零零点； dk -------- N个非零极点； 若M ＜ N，且极点都是一阶的，则可以进行部分分式展开：
式中系数Ak求法：
例子：
1 1 极点：z ， z 2 4
（一阶）
零点：z =0 （二阶） 右边序列 部分分式展开：
z变换的收敛域： （region of convergence, ROC） 对给定的序列x[n]， 所有满足下列不等式的z值
n
z变换
第四章 Z 变换1 Z 变换的定义 (1) 序列)(n x 的ZT ：[]∑∞=-==0)()()(n nzn x n x Z z X(2) 复变函数)(z X 的IZT ：[])()(1z X Z n x -=，s e z =是复变量。
(3) 称)(n x 与)(z X 为一对Z 变换对。
简记为)()(z X n x ZT⇔或 )()(z X n x ⇔(4) 序列的ZT 是1-z 的幂级数。
n z -代表了时延，1-z 是单位时延。
(5) 单边ZT ：[]∑∞=-∆==0)()()(n nzn x z X n x Z(6) 双边ZT ：[]∑∞-∞=-∆==n nB B zn x z X n x Z )()()(2 ZT 收敛域ROC定义：使给定序列)(n x 的Z 变换)(z X 中的求和级数收敛的z 的集合。
∑∞-∞=-n nzn x )(收敛的充要条件是它∞<∑∞-∞=-n nzn x )((3) 有限长序列的ROC序列)(n x 在1n n <或2n n >(其中21n n <)时0)(=n x 。
收敛域至少是∞<<z 0。
序列的左右端点只会影响其在0和∞处的收敛情况： 当0,021><n n 时，收敛域为∞<<z 0(∞=,0z 除外)当0,021≤<n n 时，收敛域为∞<≤z 0(∞=z 除外) 当0,021>≥n n 时，收敛域为∞≤<z 0(=z 除外)右边序列的ROC序列)(n x 在1n n <时0)(=n x 。
如果01=n ，则序列为因果序列。
ROC 的情况：当01≥n 时，ROC 为∞≤<z R x 1； 当01<n 时，ROC 为∞<<z R x 1。
左边序列的ROC序列)(n x 在2n n >时0)(=n x 。
如果12-=n ，则序列为反因果序列。
第三章--Z变换(数字信号处理)
R
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
z变换公式
z变换公式什么是z变换z变换是一种离散信号处理中常用的数学工具，用于描述数字信号在复平面上的变换。
它通过将离散时间序列转换为连续时间函数，可以对离散信号进行频域分析和滤波等操作。
z变换的定义如下：假设x[n]是一个离散时间序列，其中n为整数，z为复平面上的变量。
那么x[n]的z变换X(z)定义为：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)其中，∑表示求和，x[n]表示离散时间序列的值，z^(-n)表示z的幂次方。
z变换的性质z变换具有多种性质，这些性质对于分析和操作离散信号非常有用。
以下是一些常见的z变换性质：如果x1[n]和x2[n]是两个离散时间序列，a和b是常数，那么有：a * x1[n] +b * x2[n] 的z变换为 a * X1(z) + b * X2(z)其中，X1(z)和X2(z)分别为x1[n]和x2[n]的z变换。
位移性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - n0]的z变换为 z^(-n0) * X(z)。
这个性质表示，对离散时间序列进行向右或向左位移，相当于在z变换域中乘以一个因子 z^(-n0)。
延迟性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - 1]的z变换为 z^(-1) * X(z)。
这个性质表示，对离散时间序列进行一阶延迟，相当于在z 变换域中乘以一个因子 z^(-1)。
如果x[n]的z变换为X(z)，那么a^n * x[n]的z变换为X(z/a)。
这个性质表示，对离散时间序列进行放缩操作，相当于在z 变换域中对变换函数进行放缩。
z变换的逆变换类似于傅里叶变换，z变换也有逆变换，可以将频域函数逆变换回时域函数。
如果X(z)是一个z变换，那么其逆变换x[n]可以通过下面的公式计算：x[n] = (1/2πj) * ∮(C) X(z) * z^(n-1) * dz其中，∮(C)表示沿着包围复平面单位圆的逆时针方向进行积分，j表示虚数单位。
z变换通俗理解
z变换通俗理解摘要：1.Z 变换的定义与背景2.Z 变换的性质3.Z 变换的应用领域4.Z 变换与其他变换的关系5.Z 变换的局限性及发展前景正文：Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。
它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
1.Z 变换的定义与背景Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。
Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。
2.Z 变换的性质Z 变换具有以下几个重要性质：（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。
3.Z 变换的应用领域Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。
例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。
4.Z 变换与其他变换的关系Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。
Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。
在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。
5.Z 变换的局限性及发展前景尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。
为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。
Z变换
f * t f nT t nT
n 0
其拉氏变换式为
L f * t F * s f nT e nTs
n 0
注意：
（1）z变换是对连续函数f*(t)采样后的采样函数f (S)的拉氏变换, 或用变量正z表示，则对取z正变换f*(t)表示为Z[F*(T)]=F(Z)。所以 f (Z)不是也不可能对连续函数f (t)取z变换。由于z变换只是在采样 点上的信号起作用，所以有时也简写成
用部分式分发求z变换之外,还有z变换的留数计算法。
三、Z反变换 如果已知Z变换式，要求其原函数。这一变换过程通常称作Z反 变换记为Z-1[F(z)]=ƒ*(t)。Z反变换一般有三种方法：因式分解法、 长除法和反演积分法。现分别阐述如下: 1、因式分解法（部分分式法） 先将变换式写成 的希望展开式，最后逐项查表或用计算的方法求其反变换。下面举 例来说明其具体处理方法。 7—3
上式的z变换为 F ( z ) z
a 2 2 s a 1 1 1 1 2 j 1 e jaT z 1 2 j 1 e jaT z 1
(sin aT ) z 1 z sin aT 2 1 (2 cos aT ) z 1 z 2 z 2 z cos aT 1
教学学时：2学时
第三节
Z变换
系统的分析中,采用微分方程和拉氏变换作为数学工具.而在采 样系统中则是用差分方程和z变换来描述与分析系统.所谓z变换,它 是由拉氏变换而来,属于一种线性坐标变换,它将差分方程化为代数 方程.是分析采样系统的主要数学工具。 一、Z变换的定义： f (t)经采样后的采样函数
Z f t nT Z F Z
n
Z变换
5.Z变换的基本定理
(1)线性定理
Z[ax(t)] aX(Z) Z[X1 (t) X2 (t)] X1 (Z) X2 (Z)
证明:由
X(Z) X(nT0 ) Z n 有
n 0 n
Z[aX(t)] aX(nT0 ) Z
n 0
a X(nT0 ) Z n aX(Z)
n 0
1 Z n lim n 1 Z 1
q Z 1 1 n a (1 q ) 1 Z 1 Sn 1 1 q
2）部分分式法 n Ai ①先求出系统连续部分的函数进行展开F ( s ) 形式 i 1 s p i ②逐项进行Z变换 a 例 求 1 1
Z k { X (0) X (T0 ) Z 1 ...... X [(k 1)T0 ]Z ( k 1) X (kT0 ) Z k X [( K 1)T0 ]Z ( k 1) ...... X (0) X (T0 ) Z 1 ...... X [(k 1)T0 ]Z ( k 1) ]} Z k [ X ( Z ) X (nT0 ) Z n ]
解：lim e(nT0 ) lim( Z 1) E ( Z )
t Z 1
lim (Z-1)
Z 1
0.792Z2 ( Z 1)( Z 2 0.416 Z 0.208)
1
四、Z变换
Z反变换是已知Z变换表达式F（Z），目的是由象函数F(z)求 出所对应的采样脉冲序列f*（t)，记做Z-1{F（Z）}=f*（t） Z反变换只能求出采样正数解中序列的表达式，而不能求出它 的连续函数的时间表达式， 常用Z反变换法 1.部分分式法（因式分解法，查表法）
数字信号处理2-Z变换
线性 ax(n)+by(n) aX(z)+bY(z)
移位 x(n-a)
z-aX(z)
尺度 anx(n) 相移 ejbnx(n)
反褶 x(-n)
X(z/a) X(1/z)
乘n nx(n)
-zdX(z)/dz
共轭 x*(n) x*(-n)
卷积 x(n)*h(n)
X*(z*) X*(1/z*)
X(z)H(z)
z
z n0
z
26
Z变换旳性质: 共轭对称性
序列
Z变换
x(n)
x(0) liXm(Xz)(z)
Rx
z
Re[x(n)]
x(0) li[mXX(z()z+)X*(z*)]/2 Rx z0
jIm[x(n)]
[X(z)-X*(z*)]/2 Rx
x() lim[( z 1) X ( z)]
[x(n)+x*(-n)]/2
收敛域与极点
X(z)收敛域以极点为边界，收敛域内没有极点
4
正、逆Z变换：收敛域
不同类型序列Z变换旳收敛域
x(n)类型 有限长
右边 因果
左边 逆因果
双边
x(n)定义域 n [n1, n2 ] X(z)收敛域
n1 0, n2 n1 > - , n2 0
z (0, ] z [0, )
n1 >- , n2
1 0.5z1
0.5 z 1 0.5z1 0.25z2
0.25 z 2 0.25z2 0.125z3
0.125z3
X1(z)
X2(z)
4.合并：
X1(z) 2z 2z2 2z3 2z4... X 2 (z) 1 0.5z1 0.25z2 16 z3...
(完整版)Z变换
对应的连续函数：
f (t) 2t 9*1(t) 20* 2t
8
如果不能分解为分母上带z的形式，利用
F1(z)
A1z A2 z z z1 z z2
L
An z z zn
F(z)z
或F（z）=F1（z）z-1，求F1（z）的Z反变换f1（k） 得到的f（k）=f1（k-1） 例： F(z) 1 表中没有
Z变换的特点：
1.得到的F（z）是z的幂多项式（有理分式），便于研究 2.z-1对应于（t-T）， z-k对应于（t-kT），
z-1时间上延迟一个周期， z-k延迟k步，便于差分方程描述
F（z）的表现形式：
F(z)
K (zm dm1zm1 L d1z d0 ) zn Cn1zn1 L C1z C0
F (z) KN (z) K (z z1)L (z zm ) D(z) (z p1)L (z pn )
mn
F(z)
k(znm
d znm1 m1
L
d0 zn )
1 cn1z1 L c0 zn
第三种形式在L变换中没有，用z-1描述
3
求Z变换方法
F(z)
1 1 eT
z 1
z
z eT
eT z1 1
4
2）部分分式展开法——查表法
F(s)
B(s) A(s)
b0sm b1sm1 L sn a1sn1 L
bm1s bm an1s an
n i1
Ai s pi
F (s)
C0
C1 s s1
f (t) 2t 9*1(t) 20* 2t
8
如果不能分解为分母上带z的形式，利用
F1(z)
A1z A2 z z z1 z z2
L
An z z zn
F(z)z
或F（z）=F1（z）z-1，求F1（z）的Z反变换f1（k） 得到的f（k）=f1（k-1） 例： F(z) 1 表中没有
Z变换的特点：
1.得到的F（z）是z的幂多项式（有理分式），便于研究 2.z-1对应于（t-T）， z-k对应于（t-kT），
z-1时间上延迟一个周期， z-k延迟k步，便于差分方程描述
F（z）的表现形式：
F(z)
K (zm dm1zm1 L d1z d0 ) zn Cn1zn1 L C1z C0
F (z) KN (z) K (z z1)L (z zm ) D(z) (z p1)L (z pn )
mn
F(z)
k(znm
d znm1 m1
L
d0 zn )
1 cn1z1 L c0 zn
第三种形式在L变换中没有，用z-1描述
3
求Z变换方法
F(z)
1 1 eT
z 1
z
z eT
eT z1 1
4
2）部分分式展开法——查表法
F(s)
B(s) A(s)
b0sm b1sm1 L sn a1sn1 L
bm1s bm an1s an
n i1
Ai s pi
F (s)
C0
C1 s s1
Z变换
E( Z )
1 1 e aT z 1
z (**) aT ze
1 (6)设E ( s) ,e (t )的z变换 : s( s 1)
用部分分式展开
n cn ci c1 c2பைடு நூலகம்B( s ) F ( s) A(s) s s1 s s2 s sn i 1 s si
4. Z变换的性质
（1） 线性定理
若 E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a为常数，则 Z[e1(t)+e2(t)]= E1(z)+ E2(z)，Z[ae(t)]=a E(z)
（2） 实数位移定理
若 E(z)=Z[e(t)]， 则 Z[e(t-kT)]=z-kE(z), Z[e(t+kT)]= z k [ E ( z ) e(nT ) z n ]
A(s)无重根
ci ( s si ) F ( s )
s si
进行部分分式展开，有
1 1 1 E ( s) s( s 1) s s 1 再取拉氏反变换
1 1 e( t ) L [ ] 1( t ) e t s s1
1
z z E ( z ) z[1( t ) e ] z 1 z e T z(1 e T ) ( z 1)(z e T )
t
A(s)有重根： s1有r重根 cr cr 1 c1 B( s ) F ( s) r r 1 A( s) ( s s1 ) ( s s1 ) s s1 cn cr 1 s sr 1 s sn
cr lim( s s1 ) r F ( s )
Z变换
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z 1
4 . 实数位移定理
设x(t)的Z变换为X(z)，则
滞后定理
Z[x(t kT)] zk X (z)
超前定理
k 1
Z[x(t kT)] zk [ X (z) x(mT )zm ] m0
5. 复数位移定理
设 x(t)的Z变换为X(z)，则
Z[x(t)e at ] X (ze aT )
例求
X (z)
0.5z
(z 1)( z 0.5)
的逆变换。
解 先将 X(z)/z 展开成部分分式
X (z)
0.5
1 1
z (z 1)( z 0.5) z 1 z 0.5
所以
X (z) z z z 1 z 0.5
查z变换表
0.693 t
x(t) 1(t) e T
查z变换表， 1 s
的z变换为
z z 1
1 s 1 的z变换为
z z eT
X (z) Z[x(t)] z z
z 1 z eT
(z
z(1 eT ) 1)(z eT
)
10.1.3 留数定理求Z变换
10.1.4 Z变换的性质
1. 线性定理
设 Z[x1(t)] X1(z)
x(t)
x* (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
例 10-22 求下列差分方程的解
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) u(k)
式中
0 x(k) 0 (k 0) u(k) 1
解 k 1 时代入方程得 x(1) 0
k 0 k 0
对差分方程进行Z变换，并考虑初始条件得
(z 2 3z 2)X (z) U (z)
故
x*
(t)
[1(t)
0.693 t
eT
] T
(t)
0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.3 Z变换求差分方程
对于一个控制系统的差分方程，首先利用Z变换，将差 分方程变换为以z为自变量，X(z)为因变量的代数方程， 解出X(z)后再进行Z逆变换，即可得到x(k)的值。
2) 将 z eTs代入 X *(s)得Z[x(t)]。
例1. 试求单位阶跃函数的z变换。
解：
Z[1(t)] 1(kT)zk 1 z1 z2
z
k 0
z 1
例2. 求函数 X (s) 1 s(s 1)
的z变换 .
解: X (s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
两端取Z变换得
(ao a1z 1 a2 z 2 an1z n1 an z n ) X o (z) (bo b1z 1 b2 z 2 bm1z m1 bm z m ) X i (z)
故离散控制系统的传递函数为
G(z) X o (z) bo b1 z 1 b2 z 2 bm1 z m1 bm z m X i (z) ao a1 z 1 a2 z 2 an1 z n1 an z n
U (z) u(k)z k 1 k 0
故 X (z 3z 2 z 1 z 2
又 Z[x(k 1)] zX (z) zx(0) zX (z)
注意 x(0)=0
Z[x(k 1)] z z z 1 z 2
2j S
等号右边的积分可按留数定理来确定，其中S表示包围
X (z)z k 1全部极点的封闭曲线，即
x(kT) 1 X (z)z k1dz
2j S
X (z)z k 1 极点处的留数
10.2.2 幂级数法求Z逆变换
X(z)一般可以表示为 两个有理多项式之比
X
(z)
bo zm ao zn
例 已知某系统的传递函数为 求系统的脉冲传递函数。
G(s) 10 s(s 10)
解： 将G(s)展开成部分分式之和得
G(s) 1 1 s s 10
查表得
z
z
G(z) z 1 z e10T
2.串联开环系统的脉冲传递函数
a. 串联环节之间有理想开关
G(z) G 1 (z)
x(kT) (t kT)
x(kT) (t kT) k 0
10.1.2 根据定义求Z变换
z变换的定义
x*(t) x(t) (t KT ) x(kT) (t KT )
k 0
k 0
进行Laplace变换
X * (s) L[x* (t)] x(kT)ekTs k 0
G(z) 称为脉冲传递函数。脉冲传递函数的求法如下
1. 求出系统的传递函数G(s);
2. 求出脉冲响应函数
xo (t), {xo (t) L1[G(s)]}
3. 计算
G(z) xo (kT)z k k 0
或求出系统传递函数G(s)后，将G(s)展开成部分分式之和， 查Laplace变换与Z变换对应表，即可得到系统的脉冲传递 函数。
G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) x01(t) Xi (z)
x*01(t) X01(z)
G 2 (s)
xo* (t) Xo (s)
X o1 (z) G1 (z) X i (z)
X o (z) G2 (z) X o1 (z)
G1 (z), G2 (z) 分别为线性环节 G1 (s) 和 G2 (s)
G(z)
X o (z) Xi (z)
Z[G1 (s)G2 (s)] G1G2 (z)
G1G2 (z) 表示 G1(s)G2 (s) 先乘积后进行z变换。
两个线性环节相串联的开环系统，且环节之间无理想 开关隔开时，开环系统的脉冲传递函数等于两个环节 传递函数先乘积后再进行Z变换。 显然，当有n个环节相串联，且环节之间无理想开关隔 开时，此时系统开环脉冲传递函数等于n个环节传递函 数先乘积后再进行Z变换，即
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采样时刻 t=nT 时的值 x(nT).
例10-18 求 X (z) 0.5z
的逆变换。
(z 1)( z 0.5)
解 X (z)
0.5z
0.5z
(z 1)( z 0.5) z 2 1.5z 0.5
利用综合除法得
X (z) 0.5z 1 0.75 z 2 0.875 z 3 0.9375 z 4
xo(t)
保持器
0 1T 2T 3T 4T t
-3T -2T -T
图示为理想的单位脉冲序列 T (t)
0 T 2T 3T t
T (t) (t kT) k
采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号， 而单位脉冲串可以作为载波信号
调制过程可以表示为
T(t)
x(t) 调制器
Z[x(t)] Z[x*(t)] X (z) x(kT)zk k 0 x(0)z0 x(T )z1 x(2T )z2
求Z变换的一般步骤为
1) 先求采样信号x* (t) 的Laplace变换 X * (s) ，即
X * (s) x(kT)ekTs k 0
x* (t) 0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
考虑到z变换表中，X(z)在其分子上普遍有因子z，所 以应将 X(z)/z 展开成部分分式，然后将所得结果的每一 项都乘以z，即得X(z)的部分分式。
第10章 离散控制系统
10.1 Z变换 10.2 Z逆变换 10.3 Z变换求差分方程 10.4 脉冲传递函数 10.5 有零阶保持器的开环脉冲传 递函数 10.6 闭环脉冲传递函数 10.7 脉冲系统的稳定性分析
10.1 Z变换
10.1.1 采样器和保持器
普通的采样器每间隔T秒钟开关闭合一次，使输入信 号通过一次，即采样一次。
x*(t) x* (t) x(t) T (t) x(t) (t kT) k
在控制系统和工程实际应用中t<0时信号都为零 即 x(t) 0 ( t < 0 )
因此
x* (t) x(t) (t kT) k 0 x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
G(z) G1 (z)G2 (z)Gn (z)
b. 串联环节之间没有理想开关
G(z) = G 1G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) Xi (z)
x01(t)
G 2 (s)
xo*(t) Xo (s)
设 G(s) G1 (s)G2 (s) 则开环脉冲传递函数为
b1z m1 a1z n1
bm an
(n m)
对X(z)直接做长除法，用分母去除分子，并将商按z-1 的幂次排列
4 . 实数位移定理
设x(t)的Z变换为X(z)，则
滞后定理
Z[x(t kT)] zk X (z)
超前定理
k 1
Z[x(t kT)] zk [ X (z) x(mT )zm ] m0
5. 复数位移定理
设 x(t)的Z变换为X(z)，则
Z[x(t)e at ] X (ze aT )
例求
X (z)
0.5z
(z 1)( z 0.5)
的逆变换。
解 先将 X(z)/z 展开成部分分式
X (z)
0.5
1 1
z (z 1)( z 0.5) z 1 z 0.5
所以
X (z) z z z 1 z 0.5
查z变换表
0.693 t
x(t) 1(t) e T
查z变换表， 1 s
的z变换为
z z 1
1 s 1 的z变换为
z z eT
X (z) Z[x(t)] z z
z 1 z eT
(z
z(1 eT ) 1)(z eT
)
10.1.3 留数定理求Z变换
10.1.4 Z变换的性质
1. 线性定理
设 Z[x1(t)] X1(z)
x(t)
x* (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
例 10-22 求下列差分方程的解
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) u(k)
式中
0 x(k) 0 (k 0) u(k) 1
解 k 1 时代入方程得 x(1) 0
k 0 k 0
对差分方程进行Z变换，并考虑初始条件得
(z 2 3z 2)X (z) U (z)
故
x*
(t)
[1(t)
0.693 t
eT
] T
(t)
0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.3 Z变换求差分方程
对于一个控制系统的差分方程，首先利用Z变换，将差 分方程变换为以z为自变量，X(z)为因变量的代数方程， 解出X(z)后再进行Z逆变换，即可得到x(k)的值。
2) 将 z eTs代入 X *(s)得Z[x(t)]。
例1. 试求单位阶跃函数的z变换。
解：
Z[1(t)] 1(kT)zk 1 z1 z2
z
k 0
z 1
例2. 求函数 X (s) 1 s(s 1)
的z变换 .
解: X (s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
两端取Z变换得
(ao a1z 1 a2 z 2 an1z n1 an z n ) X o (z) (bo b1z 1 b2 z 2 bm1z m1 bm z m ) X i (z)
故离散控制系统的传递函数为
G(z) X o (z) bo b1 z 1 b2 z 2 bm1 z m1 bm z m X i (z) ao a1 z 1 a2 z 2 an1 z n1 an z n
U (z) u(k)z k 1 k 0
故 X (z 3z 2 z 1 z 2
又 Z[x(k 1)] zX (z) zx(0) zX (z)
注意 x(0)=0
Z[x(k 1)] z z z 1 z 2
2j S
等号右边的积分可按留数定理来确定，其中S表示包围
X (z)z k 1全部极点的封闭曲线，即
x(kT) 1 X (z)z k1dz
2j S
X (z)z k 1 极点处的留数
10.2.2 幂级数法求Z逆变换
X(z)一般可以表示为 两个有理多项式之比
X
(z)
bo zm ao zn
例 已知某系统的传递函数为 求系统的脉冲传递函数。
G(s) 10 s(s 10)
解： 将G(s)展开成部分分式之和得
G(s) 1 1 s s 10
查表得
z
z
G(z) z 1 z e10T
2.串联开环系统的脉冲传递函数
a. 串联环节之间有理想开关
G(z) G 1 (z)
x(kT) (t kT)
x(kT) (t kT) k 0
10.1.2 根据定义求Z变换
z变换的定义
x*(t) x(t) (t KT ) x(kT) (t KT )
k 0
k 0
进行Laplace变换
X * (s) L[x* (t)] x(kT)ekTs k 0
G(z) 称为脉冲传递函数。脉冲传递函数的求法如下
1. 求出系统的传递函数G(s);
2. 求出脉冲响应函数
xo (t), {xo (t) L1[G(s)]}
3. 计算
G(z) xo (kT)z k k 0
或求出系统传递函数G(s)后，将G(s)展开成部分分式之和， 查Laplace变换与Z变换对应表，即可得到系统的脉冲传递 函数。
G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) x01(t) Xi (z)
x*01(t) X01(z)
G 2 (s)
xo* (t) Xo (s)
X o1 (z) G1 (z) X i (z)
X o (z) G2 (z) X o1 (z)
G1 (z), G2 (z) 分别为线性环节 G1 (s) 和 G2 (s)
G(z)
X o (z) Xi (z)
Z[G1 (s)G2 (s)] G1G2 (z)
G1G2 (z) 表示 G1(s)G2 (s) 先乘积后进行z变换。
两个线性环节相串联的开环系统，且环节之间无理想 开关隔开时，开环系统的脉冲传递函数等于两个环节 传递函数先乘积后再进行Z变换。 显然，当有n个环节相串联，且环节之间无理想开关隔 开时，此时系统开环脉冲传递函数等于n个环节传递函 数先乘积后再进行Z变换，即
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采样时刻 t=nT 时的值 x(nT).
例10-18 求 X (z) 0.5z
的逆变换。
(z 1)( z 0.5)
解 X (z)
0.5z
0.5z
(z 1)( z 0.5) z 2 1.5z 0.5
利用综合除法得
X (z) 0.5z 1 0.75 z 2 0.875 z 3 0.9375 z 4
xo(t)
保持器
0 1T 2T 3T 4T t
-3T -2T -T
图示为理想的单位脉冲序列 T (t)
0 T 2T 3T t
T (t) (t kT) k
采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号， 而单位脉冲串可以作为载波信号
调制过程可以表示为
T(t)
x(t) 调制器
Z[x(t)] Z[x*(t)] X (z) x(kT)zk k 0 x(0)z0 x(T )z1 x(2T )z2
求Z变换的一般步骤为
1) 先求采样信号x* (t) 的Laplace变换 X * (s) ，即
X * (s) x(kT)ekTs k 0
x* (t) 0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
考虑到z变换表中，X(z)在其分子上普遍有因子z，所 以应将 X(z)/z 展开成部分分式，然后将所得结果的每一 项都乘以z，即得X(z)的部分分式。
第10章 离散控制系统
10.1 Z变换 10.2 Z逆变换 10.3 Z变换求差分方程 10.4 脉冲传递函数 10.5 有零阶保持器的开环脉冲传 递函数 10.6 闭环脉冲传递函数 10.7 脉冲系统的稳定性分析
10.1 Z变换
10.1.1 采样器和保持器
普通的采样器每间隔T秒钟开关闭合一次，使输入信 号通过一次，即采样一次。
x*(t) x* (t) x(t) T (t) x(t) (t kT) k
在控制系统和工程实际应用中t<0时信号都为零 即 x(t) 0 ( t < 0 )
因此
x* (t) x(t) (t kT) k 0 x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
G(z) G1 (z)G2 (z)Gn (z)
b. 串联环节之间没有理想开关
G(z) = G 1G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) Xi (z)
x01(t)
G 2 (s)
xo*(t) Xo (s)
设 G(s) G1 (s)G2 (s) 则开环脉冲传递函数为
b1z m1 a1z n1
bm an
(n m)
对X(z)直接做长除法，用分母去除分子，并将商按z-1 的幂次排列