传统无功功率理论
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在α − β平面上， 矢量vα ， vβ 和iα ,iβ 可分别进一步合成电压矢量v和电流矢量i。 实际上vα ， vβ 和iα ,iβ 分别是v和i在α轴、β轴上的投影。在α − β坐标系中，两相总的瞬时功率为 P=vα iα +vβ iβ （3） Akagi将之写成点积的形式并定义为瞬时实功率 P=iα .vα +iβ .vβ 定义瞬时虚功率q q=iα ×vβ +iβ ×vα 率 q=vβ iα -vα iβ 将式（3）和（6）写成矩阵形式 p vα vβ iα q = vβ −vα iβ 将其写成反变换形式并分解如下 vα vβ −1 p vα vβ iα = vβ −vα q = vβ −vα iβ
T ip =1 T 0 iudt T 2 U dt T 0 1
2 u = U 2 u , iq =i-ip ;Q F = UIq = U 2 I 2 − U 2 IP = S2 − P2
P
(2-4)
式中，ip ，iq 分别是有功电流和无功电流；IP ,Iq 分别是ip ，iq 的有效值；u为电压有效值；S， R,QF 分别为视在功率，有功功率和无功功率。 由（2-4）可知：Q F 可以直接通过视在功率S和有功功率P来计算，而不需单独的无功功 率， 即可实现理论上的完全补偿。 可通过注入补偿电流i-ip 进行补偿， 使功率因数为1。 QF 是 个正值，不存在上述Q B 所示的问题。该定义没有进行傅立叶展开，它容易地被测量，在实 际量中也很容易得到应用， 但它没有如正弦波形下功率定义那样明确的物理定义， 不能提供
1
（2-3）
式中Q B 称为无功功率，为每次谐波分量无功的总和；DB 称为畸变功率，由不同频率的电压 电流产生；n 为谐波次数；UN IN 分别为 n 次谐波电压、电流的有效值；φn 为 n 次谐波电压、 电流间的夹角。 Q B 简单地把各次谐波的值相加，但每次谐波分量都含有不同的频率，且可能有不同的 相角因此式（2-2）的和并不能表达出整个瞬时功率的可逆分量。虽然每次谐波对应的Q n 都 有其清晰的物理Q意义，但它们之和Q B 却完全失去了其代表的物理意义。特别是当源和负载 之间存在着能量交换, Qn 为非零时， 而Q B 却可能为零。 这是公式在物理概念上的主要缺陷， 也是Budeanu传统无功功率值得争议的地方。另外，Budeanu 关于无功和失真率的定义，实 践证明，一直很难应用到现实的测量仪器中去。 2无功功率的时域分析建立在电流分解的基础上,无须傅立叶级数分解，以Fryze 为代表。 1932 年, Fryze 对无功电流和无功功率进行了时域分析，即把电流按照电压波形分解 成有功电流ip 和无功电流iq ，其中, ip 的波形与电压u 完全一致, ip iq 正交，其定义如下
传统无功功率理论
一、 正弦条件下的无功功率理论 在正弦系统的情况下，人们关于视在功率S，有功功率P，无功功率Q 的定义为： 设u t = 2 U sin （ωt) i(t)= 2I sin(ωt − θ) 则瞬时功率p(t )被定义为 P(t)=u(t).i(t)=p(1+cos 2ωt)+Qsin 2ωt 式中P 为有功功率，定义为P=UIcos θ ，为瞬时有功功率的平均值；Q 为无功功率，定义为 Q=UIsin θ，为瞬时无功功率的最大值。 二、非正弦条件下的无功功率理论 在非正弦情况下无功功率理论目前主要分为三种学派：一种是Budeanu定义采用频域分 析法，其定义已写入ANSI/IEEE标准1459-2000，无功功率表示为QB；另一种是Fryze定义采 用时域分析法,被国际电工协会IEC 推荐使用,无功功率表示为QF。 还有一种是以Akagi 提出 的瞬时无功理论。 以下是对这三种定义进行详细分析。 1 无功功率的频域分析建立在傅立叶级数分解的基础上，以 Budeanu 为代表。 1927 年，Budeanu 提出的同频率的电压、电流、功率定义如下 P= Un In cos φn （2-1） Q B = Un In sin φ= Q n （2-2） DB = (S 2 − P 2 − Q2 B )2
能改善功率因数至何种程度的信息，不能反映负载的情况。 3三相电路瞬时无功功率理论首先于1983 年由Akagi 提出，此后该理论经不断研究逐 渐完善。 三相电路瞬时无功功率理论以瞬时有功电流p和瞬时无功电流为基础。设三相电路各相 电压和电流的瞬时值分别为va 、vb 、vc 和ia 、ib 、ic（不考虑零序电压、电流），它们变换到 两相正交的α-β坐标系上,可得两相瞬时电压vα ，vβ 和两相瞬时电流iα ,iβ 。 vα vβ = iα iβ =
−1
(4) (5)
设α − β − γ为互相垂直的右手坐标系，则q与γ轴重合，定义q在γ轴的投影q为瞬时虚功 (6)
(7)
vα p + v 0 β
vβ −vα
−1
iα p iα q 0 = + q iβ p iβ q
（8）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
式中iα p ， iα q ,iβ p ,iβ q 分别被定义为α相和β相的瞬时有功过电流、 瞬时无功电流。 定义α相 和β相的瞬时有功功率、瞬时无功功率分别为该相瞬时电压与瞬时有功电流、瞬时无功电流 的乘积，并分别记为pα p 、pα q 、pβ p 、pβ q 。考察其与各相瞬时功率pα 、pβ 的关系，可得 pα =pα p +pα q （9） pβ =pβ p +pβ q pα p +pβ p =p pα q +pβ q =0 可见各相的瞬时无功功率对总的瞬时功率没有任何贡献， 而是在各相之间相互传递。 这 也是Akagi给出瞬时实功率、瞬时虚功率及各相瞬时无功功率、瞬时有功功率定义的依据。 该理论突破了传统， 得出用于有源电力滤波器的谐波和无功电流实时检测法。 平均值为 基础的功率定义，系统地定义了瞬时无功功率等定义。在三相三线制系统中，当三相电压无 零序分量时， 根据赤木理论所制成的补偿装置在供电系统三相电压不平衡的情况下， 其运行 特性不能满足设计要求，这已为实践所证实。
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va vb vc ia ib ic
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在α − β平面上， 矢量vα ， vβ 和iα ,iβ 可分别进一步合成电压矢量v和电流矢量i。 实际上vα ， vβ 和iα ,iβ 分别是v和i在α轴、β轴上的投影。在α − β坐标系中，两相总的瞬时功率为 P=vα iα +vβ iβ （3） Akagi将之写成点积的形式并定义为瞬时实功率 P=iα .vα +iβ .vβ 定义瞬时虚功率q q=iα ×vβ +iβ ×vα 率 q=vβ iα -vα iβ 将式（3）和（6）写成矩阵形式 p vα vβ iα q = vβ −vα iβ 将其写成反变换形式并分解如下 vα vβ −1 p vα vβ iα = vβ −vα q = vβ −vα iβ
T ip =1 T 0 iudt T 2 U dt T 0 1
2 u = U 2 u , iq =i-ip ;Q F = UIq = U 2 I 2 − U 2 IP = S2 − P2
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式中，ip ，iq 分别是有功电流和无功电流；IP ,Iq 分别是ip ，iq 的有效值；u为电压有效值；S， R,QF 分别为视在功率，有功功率和无功功率。 由（2-4）可知：Q F 可以直接通过视在功率S和有功功率P来计算，而不需单独的无功功 率， 即可实现理论上的完全补偿。 可通过注入补偿电流i-ip 进行补偿， 使功率因数为1。 QF 是 个正值，不存在上述Q B 所示的问题。该定义没有进行傅立叶展开，它容易地被测量，在实 际量中也很容易得到应用， 但它没有如正弦波形下功率定义那样明确的物理定义， 不能提供
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（2-3）
式中Q B 称为无功功率，为每次谐波分量无功的总和；DB 称为畸变功率，由不同频率的电压 电流产生；n 为谐波次数；UN IN 分别为 n 次谐波电压、电流的有效值；φn 为 n 次谐波电压、 电流间的夹角。 Q B 简单地把各次谐波的值相加，但每次谐波分量都含有不同的频率，且可能有不同的 相角因此式（2-2）的和并不能表达出整个瞬时功率的可逆分量。虽然每次谐波对应的Q n 都 有其清晰的物理Q意义，但它们之和Q B 却完全失去了其代表的物理意义。特别是当源和负载 之间存在着能量交换, Qn 为非零时， 而Q B 却可能为零。 这是公式在物理概念上的主要缺陷， 也是Budeanu传统无功功率值得争议的地方。另外，Budeanu 关于无功和失真率的定义，实 践证明，一直很难应用到现实的测量仪器中去。 2无功功率的时域分析建立在电流分解的基础上,无须傅立叶级数分解，以Fryze 为代表。 1932 年, Fryze 对无功电流和无功功率进行了时域分析，即把电流按照电压波形分解 成有功电流ip 和无功电流iq ，其中, ip 的波形与电压u 完全一致, ip iq 正交，其定义如下
传统无功功率理论
一、 正弦条件下的无功功率理论 在正弦系统的情况下，人们关于视在功率S，有功功率P，无功功率Q 的定义为： 设u t = 2 U sin （ωt) i(t)= 2I sin(ωt − θ) 则瞬时功率p(t )被定义为 P(t)=u(t).i(t)=p(1+cos 2ωt)+Qsin 2ωt 式中P 为有功功率，定义为P=UIcos θ ，为瞬时有功功率的平均值；Q 为无功功率，定义为 Q=UIsin θ，为瞬时无功功率的最大值。 二、非正弦条件下的无功功率理论 在非正弦情况下无功功率理论目前主要分为三种学派：一种是Budeanu定义采用频域分 析法，其定义已写入ANSI/IEEE标准1459-2000，无功功率表示为QB；另一种是Fryze定义采 用时域分析法,被国际电工协会IEC 推荐使用,无功功率表示为QF。 还有一种是以Akagi 提出 的瞬时无功理论。 以下是对这三种定义进行详细分析。 1 无功功率的频域分析建立在傅立叶级数分解的基础上，以 Budeanu 为代表。 1927 年，Budeanu 提出的同频率的电压、电流、功率定义如下 P= Un In cos φn （2-1） Q B = Un In sin φ= Q n （2-2） DB = (S 2 − P 2 − Q2 B )2
能改善功率因数至何种程度的信息，不能反映负载的情况。 3三相电路瞬时无功功率理论首先于1983 年由Akagi 提出，此后该理论经不断研究逐 渐完善。 三相电路瞬时无功功率理论以瞬时有功电流p和瞬时无功电流为基础。设三相电路各相 电压和电流的瞬时值分别为va 、vb 、vc 和ia 、ib 、ic（不考虑零序电压、电流），它们变换到 两相正交的α-β坐标系上,可得两相瞬时电压vα ，vβ 和两相瞬时电流iα ,iβ 。 vα vβ = iα iβ =
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(4) (5)
设α − β − γ为互相垂直的右手坐标系，则q与γ轴重合，定义q在γ轴的投影q为瞬时虚功 (6)
(7)
vα p + v 0 β
vβ −vα
−1
iα p iα q 0 = + q iβ p iβ q
（8）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
式中iα p ， iα q ,iβ p ,iβ q 分别被定义为α相和β相的瞬时有功过电流、 瞬时无功电流。 定义α相 和β相的瞬时有功功率、瞬时无功功率分别为该相瞬时电压与瞬时有功电流、瞬时无功电流 的乘积，并分别记为pα p 、pα q 、pβ p 、pβ q 。考察其与各相瞬时功率pα 、pβ 的关系，可得 pα =pα p +pα q （9） pβ =pβ p +pβ q pα p +pβ p =p pα q +pβ q =0 可见各相的瞬时无功功率对总的瞬时功率没有任何贡献， 而是在各相之间相互传递。 这 也是Akagi给出瞬时实功率、瞬时虚功率及各相瞬时无功功率、瞬时有功功率定义的依据。 该理论突破了传统， 得出用于有源电力滤波器的谐波和无功电流实时检测法。 平均值为 基础的功率定义，系统地定义了瞬时无功功率等定义。在三相三线制系统中，当三相电压无 零序分量时， 根据赤木理论所制成的补偿装置在供电系统三相电压不平衡的情况下， 其运行 特性不能满足设计要求，这已为实践所证实。