大学物理 马文蔚 课堂笔记15

B dS
S
+ + + + + + +
+ + + + + + + + +
B
N + + + + + + M + +
+ +
可知, 磁感强度B和闭合回路面积S的变化 都将引起磁通量的变化.
S
v + +
+ + + +
(i) 稳恒磁场中的运动导体（回路的有效面积S变化） 所产生的感应电动势 (ii) 导体不动，磁场 B 变化 所产生的感应电动势 电源电动势
上海师范大学
12 /15
§8 -3 自感和互感 一、自感电动势 自感 自感电动势：由于回路中有电流变化, 而在该回路自身中引起的感应电动势.
如图回路中有电流 I , 则穿过闭合回路的磁通量与电流成正比.

写成等式
BI
I
(1)
Φ LI
I
(2)
B
式中比例系数L称为自感.
1. 自感 L
1 2 πr hdr 由欧姆定律可得圆环中的感生电流为 dRe
i k πr 2
R
h
dI
i
dR e
kr 2
hdr k h rdr 2r 2
B
r dr
h
r
dr
上式对整个圆盘积分, 可得圆盘中的感应电流为
k h R I dI 0 rdr 2 1 kR 2 h 4
Ek 是非静电的电场强度
动生电动势
感生电动势
下面具体讨论这
两种感应电动势


Ek dl
I
l
闭合电路的总电动势
E k dl
Ek
+
2 /15
上海师范大学
§8.2
动生电动势和感生电动势
一、动生电动势 （磁场不变，导体运动）
动生电动势的非静电场力来源
如图, 导体在磁场中运动. 导体中的电荷(电子)所受的洛仑兹力为
r dr
h
r
dr
dB 所以 i ds k ds k ds k πr 2 S dt S S
圆环的电阻dRe为
L 1 L 1 2 πr dRe S S hdr
上海师范大学
10 /15
§8.2
动生电动势和感生电动势
圆环上的感生电动势为 圆环上的电阻为
+ + + + -+ + + + + + Fm + + + + -+ + + + O+ + +
v
动生电动势的方向与非静电场 Ek v B 的方向相同。
上海师范大学
3 /15
i
P
o
P Ek dl O (v B) dl
(1)
§8.2
上海师范大学
11 /15
d d (B S ) 感应电动势 i dt dt
§8 -3
自感和互感
d是dt时间内磁通量的变化
根据产生磁场B的原因不同, 还可以将感应电动势分为二种情况:

I(t) 1
B
设闭合回路的电流产生的磁场穿过自身的磁通量为.
如果磁通量随时间变化，则将在回路自身中产生感
Rl F
o
v
M
两边积分， 得 2 2 v dv t B l v0 v 0 mR dt
x
B 2l 2 ln ln 0 t mR
即
v v0 e
( B 2l 2 mR ) t
可见, 速度随时间指数衰减, 最后停止下来.
上海师范大学
6 /15
§8.2
动生电动势和感生电动势
已知 R, h, , B, dB/dt, 求 I 解 如图取一半径为r ,宽度为dr的圆环, 则
dB dB i E k dl dS dS L S dt S dt dB 因 和 S 平行 dt
圆环中的感生电动势的大小为
R
h
B
L Φ I
无铁磁质(如铁钴镍等)时 ,自感仅与线圈形状、大小、磁介质及 匝数N 有关. 当线圈有 N 匝时, 线圈的磁通匝数为: =N; 自感为: L=/ I . 自感的单位：国际单位制中为亨利(H). 1 亨利 = 1 韦伯 / 安培(1 Wb / A)
1mH 10 3 H , 1μ H 10 6 H
场方向垂直的平面上绕棒的一端转动；
解 如图所示，铜棒绕O点转动,
线元上产生的动生电动势为
+ + +
+ + + +B+ + + + +
d i ( v B) dl vBdl
L
整段铜棒上的电动势为
o v + + +
+ + O P
i
0
vBdl 0 lBdl
应电动势 ----- 这种现象称为自感.
B1
I2(t)
2
B2
11是I1在回路 1 中产生的磁通量; 12是I2在回路 1 中产生的磁通量; 22是I2在回路 2 中产生的磁通量;
I1(t)
11 12
22
21
21是I1在回路 2 中产生的磁通量;
回路1中的电流在回路2中产生磁通量变化, 引起感应电动势; 反过来回路2中的 电流在回路1中产生磁通量变化,引起感应电动势. 这Fra Baidu bibliotek现象称为互感.
B nI
穿过螺线管每一匝线圈的磁通量为
l
I
S
B
B S BS nIS
l
N 穿过螺线管的磁通匝数(磁链)为: NΦ NnIS N IS l 2 2 N N L S 2 lS n 2V 因此, 自感为 I l l
上海师范大学
o
x
方向沿ox 轴反向, 与运动方向相反, 表现为阻力.
5 /15
§8.2
动生电动势和感生电动势
B 2l 2 v 方向沿ox 轴反向 F IBl R 由牛顿第二定律，得到棒的运动方程为
B 2l 2 v dv m R dt
即
N
B
( F ma )
dv
B 2l 2 dt mR
(iii) 感应电流:
B
3匝
Ii
i
R

1 dΦ R dt
(iv) 感应电荷:
1 Φ2 1 qi dΦ (Φ1 Φ2 ) R Φ1 R
上海师范大学
1 /15
§8.2 动生电动势和感生电动势 磁通量随时间变化产生感应电动势和感应电流.
什么原因能引起磁通量的变化? 根据
+ + +
§8.2
感生电场和静电场的对比
(ii) 静电场是保守场 L dΦ dB (iii) 感生电场是非保守场 L Ek dl dt S dt dS 0 E静 0 (iv) 静电场由电荷产生；感生电场是由变化的磁场产生. Ek 0 (v) 静电场线有起点和终点；感生电场线是闭合曲线, 没有起点和终点.
感生电场是产生感生电动势的非静电场.
根据电磁感应定律和电动势的定义, 闭合回路中的感生电动势为
dΦ i Ek dl L dt
将
(3)
Φ

S
B dS
代入(2)式得感生电动势为 (4)
8 /15
d d i Ek dl B dS L dt dt S
L
+ +
1 BL2 2
上海师范大学
i 方向
(点 P 的电势高于点 O 的电势) 4 /15
例2 一导线矩形框的平面与磁感强度为 B 的均匀磁场相垂直.在此矩形框
上,有一质量为 m 长为
§8.2
动生电动势和感生电动势
其值较之导线的电阻值要大得很多. 若开始时, 细导体棒以初速度 v0 沿如图
l
动生电动势和感生电动势
在均匀磁场中, 长为L的导体,匀速直线运动，其动生电动势为
i vBdl vBl
0
(2)
例 1 一长为L 的铜棒在磁感强度为
求铜棒两端的感应电动势.
B 的均匀磁场中, 以角速度在与磁
+ + + + + + + + + P +dl + + + + + +
上海师范大学
14 /15
§8 -3
自感和互感
例1 如图是一长直密绕螺线管,长度为l, 横截面积为S, 线圈的总匝数为N,
管中均匀磁介质的磁导率为, 试求其自感L. (忽略边缘效应)
解 一般方法: 先设通有电流 I
螺线管密度(单位长度的线圈数) n=N/l,
求得 B
Φ
L
总匝数为 N
设线圈中的电流为I, 则螺线管内的磁感应 强度(P249)为 N
+P + + + B +++ + + + + + + + + +
i vBl
动生电动势的非静电场力是洛伦兹力.
非静电场强度
Fe
Ek v B
+ + + + Fm - + + + +O +
+-+
+ v+ +
+ +
+ +
2. 感生电动势: 导体不动, 磁场 B 变化产生的感应电动势称为感生电动势.
上海师范大学
9 /15
(i) E静 和 Ek 均对电荷有力的作用.

E静 dl 0
§8.2
动生电动势和感生电动势
例 3 设有一半径为R, 厚度为h 的铝圆盘, 其电导率为 . 把圆盘放在磁感强度
为B 的均匀磁场中, 磁场方向垂直盘面.设磁场随时间变化, 且dB/dt=k 为一 常量. 求盘内的感应电流值.（圆盘内感应电流自己的磁场略去不计）
洛伦兹力
+ + + + + +
B
+ P+ ++ + +
+ + + +
Fm (e) v B
导体两端带电，从而产生感应电动势.
非静电场力
Fm 非静电场强为 Ek v B e 设导体长为 l则导体两端的总动生电动势大小为
Fk Fm eEk
磁通量
B dS
S
磁通量变化产生感应电动势.
d 电磁感应定律: i dt
1. 动生电动势: 磁场B不变, 导体运动产生的感应电动势称为动生电动势.
i
P
o
P Ek dl (v B) dl
O
+ + +
在均匀磁场中作匀速运动的导体, 有
上海师范大学
动生电动势和感生电动势 d (4) 感生电动势 i Ek dl SB dS L dt 由于闭合回路是静止的, 回路所围的面积S不随时间变化, 因此(2)式可以写为 dB dB (5) i Ek dl dS Ek L S dt dt 可见, 只要空间存在变化的磁场B(t), 则同一空间就一定会有感生电场Ek存在. 感生电场Ek的方向与感生电势 i 的方向一致，由电磁感应定律确定.
所示的矩形框运动, 试求棒的速率随时间变化的函数关系.
l 的可移动的细导体棒MN;
矩形框还接有一个电阻R,
解 如图建立坐标，t时刻棒的速度为 v
棒中的动生电动势为 电动势方向由 感应电流为
i Blv
N
N
B Rl
M
Bl I R R
i
F
I
M
v
棒所受安培力为
B 2l 2 v F IBl R
§8.2
动生电动势和感生电动势
电磁感应定律
(i) 电磁感应定律: 当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时, 回路中会产 生感应电动势, 且感应电动势正比于磁通量对时间变化率的负值. 数学表达式:
i
dΦ dt
(ii) N 匝密绕线圈的感应电动势:
d i dt 其中 NΦ 称为线圈的磁通匝数（磁链）
dI dt dI dt
(4)
(5)
说明：自感在数值上等于回路中的电流随时间的变化率为一个单位时,
在回路中所引起的自感电动势的绝对值.
3. 自感的计算方法 对于形状简单的回路, 其自感可以由(1)式通过计算得到, 但对于形状不规 则的回路, 其自感通常是由实验测定. 4. 自感的应用 稳流 , LC 谐振电路, 滤波电路, 感应圈等 .
上海师范大学
13 /15
§8 -3
2. 自感电动势 L 由(1)式得
自感和互感
Φ LI
(1) (3)
dΦ dI dL L ( L I ) dt dt dt
当回路的形状、大小、周围介质都不随时间变化, L为常数, 则dL/dt=0 则自感电动势为
L L
L L
此时, 自感为
上海师范大学
7 /15
§8.2 麦克斯韦假设：
动生电动势和感生电动势
二、 感生电动势 （由磁场变化产生的电动势）
变化的磁场在其周围空间激发一种电场, 这个电场叫感生电场
Ek .
感生电场不是由电荷产生的, 但对置于其中的电荷有力的作用.
感生电场的电场线是闭合的. 感生电场在闭合回路中产生的电动势称为感生电动势.