第三节三重积分在球坐标系下的计算

M
0 ? ? ? 2?
0?φ ?π 4
a
r ?
φ?π 4
.
P164.10.(2) .
0
?
y
? ? ? I ?
2π
dθ
π
4 dφ
2acosφ
x
f (rsinφ cosθ , rsinφ sinθ , rcosφ) r 2sinφ dr
20200/4/16
0
0
??? 例4: 求 ( x2 ? y2 )dxdydz, ? : 锥面x2 ? y2 ? z2 与平 ? 面z ? a(a ? 0) 所围的立体.
圆锥面? 及? +d?
rsin ? d?
圆锥面?
2020/4/16
r
?
0
? d?
x
球面r+d r 圆锥面? +d?
y
16. 球面坐标下的体积元素
z 元素区域由六个坐标面围成：
半平面? 及?+d? ；
半径为r及r+dr的球面；
圆锥面? 及? +d?
rsin ? d?
d V ? r 2 sin? drd?d?
z r
sin
?d
?
r sin?dr
r
rd?
?
d?
? ? ? ? ? ? ? ? ???f (x, y,z)dxdydz ?
O
x ? d?
y
? ???f (r sin cos , r sin sin ,r cos )r 2 sin drd d .
?
2020/4/16
二、典型例题
适用范围 1) 积分域表面用球面坐标表示时 方程简单 ; 2) 被积函数用球面坐标表示时 变量互相分离
2020/4/16
1 ? : 球 x面? ? y? ? z? ? R及 平x ?面? , y ? ? , z ? ? 在 所 围成 。 的 z 区 域
求 I ? ???f ( x, y, z)dxdydz ?
任取球体内一点
对r: 从0? R积分,得半径
r
0
R
第一
y
x
2020/4/16
1 ? : 球 x面? ? y? ? z? ? R及 平x ?面? , y ? ? , z ? ? 在 所 围成 。 的 z 区 域
求 I ? ???f ( x, y, z)dxdydz ?
任取球体内一点
对r: 从0? R积分,得半径
?
对?: 从0? π 积分，得锥面
0
2
?
R
对? : 从0? π 积分，得球体
2
.
x
第一
y
2020/4/16
1 ? : 球 x面? ? y? ? z? ? R及 所 围成 。 的
求 I ? ???f ( x, y, z)dxdydz ?
π
dθ
2 dφ R f ?r 2 sin. φ dr
0
0
0
.
.
.
.
3 已 ? : 知x ? ? y? ? (z ? a )? ? a ? , x ? ? y? ? z? . 计
I ? ???f ( x, y, z)dxdydz ?
z 化为球系下的方程
?M? ?
r=2a cos?
? : 0 ? r ? 2a cos ?
求 I ? ???f ( x, y, z)dxdydz ? M
任取球体内一点
对r: 从0? R积分,得半径
r
对?: 从0? π 积分，
0
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
?
R
第一
y
.
x
2020/4/16
1 ? : 球 x面? ? y? ? z? ? R及 平x ?面? , y ? ? , z ? ? 在 所 围成 。 的 z 区 域
S
r =常数: 球面S
?r
0
? =常数:
x y
2020/4/16
球面坐标的坐标面
动点M(r,?,? )
z
C
r =常数: 球面S
? =常数: 锥面C
M
? =常数: 半平面P
S
?
P
0
?
.
x y
2020/4/16
16. 球面坐标下的体积元素 z
元素区域由六个坐标面围成：
半平面? 及?+d? ；
半径为r及r+dr的球面；
0
0
0
2020/4/16
2 球系下确定积分限练习
1 ? 为全球体 x ? ? y? ? z ? ? R ?
求 I ? ???f (x, y, z)dxdydz ?
? ? ? I ?
2π
dθ
π
dφ
R f ?r 2 sinφ dr
0
0
0
2 ? 为空心球体
.
添加 x ? ? y? ? z? ? R ? 为洞 ?
3 ? 为上半球体
4 ? 为右半球体
5 ? 为球体的第一、二卦限部分
2020/4/16
? ? ? I ?
2π
dθ
π
dφ
R R
f
?r
2
sinφ
dr
0
0
2
π
? ? ? I ?
2π
dθ
2 dφ R f ?r 2 sinφ dr
0
0
0
? ? ? I ?
π
dθ
π
dφ
R f ?r 2 sinφ dr
0
0
0
π
? ? ? I ?
???f (x, y, z)dxdydz ?
? ???f (r sin ? cos?, r sin ? sin ?, ? rcos ? ) r 2 sin? drd?d? x
r
?
0
? d?
2020/4/16
y
.
体积元素
dv ? r 2 sin ? drd? d? .
把三重积分的变量从直角坐 标变换为球面坐标的公式
三重积分在球坐标系下的计算
一、球面坐标系 二、典型例题
2020/4/16
一、球面坐标系
设 M ( x , y, z)为空间内一点 ,则点 z
M可用三个有次序的数 r ,? ,? 来确定 .z
r : 原点 O 与点 M 间的距离 ,
?
:
有向线段 所夹的角
OM ,
与.
z.轴. 正向
M(r,?,? )
? : 有向线段 OM在xOy面上
平x ?面? , y ? ? , z ? ?在 z区 域
当 f =1,
第一
I=V
任取球体内一点
对r: 从0? R积分,得半径
?
对?: 从0? π 积分，得锥面
0
2
对? : 从0? π 积分，得球体
2
R
y
.
x
.
π
π
? ? ? I ? 2 dθ 2 dφ R f (r sinφ cosθ ,r sinφ sinθ ,r cosφ)r 2 sinφ dr
? ? 解1: 在球面坐标系中计算 ? :0? r ? a , 0?
?
π ,
cos
4
??(?x2 ? y2 )dxdydz ?
? ? ? ? ? ? 2π
?d
π
4d
a
cos? r 4 sin 3 dr
0
0
0
? π a5.
10
0 ? ? ? 2π.
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解2 在柱面坐标系中计算
r
的投影向量与 x轴正向的夹
?
x ? rsin? cos?
0
y ? rsin? sin ?
?
y
y
z ? rcos?
x
这样的三个数 r ,x?,?叫做点 M的球面坐标N.
2020/4/16
球面坐标的坐标面
z
规定0 ? r ? ?? , 0 ? ? ? π, 0 ? ? ? 2π.
M
动点M(r,?,? )