高等数学习题详解-第8章二重积分

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高等数学习题详解-第8章二重积分

习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；(3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx y d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0；(5) ln Dx y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 2441004(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰；（2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)22220()aa y dy x y dx -+⎰⎰；(2)21220;xxdx x y dx +⎰⎰解：(1)224422320()248aa y aa a dy x y dx d r dr πππθ-+==⋅=⎰⎰⎰⎰. (2) 22sin 3122244cos 600001sin 3cos x x dx x y dx d r dr d πθπθθθθθ+==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011cos 111(cos )[(cos )(cos )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰ 532(21)1cos cos 4().3530πθθ--+=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：(1)22x y De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDyd σx⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；(4)222DR x y d σ--其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解：(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2)23112222221ln(1)ln(1)[ln(1)]221Dr r xy d d r rdr r dr rππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)222DR x y d σ--3cos 2222222022cos 12()230R R d R r rdr R r d ππθππθθθ--=-=--⎰⎰⎰3333221(sin )33R R R d πππθθ-=--=⎰.4. 求由曲面z =x 2+y 2与22z x y =+所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：21222220[()]().6DV x y x y d d r r rdr ππσθ=++=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.22201()2a aaax yx x aaa xe dx edy eedx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰所以2()211lim ().22a x y a a a De edxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰复习题8（A ）1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 2424004(,)(,).xyy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序： (1)d d 10(,)yyy f x y x ⎰⎰;(2)d d 2220(,)a ax x x f x y y -⎰⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．解：(1) 211d (,)d d (,)d y x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰.(2) 222222200d (,)d d (,)d aax x aa a y a a y x f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分：(1) e d x y Dσ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2D xy x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x３围成；(4) d d 22()Dx y x y +⎰⎰，D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin Dy σy ⎰⎰，D 由22y x π=与y =x 围成； (6)d (4)Dx y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；解: (1) 1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2)5322224211121129d d ()()2253151xDx x xy x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.(3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰. (5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)322200(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3RDR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=.4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰．解：由第四节例2以及2y =e x -是偶函数，可知2e d x x +∞--∞=⎰.6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线ey x 1=．(1) 求由曲线y =ln x ，直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．解：(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e yyyy y ye e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.（B ）1. 交换积分次序：(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；（2）0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰；(3) 224(,)x x f x y dy -⎰；(4) 110(,)dx f x y dy ⎰.解：(1) 3111(,)(,)x xydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.(3) 2242402(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+⎰⎰⎰.(4) 211121(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰.2. 计算积分2122x xxdx dy x y +⎰⎰.解：222sin sin 144cos cos 2220000cos cos xxx r dx dy d rdr d dr x y r πθπθθθθθθθ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 40sin ln 24(ln cos )cos 2d ππθθθθ==-=⎰. 3. 计算积分112201yy dy dx x y ++⎰⎰.解：111114cos 4cos cos 2222000sin sin [sin ]111yy r dy dx d rdr d dr dr x y r r ππθθθθθθθθ==-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 44001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d ππθθθθθθ=-⋅=+⎰⎰令cos t θ=,则原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222dt dt t t t t t =+=+=+++ln 213ln 213ln ln 22242224ππ=+--=-. 4. 设函数f (x )在区间0,1⎡⎤⎣⎦上连续，且1()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰. 解：设1'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=⎰，则.11111()()()[(1)()](1)()()(())xdx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-⎰⎰⎰⎰⎰21()111(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)22220F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--21[(1)(0)]22A A F F =-=. 5. 计算2Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2－y 2=1所围成的闭区域.解：11222022(13Dx yd dy ydx y y σ==+⎰⎰⎰⎰35122222011122(1)(1)(1)1)335150y d y y =++=⋅+=⎰. 6. 计算222y xdx e dy ⎰⎰.解：2222222240000211(1)220y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-⎰⎰⎰⎰⎰.7. 证明211()()d ()()d 1b x bn n a a adx x y f y y b y f y y n ---=--⎰⎰⎰，其中n 为大于1的正整数. 证：22()()d ()()b x b bn n aaaydx x y f y y dy x y f y dx ---=-⎰⎰⎰⎰11()()1bn b yax y f y dy n -=--⎰11()()d 1bn ab y f y y n -=--⎰。

第八章二重积分的计算

微积分
例12 计算
y sin( x 1) 2 x 1 dxdy, D : y x, y x 2 D
解 D {( x, y ) | 1 y 2, y 2 x y 2}
根据积分区域的特点应先对 x 后对 y 积分
y sin( x 1) I dy dx x 1 1 y2 sin( x 1) 但由于 x 1 -1 对 x 的积分求不出，无法计算，
积分时必须考虑次序
D {( x, y ) | 0 y 1,0 x y}
x e
D
1 0
2 y2
dxdy
dy x e
1 y 0 0
2
2 y2
dx
e y
2
1 y3 y2 2 dy e y dy 0 3 6
1 2 (1 ). 6 e
a 2a
2a
2a
微积分
例 7 求 ( x 2 y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
y x 和 x y 所围平面闭区域.
2 2
D
x y2
解两曲线的交点
y x (0,0) , (1,1), 2 x y
2
y x2
D {( x , y ) | 0 x 1, x y x 2 }
化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。
微积分
微积分

高等数学二重积分详解

在此区间内任取一点x，
过该点自下而上作一条平行于y轴的射线，先穿过的边界
y 1(x)
oax
bx
y 1(x) 是y的积分下限，
后穿过的边界 y 2 (x) 是y的积分上限。
第二种情形可同理讨论。
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。如下图：
y
D2 D1
D3
o
x
y
D2
D3
D1
射线和以极点为圆心的同心
圆，它们将区域D分成许多 o
A
小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域
i 的面积为：
r ri ri
i i
i

1 2
(ri

ri )2 i

1 2
ri2i
r ri

1 2
(2ri

ri
)ri i
ririi
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
先对x后对y积分：
I
1
dy
a 1 ( x)
c
D
D

b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
x
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓

第八章二重积分

D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解三角形斜边方程 x y 2
1
在 D 内有 1 x y 2 e,
故 ln( x y) 1,
D
o
12x
于是ln( x y) ln( x y)2,
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2 d .
即
0.4

I

0.5
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7 November 2019
第八章二重积分
第31页
9. 判断 ln(x2 y2)d x d y (0 1) 的正负.
x y 1
y
解：当 x y 1 时，
1
D
0 x2 y2 ( x y)2 1 1 O 1 x
第八章二重积分
例3. 判断积分
解: 分积分域为D1, D2 , D3, 则
原式 = 3 1 x2 y2 d x d y D1 D2 3 x2 y2 1d x d y
第25页
的正负号. y
D3 D2
O 1 32x
D1
舍去此项
猜想结果为负
D1 d x d y
但不好估计 .
π 3 2 π (4 3) π (1 3 2) 0
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第八章二重积分
第26页
4. 设函数
在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
(1) f (x, y) f (x, y), 则

高等数学第八章二重积分试题及答案

第八章多元函数积分学一、二重积分的概念与性质1．定义设()y x f ,是定义在有界闭区域D 上的有界函数，如果对任意分割D 为n 个小区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 对小区域()n k k ,,2,1 =∆σ上任意取一点()k k ηξ,都有()k nk k kd f σηξ∆∑=→1,lim存在，（其中k σ∆又表示为小区域k σ∆的面积，k d 为小区域k σ∆的直径，而k nk d d ≤≤=1max ）则称这个极限值为()y x f ,在区域D 上的二重积分记以()⎰⎰Dd y x f σ,，这时就称()y x f ,在D 上可积。

如果()y x f ,在D 上是有限片上的连续函数，则()y x f ,在D 上是可积的。

2．几何意义当()y x f ,为闭区域D 上的连续函数，且()0,≥y x f ，则二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,表示以曲面()y x f z ,=为顶，侧面以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积。

当封闭曲面S 它在xy 平面上的投影区域为D ，上半曲面方程为()y x f z ,2=，下半曲面方程为()y x f z ,1=，则封闭曲面S 围成空间区域的体积为()()[]σd y x f y x f D⎰⎰-,,123．基本性质（1）()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ,,（k 为常数）（2）()()[]()()σσσd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±,,,,（3）()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=12,,,D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ 其中21UDD D =，除公共边界外，1D 与2D 不重叠。

（4）若()()y x g y x f ,,≤，()D y x ∈,，则()()⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ,,（5）若()M y x f m ≤≤,，()D y x ∈,，则()⎰⎰≤≤DMS d y x f mS σ, 其中S 为区域D 的面积。

第八章二重积分

∫c d y∫ψ ( y)
1
d
ψ 2 ( y)
f (x, y) dx
变号时, 变号当被积函数 f (x, y)在D上变号由于
f (x, y) + f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) = 2 2
f1(x, y)
f2 (x, y) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
四、曲顶柱体体积的计算
设曲顶柱的底为
y = 2 (x)
z z = f (x, y)
1(x) ≤ y ≤ 2 (x) D = (x, y) a ≤ x ≤b
任取截面积为故曲顶柱体体积为平面截柱体的
y
D
O
a x0 b x y = 1(x)
V = ∫∫ f (x, y) dσ = ∫ A(x)记 d x
例4. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为
x2 + y2 = R2, x2 + z2 = R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 z = R2 x2
z
R
O
0 ≤ y ≤ R2 x2 (x, y) ∈ D : 0≤ x ≤ R 则所求体积为
D D
3. ∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫D f (x, y)dσ + ∫∫D f (x, y)dσ
D
1 2
σ 为D 的面积, 则
σ = ∫∫D1 dσ = ∫∫D dσ
5. 若在D上 f (x, y)≤ (x, y) , 则
∫∫D f (x, y) dσ ≤ ∫∫D (x, y) dσ
特别, 由于 f (x, y) ≤ f (x, y) ≤ f (x, y)

二重积分习题练习及解析ppt课件

(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续. 若D关于
y轴对称, f (x, y)对x为奇函数, 即
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
则
f ( x , y )dxdy 0, D
f (x, y)对x为偶函数, 即 D
f ( x , y ) f ( x , y ), ( x , y ) D,
D
n
0
i 1
4
f ( x , y ) d xOy平面上方的曲顶柱体体积 D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积. 3. 物理意义若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 它的面密度为连续函数 ( x , y ), 则它的质量M为:
M ( x , y ) d .
D
5
（二）二重积分的性质 (重积分与定积分有类似的性质) 性质1(线性运算性质) 设、为常数, 则
序后的积分限;
2. 如被积函数为 f ( x 2 y 2 ), f ( x 2 y 2 ),
y y f ( ), f (arctan ) 或积分域为圆域、扇形域、 x x
圆环域时, 则用极坐标计算;
18
3. 注意利用对称性质, 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应将积分域分割成几个子域, 使被积函数在每个子域中保持同一符号, 以消除被积函数中的绝对值符号.
y
1
1
y x2
O
1
x
20
2.利用对称性
例计算
x 2 y 2 a 2

( x 2 x 3 y 2)d .
2
解积分域是圆 x 2 y 2 a 2 , 故关于x、y轴、直线 y x 对称, 故将被积函数分项积分:

大学高数下--二重积分的计算课件

D x
解 :原式 2 4 3 3 tad n1 2co d s
A(1, 3) 22
0 法二: 积分区域关于 x 轴对称,
B(1, 3) 22
y关于y为奇函,数 x 原式 0
33
例4写出积分 f(x,y)dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D{(x,y)| 1xy 1x2,0x1}.
x－型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
3、其他情形
1) 如果积分区域 D 可表示为 x－型区域又可表
示为 y－型区域，且 f(x,y)在D 上连续，则有：
D f(x ,y )da b d x 1 2 (( x x ))f(x ,y )d y
2、极点O在D的边界上区域特征如图
()
,
D
0().
o
A
f(co , ssin )dd
D
d 0 ()f(c o ,ss i) n d .
29
二重积分化为二次积分的公式（３）
3、极点O在D的内部区域特征如图
()
D
02, 0(). o
A
f(co , ssin )dd
D
0 2 d 0 ()f(c o ,ss i) n d .
S { x , y ) ( | 0 x R , 0 y R } R 2R
{x0,y0} 显然有 D 1 S D 2
ex2y2 0,
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
25
三、利用极坐标系计算二重积分

第八章二重积分习题答案

第⼋章⼆重积分习题答案第⼋章⼆重积分习题答案练习题8.11.设D：0y ≤0x a ≤≤，由⼆重积分的⼏何意义计算d Dx y解：d Dx y=20rd πθ??=22201()2d a r πθ=--??2. 设⼆重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 126d rdr πθπ=?练习题8.21.2d Dx σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ??=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+= 2计算⼆重积分σd yx D)341(--，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd y x D)341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--=222(1)84xdx --=?3. 应⽤⼆重积分，求在xy 平⾯上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的⾯积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=4. 求旋转抛物⾯224z x y =--与xy 平⾯所围成的⽴体体积解： 2222220(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==习题⼋⼀．判断题1.d Dσ??等于平⾯区域D 的⾯积.（√）2.⼆重积分 100f(x,y)d ydy x ??交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ?（×）⼆．填空题1.⼆重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =12π12π.2.⼆重积分d d Dxy x y ??的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.⼆重积分1(,)ydy f x y dx ?交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy. 11(,)xdx f x y dy ?4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ?=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +??.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +??6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

高等数学习题详解-第8章二重积分[优质文档]

习题8-11. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)Dm x y d μσ=⎰⎰.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；(2)ln()Dx y d σ+⎰⎰与2ln()Dx y d σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；(2) (32)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；(3) 22()D xy x d σ+-⎰⎰,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；(4) 2Dx y d σ⎰⎰,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0； (5) ln Dx y d σ⎰⎰,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；(6)22Dx d σy ⎰⎰其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111111()()20.Dx y d dx x y dy xdx σ---+=+==⎰⎰⎰⎰⎰ (2) 222200(32)(32)[3(2)(2)]x Dx y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰223202220[224]4.330x x dx x x x =-++=-++=⎰(3) 32222222002193()()()248yy Dy x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰43219113.96860y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.Dx yd σ=⎰⎰(5) 44201041ln ln (ln ln )2(1)2110e De e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-⎰⎰⎰⎰⎰.(6) 122224111311122222119()()124642x x Dx x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域；(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1y x=所围成的闭区域；(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1221201(,)(,)(,).xx y ydx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 2441004(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(3) 12222111112(,)(,)(,).xyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 21111(,)(,).xdx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) 10(,)ydy f x y dx ⎰⎰；（2）2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3) ln 10(,)e xdx f x y dy ⎰⎰； (4) 123301(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解：(1) 111(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.(2) 222402(,)(,).y x ydy f x y dx dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰(3) ln 11(,)(,)y e xeedx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰(4) 123323012(,)(,)(,)yyxxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.解：11100037(623)(62).22V dx x y dy x dx =--=--=⎰⎰⎰5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6－z 截得的立体体积.解：3111222000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=⎰⎰⎰习题8-31. 画出积分区域，把二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是：(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2≤2x ；(3) 1≤x 2+y 2≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1. 解：(1) 20(,)(cos ,sin ).aDf x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 2cos 202(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθπσθθθ-=⎰⎰⎰⎰(3) 221(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=⎰⎰⎰⎰(4)12cos sin 0(,)(cos ,sin ).Df x y d d f r r rdr πθθσθθθ+=⎰⎰⎰⎰2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1)220)ady x y dx +⎰；(2)21;xxdx ⎰⎰解：(1)4422320)248aaa a dy x y dx d r dr πππθ+==⋅=⎰⎰⎰.(2) 2sin 31244cos 600001sin 3cos x x dx d r dr d πθπθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰244466400011c o s 111(c o s )[(c o s )(c o s )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθθ-=-=--⎰⎰⎰531cos cos 4()3530πθθ--=--+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：(1)22x y De d σ+⎰⎰,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1；(2) 22ln(1)Dxy d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)arctanDyd σx⎰⎰，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；(4)Dσ其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.解：(1) 22222100112(1).20xy r r De d d e rdr e e πσθππ+==⋅=-⎰⎰⎰⎰(2)23112222221ln(1)ln(1)[ln(1)]221Dr r xy d d r rdr r dr rππσθ++=+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 212(1)[ln 22](2ln 21)441r r r dr rππ+-=-=-+⎰. (3) 222244010133arctan arctan(tan ).32264Dy d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)Dσ3cos 22222022cos 12()230R R d R r d ππθππθθθ--==--⎰⎰⎰ 3333221(s i n )33R R R d πππθθ-=--=⎰. 4. 求由曲面z =x 2+y 2与z =所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x 2+y 2=1，因此，所围成的立体体积为：212220()]().6DV x y d d r r rdr ππσθ=+=-=⎰⎰⎰⎰习题8-41. 计算反常二重积分()x y De dx dy -+⎰⎰，其中D ：x ≥0,y ≥x .2. 计算反常二重积分222()Ddx dyx y +⎰⎰，其中D ：x 2+y 2≥1. 解：1.22201()2a aaax yx x aaa xe dx edy eedx e e ---------=-=-+-⎰⎰⎰所以2()211lim ().22a x y a a a De edxdy e e --+--→+∞-=-+-=⎰⎰2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-⎰⎰，得222211lim 2().2()2R Ddxdy x y R ππ→+∞=-=+⎰⎰复习题8（A ）1. 将二重积分d d (,)Df x y x y ⎰⎰化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解：(1) 12211221(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=⎰⎰⎰⎰(2) 244004(,)(,).yy xdx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰2. 交换下列两次积分的次序：(1)d d 10(,)yy f x y x ⎰;(2)d d 20(,)a x x y y ⎰;(3)d d +d d 12201(,)(,)xxx f x y y x f x y y -⎰⎰⎰⎰．解：(1)211d (,)d d (,)d x yxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰.(2) 200d (,)d d (,)d aaa a x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰.(3)1221201d (,)d +d (,)d d (,)d xxy yx f x y y x f x y y y f x y x --=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 计算下列二重积分：(1) e d x y Dσ+⎰⎰， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;(2) d d 2D xy x y ⎰⎰,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；(3) d d (1)Dx x y -⎰⎰,D 由y =x 和y =x３围成；(4) d d 22()Dx y x y +⎰⎰，D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin Dy σy ⎰⎰，D 由22y x π=与y =x 围成； (6)d (4)Dx y σ--⎰⎰，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2；解: (1) 1111111211111e d ()()()1x y x y x x x x Ddx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰.(2)5322224211121129d d ()()2253151xDx x xy x y dx x ydy x x dx ==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.(3) 3112430011117(1)d d (1)()325460x x Dx x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰⎰.(4)1122220()d d 4()xDx y x y dx x y dy -+=+⎰⎰⎰⎰33241201412124(2)4()33323330x x x x x x dx x =--+=--+=⎰. (5) 222200sin 12sin d (sin sin )y y Dy y dy dx y y y dy y y πππσπ==-⎰⎰⎰⎰⎰222222sin (cos )1(cos sin )10ydy yd y y y y ππππππ=+=+-=-⎰⎰. (6)322200(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3RDR x y d r r rdr R d ππσθθθθθθ--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰3222[2(sin cos )]430R R R πθθθπ=--=.4. 已知反常二重积分e d 2y Dx σ-⎰⎰收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一象限所围成的区域．解：设2249(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则22222200015555ed ()236144144144aaa a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰. 所以225e d lime d 144ay ya DD x x σσ--→+∞==⎰⎰⎰⎰. 5. 计算e d 2x x +∞--∞⎰．解：由第四节例2以及2y =e x -是偶函数，可知2e d x x +∞--∞=⎰.6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积．解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此，所围空间立体的体积为：222220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=⎰⎰⎰⎰.7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线ey x 1=．(1) 求由曲线y =ln x ，直线ey x 1=和y =0所围成的平面图形D 的面积；(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积．解：(1) 1ln (ln )12221e e e ee S xdx x x x =-=--=-⎰.(2) 221120013()()2220y y e yyyy y ye e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-⎰⎰⎰.（B ）1. 交换积分次序：(1) 311(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；（2）0112(,)y dy f x y dx --⎰⎰；(3) 224(,)x x f x y dy -⎰；(4) 110(,)dx f x y dy ⎰.解：(1) 3111(,)(,)x xydx f x y dy dy f x y dx -=⎰⎰⎰.(2) 01101221(,)(,)yxdy f x y dx dx f x y dy ---=⎰⎰⎰⎰.。

高等数学第八章习题解答

习题8.11. 设有一平面薄板（不计其厚度），占有Oxy 平面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q 。

解：据题意，薄板区域D 是Oxy 平面上的有界闭域，(,)x y μ是定义在D 上的面密度函数，那么用任意曲线把D 分成n 个可求面积的小区域12,,n σσσ ，以i σ∆表示小区域的面积，这些小区域构成了D 的一个分割T ，在每个i σ上任取一点(,)i i εη，那么电荷Q 即为D 上的一个积分和1(,)ni i i i Q u εησ==∆∑。

当d 足够小时，1(,)(,)ni i i i DQ u u x y d εησσ==∆=∑⎰⎰2. 下列二重积分表达怎样的空间立体的体积？试画出下列空间立体的图形：（1）()221Dx y d σ++⎰⎰，其中区域D 是圆域221x y +≤；解：（1）在圆域221x y +≤上以抛物面2221z x y =++为顶的曲顶柱体的体积。

（2）Dyd σ⎰⎰，其中区域D 是三角形域0,0,1x y x y ≥≥+≤；解：在三角形域D 上以平面z y =为顶的柱体的体积。

z 轴x 轴y 轴（1）（2） 3. 设12231()D I x y d σ=+⎰⎰, 其中D 1={(x , y )|-1≤x ≤1, -2≤y ≤2 ;又22232()D I x y d σ=+⎰⎰, 其中D 2={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤2}.试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2的关系.解 I 1表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =±1, y =±2以及z =0围成的立体V 的体积.I 2表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =0, x =1, y =0, y =2以及z =0围成的立体V 1的体积.显然立体V 关于yOz 面、xOz 面对称, 因此V 1是V 位于第一卦限中的部分, 故 V =4V 1, 即I 1=4I 2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1)Dd σσ=⎰⎰ (其中σ为D 的面积;证明由二重积分的定义可知,1(,)lim (,)ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰其中∆σi 表示第i 个小闭区域的面积. 此处f (x , y )=1, 因而f (ξ, η)=1, 所以 01lim lim ni i Dd λλσσσσ→→==∆==∑⎰⎰.(2)(,)(,)DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰ (其中k 为常数);证明 011(,)lim (,)lim (,)n ni i i i i i i i Dkf x y d kf k f λλσξησξησ→→===∆=∆∑∑⎰⎰1lim (,)(,)ni i i i Dk f k f x y d λξησσ→==∆=∑⎰⎰.(3)12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中D =D 1⋃D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域.证明将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域1i σ∆和2i σ∆,n 1+n 2=n , 作和1211122212111(,)(,)(,)n n ni i i i i i i i i i i i f f f ξησξησξησ===∆=∆+∆∑∑∑.令各1i σ∆和2i σ∆的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1，λ2), 则有1lim (,)n i i i i f λξησ→=∆∑121112221212011lim (,)lim (,)n n i i i i i i i i f f λλξησξησ→→===∆+∆∑∑,即 12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小:(1)2()Dx y d σ+⎰⎰与, 3()Dx y d σ+⎰⎰ 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线x +y =1所围成;解区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3≤(x +y )2, 从而3()Dx y d σ+⎰⎰≤2()Dx y d σ+⎰⎰.(2)2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰其中积分区域D 是由圆周(x -2)2+(y -1)2=2所围成;解区域D 如图所示, 由于直线x +y =1与圆(x -2)2+(y -1)2=2相切，故D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2, 因而 23()()DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰.(3)ln()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1,0), (1, 1), (2, 0);解区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而0≤ln(x +y )≤1, 故有 [ln(x +y )]2≤ ln(x +y ),因而 2[ln()]ln()+≤+⎰⎰⎰⎰DDx y d x y d σσ.(4)ln()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰其中D ={(x , y )|3≤x ≤5. 0≤y ≤1}.解区域D 如图所示, 显然D 位于直线x +y =e 的上方, 故当(x , y )∈D 时, x +y ≥e , 从而ln(x +y )≥1,因而 [ln(x +y )]2≥ln(x +y ),故 2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰.5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值:(1)()DI xy x y d σ=+⎰⎰, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解因为在区域D 上0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 所以 0≤xy ≤1, 0≤x +y ≤2, 进一步可得0≤xy (x +y )≤2,于是 0()2DDDd xy x y d d σσσ≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰,即 0()2Dxy x y d σ≤+≤⎰⎰.(2)22sin sin DI x yd σ=⎰⎰, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤π, 0≤y ≤π};解因为0≤sin 2x ≤1, 0≤sin 2y ≤1, 所以0≤sin 2x sin 2y ≤1. 于是可得 220sin sin 1DDDd x yd d σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰,即 2220sin sin Dx yd σπ≤≤⎰⎰.(3)(1)DI x y d σ=++⎰⎰, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤2};解因为在区域D 上, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2, 所以1≤x +y +1≤4, 于是可得 (1)4DDDd x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰,即 2(1)8Dx y d σ≤++≤⎰⎰.22(49)DI x y d σ=++⎰⎰, 其中D ={(x , y )| x 2+y 2 ≤4}.解在D 上, 因为0≤x 2+y 2≤4, 所以 9≤x 2+4y 2+9≤4(x 2+y 2)+9≤25.于是 229(49)25DDDd x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰,222292(49)252Dx y d πσπ≤++≤⋅⋅⎰⎰,即 2236(49)100Dx y d πσπ≤++≤⎰⎰.习题8.21. 化二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰为二次积分(写出两种积分次序).(1)D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 D 为矩形区域, 所以1111(,)(,)Df x y dxdy dx f x y dy --=⎰⎰⎰⎰,1111(,)(,)Df x y dxdy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰.(2)D 是由y 轴, y =1及y =x 围成的区域; 解若将D 表示为0≤x ≤1, x ≤y ≤1, 则 11(,)(,)xDf x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.若将D 表示为0≤y ≤1, 0≤x ≤y , 则 1(,)(,)yDf x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰.(3)D 是由x 轴, y =ln x 及x =e 围成的区域; 解若将D 表示为1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x , 则 ln 10(,)(,)ex Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰.若将D 表示为0≤y ≤1, e y ≤x ≤e , 则 1(,)(,)y eeDf x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰.(4)D 是由x 轴, 圆x 2+y 2-2x =0在第一象限的部分及直线x +y =2围成的区域; 解若将D 表示为0≤x ≤1,0y ≤≤1≤x ≤2, 0≤y ≤2-x , 则12201(,)(,)(,)xDf x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰⎰⎰.若将D 表示为0≤y ≤1; 12x y ≤≤-, 则 1201(,)(,)yDf x y dxdy dy f x y dx -=⎰⎰⎰⎰(5)D 是由x 轴与抛物线y =4-x 2在第二象限的部分及圆x 2+y 2-4y =0第一象限部分围成的区域. 解若将D 表示为-2≤x ≤0, 0≤y ≤4-x 2及0≤x ≤2,22y ≤≤ 则242222(,)(,)(,x Df x y dxdy dx f x y dy dx f x y --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,若将D 表示为0≤y ≤4, x ≤ 则 40(,)(,)Df x y dxdy dy f x y dx =⎰⎰⎰.2. 交换二次积分的次序:(提示: 交换二次积分的次序, 要先根据原积分写出积分区域不等式, 再根据不等式画出积分区域, 然后根据图形写出另一种形式的积分区域不等式, 最后由不等写出二次积分)(1)228812(,)(,)x xxdx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰⎰.解积分区域为D ={(x , y )|1≤x ≤2, x ≤y ≤x 2}⋃{(x , y )|2≤x ≤8, x ≤y ≤8}. 积分区域还可以表示为D ={(x , y )|1≤y ≤4,x ≤y }⋃{(x , y )|4≤y ≤8, 2≤x ≤y }, 于是原式=48142(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰.(2)12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.解积分区域为D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }⋃{(x , y )|1≤y ≤2, 0≤x ≤2-y }.积分区域还可以表示为xO y281D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤2-x }, 于是原式=120(,)x xdx f x y dy -⎰⎰. （3） 14(4)(,)y dy f x y dx -⎰⎰；解：积分区域{}2442,20|),(x y x x y x D -≤≤+≤≤=，214(4)040224(,)(,)(,);y x Dx f x y d dy f x y dx dx f x y dy σ---+∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4） 11(,)dx f x y dy ⎰；解：积分区域{}{212(,)|01,0(,)|12,0D x y y x y D x y y x =≤≤≤≤⋃=≤≤≤≤21212001(,)(,)(,)(,)y D D f x y d f x y d dy f x y dx dy f x y dxσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式（5）224(,)x x f x y dy -⎰⎰。

微积分第八章二重积分习题解答

第八章习题解答练习3．解：(1)在D 内显然有1x y +≥,所以在D 内有23()()x y x y +≤+ 故23()()DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰. (2)由已知可得BC 的直线方程为2,x y +=从而D 内有12, 0ln()1x y x y ≤+≤≤+< 所以2ln()[ln()]DDx y d x y d σσ+≥+⎰⎰⎰⎰.4．解: (1)114(,)x y x y D ≤++≤∈由于所以(1)4DDDd x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1)4(2D D D DS x y d S S D σ≤++≤=⎰⎰为面积）21)8Dx y d σ≤++≤⎰⎰（.(2) 因为229913(,)x y x y D ≤++≤∈所以229(9)134D D D DS xy d S S σπ≤++≤=⎰⎰2236(9)52Dx y d πσπ≤++≤⎰⎰.5. 因为(,)x y D ∈有1x y +≤，所以2()1x y +≤22121x y xy +≤-≤即所以22()0In x y +≤于是22()0DIn xy d σ+≤⎰⎰ 故I 取负号.练习1. 对.因为根据定理1有所以等式成立.2. (1)由已知的二次积分得积分区域2:12,1D x y x ≤≤≤≤ 推出D 由2,1,2y x y x ===围成；yxx y +=1y =xx写成y型区域:142D y x ≤≤≤≤故2211(,)x dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰241),(ydx y x f dy .（2）由已知得积分区域D 为：y x y y ≤≤≤≤，10推出D 由2,y x y x ==围成；写成x 型区域2:01,D x x y x ≤≤≤≤故1(,)ydy f x y dx =⎰⎰⎰Dd y x f σ),(=21(,)xxdx f x y dy ⎰⎰.（3）由已知得积分区域D 为：y x yy ≤≤≤≤121，推出D 由1,,2y y x y x===围成；将D 写成x 型区域1D :111,22x y x≤≤≤≤ 2D ：12,2x x y ≤≤≤≤故211(,)y ydy f x y dx ⎰⎰=12112(,)xdx f x y dy ⎰⎰+221(,)xdx f x y dy ⎰⎰.（4）由已知得积分区域D 由1D 和2D 构成1D : 01,0x y x ≤≤≤≤ 2D : 12,02x y x ≤≤≤≤-推出D 由,0,2y x y x y ==+=围成; 写成y 型区域:012D y y x y ≤≤≤≤-，故 12201(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-yydx y x f dy 210),(.3. (1)113233230(3)(3)Dx x y y d dx x x y y dy σ++=++⎰⎰⎰⎰x2x1xx=2y =2xx431011()1424x x x =++=.(2)3322112222(1)(1)Dyy d dx dy xy x y σ=++++⎰⎰⎰⎰=32112220011[]2(1)dy dx x y ++⎰⎰=110-⎰⎰（利用第六章公式）2)ln(1=-.(3)由已知推出D 由,0,y x y x π===围成；=[sin()]xx x y dx π+⎰322πππ=--=-. (4)D 为：2,,22y pp y p x p -≤≤≤≤ =222222py ppp x y dy -⎰=2422()88pp p y y dy p --⎰ 237502122838721p p p y y p p =⋅⋅-⋅⋅=. 4.(1) 因为222:D x y a +≤极坐标系下:020D r a θπ≤≤≤≤，所以20(,)(cos ,sin )aDf x y dxdy d f r r rdr πθθθ=⎰⎰⎰⎰(2)因为22:2D x y x +≤，即22(1)1x y -+≤ 将cos ,sin x r y r θθ==代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)xxyx 2p y -22y px=极坐标系下:02cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤，所以2cos 202(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.5. (1)已知:0,0D x R y ≤≤≤≤为推出D 由222,0,0x y R y x +===围成；极坐标系下:002D r R πθ≤≤≤≤，22()Rd f r rdr πθ=⎰⎰.(2)已知D为：02,0y R x ≤≤≤≤推出D 由222x y Ry +=即222(),0x y R R x +-==围成；将cos ,sin x r y r θθ==代入222x y Ry +=得222sin (2r R x y Ry θ=+=的极坐标方程)极坐标系下:002sin 2D r R πθθ≤≤≤≤，20(,)Rdy f x y dx ⎰2sin 200(cos ,sin )R d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰.6. (1)22:4D x y +≤极坐标系下:0202D r θπ≤≤≤≤，2208816sin cos 1633πππθθπ=-+=.(2)22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 极坐标系下:0012D r πθ≤≤≤≤，()(1)(2)42428ππππππ==-=-. (3) 222:2,0,0D x y x y +≤≥≥极坐标系下:0022D r πθ≤≤≤≤，5511(ln )4t t dt π=-⎰(5ln 54)4π=-.(4) 2222:4,0,0D x y x y ππ≤+≤≥≥x极坐标系下:022D r πθππ≤≤≤≤，2222(cos )(cos cos 4)44r ππππππ=-=-.练习8.31. (1) 22x y x y +≤+由，得22211()()22x y -+-≤ 令11,,22u x v y =-=-作变换11,,22x u y v =+=+ 101001J ==≠ 在变换下D 变成221:2D u v '+≤原积分20cos sin 1)d r r rdr πθθθ=++⎰220(sin cos )1242ππθπθθ=-+=.（2）令,,x yu v a b== 作变换,,x au y bv == 000a J ab b==≠ 在变换下D 变成22:1D u v '+≤原积分212222220(cos sin )d a r b r abrdr πθθθ=+⎰⎰22()4ab a b π=+. 2. 令 ,,y u x y v x =+= 作变换,,11u uvx y v v==++ 在变换下D 变成:D m u n a v b '≤≤≤≤2221()()()()212(1)(1)n b ma ub a n m v a b --=⋅-=+++. 习题81. 填空题（1）312I I I <<因为01y <<,所以122y y y <<；而30x <，于是133232y x yx y x <<，故312I I I <<.(2)()(1)()x x f x ϕ=- 所以()(1)()x x f x ϕ=-. (3)1k =31(0)k k =>，所以 1k =.(4)()x ϕ=因为0,y a x ≤≤≤≤推出D 为222x y a +=的上半圆；换积分次序有:,0D a x a y -≤≤≤≤所以()x ϕ=(5)11101()()xx dx x y dy dx x y dy ---++⎰⎰⎰⎰由12D D D =有11101()()()xx Dx y dxdy dx x y dy dx x y dy --+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(6)12((),())y y ϕϕ= 因为322311320(,)(,)([0,1])x x xxdx f x y dy dx f x y dy x x x =-∈≤⎰⎰⎰⎰由已知推出D 由32,y x y x ==围成；换积分次序有:01,D y x ≤≤≤所以原二次积分21111()()(,)(,)(,)y y dyf x y dx dy f x y dx dy f x y dx ϕϕ=-==⎰⎰⎰⎰故12((),())y y ϕϕ=.(7)a =因为:020D r a θπ≤≤≤≤，a33231,32a a ==，所以a =. (8)2()2()F t tf t π'=由积分区域222x y t +≤和被积函数22()f x y +的形式知用极坐标计算2()2()F t tf t π'=.2. 选择题 (1) C由已知有1410102002D S =⋅⋅⋅=, 据二重积分中值定理有22200(,)100cos cos D I f S ξηξη=⋅=++(,)D ξη∈又220coscos 2ξη<+<,得200200102100I << 即1.962I <<，故选C . (2) C因为2D 与1D 在第一象限重合，1D 关于x 轴、y 轴都对称，关于y 、x 都是偶函数，所以124I I =，故选C .(3) C因为:01,0D x y ≤≤≤≤1Dxydxdy dx =⎰⎰⎰, 故选C .(4) C已知:00cos 2D r πθθ≤≤≤≤ 由cos r θ=有2cos r r θ=得22x y x +=即22211()()22x y -+=，推出D 为22211()()22x y -+=的上半圆；所以:010D x y ≤≤≤≤于是cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰1(,)dx f x y dy ⎰，故选C .(5) B正确的是(,)(,)b d d baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰, 故选B .(6) D已知:0101D x y x ≤≤≤≤-,推出D 由1,0,0x y y x +===围成；换积分次序有:0101D y x y ≤≤≤≤-所以1100(,)xdx f x y dy -=⎰⎰110(,)y dy f x y dx -⎰⎰, 故选D .(7) C由1r =有21r =得221x y +=12DD S d d σσ==⎰⎰⎰⎰,1D 是D 在x 轴上方部分22221x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩交点：11)22- 故有1sin ,26πθθ== 于是S=1/6122D d d rdr πθσθ=⎰⎰⎰, 故选C .(8) A .B .C11212A I S ∆==⋅⋅=,(21)(43)1B I S ==-⋅-=矩, 211[()]122C I S ==--=矩,1441122D I S ∆==⋅⋅⋅=, 故选A .B .C .(9) A .B .C 因为(,)Df x y dxdy =⎰⎰常数，所以(,)0Ddf x y dxdy =⎰⎰，(,)0Df x y dxdy x ∂=∂⎰⎰ (,)0Df x y dxdy y ∂=∂⎰⎰，故选A .B .C . (10) C .D12121212(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(0)F F F F F F F F =⋅-⋅-⋅+⋅, 故选C .D .(11) C 已知:010D x y x ≤≤≤≤,推出D 由,0,1y x y x ===围成；换积分次序:011D y y x ≤≤≤≤1(,)x dx f x y dy ⎰⎰=110(,)ydy f x y dx ⎰⎰, 故选C .(12) B 因为22213D Ddxdy S πππ==⋅-⋅=⎰⎰，故选B . (13) B由已知显然有12D D S S =,但被积函数只是记号(,)f x y 不是具体解析式,而12D D D =,所以(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰,故选B .(14) A 设1234D D D D D = (如图)12:D D 图形关于y 轴对称，被积函数中cos sin x y 关于xxy 关于x 是奇函数；34:D D 图形关于x 轴对称，被积函数关于y 是奇函数；1234(cos sin )(cos sin )(cos sin )DD D D D xy x y dxdy xy x y dxdy xy x y dxdy+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112cos sin 002cos sin D D x ydxdy x ydxdy =++=⎰⎰⎰⎰, 故选A .(15) C 因为200()()[()]()[()]2x dx xf y dy xdx f y dy f y dy ππππππ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰2()12f y dy ππ==⎰,所以22()()f y dy f x dx πππ==⎰⎰, 故选C .(16) A1100()()()f r rdr rf r dr πθπ=⋅=⎰⎰, 故选A . (17) D 由已知22222(1)1y x y x x y =+=-+=有得推出D 由222x y x +=即22(1)1,x y y x -+==围成；将cos ,sin x r y r θθ==代入222x y x +=得222cos (2r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:02cos 42D r ππθθ≤≤≤≤(,)Df x y dxdy =⎰⎰/22cos /4(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰, 故选D .(18) C由已知的:001D r θπ≤≤≤≤推出D 为单位圆221x y +=的上半圆部分，所以直角坐标系下:110D x y -≤≤≤≤11(,)I dx f x y dy -=⎰, 故选C .(19) C 由已知的D 可知112x y ≤+≤,1ln 2ln ln()ln102x y -=≤+≤= 3()0ln x y +≤非正,3()0x y +>,3sin ()0x y +>而sin()x y x y +<+,于是333()sin ()()ln x y x y x y +<+<+所以132I I I <<, 故选C . (20) A由已知有:010D x y x ≤≤≤≤11002sin 2cos 22cos1xdx x ==-=-⎰, 故选A . 3. (1)由22(,)49f x y x y =++，22:4D x y +≤显然有(0,0)9m f ==最大值在边界2222x y +=上取得，即求22(,)49f x y x y =++满足2222x y +=的最值，将224y x =-代入有222()4(4)9325f x x x x =+-+=-+()60f x x '=-=令得唯一驻点 0x =，()6f x ''=-，(0)60f ''=-< 0x =是极大值点也就是最大值点，(0)25M f ==于是2294925(,)x y x y D ≤++≤∈ 所以229(49)25D D D S x y d S σ≤++≤⎰⎰,4D S π= 即2236(49)100Dxy d πσπ≤++≤⎰⎰故36100I ππ≤≤.(2) 因为2211(,)x y x y D e ≤+≤∈ 所以2211ln ln()ln10x y e-=≤+≤=221(1)()0DIn x y d e πσ--≤+≤⎰⎰所以1(1)0I e π-≤≤.(3) 由:0,0D x y ππ≤≤≤≤ 有22220sin sin sinsin 122x y ππ≤≤=于是2220sinsin D Dx yd S σπ≤≤=⎰⎰所以20I π≤≤.4．(1) 由:11,11D x y -≤≤-≤≤ 有1111(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ--=⎰⎰⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）1111(,)dy f x y dx --=⎰⎰.（先对x 积分，后对y 积分）(2) 将D 表示成x 型：1,10≤≤≤≤y x x(,)Df x y d σ⎰⎰11(,)xdx f x y dy =⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：y x y ≤≤≤≤0,10(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)ydy f x y dx =⎰⎰. （先对x 积分，后对y 积分）(3) 将D 表示成x 型：1,0x e y Inx ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)e Inxdx f x y dy =⎰⎰（先对y 积分，后对x 积分）将D 表示成y 型：01,y y e x e ≤≤≤≤(,)Df x y d σ⎰⎰1(,)yee dyf x y dx =⎰⎰（先对x 积分，后对y 积分）5.(1)积分区域为：x y x x -≤≤≤≤1,210 换成y 型：y x y D ≤≤≤≤0,210:11120(,)xxdx f x y dy -⎰⎰120(,)ydy f x y dx =⎰⎰+11102(,)ydy f x y dx -⎰⎰.(2) 第一项积分的积分区域1:01,0D x y ≤≤≤≤第二项积分的积分区域x y x D -≤≤≤≤20,21:222222(1)1y x y x x y =+=-+=由有即，22y x x =-=-+将两区域合并成区域D 并表示成y 型：1221(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰1201(,)ydy f x y dx -=⎰⎰.(3) 第一项积分的积分区域为211:0202D x y x ≤≤≤≤，,第二项积分的积分区域为2:20D x y ≤≤≤≤228y x y =+=由得，212y x =将两区域合并成区域D 并表示成y 型：21222(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰⎰2(,)dy f x y dx =⎰.(4) 积分区域:01,D x y ≤≤≤≤222211()24y x y x x y =+=-+=由得即，y =将D 表示成y 型域要分成三个区域123D D D 、、：1(,)dx f x y dy⎰221111112221122(,)(,)(,)yy dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.6.（1）:015D x x y x ≤≤≤≤ (x 型)3763767613102=⋅==⎰x dx x . (2)将D 表示成x 型分为：111111()()22e e e e e e e e=----+=-. (3) :022yD y x y ≤≤≤≤(y 型)432019113()24486y y =-=. (4):01,0D y x y ≤≤≤≤(y 型)110111()663t e e e--=-+=-. (5)2:01,D x x y x ≤≤≤≤(x 型)10sin1(sin1cos )1cos1x =-+=-.7. (1) :02,12D r θπ≤≤≤≤(2)由22221112210x y x y x y -+-=+--+=（）（）得将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++=或由22221112210x y x y x y -+-≤+--+≤（）（）得将cos ,sin x r y r θθ==代入有22(cos sin )10r r θθ-++≤2[(cos sin )]sin 2r θθθ-+≤，(cos sin )r θθ-+≤故极坐标系下:0,2D πθ≤≤cos sin cos sin r θθθθ+≤≤+8．(1) 由已知的:02D x x y ≤≤≤推出D 由,,2y x y x ===围成，tan 14y x x x πθθ====，tan 3y x πθθ==== 2cos 22sec (2x r r x θθ====由，有，得的极坐标方程)所以极坐标系下:02sec 43D r ππθθ≤≤≤≤故22sec 304()xdx f dy d f r rdr πθπθ=⎰⎰⎰.(2) 由已知的2:010D x y x ≤≤≤≤推出D 由2,0,1y x y x ===围成，将cos ,sin x r y r θθ==代入2,1y x x ==得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)sec (1r x θ==的极坐标方程)所以极坐标系下1:00sec 4D r πθθ≤≤≤≤故21sec sec tan 440(,)(cos ,sin )(cos ,sin )x dx f x y dy d f r r rdr d f r r rdrππθθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰sec sec tan 4000[(cos ,sin )(cos ,sin )]f r r rdr f r r rdr d πθθθθθθθθ=-⎰⎰⎰故21sec 40sec tan (,)(cos ,sin )x dx f x y dy d f r r rdr πθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰.9. (1)22:D x y x +≤,由2222211()()22x y x x y +≤-+≤有将cos ,sin x r y r θθ==代入22x y x +=得22cos (r x y x θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r ππθθ-≤≤≤≤2304sin 8(sin )5315πθθ=-=. (2) 将cos ,sin x r y r θθ==代入2y x =得2sec tan (r y x θθ==的极坐标方程)所以极坐标系下:00sec tan 4D r πθθθ≤≤≤≤4sec tan d πθθθ=⎰4sec 1πθ==.10. (1)1:12,D x y x x≤≤≤≤(x 型) 2211()x x dx x =-+⎰=42232119()()424x x x x dx -=-=⎰. (2) :3,D a y a y a x y ≤≤-≤≤(y 型)2y x =y22()Dxy d σ+⎰⎰=322()a y ay ady x y dx -+⎰⎰443333411()1434343a aa aa ay y a y aa -=-+=.(3) 由22222()()22R R x y Rx x y +≤-+≤有将cos ,sin x r y r θθ==代入22x y Rx +=得22cos (r R x y Rx θ=+=的极坐标方程)所以极坐标系下:,0cos 22D r R ππθθ-≤≤≤≤23302133R d R πθπ==⎰.11.由224(2)4x y yx y =-=--+有2:14,44D y y x y y ≤≤-≤≤-(y 型)23424119(54)(54)232y y y y dy y =--=--=⎰.12．由已知的:01,1D y y x ≤≤≤≤推出D 由,0,1y x y x ===围成，将D 表示成x 型：01,0x y x ≤≤≤≤221210111(1)222x x e dx e e ===-⎰. 13 .因为 22()DV x y dxdy =+⎰⎰ 而:01,01D x y x ≤≤≤≤- 所以 11220()x V dx x y dy -=+⎰⎰123011(6431)36x x x dx =--+=⎰. *14 .这题是求定积分，但积分难以进行. 注意到ln ln yb a byb aax x x x dy xx-==⎰，因此I 可化为二次积分.交换二次积分次序：11ln 1ln(1)ln(1)ln11bb aab dy y b a y a +==+=+-+=++⎰. *15 .将(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰两边同时二重积分而312100133D x S x dx ===⎰ 所以11(,)18D DDf x y dxdy xydxdy S ==-⎰⎰⎰⎰ 1(,)8Df u v dudv =⎰⎰即，所以1(,)8f x y xy =+.*16 .12D D D ={}21(,)(,),D x y x y D y x =∈≤，{}22(,)(,),D x y x y D y x =∈≥表示成不等式：21:11,0D x y x -≤≤≤≤53102462(2)5315x x x =-+=. *17 .12D D D ={}1(,)(,),D x y x y D x y π=∈+≥,{}2(,)(,),D x y x y D x y π=∈+≤表示成不等式：1:0,D x x y πππ≤≤-≤≤[cos()cos ](cos cos )2x dx x dx ππππππ=+---=⎰⎰.*18 .因为yx yedx +⎰,y x yedy +⎰都积不出来，所以在直角坐标系下积分无法计算；但注意到11()y x x yyxeef y++==，故用极坐标系来计算.将cos ,sin x r y θθ==代入1x y +=得1(1cos sin r x y θθ=+=+的极坐标方程)所以极坐标系下1:0,02cos sin D r πθθθ≤≤≤≤+sin cos sin 211(1)22e e θπθθ+==-. *19 . 由已知的12D D D =1:12,D x y x ≤≤≤≤，2:24,2D x y ≤≤≤≤推出D由,2y x y y ===围成，将D 表示成y 型：212,y y x y ≤≤≤≤224242(1)(1)ππππ=---=+.*20 .D 用直线y x =分割有12D D D ={}1(,)(,),0D x y x y D x y =∈-≤,{}2(,)(,),0D x y x y D x y =∈-≥表示成不等式：15:,0144D r ππθ≤≤≤≤11[cos()sin()sin()cos()]344344ππππππππ=-+++++-+-=*21 .由22222(1)1x x y y x y =+=+-=有即显然y型域易算:02,2D y x ≤≤-≤≤而2⎰2=⎰令1sin ,sin 1,cos y t y t dy tdt -==+= 所以Dydxdy ⎰⎰42π=-.*22 . 由22221131()()222x y x y x y +=++-+-=得令12x u -=，12y v -=有2232u v +=12x u =+，12y v =+，则 dx du dy dv ==()Dx y dxdy +⎰⎰11()22D u v dudv '=+++⎰⎰(1)D u v dudv '=++⎰⎰D '为2232u v +≤极坐标系下:02,0D r θπ'≤≤≤≤所以()Dx y dxdy +⎰⎰20cos sin 1)d r r rdr πθθθ=++⎰注意到,0cos 20=⎰θθπd .0sin 20=⎰θθπd故原积分2033.42d πθπ==⎰*23 .因为()f u 连续，所以必有()F u 存在且()()F u f u '=，由已知有3:11,1D x x y -≤≤≤≤ 因为226(1)()F x F x x +-+为x 的偶函数，所以226[(1)()]x F x F x x +-+为x 的奇函数. 故2222[1()]055DI x yf x y dxdy =++=-+=-⎰⎰. *24 .12D D D ={}1(,)(,),D x y x y D y x =∈≥,{}2(,)(,),D x y x y D x y =∈≥表示成不等式：1:0,0D y x y π≤≤≤≤ (y 型)2:0,0D x y x π≤≤≤≤ (x 型)*25.由二重积分中值定理得而222:D x y r +≤，所以2D S r π= 故21lim (,)r Df x y dxdy r π+→⎰⎰221lim (,)r r f rπξηπ+→=⋅⋅ 因为0r +→时区域D 趋于一点，所以(,)(0,0)ξη→又已知(,)f x y 在D 上连续，且(0,0)0f = 所以21lim (,)r Df x y dxdy r π+→⎰⎰(,)(0,0)lim(,)(0,0)0f f ξηξη→===.*26 .因为2()202x tt u x dt edu --⎰⎰2()22x x t u tdt e du --=-⎰⎰交换二次积分次序：:0,02xD u t u ≤≤≤≤ 所以2222++()2()20244lim lim 11xtxt u ut u x x x x x dt e dudu e dtee----→→---=--⎰⎰⎰⎰而+0x →时，2241~4x x e---+0x →时，220()()20()0x uut u t u du edt e dt du ----→=⎰⎰⎰⎰故原式2+()20200lim ()0()4xut u x du e dtx --→-=--⎰⎰ 或对于2()22x x t edt --⎰：令2x v t =-，则 2xt v =+，dt dv =2()22x x t edt --⎰=202v xedv --⎰22x v e dv --=-⎰于是原式2+20lim ()0xv x e dv x--→=⎰2+401lim 2x x e -→=-12=-. *27 .因为()0f x >，所以对于任意λ都有将上式展开得 2[()2]0()Df x dxdy f x λλ++≥⎰⎰而2222()DDdxdy dxdy b a λλλ==-⎰⎰⎰⎰ 因此221[]2()()0()DDdxdy b a f x dxdy f x λλ+-+≥⎰⎰⎰⎰( 对λ恒成立) 不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故21()()()bb aadx f x dx b a f x ≥-⎰⎰.*28 .设:,D a x b a y b ≤≤≤≤显然对于任意λ都有将上式展开得222[()][2()()]()0DDDg x dxdy f x g x dxdy f x dxdy λλ++≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (对λ恒成立)不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故222[()()]()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ≤⋅⎰⎰⎰.*29.方法1）2[()][()][()]bb baaaf x dx f x dx f y dy =⋅⎰⎰⎰而221()()[()()]2f x f y f x f y ≤+ 所以2[()]baf x dx ⎰()()Df x f y dxdy =⎰⎰2()()bab a f x dx =-⎰.方法2）因为2[()()]0f x f y -≥，所以2[()()]0D f x f y dxdy -≥⎰⎰:,D a x b a y b ≤≤≤≤即故22[()]()()bbaaf x dx b a f x dx ≤-⎰⎰.方法3）设:,D a x b a y b ≤≤≤≤显然对于任意λ都有将上式展开得22[()2()]0Df x f x dxdy λλ++≥⎰⎰ 即22()[2()]()0DDDdxdy f x dxdy f x dxdy λλ++≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (对λ恒成立) 不等式左边是关于λ的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故22[()]()()bbaaf x dx b a f x dx ≤-⎰⎰.注：还可利用 *28题结论：22222[()][()1]()1()()b b b b b a a a a a f x dx f x dx f x dx dx b a f x dx =⋅≤⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰.。

微积分第八章第七节二重积分

求用若干个小平顶柱体
和体积之和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
n
x
D
•
V f (i ,i ) i ，
i
i 1
极
限
曲顶柱体的体积 V lim 0
n
f (i ,i ) i .
i 1
y
(i ,i )
3
2.二重积分的定义
设二元函数 z f ( x, y) 是有界闭区域 D 上的有界
函数,若将 D任意分割成 n个小闭区域 1,2,,n,
0
2 x2
2
(1, 3 )
3
y2 2
dy
2
0
f ( x, y)dx
2
x2 y2 4
2
4 y2
o
x
dy
3
0
f ( x, y)dx .
26
利用对称性简化二重积分的计算
设积分区域D关于y 轴对称，
(1) 若f(x,y)关于 x 是奇函数，则有
y y f (x)
f ( x, y)d 0 ;
D
P( x, y)
D4 o
x
(xy cos x sin y)dxdy
D
29
(A) 2 cos x sin y dxdy
(B) 2 xy dxdy
D1
D1
y
(C) 4 ( xy cos x sin y)dxdy (D) 0
D1
D2 D1
解如图将 D 分为四部分 D1, D2 , D3 , D4 ,则: D3
(xy cos x sin y)dxdy
AD
10
二、二重积分的计算 1.在直角坐标系下计算二重积分如果积分区域为D ：1( x) y 2( x), a x b,

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习题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆=.任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D DD =，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

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例2 将二重积分化成二次积分 I f ( x, y)dxdy,
D
D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围.
1y
先对 y 积分
y =1– x
x
I dx f ( x, y)dy
x
0
1x
y = x –1
–1
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1
先对 x 积分
1y
D1
0
D2
x =1– y
I
6 a
1
rdr 2 2a a2 r 2 rdr
0 3a2 r 2
a0
2a
3 a
1
d (3a2 r 2 )
0 3a2 r 2
2a a2 r 2 d (a2 r 2 )
a0
6
3
4
2 3
6
2 3
a2.
优讲课堂
13
练习题
交换下列二次积分的次序:
1 2y
3 3 y
1. 0 dy0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx;
15
优讲课堂
6
例7 证明
b
dx
x ( x y)n2 f ( y)dy
1
b
(b
y)n1
f
(
y)dy.
aa
n1 a
证
b
dx
x
(x
y)n2
f
( y)dy
a
a
y b
y x
bdy b( x y)n2 f ( y)dx ay
a
D
b a
f
(
y)
n
1
1
(
x

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高等数学习题详解-第8章二重积分[优质文档]

微积分第八章第七节二重积分