8-1 第一节 多元函数的基本概念

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U ( p0 , δ ) = { p | pp0 < δ } = {( x, y ) | ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ }
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y δ p0(x0,y0) x 从几何图形看, U(p0,δ) ,δ)表示以点
p 0 ( x0, y 0 ) 为中心,δ>0为半径的圆的内
x → a ⇔ x1 → a1 , x2 → a2 ,..., xn → an ,
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由于线性运算和距离的引入,前面研究的邻域,内点,开集, 闭集等一系列概念都可定义.
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二. 多元函数的概念
1.多元函数的定义 多元函数的定义 在实际问题及科技活动中,经常遇到多个变量之间的依赖 关系.看下面的两个例子. 例1 椭圆的面积S取决于它的长,短半轴长a与b,它们之间有 如下关系 S=πab (a>0,b>0) 这里的a,b在一定范围内取定 一对数值(a,b)时,面积S的对应值就随之确定了.
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2. n 维空间 1.定义 定义 设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序
实数组( x1 , x 2 , L , x n ) 的全体所构成的集合,即
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X
在解析几何中通过直角坐标系, R2 (或 R3 )中的元素分别与 平面或空间中的点或向量建立一一对应,这样在 Rn 中的元素 也称为 Rn中的一个点或一个n维向量,而称 xi ( x1 , x 2 , L , x n )
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例3 求下列函数的定义域:
(1) z = 1 − x − y , ( 2 ) z = arccos x2 + y2 −1 2
y x+y=1 x
y
解:(1)要使根号内的数有意义, 因此函数的定义域为 {(x,y)| x+y-1≤0}图形为右所示 (2)要使
arccos x + y −1 2
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2.在Rn中定义线性运算 设x=( x1 , x 2 ,L, x n ) 在 中定义线性运算 中定义线性运算. y= ( y1 , y 2 ,L, y n ) 为Rn中任意两个元素,λ∈R
ρ(x,y),规定
ρ ( x, y ) = ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 + .. + ( xn − yn ) 2
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x − y = ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 + .. + ( xn − yn ) 2 = ρ ( x, y )
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4. Rn中变元的极限 中变元的极限 设x= ( x1 , x 2 ,L, x n ) a= (a1 , a 2 ,L, a n ) ∈Rn 如果 ‖x-a‖→0,则称变元x在Rn中趋于固定元a, 记作x→a
高
等 显然,n=1,2,3时,上述的规定与数轴上,直角坐标系下平面及空间 数 学 中两点之间距离一致. 电 子 Rn中元素x= ( x1 , x2 ,L, xn ) 与零元0之间的距离ρ(x,0),记 教 案
为‖x‖,即
2 2 x = x12 + x2 + .. + xn
结合向量的线性运算,我们得到
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Rn=R× R×... × R={( x1 , x 2 ,L, x n ) |xi∈R,i=1,2,..n} × × Rn中的元素,( x1 , x 2 ,L, x n ) 也用x表示,即x= ( x1 , x 2 ,L, x n ) 当所有的xi=0(i=1,2…n)时,称这样的元素为零元,记为0或O.
为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量,在 Rn 中的零元0 称为坐标原点或n维零向量.
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规定 x+y= ( x1 + y1 , x 2 + y 2 , L , x n + y n ) λx= (λx1 , λx 2 ,L, λx n ) 3. Rn中点x =( x1 , x 2 ,L , x n )和点y =( y1 , y 2 ,L, y n ) 之间的距离
围成平面区域的曲线称为该区域的边界,包括边界在内的区 域称为闭区域;不包括边界在内的区域称为开区域;包括部 分边界在内的区域称为半开区域.如果区域延伸到无穷远处, 称为无界区域,否则称为有界区域.
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二元函数的定义域: 2. 二元函数的定义域 二元函数中自变量x,y的取值范围称为函数的定义域.
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(多元函数微分法及其应用)
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案 一. 平面点集
1.平面点集 平面点集 当在平面上引入一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元
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第八章
第一节
多元函数微分法及其应用
多元函数的基本概念
n维空间
本章主要讨论二元函数的微分法及其应用.
部所有的点如果不强调邻域半径δ, 用U(p)表示点. P0的邻域
p E
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.
内点
外点
边界点
聚点
设E是平面上的一个点集,p是平面上的一个点 如果存在点p的某一个邻域U(p),使U(p)∈E,则 称p为E的内点.(如图).显然,E的内点属于E,但E的点不一定 是E的内点. E p
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它的轨迹是一个曲面.
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例如线性函数z=ax+by+c是一个平面. x2+y2+z2=a2确定的函数
z = ± a2 − x2 − y2
点集D={(x,y)|x2+y2≤a2}为闭区域.当p 在D中变动时,它对应的两个函数值, 分别表示两个图形.一个是上 x
z
z = a2 − x2 − y2
2 2
x
− 5
5
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有意义,必须x2+y2-1≥0,并且
x 2 + y 2 −1 ≤ 1 → x2 + y 2 ≤ 5 2
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其图形为以原点为中心,半径分别为1和 5 之间的部 分,包括两个圆 此函数的定义域为{(x,y)|1≤x2+y2≤5}
多元函数的定义域的求法: 要先写出构成部分的各简单函数的定义域,再联立不
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称为该函数的值域.
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类似地可以定义三元及三元以上的函数.三元函数记 u=f(x,y,z). 点函数z=f(p)(p∈D)是定义在点集D上的一个函数.这 里设D是平面点集,则z=f(p)定义的是一个二元函数.如果D 是数轴上的点集(或空间内的点集),则z=f(p)定义的是一 元(或三元)函数.
取值,即x取值与y取值没有必然联系,而且有可能出现x可 以取不同的值,而y的值不变,或y可以取不同的值,而x的值 是不变的情况. 3. 多元函数的定义域 函数的定义域与函数的实际意义有关.我们约定:在没
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注意:二元函数z=f(x,y)中,自变量在定义域内可以独立地
有明确指出定义域 D时,函数的定义域是使函数有定义的点 的全体.这样的定义域叫做函数的自然定义域.
p 0 ( x0, y 0 ) ∈D
为其一聚点.选择一动点p(x,y).现在讨论当
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p(x,y)→ p 0 ( x0, y 0 ) 时的极限 显然,p → p0 时等阶于 x → x0, y → y 0 .又因为
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直观定义:和一元函数极限一样,如果在p→p0 的过程中,对应 的函数值f(x,y)无限接近一个确定的常数A.就说A为当p→p0 , 或x →x0 ,y →y0 (或ρ →0） 时的极限
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界点的全体称为E的边界.
Hale Waihona Puke Baidu
x 2 + y 2 =4和 x 2 + y 2=9 上面E1的边界是圆周
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如果点p的任一邻域内总有无限多个点属于点集E,则称p为E 的聚点.显然E的内点一定是E的聚点,E的边界点也可能是E 的聚点.例如,设E 2 ={(x,y)|0<x+y≤1}那么,直线x+y=0上的任 一点既是E 2 的边界点又是 E 2 的聚点.并且它们不属于E 2 因此,点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.
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在上述函数概念中,关键的两点为: (1)自变量x,y的变化范围,称为定义域; (2)对应法则,即函数关系. 关于函数概念,我们主要研究三方 面的问题: (1)求函数的定义域;
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z
Z=f(x,y) M
o x x p
y y
(2)建立函数关系; (3)求函数值.
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区域 若对于集合D内的任意两点都可以用完全位于D内的折线 连接起来,则称集合D为连通集.连通的开集称为开区域.简称 区域.
2 2 例,E1 ={(x,y)|4< x + y <9}是开区域;E 2 ={(x,y)|0<x+y≤1 }
不是开区域.因为它不是开集.区域连同它的边界一起,称为 闭区域.例如{(x,y)|0≤x+y≤1}
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外点 如果存在点P的任一邻域U(p),使U(p)∩E=φ,则称P 为E的外点. 若点集E的点都是E的内点,则称E为开集, 例如,点集
2 2 E1={(x,y)|4< x + y <9}中每个点都是E1的内点,因而E1为
开集. 若点p的任一邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点(点p 本身可以属于E也可以不属于E).则称p为E的边界点.E的边
p → p0
ρ = pp0 = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 , p → p0 ↔ ρ → 0
lim f ( x, y ) = lim f ( x, y ) = A
实数组(x,y)之间建立一一对应.这样我们把有序实数组和平面 上的点等同起来.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.
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邻域： 与点 p 0 ( x0, y 0 ) 的距离小于δ的 p(x,y)的全体, 邻域： 的 δ , 称为点 p 0 的δ邻域,记作 U( p0 ,δ ) 坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集, 记作 E = {(x,y)|(x,y)具有性质P}.
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例2 圆柱体的体积V和它的底半径R,高h的关系为:V=πR2h (R>0,h>0). 例3
设z = sin( xy ) − 1 + y 2 , 求 : z |
π
( ,1) 2
π
解 : z | π = sin( ⋅ 1) − 1 + 12 = 1 − 2 ( ,1) 2 2
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E 2 不是闭区域,(因为它有一边不包含边界)因而 E 2 既不是
开区域,(它又有一边包含边界)又不是闭区域
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若存在正实数r,使点集 E⊂U(o, r) ,其中O为坐标点,E⊂U(o, r) 表示E内的一切点到原点的距离不超过r.则称点集E为有界 点集;否则(表示找不到r)称为无界点集.例如E1 是有界开区域 {(x,y)|x+y>0}是无界点集.
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等式组,即得到所求的定义域.
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4.二元函数的几何意义: 设二元函数z=f(x,y)的定义域 xoy平面上的某一区域D,对于 M D上的每一点p(x,y),在空间可以 作出一点M(x,y,F(x,y))与它对应. 当点p(x,y)在D中变动时,点M(x, y,F(x,y))就在空间作相应地变动 o x x p y y z Z=f(x,y)
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我们从这里就可以得到二元函数的定义.
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定义1 定义 设D是 R2 的一个非空子集,称映射f:D→R为定义在D上 的二元函数,通常记为 Z=f(x,y), (x,y)∈D 或 z=f(p) P∈D 其中点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量 ,数集 f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)∈D} 记R f .
y
z = − a2 − x2 − y2
半球面,另一个是下半球面.以后我们 讨论的函数是单值的.
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p p0(x0,y0)
当遇到多值函数时,可分成几个单 值分支来讨论.
高 等 数 学 电 子 教 案 三 多元函数的极限
1.多元函数极限的定义 多元函数极限与一元函数存在形式上一致,但确实有着 本质区别.先研究二元函数的极限 (1)二元函数的极限 设z=f(x,y),