Z变换

的脉冲传递函数， X o (z) G1 (z)G2 (z) X i (z)
所以串联环节的脉冲传递函数为
G(z)

X o (z) Xi (z)
G1 (z)G2 (z)
被理想开关隔断的两个串联环节的开环系统，其脉冲传递 函数等于两个串联环节各自的脉冲传递函数的乘积。
这个结论可以推广到有n个理想开关隔开的n个环节串联的开 环系统，这时，整个系统的开环脉冲传递函数等于每个环节 的脉冲传递函数的乘积， 即
z 1
4 . 实数位移定理
设x(t)的Z变换为X(z)，则
滞后定理
Z[x(t kT)] zk X (z)
超前定理
k 1
Z[x(t kT)] zk [ X (z) x(mT )zm ] m0
5. 复数位移定理
设 x(t)的Z变换为X(z)，则
Z[x(t)e at ] X (ze aT )
G(z)

X o (z) Xi (z)

Z[G1 (s)G2 (s)] G1G2 (z)
G1G2 (z) 表示 G1(s)G2 (s) 先乘积后进行z变换。
两个线性环节相串联的开环系统，且环节之间无理想 开关隔开时，开环系统的脉冲传递函数等于两个环节 传递函数先乘积后再进行Z变换。 显然，当有n个环节相串联，且环节之间无理想开关隔 开时，此时系统开环脉冲传递函数等于n个环节传递函 数先乘积后再进行Z变换，即

U (z) u(k)z k 1 k 0
故 X (z)
1
1 1
z 2 3z 2 z 1 z 2
又 Z[x(k 1)] zX (z) zx(0) zX (z)
注意 x(0)=0
Z[x(k 1)] z z z 1 z 2
例求
X (z)
0.5z
(z 1)( z 0.5)
的逆变换。
解 先将 X(z)/z 展开成部分分式
X (z)
0.5
1 1
z (z 1)( z 0.5) z 1 z 0.5
所以
X (z) z z z 1 z 0.5
查z变换表
0.693 t
x(t) 1(t) e T
10.2 Z逆变换
确定离散控制系统时间响应要进行Z逆变换 z逆变换记
Z 1[ X (z)] x*(t)
显然，z逆变换求出的是采样信号x*(t)，而不 是连续信号x(t).
10.2.1 逆变换公式
已知Z变换为X(z)，则可以证明在t=kT瞬时的采样函数值 x(kT)，可以用下式来确定。
x(kT) 1 X (z)z k1dz
两端取Z变换得
(ao a1z 1 a2 z 2 an1z n1 an z n ) X o (z) (bo b1z 1 b2 z 2 bm1z m1 bm z m ) X i (z)
故离散控制系统的传递函数为
G(z) X o (z) bo b1 z 1 b2 z 2 bm1 z m1 bm z m X i (z) ao a1 z 1 a2 z 2 an1 z n1 an z n
例 已知某系统的传递函数为 求系统的脉冲传递函数。
G(s) 10 s(s 10)
解： 将G(s)展开成部分分式之和得
G(s) 1 1 s s 10
查表得
z
z
G(z) z 1 z e10T
2.串联开环系统的脉冲传递函数
a. 串联环节之间有理想开关
G(z) G 1 (z)
例 10-22 求下列差分方程的解
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) u(k)
式中
0 x(k) 0 (k 0) u(k) 1
解 k 1 时代入方程得 x(1) 0
k 0 k 0
对差分方程进行Z变换，并考虑初始条件得
(z 2 3z 2)X (z) U (z)
xo(t)
保持器
0 1T 2T 3T 4T t
-3T -2T -T
图示为理想的单位脉冲序列 T (t)
0 T 2T 3T t

T (t) (t kT) k
采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号， 而单位脉冲串可以作为载波信号
调制过程可以表示为
T(t)
x(t) 调制器
G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) x01(t) Xi (z)
x*01(t) X01(z)
G 2 (s)
xo* (t) Xo (s)
X o1 (z) G1 (z) X i (z)
X o (z) G2 (z) X o1 (z)
G1 (z), G2 (z) 分别为线性环节 G1 (s) 和 G2 (s)
x(kT) (t kT)

x(kT) (t kT) k 0
10.1.2 根据定义求Z变换
z变换的定义


x*(t) x(t) (t KT ) x(kT) (t KT )
k 0
k 0
进行Laplace变换

X * (s) L[x* (t)] x(kT)ekTs k 0

Z[x(t)] Z[x*(t)] X (z) x(kT)zk k 0 x(0)z0 x(T )z1 x(2T )z2
求Z变换的一般步骤为
1) 先求采样信号x* (t) 的Laplace变换 X * (s) ，即

X * (s) x(kT)ekTs k 0
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采样时刻 t=nT 时的值 x(nT).
例10-18 求 X (z) 0.5z
的逆变换。
(z 1)( z 0.5)
解 X (z)
0.5z

0.5z
(z 1)( z 0.5) z 2 1.5z 0.5
利用综合除法得
X (z) 0.5z 1 0.75 z 2 0.875 z 3 0.9375 z 4
G(z) 称为脉冲传递函数。脉冲传递函数的求法如下
1. 求出系统的传递函数G(s);
2. 求出脉冲响应函数
xo (t), {xo (t) L1[G(s)]}
3. 计算

G(z) xo (kT)z k k 0
或求出系统传递函数G(s)后，将G(s)展开成部分分式之和， 查Laplace变换与Z变换对应表，即可得到系统的脉冲传递 函数。
2) 将 z eTs代入 X *(s)得Z[x(t)]。
例1. 试求单位阶跃函数的z变换。
解：

Z[1(t)] 1(kT)zk 1 z1 z2
z
k 0
z 1wk.baidu.com
例2. 求函数 X (s) 1 s(s 1)
的z变换 .
解: X (s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
故
x*
(t)

[1(t)

0.693 t
eT
] T
(t)
0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.3 Z变换求差分方程
对于一个控制系统的差分方程，首先利用Z变换，将差 分方程变换为以z为自变量，X(z)为因变量的代数方程， 解出X(z)后再进行Z逆变换，即可得到x(k)的值。
令 z esT 并将X*(s)改写成X(z)，则

X (z)

X *(s) s 1 ln z

X
*
(
1 T
ln
z)

x(kT)z k
T
k 0
称X(z)为 x* (t) 的z变换， 并以 Z[x* (t)] 表示 x* (t) 的z变换
因为在z变换中只考虑瞬时的信号，所以x(t)的z变换 与x*(t)的z 变换结果相同，即

b1z m1 a1z n1

bm an
(n m)
对X(z)直接做长除法，用分母去除分子，并将商按z-1 的幂次排列

X (z) Co C1z 1 C2 z 2 Cn z n Cn z n n0
上式的z反变换为
x*(t) Co (t) C1 (t T ) C2 (t 2T ) Cn (t nT )
2j S
等号右边的积分可按留数定理来确定，其中S表示包围
X (z)z k 1全部极点的封闭曲线，即
x(kT) 1 X (z)z k1dz
2j S
X (z)z k 1 极点处的留数
10.2.2 幂级数法求Z逆变换
X(z)一般可以表示为 两个有理多项式之比
X
(z)

bo zm ao zn
第10章 离散控制系统
10.1 Z变换 10.2 Z逆变换 10.3 Z变换求差分方程 10.4 脉冲传递函数 10.5 有零阶保持器的开环脉冲传 递函数 10.6 闭环脉冲传递函数 10.7 脉冲系统的稳定性分析
10.1 Z变换
10.1.1 采样器和保持器
普通的采样器每间隔T秒钟开关闭合一次，使输入信 号通过一次，即采样一次。
G(z) G1 (z)G2 (z)Gn (z)
b. 串联环节之间没有理想开关
G(z) = G 1G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) Xi (z)
x01(t)
G 2 (s)
xo*(t) Xo (s)
设 G(s) G1 (s)G2 (s) 则开环脉冲传递函数为

x*(t) x* (t) x(t) T (t) x(t) (t kT) k
在控制系统和工程实际应用中t<0时信号都为零 即 x(t) 0 ( t < 0 )
因此

x* (t) x(t) (t kT) k 0 x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
x(t)
x* (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
Z[x2 (t)] X 2 (z)
则
Z[a1x1 (t) a2 x2 (t)] a1 X1 (z) a2 X 2 (z)
2.初值定理
设函数x(t)的z变换为X(z)，并有极限 lim X (z) 存在 z
则 x(0) lim X (z) z
3. 终值定理 x() lim[X (z)(z 1)]
查z变换表， 1 s
的z变换为
z z 1
1 s 1 的z变换为
z z eT
X (z) Z[x(t)] z z
z 1 z eT

(z
z(1 eT ) 1)(z eT
)
10.1.3 留数定理求Z变换
10.1.4 Z变换的性质
1. 线性定理
设 Z[x1(t)] X1(z)
Z[1k ] z ; Z[2k ] z
z 1
z2
x(k 1) 1 2k (k 0,1,2,
故
x(k) 1 2k1 (k 1,2,3
10.4 脉冲传递函数
1. 脉冲传递函数的定义与求解
离散控制系统的瞬态过程，其通用差分方程为
ao xo (k) a1xo (k 1) an1xo (k n 1) an xo (k n) bo xi (k) b1xi (k 1) bm1xi (k m 1) bm xi (k m)
x* (t) 0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
考虑到z变换表中，X(z)在其分子上普遍有因子z，所 以应将 X(z)/z 展开成部分分式，然后将所得结果的每一 项都乘以z，即得X(z)的部分分式。