长春市2020届高三质量监测数学理科

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长春市2020年度高三质量监测数学理科

长春市 2020 届高三质量监测（一）理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =-> ，则A B =IA. ∅B. {|3,x x >或x ≤2}-C. {|3,x x >或0}x <D. {|3,x x >或2}x ≤ 2. 复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a << 4. 已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b = A. 3- B. 1 C. 3-或1 D.525. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个A. 0B. 1C. 2D. 36. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD. 52)π7. 已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是 ① ,a b αα⊥⊥，则//a b ② ,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③ //,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβA. ① ② ③B. ② ③ ④C. ① ③D. ① ④8. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S = A. 44 B. 44- C. 88 D. 88-9. 把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示），则()y f x =的解析式为A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=- 10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为A. 8-B. 1-C. 0D. 111. 已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为 A.3 B. 2 C. 3 D. 412. 已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为A. m ≤1B. m <-1C. m >-1D. m ≥1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 381(2)x x-展开式中常数项为___________.14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1()3AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则BP BC ⋅=u u r u u u r _________.15.平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为________. 16.已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，满足112a =-,且1222n n a a n n++=+，则2n S = __________，n a =__________.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan ()a b A a b => . （Ⅰ）求证：△ABC 是直角三角形；（Ⅱ）若10c =，求△ABC 的周长的取值范围. 18. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，22AB AD DC ===，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若4PA =，求平面CDE 与平面ABCD 所成锐二面角的大小. 19.（本小题满分 12 分）某次数学测验共有 10 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分；不选或选错得 0 分. 某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对，其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项，另 2 道只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得 50 分的概率；（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望. 20.（本小题满分 12 分）已知点(1,0),(1,0)M N -若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(3,0)Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程. 21.（本小题满分 12 分）已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln eg x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x < ，证明：121ex e x +>+. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲已知函数()|3||1|f x x x =+-- . （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅱ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求a b + 的最小值.长春市2020届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. B 【解析】{|||2}{|2,2}A x x x x x =≥=-或≤≥，2{|30}{|0,3}B x x x x x x =->=<>或，∴A B =I {|3,x x >或x ≤2}-2. C 【解析】252i +i 2i z ==-+，则z 2i =--，其对应点为(2,1)--，在第三象限3. C 【解析】01,1,0a b c <<><，∴c a b <<4. C 【解析】由圆心到切线的距离等于半径，得22211=+∴|1|2b +=∴13b b ==-或5. D 【解析】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.6. A 【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ-=，又2αβπ+=，解得(35)απ=- 7. D 【解析】①正确； ② 错误；③错误；④正确8. A 【解析】 2210661164a a a a =⨯==∴，∴664b a ==，1161144S b ==9. C 【解析】由2sin(0)1ωϕϕ⋅+=π∴=6，由112sin()0212ωπϕω⋅+==∴即2sin(2)6y x π=+，横坐标缩短到原来的12倍，得2sin(4)6y x π=+，即为()f x 解析式.10. B 【解析】由(2)()0f x f x ++=得函数的周期为4，又当[2,0]x ∈-时，2()2f x x x =--，且()f x 是定义在R 上的奇函数∴[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，∴当[4,6]x ∈时，22()(4)(4)2(4)1024f x f x x x x x =-=---=-+此时()f x 的最小值为(5)1f =-.[法2：由周期为4，()f x 在[0,2]上的最小值即为()f x 在[4,6]上的最小值]11. C 【解析】椭圆的右焦点为(1,0)，∴12p =∴2p =，||1cos60p AF =-︒，||1cos60pBF =+︒,∴||10.53||10.5AF BF +==-. 12. C 【解析】21()(2)ex f x x -'=-∴()f x 在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又(1)1f =-，(2)1f <-，(2)0f =∵(1)1f '=-∴m >-1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分） 13. 112【解析】由3883(8)1881(2)()2(1)rrr r r r r r r T C x C x x----+=-=-有3(8)0r r --=得6r =∴6866782(1)112T C -=-=14. 2【解析】112(())()()()333BP BC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ⋅=+-⋅-=-⋅-u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221248122233332AC AB AC AB =+-⋅=+-⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r15. 20π【解析】取AD,BC 的中点分别为12,O O ,过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心，取BD 中点E ，连结12,O E O E ,则12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，121O E O E ==，连OE ，在Rt △1O OE 中，13OO =，在Rt △1O OA 中，12O A =得5OA =，即球半径为5，所以球面积为20π.16.221n n +，1(1)(1)n n n -++【解析】由1222n n a a n n ++=+得21222(21)2(21)n n a a n n -+=-+-211(21)(21)2121n n n n ==--+-+∴2nS =1113-+1135-+…+112121n n --+1121n =-+. 由111212a =-=-⨯递推得277623a ==⨯，311111234a =-=-⨯，421212045a ==⨯，归纳可得1(1)(1)n n n -++.【法2：】122111111=()()22112n n a a n n n n n n n n ++=-=-+-+++++∴11111()[()]112n n a a n n n n +--=---+++∴11{()}1n a n n --+为首项为1-，公比为1-的等比数列，11111()=(1)=(1)+()=(1)+11(1)n n n n n a a n n n n n n ------+++∴三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos AA B A=⋅，即sin cos B A =，由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10102)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<2sin()14A π<+<，即2010102L <<+（12分） 18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面.（6分）（Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立坐标系.可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ，(0,1,0)CD =-u u u r ，(2,0,2)CE =-u u u r，平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n =u r；平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =u u r；因此1212||2cos ||||2n n n n θ⋅==⋅u r u u r. 即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=. （4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ，则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=选择题所得分数为X 的数学期望为3EX =. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=. （4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得22(34)30t y +--=，即12y y+=，122334y y t -=+.AOB ∆面积可表示为1211||||2AOB S OQ y y =⋅-=△216234t==+u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++，当且仅当u =3t =±时等号成立，因此AOB ∆l 的方程为3x y =±. （12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x'=+-， ()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （4分）（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x'=+-+-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>，可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（5分）（Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=.则12||||||2PA PB t t ⋅==. （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 (3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--U .（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2.（10分）。

吉林省长春市2020届高三质量监测(四模)数学(理科)试题(详解)

吉林省长春市2020届高三质量监测(四)理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2{|1},{|0}A x xB x x ==<，则()RA B =A.{|1}x xB.{|1}x x >C.{|1x x <-或01}x <≤ D .{|101}x x x -<或 2.在等比数列{}n a 中，363,6a a ==，则9a = A.19B.112C. 9D. 123.设复数()i ,z x y x y =+∈R ，下列说法正确的是 A.z 的虚部是i y ; B.22||z z =；C.若0x =，则复数z 为纯虚数;D.若z 满足|i |1z -=，则z 在复平面内对应点(),x y 的轨迹是圆.4.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有A. 8种B. 9种C. 12种D. 14种 5.若sin 831πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 29-B. 29C. 79-D. 796.田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是A. 0.832B. 0.920C. 0.960D. 0.992 7.已知()50.5log 2,log 0.2,ln ln 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A. a b c << B. a c b << C. b a c << D. c a b <<8.已知直线a 和平面α、β有如下关系：①,αβ⊥②α//,β③,a β⊥④//a α,则下列命题为真的是 A. ①③∣④ B. ①④∣③ C. ③④∣① D. ②③∣④9.如图,为测量某公园内湖岸边,A B 两处的距离，一无人机在空中P 点处测得,A B 的俯角分别为,αβ，此时无人机的高度为h ，则AB 的距离为A. ()222cos 11sin si s n s n in i h βααβαβ-+-B. ()222cos 11sin si s n s n in i h βααβαβ-++C. ()222cos 11cos co c s c s os o hβααβαβ-+- D. ()222cos 11cos co c s c s os o h βααβαβ-++ 10.过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 作直线与该抛物线交于,A B 两点，若3||||AF BF =，O 为坐标原点，则||||AF OF = A.43 B. 34 C. 4 D. 5411.函数()()sin f x x ϕω=+的部分图象如图中实线所示，图中的圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是①函数()f x 的图象关于点4,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称; ②函数()f x 在11,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增; ③圆C 的面积为3136π. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 12.函数()()2R mxmx f x ee x mx m -=++∈-的图象在点()()()()1111,,,A xf x B x f x --处两条切线的交点0(P x ,0)y 一定满足 A. 00x =B. 0x m =C. 00y =D. 0y m =二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为 .14.执行如图所示的程序框图，若输入[]1,3t ∈-，则输出s 的取值范围是 .15.已知向量()0,1,||7,1,AB AC AB BC ==⋅=则ABC ∆面积为 .16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点,M N 分别是棱1,BC CC 的中点,则二面角C A N M --的余弦值为；若动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动，且1PA //平面AMN ，则线段1PA 的长度范围是 .(本小题第一空2分,第二空3分)三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.(12分)已知数列{}n a 是等比数列，且公比q 不等于1，数列{}n b 满足2n bn a =. (1)求证:数列{}n b 是等差数列; (Ⅱ)若13242,32a a a a ==+，求数列21}1{o l g n n b a +的前n 项和n S .18.(12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//,90A B B D AD C ︒=∠，点E 为PB 的中点，且224CD AD AB ===，点F 在CD 上，且13DF FC =. (I)求证:EF //平面PAD ;(Ⅱ)若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =且PA PD ⊥，求直线PA 与平面PBF 所成角的正弦值.19.(12分)已知椭圆22:12x C y +=与x 轴正半轴交于点A ,与y 轴交于B 、D 两点.(I)求过,,A B D 三点的圆E 的方程;(Ⅱ)若O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 和(I)中的圆E 分别相切于点P 和点Q (,P Q 不重合)，求直线OP 与直线EQ 的斜率之积.20.(12分)武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*1000N n ∈份血液样本，有以下两种检验方式:方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验1k次)；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立.(1)设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列;(Ⅱ)设0.1p =. 试比较方案②中，k 分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数) 21.(12分)已知函数()2eln 2e ,.xf x a x a =∈-R (1)若函数()f x 在e2x =处有最大值,求a 的值; (Ⅱ)当e a ≤时,判断()f x 的零点个数,并说明理由.(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上,且满足||||8,OA OB ⋅=点B 的轨迹为2C .(1)求曲线12,C C 的极坐标方程; (Ⅱ)设点M 的极坐标为32,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值. 23.[选修4-5不等式选讲](10分) 已知函数()|23||23|.f x x x =-++ (1)解不等式()8f x ;(Ⅱ)设x ∈R 时(),f x 的最小值为M . 若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.2020长春四模理科参考答案 1. B 【解析】2{|1}={|11}A x x x x =-≤≤∴={|1}A B x x ≤所以(){|1}RA B x x =>.2.D 【解析】369,,a a a 成等比数列，所以392636312a a a =÷=÷=.3.D 【解析】z 的实部为x ，虚部为y 所以A 错；2222222i,||z x y xy z x y =+=++所以B 错；当00x y ==，时，z 为实数，所以C 错；由|i |1z -=得22|i i |1|(1)i |1(1)1x y x y x y +-=⇒+-=⇒+-=，所以D 对.4.D 【解析】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.5.C 【解析】227sin 2sin 2cos 22sin 12()144483912πππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6.D 【解析】三次试跳都没成功的概率为30.2=0.008所以他获得冠军的概率是10.0080.992-=. 7.D 【解析】()50.50.5log 2(0,1),log 0.2log 0.51,ln ln 20a b c =∈=>==<. 8.C 【解析】①③∣④或a α⊂所以A 错；①④∣a 与β位置关系不确定，B 错； ③④∣①对，选C ；②③∣a α⊥所以D 错.9.A 【解析】点P 在AB 上的投影为O ，则在Rt △POB 中，sin h PB β=由正弦定理得sin()sin AB PBαβα=-所以sin()sin()=sin sin sin PB h AB αβαβαβα⋅--=======故选A 10.A 【解析】设直线AB 的倾斜角为α，则由53||||31sin 1sin 6p p AF BF πααα=⇒⋅=⇒=-+2||3p AF ⇒=所以2||43||32pAF p OF ==.11.B 【解析】由圆的对称性，三角函数的对称性得1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭所以周期11=2()1236T ωπ+=⇒=又图象过点106⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以=3πϕ即()i 2s n 3x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ .验证084sin =333f ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，所以①对；由322222k x k ππππππ++-+≤≤（k ∈Z ）即511212k x k -++≤≤所以②错；当0x =时，得点M 的坐标为所以圆的半径为||MC ==所以③对. 故选B. 12.A 【解析】()2mxmx f x me me x m -'=-+-在点()()()()1111,,,A x f x B x f x --处的切线分别为()()()()()()111111,y f x f x x x y f x f x x x ''-=---=-+消去y 得0x =.13.y x =±得ca b a=⇒=所以双曲线的渐近线方程为y x =±. 14.[0,1]【解析】当[1,1)t ∈-函数12e[e ,1)t s --=∈，当[1,3]t ∈时，3log [0,1]s t =∈值域的并集为[0,1].15.2【解析】||1,||7,||||cos()||cos 1AB AC AB BC AB BC B BC B π==⋅=⋅-=-=又由余弦定理得222||||||2||||cos||2AC AB BC AB BC B BC =+-⋅⋅⇒=所以120B =︒ 16.2,[32【解析】延长AM 交DC 于点Q,过C 作AM 垂线AE ，垂足为E ，连接NE ，则∠NEC 为二面角C A N M --的平面角，计算得CE =,NE ==所以2cos 3NEC ∠==;由面面平行的性质得点P 在1BB 与11B C 中点的连线EF 上，设EF 中点为H,则1A H 最短，1A E 或1A F 同时最大，所以所求范围是[2. 17. 【解析】(I)已知数列{}n b 满足2n bn a =, 则2n n b log a =,1121222log log log log n n n n n na b b a a q a +++-=-==即数列{}n b 为等差数列.(6分)(Ⅱ)由41322,32a a a a ==+可得2332222q q q ⋅=⋅+,解得2q =或1q =(舍),即2n n a =设()211111log 11n n n c b a n n n n +===-++即数列21}1{log n n b a +的前n 项和为1111n nS n n =-=++ .(12分)18.【解析】( I)取PA 的中点M,连结DM 、EM. //EF DM ,DM ⊂平面PAD 所以EF ∥平面PAD.(6分) (Ⅱ)取AD 中点N,BC 中点H,连结PN 、NH.平面PAD ⊥平面ABCD,又PN AD ⊥所以PN ⊥平面ABCD,又AD NH ⊥. 以N 为原点,NA 方向为x 轴,NH 方向为y 轴,NP 方向为z 轴,建立空间坐标系.()()()()0,0,1,1,0,0,1,2,0,1,1,0P A B F -在平面PBF 中()(),1,2,1,2,1,0,BP BF =--=--则法向量()1,2,3n =--; 又()1,0,1PA =-;|||cos ,|||||2PA n PA n PA n ⋅<>===⋅即直线PA 与平面PBF (12分) 19.【解析】(I)点)()(),0,1,1,0,AB D 设点(),0,E m因此可得)221m m +=,4m =即圆E 的方程为22948x y ⎛-+= ⎝⎭(4分) (Ⅱ)由题意:可设l 的方程为y kx m =+ (k 存在且0)k ≠与椭圆C 联立消去y 可得()222124220,k xkmx m +++-=由直线l 与椭圆C 相切可设切点为()00,x y ，由判别式0=可得2212m k=+解得0021k x y m m=-=，.由圆E 与直线l 相切,即圆心到直线的距离等于半径,可得22889.k m =-+因此由222212889m k k m ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得2221241k m =-=直线OP 的斜率为12OP k k =-,直线EQ 的斜率1EQ k k=-, 综上2.1242OP EQ k kk ==⋅(12分) 20．【解析】(I)设每个人的血呈阴性反应的概率为q ,则1q p =-.所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1kq -依题意可知1,1X k k=+,所以X 的分布列为: 1111k kX k k Pq q +- (6分) (Ⅱ)方案②中,结合(1)知每个人的平均化验次数为:()()111111k k k E X q q k k k q ⎛⎫=++⋅-=-+ ⎪⎝⎭⋅ 所以当2k =时, ()20.910.6912E X =-+=,此时1000人需要化验的总次数为690次， 3k =()31,0.910.60433E X =-+≈，此时1000人需要化验的总次数为604次，4k =时, ()40.910.593941E X =-+=，此时1000人需要化验的次数总为594次，即2k =时化验次数最多, 3k =时次数居中, 4k =时化验次数最少.而采用方案①则需化验1000次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当4k =时化验次数最多可以平均减少11000-594=406次. (12分)21.【解析】(I)()()2eln 2e 0xf x a x x =->,()2e 2e e x a f x x '=-由条件可知, 2ex =时,()0f x '=,即220e e ea -⋅=，解得e a =.则()()()2e e 22eln 2,x xe f x x e f x e x e '=-=-,令()()x f x ϕ'=，则()22e 2e 4e 0exx x ϕ'=--⋅<,则()f x '为减函数，又e 02f ⎛⎫'=⎪⎝⎭，则()f x 在0,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减, 即函数()f x 在2ex =处取得最大值. 综 e.a = （4分） (Ⅱ)令2x t e=,()()ln 0tg t a t t e t =+->则()g t 与()f x 的零点个数相等, ①当0a =时(),0,tg t e =-<即()20x ef x e =-<所以函数()f x 的零点个数为0;②当0a <时, ()0ta g t e t'=-<,所以函数()g t 在()0,+∞上为减函数, 即函数()g t 至多有一个零点,即()f x 至多有一个零点. 当e 1<e0at -<时,()ln e ln e 0,ta a a t a g t t >+⇒+>>⇒所以当1e 0at e-<<时(),0.g t →又(),10g a e =-<所以函数()g t 有且只有一个零点,即函数()f x 有且只有一个零点; ③当0e a <≤时,令()0,g t '=即,ta te =令()()0,t h t te t =>易知()t h t te =在()0,+∞为增函数,且()1,h e = 故存在(]00,1,t ∈使得()00,g t '=即00t ae t =. 由以上可知,当00t t <<时()(),0,g t g t '>为增函数;当0t t >时()(),0,g t g t '<为减函数; 所以()()(]00000max 00,1tag t g t a alnt e a alnt t t ==+-=+-∈，令()(]ln ,0,1aF t a a t t t=+-∈ 则()20a aF t t t'=+>,所以()F t 在(]0,1上为增函数，则()()0,\1F F t =≤即()()0,maxg t 当且仅当t=1,d=e 时等号成立由以上可知,当d=e 时,g(t)有且只有一个零点,即()f x 有且只有一个零点; 当0<a<e 时,无零点;综上所述:当0e a <≤时,函数()f x 无零点; 当a<0或a=e 时,函数()f x 只有一个零点.(12分) 22．【解析】(I)曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数),普通方程为()2211,x y -+=化简可得2220,x y x +-=即曲线1C 的极坐标方程为12cos ,ρθ=又128,ρρ=可知24cos ρθ=,即为曲线2C 的极坐标方程.(5分) (Ⅱ)由()21114||||2cos 2cos cos 22cos A BAP B S OM x x ρρθθθθ∆⎛⎫=⋅-=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭得242cos ,DBP S θ∆=-因此ABN S ∆的最小值为2.(10分)23. 【解析】(I)322x x ⎧-⎪⎨⎪⎩≤≥或332268x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩≤或322xx ⎧⎪⎨⎪⎩≤∴{|22}x x -≤（5分）(Ⅱ)∵()()()|2323|66x x x f M --+=∴=()()()2222222112236,ab c a b c ++++++=当且仅当22b c α==时“=”成立,所以2226,a b c ++所以最小值为6.(10分)。

【2020年数学高考】吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(二)数学理.doc

长春市普通高中2020届高三质量监测（二）数学理科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的） 1. 已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B =A. (1,0)-B. (0,2)C. (2,0)-D. (2,2)- 2. 已知复数23()z m m mi m =-+∈R 为纯虚数，则m =A. 0B. 3C. 0或3D.43.设命题:(0,),ln 1p x x x ∀∈+∞-≤，则p ⌝是A. :(0,),ln 1p x x x ⌝∀∈+∞>-B. :(,0],ln 1p x x x ⌝∀∈-∞>-C. 000:(0,),ln 1p x x x ⌝∃∈+∞>-D. 000:(0,),ln 1p x x x ⌝∃∈+∞-≤ 4. 已知平面向量(1,3),(2,0)=-=-a b ，则|2|+=a bA. B. 3C. D. 55. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a =A. 4B. 10C. 16D. 326. 已知动点(,)M x y 满足线性条件200580x y x y x y -+⎧⎪+⎨⎪+-⎩……≤，定点(3,1)N ，则直线MN 斜率的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过2F 且垂直于长轴的直线交椭圆于,A B 两点，则△1ABF 内切圆的半径为A. 43B. 1C. 45D. 348. 已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y轴对称，则下列结论中不正确．．．的是 A. 56πϕ=B. (,0)12π是()f x 图象的一个对称中心 C. ()2f ϕ=- D. 6x π=-是()f x 图象的一条对称轴9. 若向区域{}(,)|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y =成区域内的概率为A.18 B. 16C.13 D. 1210. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为A. 2D. 311. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是A. 5(,2]3B. 5(1,]3C. (1,2]D. 5[,)3+∞12. 若关于x 的方程2(ln )ln x ax x x -=存在三个不等实根，则实数a 的取值范围是A. 1(,)e e -∞-B. 211(,0)e e -C. 211(,)e e -∞-D. 1(,0)e e-二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 52)x x-（的展开式中含x 项的系数为___________.14. 更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入91,39a b ==，则输出的值为_____.15. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.已知同底的两个正四棱锥内接于同一个球，它们的底面边长为a ，球的半径为R ，设两个正四棱锥的侧面与底面所成的角分别为,αβ，则tan()αβ+= ___________.16.在数列{}n a 中，10a =，且对任意k *∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为2k ，则n a =________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积2sin S b A =.(1)求cb的值； =-ab(2) 设内角A 的平分线AD 交BC 于D ，AD =a = b .18. （本小题满分12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.(1) 现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X 表示质量在[300,350)内的芒果个数，求X 的分布列及数学期望.(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案： A ：所以芒果以10元/千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购. 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 19. （本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，1224,23A DBC CD ===.（1）证明：11AD B D ⊥；（2）设E 是线段11A B 上的动点，是否存在这样的点E ，使得二面角1E BD A --的余弦值为7，如果存在，求出1B E 的长；如果不存在，请说明理由.20. （本小题满分12分）已知直线l 过抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为2. (1)求抛物线C 的方程;(2)若点(2,2)P ，过点(2,4)-的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k 和2k .求证：12k k 为定值，并求出此定值.21. （本小题满分12分）已知函数ln ()x xf x xe x=+. （1）求证：函数()f x 有唯一零点；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1xxe x kx -+…恒成立,求实数k 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与1C 交于A ,B 两点，与2C 交于,M N 两点，求||||||||FA FB FM FN 的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.已知函数()|23||36|f x x x =-+-. (1)求()2f x <的解集；(2) 若()f x 的最小值为T ,正数,a b 满足12a b +=T .长春市普通高中2020届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A 【命题意图】本题考查集合的运算. 【试题解析】A {|12},{|20},(A x xB x x A B =-<<=-<<=-.故选A. 2. B 【命题意图】本题考查复数的分类.【试题解析】B 3m =.故选B.3. C 【命题意图】本题考查含有一个量词的命题的否定.【试题解析】C 由含有一个量词的命题的否定. 故选C. 4. A 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算.【试题解析】A 由题意知，2(3,3)+=--a b ，所以|2|+=a b .故选A.5.C 【命题意图】本题主要考查等比数列知识.【试题解析】C 由6546a a a +=得260q q +-=，解得2q =，从而3522=16a a =⋅.故选C.6. C 【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识.【试题解析】C 根据可行域，当M 取(2,2)-时，直线MN 的斜率最大为3.故选 C. 7. D 【命题意图】本题考查椭圆的定义的应用.【试题解析】D 由题意知1ABF ∆的周长为8，面积为3，由内切圆的性质可知，其半径为34.故选D.8. C 【命题意图】本题考查三角函数的图象及性质.【试题解析】C 由题意可知5=6πϕ，故5()2sin(2)6f x x π=+，555()=2sin()2sin 2362f πππϕ+==.故选C. 9. B 【命题意图】本题主要考查定积分及几何概型的综合应用.【试题解析】B由直线y x =与曲线y =13122211)()326x dx x x=-=⎰，从而所求概率为16.故选B.10. D【命题意图】本题主要考查三视图问题.【试题解析】D 可在正方体中画出该三棱锥的直观图，进而算出其最长棱长为3.故选D. 11. B【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】B由双曲线定义可知22||3aPF=，从而23ac a≥-，双曲线的离心率取值范围为5(1,]3.故选B.12. A【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识.【试题解析】A由题意知2ln ln()10x a xx x--=，令ln xtx=，210t at--=的两根一正一负，由ln xtx=的图象可知，1e<<，解得1(,)a ee∈-∞-. 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 40【命题意图】本题考查二项展开式系数的算法.【试题解析】由52()xx-可知含x的项为33252()40C x xx-=，因此x的系数为40.14. 13【命题意图】本题考查程序框图的相关知识.【试题解析】由输入91,39a b==，代入程序框图计算可得输出的a的值为13.15.4Ra-【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】设OP t=，则tan2R taα+=，tan2R taβ-=，代入24tan tantan()()()1tan tan14RaR t R taαβαβαβ++==+--⋅-，又2222)22aR t-==，即4tan()Raαβ+=-.16.22()21()2nnnann⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶为奇【命题意图】本题考查数列通项公式的算法.【试题解析】由题意可知22()21()2nnnann⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶为奇三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法.【试题解析】（1）21sin sin 2S bc A b A ==，可知2c b =，即2cb=. （6分）（2）由角平分线定理可知，3BD =，3CD =，在ABC △中，22cos B =，在ABD △中，2444cos b B +-=222444b +-1b =. （12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及分布列的相关知识，同时利用统计学中的决策方案考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：（1）9个芒果中，质量在[250,300)和[300,350)内的分别有6个和3个.则X 的可能取值为0,1,2,3.363920(0)84C P X C ===，21633945(1)84C C P X C ===， 12633918(2)84C C P X C ===，33391(3)84C P X C ===X 的数学期望1810123184848484EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（6分）（2）方案A ：(1250.0021750.0022250.0032750.0083250.0043750.001)5010000100.00125750⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=元方案B ：低于250克：(0.0020.0020.003)501000027000++⨯⨯⨯=元高于或等于250克(0.0080.0040.001)5010000319500++⨯⨯⨯=元总计70001950026500+=元由2575026500<，故B 方案获利更多，应选B 方案. （12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连结BD ，11B D ，则由余弦定理可知11BD B D ⊥，由直棱柱1111ABCD A B C D -可知，11111111BB ABCD BB AB AB BDD B AB ABCD AB B D BD AB B D BDD B ⎫⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎪⎭⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭ 平面平面平面由余弦定理可知平面11BD B D ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪ ⊥⎭111111B D ABD AD B D AD ABD ⇒⊥⎫⇒⊥⎬ ⊂⎭平面平面（6分）（2）以B 为原点，以DB 方向为x 轴，以AB 方向为y 轴，以1BB 方向为z 轴，建立坐标系.(0,E m （0m <），(,0)B ，1(3,0,23)D -，(0,2,0)A -(0,BEm =，1(BD =-，1(,)n m m =-(0,2,0)BA =-，1(BD =-，2(1,0,1)n =cos 7θ==，又0m <，则1m =-，故1B E 长为1.（12分） 20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】（1）由题意可知，22p =，抛物线的方程为22x y =.（4分）（2）已知点(2,2)P ，设直线l 的方程为：4(2)y k x -=+11(,)A x y ，22(,)B x y ，则111112(2)222y k x k x x -++==--，222222(2)222y k x k x x -++==--，21212121212121212[(2)2][(2)2][2()4]2(4)4(2)(2)2()4k x k x k x x x x k x x k k x x x x x x +++++++++++==---++ 联立抛物线22x y =与直线4(2)y k x -=+的方程消去y 得22480x kx k ---= 可得122x x k +=，1248x x k =--，代入12k k 可得121k k =-. 因此12k k 可以为定值，且该定值为1-.（12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（1）21ln '()(1)xxf x x e x-=++，易知'()f x 在(0,)e 上为正，因此()f x 在区间(0,1)上为增函数，又121()0ee ef e e-=<，(1)0f e =>因此1()(1)0f f e<，即()f x 在区间(0,1)上恰有一个零点，由题可知()0f x >在(1,)+∞上恒成立，即在(1,)+∞上无零点，则()f x 在(0,)+∞上存在唯一零点.（4分）（2）设()f x 的零点为0x ，即000ln 0xx x e x +=. 原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥，令ln 1()x xe x g x x --=，则ln '()x xxe x g x x+=，由（1）可知()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0()x +∞，上单调递增，故只求0()g x ，下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则0ln x t x =-，可得0000ln ln ln x tx x x t=-⎧⎨+=⎩，即0(1)ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左正右负不相等，只能1t =.因此0000000ln 1ln ()1x x e x x g x x x --==-=，即1k …求所求. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】（1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为24y x =；（5分）（2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）又直线l 与曲线2C ：24y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=可得22(1sin )2cos 10t t αα++-=则1221||||||1sin FA FB t t α⋅==+ 联立直线l 与曲线2C ：24y x =可得22sin 4cos 40t t αα--=，则1224||||||sin FM FN t t α⋅==即222221||||1sin 1111sin (0,]41||||41sin 481sin sin FA FB FM FN ααααα⋅+==⋅=⋅∈⋅++. （10分） 23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）333263()59()2233()|23||36|2363(2)3(2)222336(2)59(2)x x x x x f x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-+- <-+ <⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-+-=-+- =-+ ⎨⎨⎪⎪-+- >- >⎪⎪⎪⎪⎩⎩≤≤≤≤由图像可知：()2f x <的解集为711(,)55.（5分）（2）图像可知()f x 的最小值为1，12=，当且仅当a b =时，“=1T =. （10分）。

2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(理)试题(解析版)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径.
【详解】
两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为，
又圆的圆心为，半径为1，
故，解得 .故所求圆心为 .
直线截得所成弦长，
圆心到直线的距离为，
所以直线截得所求圆的弦长，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用之间的关系，即可容易求得，则得解，再用并项求和法即可求得结果.
【详解】
由得，作差可得：
，又得，
则所以，
…，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用的关系求数列的通项公式，涉及等差数列前项和的求解，属综合中档题.
12．设椭圆的左右焦点为，焦距为，过点的直线与椭圆交于点，若，且，则椭圆的离心率为（）
【详解】
因为，又与向量共线
故可得，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查向量共线的坐标公式，涉及向量的坐标运算，属基础题.
4．已知函数的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点（）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【解析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，求得，结合余弦定理，即可求得的齐次式，据此即可求得结果.
【详解】
根据题意，作图如下：
由得，，
由
即，
整理得，

吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(一)理数参考答案

长春市2020届高三质量监测（一）数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. C4. C5. D6. A7. D8. A9. C 10. B 11. C 12. C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13. 112 14. 215. 20π16.221n n +，1(1)(1)nn n -++三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos AA B A=⋅，即sin cos B A =，由a b >，可得2A B π+=，即ABC △是直角三角形.（6分）（Ⅱ）ABC ∆的周长1010sin 10cos L A A =++，10)4L A π=++，由a b >可知，42A ππ<<sin()14A π<+<，即2010S <<+（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ⎫⎫⇒⎬⎪⇒=⎬⎭⎪ ⊂⎭平面平面.（6分）（Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立坐标系.可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ，(0,1,0)CD =-，(2,0,2)CE =-，平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n =；平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =；因此1212||cos ||||n n n n θ⋅==⋅ 即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为4π. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查概率的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定正确选项的题目全部答对，其概率为11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=. （4分）（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ，则X 的可能取值为30，35，40，45，50.11224(30)223336P X ==⋅⋅⋅=112211221112112112(35)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11221112112111121121111113(40)22332233223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111111112111126(45)223322332233223336P X ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=11111(50)223336P X ==⋅⋅⋅=选择题所得分数为X 的数学期望为3EX =. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=. （4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x 可得 22(34)30t y +--=，即12y y+=，122334y y t -=+. AOB ∆面积可表示为1211||||2AOB S OQ y y =⋅-=△216234t ==+u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++当且仅当u =3t =±因此AOB ∆l 的方程为3x y =±. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1()ln 1f x x x'=+-， ()f x '单调递增，且(1)0f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （4分）（Ⅱ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点可知由11()(1ln )1h x m x x x'=+-+-且0m >可知，当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<，因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=>，可知()h x 在1(,1)e上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（5分）（Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30222-++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 (3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-⎧⎧⎪⎪=+-- - =+ -⎨⎨⎪⎪+-- > >⎩⎩≤≤≤≤当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--. （5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2. （10分）。

吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测理科数学试卷(含答案)

所以 an+1
−
an
=
3n ，
an
=
(an
− an−1)
+
(an−1
− an−2 )
+ ......+ (a2
−
a1) +
a1
=
3n −1 2
.
.
（6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： bn = n 3n − n ，
Tn = 1 31 + 2 32 + ...... + n 3n ， ①
3Tn = 1 32 + 2 33 + ...... + (n −1) 3n + n 3n+1 ， ②
①-②可得
−2Tn
=
31
+
32
+
...... +
3n
−
n 3n+1
=
3n+1 − 2
3
−
n
3n+1
，
则 Tn
=
−
3n+1 − 3 4
+
n 3n+1 2
=
(2n
−1) 3n+1 4
+
3
即
Sn
=
(2n
−1) 3n+1 4
+
3
−
n(n +1) 2
.
20. (本小题满分 12 分)
（12 分）
【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）已知点 P 在椭圆 C ：
（4 分）
（Ⅱ）设直线 AP 的方程为： y = k(x + 2) ，则直线 OM 的方程为 y = kx .

吉林省长春市2020届高三质量监测(四)(四模)数学(理科)试题(含答案)

10. 过抛物线 C : x2 2 py （3 AF BF ，O 为坐标原点，则 | AF | | OF |
4
3
A.
B.
C. 4
3
4
5
D.
4
11. 函数 f (x) sin(Z x M ) 的部分图象如图中实线所示，图中的圆 C 与 f (x) 的图象交
D. 若 z 满足| z i | 1，则 z 在复平面内对应点 (x, y) 的轨迹是圆.
4. 树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 4 名男生，2 名女生，现从
中选出 4 人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有
A.8 种
B. 9 种
C. 12 种
D. 14 种
5. 若 sin(T S ) 1 ，则 sin(2T S )
开始
输入 t
是
t 1?
否
14. 执行如图所示的程序框图，若输入 t [1,3] ，则输出 s et1
s 的取值范围是______________.
15. 已知向量 AB (0,1) ，| AC | 7 ， AB BC 1 ，则 △ABC 面积为______________.
s log3 t
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 A {x | x2 ≤1} ， B {x | x 0} ，则 R ( A ∪ B)
A. {x | x ≥1}
B. {x | x ! 1}
C. {x | x 1或0 ≤ x 1}
处两条切线的交点 P(x0, y0 ) 一定满足
A. x0 0

长春市普通高中2020届高三质量监测(二)数学(理科)试题

长春市普通高中2020届高三质量监测（二）理科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x(x-2)≤0}; B={-1,0,1,2,3}, 则A∩B=， A. {-1,3} B. {0,1,2} C. {1,2} D. {0,1,2,3}2. 若则1(1)(),||2,z a i a z =+-∈=RA.1或2B.0C.1或2D.13.下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是 2log .2xA y =21.log ()2x B y =C.21log y x=D.14y x =4;已知等差数列{}n a 中，5732,a a =则此数列中一定为0的是1.A a3.B a8.C a10.D a5.若单位向量12,e e 夹角为60°，12,a e e λ=-且||3,a =则实数λ=A.-1B.2C.0或-1D.2或-16.《普通高中数学课程标准（2017 版》提出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是A.甲的数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差前D.乙的六大素养整体平均水平优于甲7.命题p: 存在实数0,x 对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立; q:∀a>0, ()ln a xf x a x+=-为奇函数,则下列命题是真命题的是A.p ∧qB. (¬p)∨(¬q)C. p ∧(¬q)D. (¬p)∧q8. 在△ABC 中, C=30°，2cos ,2,3A AC =-=则AC 边上的高为A B.2.C.D 9.2020 年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人;则甲被派遣到A 县的分法有A.6种B.12种C.24种D.36种10.在正方体1111ABCD A B C D -中,点E,F,G 分别为棱11111,,A D D D A B 的中点,给出下列命题:1AC EG ⊥①;②GC// ED;1B F ⊥③平面1BGC ④EF 和1BB 成角为.4π正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3l1. 已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F 01,(,)2M y 为该抛物线上一点,以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，∠AMF = 120°，则抛物线方程为2.2A y x =2.4B y x =2.6C y x =2.8D y x =12.已知11(),x x f x ee x --=-+则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是A. [1,+∞)B. [0,+∞)C. (-∞,0]D. (-∞,1]二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分13.若x,y 满足约束条件2220,22x y y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则z=x+y 的最大值为___14.若125(),3a x dx -=⎰则a=___ 15.已知函数()sin()(6f x x πωω=+>0 )在区间[π,2π)上的值小于0恒成立,则ω的取值范围是___16.三棱锥A- BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O,且BD =三棱锥A- BCD 体积的最大值为_____;三棱锥A-BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为___(本题第一空2分,第二空3分.)三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~ 23题为选考题，考生根据要求作答..17. （12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼。

吉林省长春市普通高中2020届高三上学期质量监测试题(一) 数学(理) 含答案

吉林省长春市普通高中2020届高三上学期质量监测试题（一）数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x||x|>2}，B＝{x|x2－3x>0}，则A∩B＝A.ΦB. {x|x>3或x≤－2}C. {x| x>3或x<0}D. {x| x>3或x<0}2.复数z＝2i2＋i5的共轭复数z在复平面上对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知133131(),3,log33a b c===，则A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a.4.己知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝A.－3B.1C.－3或1D.5 25.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为22018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析)，得到回归直线ˆ13.7433095.7y x=+，其相关指数R2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个 A.0 B.1 C.2 D.36.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。

一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S 1，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为A.(35)π-B.(51)π-C.(51)π+D.(52)π- 7.己知a ，b ，c 为直线，α，β，γ平面，则下列说法正确的是 ①a⊥α，b ⊥α，则a ∥b ；②α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β； ③a∥α，b ∥α，则a ∥b ；④α∥γ，β∥γ，则α∥β。

长春市三模理科数学答案

平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ，故 BF ⊥ 平面 PAD ，又 BF ⊂ 平面 BEF ，
所以平面 BEF ⊥ 平面 PAD . （6 分）（Ⅱ）(法一) 连 PF ∵ PA = PD ， F 为 AD 中点，∴ PF ⊥ AD 又 PF ⊂ 平面 PAD ，
平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ，
【题号】21
【参考答案与评分细则】（Ⅰ） F(x) = f (x) − g(x) = m ln x − x −1 ， x
F′(x) = m − 1 = mx −1 ，
x x2
x2
当 m ≤ 0 时， F′(x) < 0 ，所以，函数 F(x) 在 (0, +∞) 上单调递减；
当 m > 0 时，由 F′(x) < 0 得： 0<x < 1 ；由 F′(x) > 0 得： x > 1
m
m
所以，函数 F(x) 在 (0, 1 ) 上单调递减，函数 F(x) 在 ( 1 , +∞) 上单调递增. （4 分）
m
m
（Ⅱ）函数 f (x) = mln x 在点 (a, m ln a) 处的切线方程为 y − m ln a = m (x − a) ， a
即 y = m x + m ln a − m ， a
函数 g(x) = x −1 在点 (b,1− 1) 处的切线方程为 y − (1− 1) = 1 (x − b) ，
x
b
b b2
即
y
=
1 b2
x−
2 b
+1.
y = f (x) 与 y = g(x) 的图象有唯一一条公切线.

2020届吉林省长春市高三质量监测(二)数学(理)试题(解析版)

2020届吉林省长春市高三质量监测（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|(2)0A x x x =-≤，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =I （） A ．{}1,3- B ．{}0,1,2 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2,3【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得A B I . 【详解】由()20x x -≤解得02x ≤≤，所以[]0,2A =，所以{}0,1,2A B =I . 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =，则a =（）A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【答案】A【解析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==解得0a =或2a =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题. 3．下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x=D ．14y x =【答案】C【解析】分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（） A ．1a B ．3aC ．8aD ．10a【答案】A【解析】将已知条件转化为1,a d 的形式，由此确定数列为0的项. 【详解】由于等差数列{}n a 中5732a a =，所以()()113426a d a d +=+，化简得10a=，所以1a 为0.故选：A 【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.5．若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-r u r u u r，且a =r λ=（）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－1【答案】D【解析】利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数λ的值. 【详解】由于a =r 23a =r ，即()2123e e λ-=u r u u r ，2222112222cos6013e e e e λλλλ-⋅+=-⋅+=o u r u r u u r u u r ，即220λλ--=，解得2λ=或1λ=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.6．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲【答案】D【解析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项. 【详解】对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误. 对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误. 对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误. 对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.7．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()lna xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧【答案】A【解析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.8．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =，则AC 边上的高为（）A B ．2C D 【答案】C【解析】结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高. 【详解】过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-，所以A 为钝角，且sin A ==，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=+5321152sin cos cos sin 32326A C A C -=+=⨯-⨯=.在三角形ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B=，即1525152-=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1sin 2552BD BC C ==⨯=，即AC 边上的高为5. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．36种【答案】B【解析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数. 【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种.如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种. 故选：B 【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB成角为4π.正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2A C G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r ，故//GC ED 不成立，故②错误.③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r，设EF 和1BB 成角为θ，则1122cos 222EF BB EF BB θ⋅-===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.11．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（） A ．22y x = B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【答案】C【解析】根据抛物线方程求得M 点的坐标，根据//MA x 轴、120AMF ∠=︒列方程，解方程求得p 的值. 【详解】不妨设M 在第一象限，由于M 在抛物线上，所以1,2M p ⎛⎫⎪⎝⎭，由于以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，根据抛物线的定义可知，MA MF =、//MA x 轴，且,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭.由于120AMF ∠=︒，所以直线MF 的倾斜角α为120o ，所以0tan1203122MF p k p-===--o ，解得3p =，或13p =（由于10,122p p -<>，故舍去）.所以抛物线的方程为26y x =.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于12．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（） A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(],1-∞【答案】A【解析】构造函数()()1g x f x =-，通过分析()g x 的单调性和对称性，求得不等式()(32)2f x f x +-≤的解集.【详解】构造函数()()()11111x x g x f x ex e --=-=-+-，()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到()()11x x h x g x e x e=+=-+， ()h x 的定义域为R ，且()()1xx h x e x h x e-=--=-，所以()h x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 图像关于()1,0对称. 不等式()(32)2f x f x +-≤等价于()()13210f x f x -+--≤，等价于()()320g x g x +-≤，注意到()10g =，结合()g x 图像关于()1,0对称和()g x 单调递增可知3221x x x +-≤⇒≥. 所以不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是[)1,+∞. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.二、填空题13．若,x y 满足约束条件222022x y y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为__________．【答案】4 【解析】【详解】作出可行域如图所示：由222x y y -=⎧⎨=⎩，解得()2,2A .目标函数z x y =+，即为y x z =-+，平移斜率为-1的直线，经过点()2,2A 时，224max z =+=.14．若()1253a x dx -=⎰，则a =______. 【答案】2【解析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a 的值．【详解】解：若1205()3a x dx -=⎰，则31015|33ax x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1533a -=，所以2a =．故答案为：2．【点睛】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 15．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在区间[),2ππ上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是________.【答案】511,612⎛⎤⎥⎝⎦【解析】首先根据x 的取值范围，求得6x πω+的取值范围，由此求得函数()f x 的值域，结合()f x 区间[),2ππ上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得ω的取值范围.【详解】由于2,0x ππω≤<>，所以2666x πππωπωωπ+≤+<+，由于()f x 区间[),2ππ上的值小于0恒成立，所以2222666k x k πππππωπωωπππ+<+≤+<+≤+（k Z ∈）.所以522661121122266212k k k k k πωωππππωπππω⎧>+⎧⎪+>+⎪⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪+≤+≤=+⎪⎪⎩⎩，由于0>ω，所以511210612120k k k k ⎧+<+⎪⇒≤<⎨⎪≥⎩，由于k Z ∈，所以令0k =得511612ω<≤. 所以ω的取值范围是511,612⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：511,612⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、双空题16．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O，且BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为________.【答案】343π【解析】由于BD 是球的直径，故当,OC BD OA BD ⊥⊥时，三棱锥A BCD -体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥A BCD -体积最大时，等边三角形ABC 的外接圆半径，由此求得等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即求得平面ABC 截球所得的截面圆的面积. 【详解】依题意可知，BD 是球的直径，所以当,OC BD OA BD ⊥⊥，即2OC OA ==时，三棱锥A BCD -体积取得最大值为1112222223323BCD S OA ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.此时2BC AC AB ===，即三角形ABC 是等边三角形，设其外接圆半径为r ，由正弦定理得223sin3r r π=⇒=，所以等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即平面ABC 截球所得的截面圆的面积为2244433r πππ=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：(1).22(2). 43π【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.四、解答题17．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求m 的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）0.025m =（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程，解方程求得m 的值. （2）根据表格数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. 【详解】（1）由题意()0.00520.0150.020.03101m ⨯++++⨯=，解得0.025m =. （2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为()0.025+0.0031010030⨯⨯=. 完善列联表如下：2 2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++2100(800300)4.76250503070⨯-=≈⨯⨯⨯，对照表格可知，4.762 6.635<，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查22⨯列联表独立性检验，属于基础题.18．如图，直三棱柱111ABC A B C-中，底面ABC为等腰直角三角形，AB BC⊥，124AA AB==，M，N分别为1CC，1BB的中点，G为棱1AA上一点，若1A B⊥平面MNG.（1）求线段AG的长；（2）求二面角B MG N--的余弦值.【答案】（1）1AG=（25【解析】（1）先证得1AB GN⊥，设1A B与GN交于点E，在BNE∆中解直角三角形求得1,BE A E，由此求得AG的值.（2）建立空间直角坐标系，利用平面BMG和平面NMG的法向量，计算出二面角B MG N--的余弦值.【详解】（1）由题意，11A B MNGA B GNGN MNG⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面，设1A B与GN交于点E，在BNE∆中，可求得45BE=，则165A E=，可求得13A G=，则1AG=（2）以1B为原点，1B B方向为x轴，1B C方向为y轴，11B A方向为z轴，建立空间直角坐标系.(4,0,0)B ，(2,2,0)M ，(3,0,2)G ，(2,0,0)N(2,2,0)BM =-u u u u r ，(1,0,2)BG =-u u u r，易得平面BMG 的法向量为1(2,2,1)n =u r .(0,2,0)NM =u u u u r ，(1,0,2)NG =u u u r，易得平面NMG 的法向量为2(2,0,1)n =-u u r .设二面角B MG N --为θ，由图可知θ为锐角，所以1212||5cos 5||||35n n n n θ⋅===⋅⋅u r u u r u r u u r .即二面角B MG N --的余弦值为5.【点睛】本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．已知数列{}n a 满足，11a =，24a =，且21430n n n a a a ++-+=()*n ∈N .（1）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；312n n a -=（2）1(21)33(1)42n n n n n S +-⨯++=-【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到()2113n n n n a a a a +++-=-，由此证得数列{}1n n a a +-为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列{}n b 的前n 项和n S 【详解】（1）已知21430n n n a a a ++-+=，则()2113n n n n a a a a +++-=-，且213a a -=，则{}1n n a a +-为以3为首相，3为公比的等比数列，所以13nn n a a +-=，()()()112211312n n n n n n a a a a a a a a ----=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+=. （2）由（1）得：3nn b n n =⋅-，1213233n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯，①23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+⨯，②①－②可得11211332333332n nn n n T n n ++---=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯=-⨯，则111333(21)33424n n n n n n T +++-⨯-⨯+=-+=即1(21)33(1)42n n n n n S +-⨯++=-. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-. （1）求C 的方程；（2）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）是定值，且定值为2【解析】（1）设出P 点坐标并代入椭圆方程，根据34AP BP k k ⋅=-列方程，求得22b a的值，结合22c =求得,a b 的值，进而求得椭圆C 的方程.（2）设出直线,AP OM 的方程，联立直线AP 的方程和椭圆方程，求得P 点的横坐标，联立直线OM 的方程和椭圆方程，求得2M x ，由此化简求得2||||2||AP AQ OM ⋅=为定值. 【详解】（1）已知点P 在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上，可设()00,P x y ，即2200221x y a b+=，又2200022200034AP BPy y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-=-+--，且22c =，可得椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设直线AP 的方程为：(2)y k x =+，则直线OM 的方程为y kx =. 联立直线AP 与椭圆C 的方程可得：()2222341616120kxk x k +++-=，由2A x =-，可得226834P k x k -=+，联立直线OM 与椭圆C 的方程可得：()2234120kx +-=，即221234Mx k=+，即2222|02|||||2||P A Q P M MAx x x x x AP AQ OM x x -⋅-+⋅+⋅===. 即2||||||AP AQ OM ⋅为定值，且定值为2.【点睛】本小题主要考查本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的定值问题的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()x f x e =.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若对任意的m ∈R ，当0x >时，都有212()1m f x x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭恒成立，求最大的整数k .（参考数据：1.78≈）【答案】（1）y ex =（2）2【解析】（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程. （2）对m 分成，0,0m m =≠两种情况进行分类讨论.当0m ≠时，将不等式212()1m f x x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭转化为2112()f x x m -+>，构造函数1()2()h x f x x=+，利用导数求得()h x 的最小值（设为a）的取值范围，由21a m->的得210am -+>在m ∈R 上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得k 的取值范围. 【详解】（1）已知函数()xf x e =，则(1,(1))f 处即为(1,)e ，又()xf x e '=，(1)k f e '==，可知函数()xf x e =过点(1,(1))f 的切线为(1)-=-y e e x ，即y ex =.（2）注意到0x >，不等式212()1m f x x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭中，当0m =时，显然成立；当0m ≠时，不等式可化为2112()f x x m -+>令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=-， 1122211()2221240h e e '=-=⎛⎫⎪⎭- <⎝，232 1.7830122h '=-=-≈⨯-⎭>⎝所以存在01,23x ⎛∈ ⎝⎭，使()0020120x h x e x '=-=.由于2x y e =在()0,∞+上递增，21y x=在()0,∞+上递减，所以0x 是()'h x 的唯一零点.且在区间()00,x 上()0h x '<，()h x 递减，在区间()0,x +∞上()0h x '>，()h x 递增，即()h x 的最小值为()0020001112x h x e x x x =+=+，令012)t x =∈，则220011(3t t x x +=+∈，将()h x 的最小值设为a，则(3a ∈，因此原式需满足21a m->，即210am -+>在m ∈R 上恒成立，又0a >，可知判别式840k a ∆=-<即可，即2ak <，且(3a ∈+ k 可以取到的最大整数为2.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 22．已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 和2C 的普通方程；（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值.【答案】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=（2）1)【解析】（1）消去曲线12,C C 参数方程中的参数，求得1C 和2C 的普通方程. （2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数值域的求法，求得||||ON OM 的最小值.【详解】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=.（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫=≤<≠∈ ⎪⎝⎭；由22(2)4x y -+=得2240x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=在曲线1C 中，4|o |c s OM β=.由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8||sin cos ON ββ=+，因此28||24sin cos ||4cos sin cos cos 214ON OM ββπβββββ+===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即||||ON OM1)=. 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题. 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-. （1）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（2）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|33x x -<<（2）()0,a ∈+∞【解析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集. （2）对a 分成0,0,0a a a >=<三种情况，求得()f x 的最小值，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，3,11()2112,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，由此可知，()9f x <的解集为{}|33x x -<<（2）当0a >时，()()()1,11()1112,111,a x x f x ax x a x x a a x x a ⎧⎪+>⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩()f x 的最小值为1f a ⎛⎫-⎪⎝⎭和()1f 中的最小值，其中1111f a a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，(1)11f a =+>.所以()1f x >恒成立.当0a =时，()111f x x =-+≥，且(1)1f =，()1f x >不恒成立，不符合题意. 当0a <时，()1111,1f a f a a ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，若20a -≤<，则()11f ≤，故()1f x >不恒成立，不符合题意；若2a <-，则11f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故()1f x >不恒成立，不符合题意. 综上，()0,a ∈+∞. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。

吉林省长春市2020届高三质量监测(四)(四模)数学(理)试题 PDF版含答案

开始
输入 t
是
t 1?
否
14. 执行如图所示的程序框图，若输入 t [1,3] ，则输出 s et1
s 的取值范围是______________.
15. 已知向量 AB (0,1) ，| AC | 7 ， AB BC 1 ，则 △ABC 面积为______________.
s log3 t
A. 0.832
B. 0.920
C. 0.960
D. 0.992
理科数学试题第 1 页（共 4 页）
7. 已知 a log5 2 ， b log0.5 0.2 ， c ln(ln 2) ，则 a ， b ， c 的大小关系是
A. a b c B. a c b C. b a c D. c a b
于 M , N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是
① 函数 f (x) 的图象关于点 ( 4 , 0) 成中心对称； 3
② 函数 f (x) 在 ( 1 , 1) 上单调递增； 26
③ 圆 C 的面积为 31 S . 36
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
12. 函数 f (x) emx emx x2 mx（ m R ）的图象在点 A(x1, f (x1)) ，B(x1, f (x1))
输出 s
结束
D1
C1
16. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2 ，点 M ，N 分别 A1 是棱 BC ， CC1 的中点，则二面角 C AM N 的余弦值为
B1 PN
___________；若动点 P 在正方形 BCC1B1 （包括边界）内
D

吉林省长春市2020届高三质量监测(四模考试)数学(理科)试题(含答案解析)

吉林省长春市2020届高三质量监测（四模考试）数学（理科）试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习吉林省长春市2020届高三质量监测（四模考试）数学（理科）试题（含答案解析）1 设集合，则（）A. B.C. 或D. 或【答案解析】 B【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再求A与B的并集，然后再求补集即可.【详解】因为，，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2 在等比数列{an}中，，则（）A. B. C. 9 D. 12【答案解析】 D【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：因为等比数列的性质，成等比数列，即，所以.故选：D【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题.3 设复数，下列说法正确的是（）A. 的虚部是;B. ；C. 若，则复数为纯虚数;D. 若满足，则在复平面内对应点的轨迹是圆.【答案解析】 D【分析】根据复数的相关概念一一判断即可；【详解】解：的实部为，虚部为所以故A错；，，所以B错；当时，为实数，所以C错；由得，，，所以D对.故选：D【点睛】本题考查复数的相关概念的理解，属于基础题.4 树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A. 8种B. 9种C. 12种D. 14种【答案解析】 D【分析】采用采用间接法，任意选有种，都是男生有1种，进而可得结果.【详解】任意选有种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故选：D【点睛】本题考查分类计数原理，考查间接法求选法数，属于基础题目.5 若，则（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】利用诱导公式和二倍角公式可化简求得结果.【详解】. 故选：.【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式求值的问题，考查基础公式的应用.6 田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛.在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的概率是（）A. 0.832B. 0.920C. 0.960D. 0.992【答案解析】 D【分析】根据相互独立事件的概率公式求出三次试跳都没成功的概率，由对立事件的概率公式可得其获得冠军的概率；【详解】解：三次试跳都没成功的概率为，所以他获得冠军的概率是.故选：D【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.7 已知，，，则a、b、c的大小关系是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】利用对数函数的单调性比较、、与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】，则，，，即，.因此，.故选：D.【点睛】本题考查对数式的大小比较，一般利用对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.8 已知直线和平面、有如下关系：①；②；③；④.则下列命题为真的是（）A. ①③④B. ①④③C. ③④①D. ②③④【答案解析】 C【分析】利用面面垂直的性质可判断A选项的正误；由空间中线面位置关系可判断B选项的正误；利用线面垂直的判定定理和线面平行的性质定理可判断C选项的正误；利用面面平行的性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由①③可知，或，A错；对于B选项，由①④可知，与的位置关系不确定，B错；对于C选项，过直线作平面，使得，，则，，，，，C对；对于D选项，由②③可知，，D错.故选：C.【点睛】本题考查空间中有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.9 如图，为测量某公园内湖岸边A、B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A、B的俯角分别为，此时无人机的高度为，则AB的距离为（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】设点P在AB上的投影为O，在Rt△POB中，可得，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，得到答案.【详解】如图所示，设点P在AB上的投影为O，在Rt△POB中，可得，由正弦定理得，所以故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中结合图象把实际问题转化为数学问题，合理利用正弦定理求解是解答的关键，注重考查了推理与运算能力.10 过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则（）A. B. C. 4 D.【答案解析】 A【分析】画出图像,分别作关于准线的垂线,再根据平面几何的性质与抛物线的定义求解即可. 【详解】如图,作分别作关于准线垂线,垂足分别为,直线交准线于.过作的垂线交于,准线与轴交于.则根据抛物线的定义有. 设,,故,,故.故,故是边的中位线,故.故.故选：A【点睛】本题主要考查了利用平面几何中的比例关系与抛物线的定义求解线段比例的问题,需要根据题意作出对应的辅助线,利用边角关系求解,属于中档题.11 函数的部分图象如图中实线所示，图中的圆C与的图象交于M、N两点，且M在轴上，则下列说法中正确的是（）①函数f(x)的图象关于点成中心对称;②函数f(x)在上单调递增;③圆C的面积为.A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案解析】 B【分析】先求出函数的解析式，验证可判断①的正误；利用正弦函数的单调性可判断②的正误；求出圆的半径，利用圆的面积可判断③的正误.【详解】由圆的对称性，正弦函数的对称性得为函数的一个对称中心，所以周期，，又函数的图象过点，则，且函数在附近单调递增，所以，，可取. 所以，.成立，所以①对；当时，，所以，函数在区间上不单调，所以②错；当时，得点的坐标为，所以圆的半径为，则圆的面积为，所以③对.故选：B.【点睛】本题考查利用正弦函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性和单调性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12 函数的图象在点处两条切线的交点，一定满足（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】根据函数，求导，然后利用导数的几何意义，分别写出在点处的切线方程，再联立求解即可.【详解】因为函数，所以，所以所以，又因为在点处的切线方程分别为：，联立消去y得：，.解得.故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的交点，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______．【答案解析】【分析】根据离心率公式和双曲线的的关系进行求解【详解】由题知：，双曲线的渐近线方程为故答案为【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质14 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出s的取值范围是____________.【答案解析】 [0,1]【分析】分别在和两种情况下，根据指数函数和对数函数的单调性求得值域，取并集得到所求的取值范围.【详解】当时，，在上单调递增，；当时，，在上单调递增，；综上所述：输出的.故答案为：.【点睛】本题以程序框图为载体考查了指数函数和对数函数值域的求解问题，关键是能够通过分类讨论得到函数的单调性，进而确定所求值域.15 已知向量则△ABC面积为____________.【答案解析】【分析】根据，，可得，再由，利用余弦定理可解得，，进而得到，然后代入求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，由余弦定理得，所以，则，因为，所以，，所以面积为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量与解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M、N分别是棱的中点，则二面角的余弦值为_________；若动点P在正方形(包括边界)内运动，且平面，则线段的长度范围是_________.【答案解析】；【分析】延长AM交DC于点Q，过C作AM垂线CG，垂足为G，连接NG，则∠NGC为二面角的平面角，计算可得结果；取的中点，的中点，连结，，，取中点，连结，推导出平面平面，从而点的轨迹是线段，由此能求出的长度范围．【详解】延长AM交DC于点Q，过C作AM垂线CG，垂足为G，连接NG，则∠NGC为二面角的平面角，计算得，，所以取的中点，的中点，连接，，，取中点，连接，点，分别是棱长为2的正方体中棱，的中点，，，，，平面平面，动点在正方形（包括边界）内运动，且面，点的轨迹是线段，，，，当与重合时，的长度取最小值，当与（或重合时，的长度取最大值为．的长度范围为．故答案为：；【点睛】本题考查二面角余弦值的求法和线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17 已知数列{an}是等比数列，且公比不等于1，数列{bn}满足.（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）若，，求数列的前n项和Sn.【答案解析】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据对数运算法则和等比数列定义可证得，由此证得结论；（2）利用等比数列通项公式可构造方程求得，进而整理得到，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）已知数列满足，则，，数列为等差数列.（2）由，可得：，解得：或（舍），，则，，.【点睛】本题考查等差数列的证明、裂项相消法求解数列的前项和问题，涉及到等比数列通项公式的应用；求和问题的处理关键是能够根据通项公式的形式进行准确裂项，进而前后相消求得结果.18 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，，点E为的中点，且，点F在CD上，且.（1）求证：平面；（2）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案解析】（1）见解析；（2）【分析】（1）如图所示，取的中点，连结、，所以根据线面平行的判定定理即可证明；（2）取中点，中点，连结、，以N为原点，NA方向为x轴，NH方向为y轴，NP方向为z轴，建立空间坐标系，找到平面的一个法向量，求出直线向量所成夹角的余弦值，即可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）如图所示，取的中点，连结、，因为点为的中点，且，所以且，因为，所以，所以，又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以∥平面；（2）取中点，中点，连结、，因为，所以，又平面平面，所以平面，又，所以，以N为原点，NA方向为x轴，NH方向为y轴，NP方向为z轴，建立空间坐标系，所以，，，，在平面中，，,设在平面的法向量为，所以，，令，则法向量，又，设直线与平面所成角为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定，和线面所成角的求法，解题的关键是会用法向量的方法求线面角的正弦值.19 已知椭圆与轴正半轴交于点A，与轴交于B、D两点.（1）求过A、B、D三点的圆E的方程；（2）若O为坐标原点，直线与椭圆C和（1）中的圆E分别相切于点P和点Q（P、Q不重合），求直线与直线的斜率之积.【答案解析】（1）；（2）24.【分析】（1）求出、、三点的坐标，求得圆心的坐标，进而求出圆的半径，由此可求得圆的方程；（2）设直线的方程为（存在且），将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得，由直线与圆相切可得出，进而可得出，求出直线与直线的斜率，进而可求得结果.【详解】（1）由题意可得、、，则圆心在轴上，设点，由，可得，解得，圆的半径为.因此，圆E的方程为；（2）由题意：可设的方程为（存在且），与椭圆联立消去可得，由直线与椭圆相切，可设切点为，由，可得，解得，，由圆与直线相切，即，可得.因此由，可得，直线的斜率为，直线的斜率，综上：.【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线斜率之积的计算，考查计算能力，属于中等题.20 武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在10天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的详细情况.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验次)；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样，该组个人的血总共需要化验次. 假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列；（2）设. 试比较方案②中，分别取2,3,4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数)【答案解析】（1）分布列见解析；（2），总次数为690次；，总次数为604次；，次数总为594次；减少406次【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，可得，再由相互独立事件的概率求法可得个人呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，随机变量即可得出分布列.（2）由（1）的分布列可求出数学期望，然后令求出期望即可求解.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，依题意可知，所以的分布列为：（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为:所以当时, ，此时1000人需要化验的总次数为690次，，此时1000人需要化验的总次数为604次，时, ，此时1000人需要化验的次数总为594次，即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少.而采用方案①则需化验1000次，故在这三种分组情况下，相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少1000-594=406次.【点睛】本题考查了两点分布的分布列、数学期望，考查了考生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.21 已知函数（1）若函数f(x)在处有最大值，求a的值；（2）当时，判断f(x)的零点个数，并说明理由.【答案解析】（1）；（2）当时，函数无零点；当或时，函数只有一个零点.【分析】（1）根据函数最值点可确定，从而求得；代入的值验证后满足题意，可得到结果；（2）令，将问题转化为零点个数的求解问题；分别在、和三种情况下，根据导函数得到原函数的单调性，结合零点存在定理和函数的最值可确定零点的个数.【详解】（1）由题意得：定义域为，，在处取得最大值，，解得：.当时，，，，在上单调递减，又，则时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，满足题意；综上所述：.（2）令，，则与的零点个数相等，①当时即，函数的零点个数为；②当时, ，在上为减函数，即函数至多有一个零点，即至多有一个零点.当时，，，即，又，函数有且只有一个零点，即函数有且只有一个零点；③当时，令，即，令，则在上为增函数，又，故存在，使得，即.由以上可知：当时，，为增函数；当时，，为减函数；，，令，，则，在上为增函数，则，即，当且仅当，时等号成立，由以上可知：当时，有且只有一个零点，即有且只有一个零点；当时，无零点，即无零点；综上所述：当时，函数无零点；当或时，函数只有一个零点.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据函数的最值求解参数值、利用导数研究函数零点个数的问题；函数零点个数的求解关键是能够通过换元法将问题转化为新函数零点个数的求解，进而通过分类讨论的方式，结合函数单调性、零点存在定理和函数最值来确定零点个数，属于较难题.22 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段的延长线上且满足点B的轨迹为C2.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设点M的极坐标为，求面积的最小值.【答案解析】（1）：，：；（2）2.（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线的极坐标方程，再结合题设条件，即可求得曲线的极坐标方程；（2）由,求得，求得面积的表达式，即可求解. 【详解】（1）由曲线的参数方程为 (为参数)，消去参数，可得普通方程为，即，又由，代入可得曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点点的极坐标为，则，因为，所以，即，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）由题意，可得,则，即，当，可得的最小值为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.23 已知函数（1）解不等式；（2）设时，的最小值为M.若实数a、b、c满足，求的最小值.【答案解析】（1）；（2）6（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得，利用柯西不等式求解最值.【详解】（1）或或∴，（2）∵当且仅当时“=”成立，所以所以最小值为6.【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件.。

吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(二)理科数学 (含答案)

本文档为吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(二)理科数学的答案及评分参考。选择题部分，1至12题的答案依次为B、A、C、A、D、D、A、C、B、C、C、A。填空题部分，13至16题数表达式。解答题部分，详细提供了各题的解题步骤和答案，包括统计表格分析、几何证明、数列求和以及椭圆方程求解等。例如，在17题中，通过计算给出了统计表格的K2值，并判断了冰上运动擅长与否与性别的关系；18题涉及空间几何，通过建立直角坐标系求解了二面角的余弦值；19题是数列问题，通过等比数列的性质求和；20题则是椭圆方程的应用，联立直线方程求解了相关点的坐标。这些解答步骤和答案可供学生参考，帮助他们理解和掌握相应的数学知识点。