《高中数学圆锥曲线求离心率的方法》ppt课件
高考二轮微专题之圆锥曲线离心率课件(共18张PPT)
学习目标
总纲：建立关于一个, , 的方程（或不等式），然后再解方程或不等
Байду номын сангаас
式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种
1 利用圆锥曲线的定义解决；○
2 利用题中的几何关系来解决问题。
办法：○
方法1：利用焦半径取值范围建立不等式
方法1：利用定义法求离心率
方法2：利用几何关系求离心率
1
中点 A 在第一象限，且cosθ＝ .若|AB|＝|AF1|，则双曲线 C 的离心率为
4
设1 = = ，又1 − 2 = 2，
所以2 = − 2,2 = 2,
又1 − 2 = 2，1 = 4；
1
1 2 = 2， 1 2 = ，
方法3：定义法+几何关系结合
方法2：利用角度的余弦值建立不等式
方法3：利用已知的角度关系建立不等式
方法4：利用点与圆锥曲线的位置关系建立不等式
方法5：利用方程有根建立不等式
策略一：定义法求离心率
情景导入
例 1（2021 年南京二模 7）已知双曲线
的左、右焦点
分别为 F1，F2，过点 F2 作倾斜角为 θ 的直线 l 交双曲线 C 的右支于 A，B 两点，其
情景导入
x2 y 2
练 2（2020 年湖南永州市高三三模 11 题）已知双曲线 C ： 2 2 1 a 0, b 0 的左、右顶点分别为 A ，
a
b
B ，左焦点为 F ， P 为 C 上一点，且 PF x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M （异于 P ， F ），与
a
b
左右两个焦点，且 PF1 PF2 0 ，线段 PF2 的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为
求圆锥曲线的离心率的值或取值范围问题广东省惠州市第一中学高考数学专题PPT演示课件
惠州市第一中学数学科组 赵红旭
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
一、基本概念
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
二、基本方法
在求离心率的值或取值范围时，通常有三种方法：一是根据题目
中的条件，直接求出 a,b, c的值，再求出离心率；二是建立a,b, c 之
间的齐次等量关系，再化归为关于离心率 e 的方程求解；三是建立 a, b, c 之间的齐次不等式，再转化为关于离心率 e 的不等式，求出
下面通过例题归纳一下求椭圆或双曲线的离心率或取值范围的 常用方法.
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
三.例题分析
例
1、已知
F1、F2
是双曲线
x a
2 2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的两焦点，以线段 F1F2
为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心
D 率是（ ）
a
a
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
小结：从以上例题的求解过程，我们可以体会到求圆锥曲 线的离心率或取值范围，解题的关键是将问题中的几何条件 用坐标表示或转化为代数条件，然后构造方程或不等式求解 ，这是平面解析几何的基本思想。在求解圆锥曲线离心率的 值或取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立等量 关系或不等关系，记住一些常见结论、不等关系。当然，这 类问题的题型不止今天讲的这几种，还有其他的，我今天讲 这几道例题只是起一个抛砖引玉的作用，希望同学们在今后 做题时不断总结归纳，选择简便的方法解题，尤其注意数形 结合的数学思想在解题中的应用。
本题也可以取特殊值，取 PF2 1,则 PF1 ＝2，F1F2 3,
2a 3,2c 3 e 2c 3 . 2a 3
高考数学热点小专题三圆锥曲线的离心率
专题突破热点小专题三圆锥曲线的离心率一、选择题1.(2019浙江卷,2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A.√22B.1C.√2D.22.(2019北京卷,理4)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b3.(2019安徽淮南高三第二次模拟考试)已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x+a)2+y2=14a2相切,则双曲线的离心率等于()A.√2B.√3C.2D.2√334.(2019广东深圳高级中学高三适应性考试(6月))在平面直角坐标系xOy中,已知点A,F分别为椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和右焦点,过坐标原点O的直线交椭圆C于P,Q两点,线段AP的中点为M,若Q,F,M三点共线,则椭圆C的离心率为()A.13B.23C.83D.32或835.(2019重庆巴蜀中学高三适应性月考(七))已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为45°的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P,Q,若OP∥QF2(O是坐标原点),则此双曲线的离心率等于()A.2B.√5C.3D.√106.(多选题)已知△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是()A.√2-1B.√2C.√2D.√2+17.(2019山西长治学院附属太行中学高二下学期第二次月考)椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点,分别为F1,F2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,且两曲线在第一象限的公共点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则e2+e12-e1的值为()A.2B.3C.4D.68.(2019安徽芜湖高三模拟考试)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),直线y=x与椭圆相交于A,B两点,若椭圆上存在异于A,B两点的点P,使得k PA k PB∈-13,0,则离心率e的取值范围为()A.0,√63B.√63,1 C.0,23D.23,19.(2019北京昌平区5月综合练习)嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道,如图中轨道③所示,其近月点与月球表面距离为100公里,远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3 476公里,则该椭圆形轨道的离心率约为()A.125B.340C.18D.3510.(2019重庆第八中学高二下学期第二次月考)设F1,F2是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PA|=2|PF2|,则C的离心率为() A.1+√3 B.1+√2C.1+√3D.1+√211.(2019湖南长沙湖南师范大学附属中学高三模拟)已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为l,圆C:x2+(y-b)2=4与l交于第一象限内的A,B两点,若∠ACB=π3,且|OB|=3|OA|(其中O为坐标原点),则双曲线的离心率为()A.2√13B.√13C.2√13D.√21二、填空题12.若双曲线x 2−y2=1(a>0)的离心率为√5,则渐近线方程为,若b=4,则a=.13.(2019江苏南通高三下学期4月阶段测试)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一个点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AF⊥BF,当∠ABF=π12时,椭圆的离心率为. 14.(2019福建厦门外国语学校高三最后一模)双曲线M的焦点是F1,F2,若双曲线M上存在点P,使△PF1F2是有一个内角为2π3的等腰三角形,则M的离心率是.15.(2019浙江湖州三校模拟)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点A(a,0),B(0,b),过A,B两点分别作AB的垂线交该椭圆于不同于顶点的C,D两点,若2|BD|=3|AC|,则椭圆的离心率是.参考答案专题突破练23热点小专题三圆锥曲线的离心率1.C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以a=b=1.所以c=√a2+b2=√2,双曲线的率心率e=ca=√2.2.B解析椭圆的离心率e=ca =12,c2=a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B.3.D解析双曲线的渐近线的方程为bx±ay=0,因其与圆相切,故|-ab|c =12a,所以c=2b,则a=√3b.故e=2√33.故选D.4.A解析如图,设P(x0,y0),Q(-x0,-y0),又A(a,0),F(c,0),∴M x0+a2,y0 2.∵Q ,F ,M 三点共线,k QF =k MF , ∴y 0c+x 0=y 02-0x 0+a 2-c ,即y 0c+x 0=yx 0+a -2c ,∴c+x 0=x 0+a-2c.∴a=3c.∴e=c a =13.故选A .5.D 解析 过F 1且倾斜角为45°的直线方程设为y=x+c ,双曲线的渐近线方程为y=±ba x ,由OP ∥QF 2,可得Q 在第一象限,由y=x+c 和y=ba x ,解得Q acb -a ,bcb -a ,QF 2的斜率为bcac -bc+ac=b 2a -b ,可得-b a=b2a -b,可得b=3a ,则e=c a=√1+b 2a2=√10.故选D .6.ABD 解析 因为△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆,当C=π2时,离心率e=2c2a =ABCA+CB =√22,当C=π4时,离心率e=ABCA+CB =√2+1=√2-1.(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线,根据双曲线的特征可得,只有C=π4, 此时,离心率e=2c2a =AB|CA -CB |=√2-1=√2+1.故选ABD .7.A 解析 因为F 1,F 2为椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点,且两曲线在第一象限的公共点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,所以椭圆C 1的离心率为e 1=|F 1F 2||PF 1|+|PF 2|=34+2=12,双曲线C 2的离心率为e 2=|F 1F 2|12=34-2=32,因此,e 2+e 1e 21=32+1232-12=2.故选A .8.B 解析 设P (x 0,y 0),直线y=x 过原点,由椭圆的对称性设A (x 1,y 1),B (-x 1,-y 1),k PA k PB =y 0-y1x 0-x 1×y 0+y 1x 0+x 1=y 02-y 12x 02-x 12.又x 02a 2+y 02b 2=1,x 12a 2+y 12b2=1,两式作差,代入上式得k PA k PB =-b 2a 2∈-13,0,故0<b 2a2<13.所以e=√1-b2a2∈√63,1.故选B .9.B 解析如图,设椭圆的长半轴长为a ,半焦距为c ,月球的半径为R ,F 为月球的球心,R=1×3 476=1 738.依题意,|AF|=100+1 738=1 838,|BF|=400+1 738=2 138.则2a=1 838+2 138,解得a=1 988,a+c=2 138,c=2 138-1 988=150,故椭圆的离心率为e=c=150≈3.故选B . 10.A 解析 由题设知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线方程为l :y=ba x.右焦点F (c ,0),|PF 2|=|bc -0|√a 2+b =|bc -0|c=b.∴|OP|=a ,∴P a 2c ,abc .∴|PA|=√(a 2c +a) 2+(abc ) 2=2|PF 2|=2b ,平方化简得(a 2+ac )2+a 2b 2=4b 2c 2,又c 2=a 2+b 2, ∴a 2(a+c )=(c-a )(4c 2-a 2), ∴a+c c -a=4c 2-a 2a 2,即e+1e -1=4e 2-1, 又0<e<1,解得e=1±√32, 又e>1,故得e=1+√32.故选A . 11.D解析 双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=ba x ,圆C :x 2+(y-b )2=4的圆心坐标为(0,b ),半径为2,∵∠ACB=π3,∴△ABC 是边长为2的等边三角形.∴AB=2,圆心到直线y=ba x 的距离为√3.又|AB|=|OB|-|OA|=2|OA|,∴|OA|=1,|OB|=3.在△OBC ,△OAC 中,由余弦定理得cos ∠BOC=cos ∠AOC=32+b 2-46b =b 2+1-42b,解得b=√7.由圆心到直线y=ba x 的距离为√3,有√a 2+b=ab c =√3,∴e=c a =√7√3=√213.故选D .12.y=±12x16解析 因为双曲线x 2a−y 2b =1(a>0)的离心率为√52,所以e=√a+b a=√52⇒b a =14.所以双曲线x 2a −y 2b =1的渐近线方程为y=±√ba x=±12x ,若b=4,则4a =14,可得a=16.13.√63 解析 设F 1为椭圆的左焦点,连接AF 1,BF 1.由椭圆对称性及AF ⊥BF 可知,四边形AFBF 1为矩形,∴AB=FF 1=2c.又∠ABF=π12,∴AF=AB sin π12=2c sin π12,AF 1=BF=AB cos π12=2c cos π12,由椭圆定义可知:AF+AF 1=2c sin π12+cos π12=2√2c sin π3=2a ,∴e=c a =2√2sin π3=√63. 14.√3+12 解析 根据双曲线的对称性可知,等腰三角形的两个腰应为PF 2与F 1F 2(或PF 1与F 1F 2),不妨设等腰三角形的两腰为PF 2与F 1F 2,且点P 在第一象限,故PF 2=F 1F 2=2c.等腰三角形PF 1F 2有一个内角为2π3,即∠PF 2F 1=2π3.由余弦定理,可得|PF 1|=√(2c )2+(2c )2-2×2c ×2c ×cos 2π3=2√3c ,由双曲线的定义,可得|PF 1-PF 2|=2√3c-2c=2a ,即(√3-1)c=a ,解得e=√3+12.15.√33 解析 过点A 作出的AB 的垂线的方程为y=a b (x-a ),与x 2a 2+y 2b2=1联立方程组解得x C =a (a 4-b 4)a 4+b 4,过点B 作出的AB 的垂线的方程为y=a x+b ,与x 22+y 2b2=1联立方程组解得x D =-2a 3b 2a 4+b 4,∵2|BD|=3|AC|,∴2|x D -0|=3|x C -a|.∴4a 3b2a 4+b4=3×2a b 4a 4+b4.∴2a 2=3b 2=3a 2-3c 2,a 2=3c 2.∴e 2=13,解得e=√33.。
圆锥曲线离心率公开课课件
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
（2）椭圆焦点三角形顶角范围 (3)一般结论：b2 MF1 MF2 a2
2
利用焦点三角形顶得F1MF2 120o,120o F1BF2 180o,
60o
OBF2
90o,e sin OBF2 [
3 ,1). 2
利用焦点三角形顶角范围
一般结论：椭圆 G
： x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的两焦点为 F1(c, 0), F2 (c, 0)
2b2 ，即 a2
2(a2 c2 ) 所以e
c a
2 ，所以椭圆离心率 2
的取值范围是[ 2 ,1) . 2
一般结论：b2 MF1 MF2 a2
求圆锥曲线离心率值及 范围常见题型与思路
1，直接利用已知条件找关系
2，在焦点三角形中找关系
3，利用条件中平面几何知识，结合 椭圆（双曲线）特殊边，角找关系
23
A. 7
B.4
C. 3
D. 3
解析 因为△ABF2为等边三角形， 所以不妨设|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m， 因为A为双曲线右支上一点， 所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a， 因为B为双曲线左支上一点， 所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a， 由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°， 在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos 120°，
专题七7.2 热点小专题三、圆锥曲线的离心率课件
关键能力 学案突破
热点一
椭圆的离心率
类型一 求椭圆的离心率
2 2
【例1】(202X湖南怀化一模,15)若椭圆 +
=1(a>b>0)的左焦点为F1,
2
2
点P在椭圆上,点O为坐标原点,且△OPF1为正三角形,则椭圆的离心率
为
.
3-1
答案
∵椭圆上存在点 P 使△OPF1 为正三角形,|OF1|=c,不妨设点 P 在第二
−
2
=1(a>0,b>0)的左、
2
右焦点分别为 F1,F2,|F1F2|=2c,过 F2 作 x 轴的垂线,与双曲线在第一象限的交
点为 A,点 Q 坐标为
P
3
,
2
且满足|F2Q|>|F2A|,若在双曲线 C 的右支上存在点
7
使得|PF1|+|PQ|< |F1F2|成立,则双曲线的离心率的取值范围
以A,B为焦点的双曲线经过点C,则该双曲线的离心率为(
A.
5
2
B.
7
2
C.
3+1
2
D. 3
)
答案
C
解析 设 AB=BC=2,取 AB 的中点为 O,在△OBC 中,cos
AC=
22
+
22 -2
×2×2×
1
2
=2 3,
所以 2a=2 3-2,即 a= 3-1,2c=2,
即 c=1,所以双曲线的离心率为
由
4 2
2 1+ 5
e= 可得 e -e -1=0,解得 e = 2 .故选
D.
类型二 求双曲线离心率的取值范围
圆锥曲线的几何性质(离心率)优秀课件
关键能力·学案突破
考点1
考点2
考点3
考点4
解析: (1)以线段 A1A2 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0),
半径为 r=a,圆的方程为 x2+y2=a2,
直线 bx-ay+2ab=0 与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,
即 d=
2
2+ 2
2
2
从而 e =
故选 A.
2
=a,整理可得 a2=3b2,即 a2=3(a2-c2),即 2a2=3c2,
圆锥曲线的几何性质
之离心率
-2-
关键能力·学案突破
考点2
例(1)(2017 全国Ⅲ,文 11)已知椭圆 C:
2
2
+
2
2 =1(a>b>0)的左、右
顶点分别为 A 1,A2,且以线段 A1 A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0
相切,则 C 的离心率为 ( A )
A.
6
3
B.
3
3
C.
2
3
1
D. 3
=
2
,则椭圆的离心率
3
e= =
2
3
=
6
,
3
-4-
关键能力·学案突破
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)如图所示.
由题意可得 MF1⊥MF2,|MF2|=c,|MF1|=2a-c,|F1F2|=2c,
所以 c2+(2a-c)2=4c2,化为 c2+2ac-2a2=0,
即 e2+2e-2=0,e∈(0,1),
围,进而求得其中一条渐近线与
高中数学圆锥曲线中离心率的相关问题优秀课件
.
例4.〔1〕【显性不等关系】
双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 的 0右) 焦
点为 F ，假设过点F 且倾斜角为45o 的
直
线与双曲线的左支没有公共点，那么此 双曲
解：双曲线的渐近线方程为：y b x
由题意及图像分析可得
a
b tan 45o 1 a
则b a，即b2 a2
c2 a2 a2,c2 2a2,
B.2 3 C. 5 2 D. 6 3
解：由椭圆的定义得，
AF1 AF2 2a, BF1 BF2 2a，BF1 2AF1
则两式相加并解得，
AF1 (4 2 2)a AF2 (2 2 2)a
在RtAF1F2中，F1F2 2 AF1 2 AF2 2
即 4c2 4(2 2)2 a2 4( 2 1)2 a2
1 a ac ac
y
2 ac a ac P
E
e c 1 a3
M
N
B
A
F
O
x
【对点训练2】椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
的左右焦
点分别为 F1、F2 ，焦距为 2c .假设直线3x y 3c 0
与该椭圆的一个交点 M 满足MF1F2 2MF2F1 ，那
么该椭圆的离心率为 3 1
的左、右焦点分别是 F1、F2 ，点 P 在椭圆上，
O 为坐标原点，假设OP
且
，
1 2
F1F2
， PF1 • PF2 a2
那么A该. 3椭圆的离B心. 率3 为〔 C. 〕2
4
2
2
D. 1 2
解：由椭圆的定义得， PF1 PF2 2a
圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)
分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点 P 与短轴重合时，此时面积最大 Smax b
解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对
的，本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的，因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时，面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题
例
12：已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐
2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
（2）焦点三角形顶角的取值范围：当 P 点处于 B 位置时，顶角最大，例：
例
10：设
P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1上一点，且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等 关系，且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四
种思考方向：
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题
例
7：椭圆
x2 a2
圆锥曲线几何性质之离心率的求法.ppt
1.代点法（点在曲线上）构造关于a、c关系求解 例2、（2015年新课标2第11题）
已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， ∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心 率为（ D ） （ A） 5 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 2
x2 y2 练习、设F是双曲线C: a 2 b 2 1的一个焦点，若
填 空 15 题
2015 卷 I
椭圆的顶点、圆的方程
圆的 标准方程
双曲线性质、点到直线的距离 2017 卷 I 公式、圆的性质
离心率
16
2017 卷 抛物线方程、性质、直线与抛 II 物线位置关系 2018卷 III
距离
16
抛物线方程、性质、直线与抛 物线位置关系 直线斜率
选择、填空中考查频率最高的是离 心率，其次是标准方程、范围距离、最 值，考查的知识点是几何性质的应用（ 包括定义、标准方程、焦点、焦点弦、 渐进线等）.
双曲线性质、圆的方程、直线与圆 2017 卷 II 的位置关系 离心率
双曲线方程、渐近线、椭圆的几何 2017 卷 III 性质 标准方程
5
10 2017 卷 III 椭圆的性质、直线与圆的位置关系 离心率
表2
2015-2018年圆锥曲线模块的选、填考查情况
主要知识点 抛物线几何性质焦点 双曲线几何性质渐近线 双曲线几何性质离心率 题眼分析 向量数量积 长度计算 渐近线
20 2016卷 II
椭圆的性质、直线与椭圆的位 面积、范围 置关系
表3
2015-2018年圆锥曲线模块的解答题考查情况
题型 题 年份/考卷 主要知识点 题眼分析 号 20 2016卷 III 抛物线方程、性质、直线与抛 面积、轨迹 物线位置关系 20 2017 卷 I 解 答 题 20 2017卷 II 椭圆性质、直线与椭圆位置关 定点 系 椭圆、轨迹方程的求法、平面 轨迹方程 向量坐标运算
二圆锥曲线的离心率与统一方程课件
即 e2-e-2<0,即-1<e<2,
又 e>1,故 1<e<2.故选 B.
反思归纳 如果建立的关于a,c的不等式中各项的次数相同,即可以把 其化为关于离心率e的不等式,解不等式得出离心率的范围,要注意椭圆、 双曲线离心率本身的范围.
技巧五 在焦点三角形中使用正、余弦定理解决离心率问题 【例 6】已知椭圆 x2 y2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
数学思想
转化思想
数形结合
课堂巩固练习：
1、若椭圆的短轴长为 6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1，则椭圆的离心率为________．
2.设椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0) 的左、右焦点分别为 F1, F2
，P
是C
上的点， PF2
F1F2
，PF1F2
30
，则
C 的离心率为（
）
A、 3
6
椭圆的离心率 e 2c c (0,1)，在椭圆中我们知道 c2 a2 b2 所以离心率的
2a a
平方
e2
1
b2 a2
。
双曲线的离心率 e 2c c (1,) ，在双曲线中我们知道
2a a
c2 a2 b2
所以离心
率的平方
e2
1
b2 a2
。
命题角度一：
根据已知条件求圆锥曲线离心率的值
命题角度二：
y02
+a2-c2,
上式当 y0=0 时取得最小值 a2-c2,
根据已知- 3 c2≤a2-c2≤- 1 c2,
4
2
即 1 c≤a≤ 2 c,即 2 ≤ c ≤2,
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11
思考题
已知椭圆 x 2 y 2 1中，F1、F2 分
别为其
42 左、右焦点和点A
1,
1
，试在
椭圆上找一点 P,使
2
y
（1）PA PF2 取得最小值; P
AP
F1 o F2
（2）PA 2 PF1取得最小值.
x
12
浅析高考题中求离心率的策略
求圆锥曲线的离心率近几年来在高考中都有题目出现.为此，结合高考题， 介绍求圆锥曲线的离心率的几种常用方法，以达到更好地理解和掌握解此类题 的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力.
kOB
y1 x1
y2 x2
y1 y2 x1 x2
4 4
1
∴OA⊥OB
7
例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-
6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是
什么样的曲线
Y
解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。
即，动圆圆心P(x,y)到点O1（-3，0）和点O2(3,0)距离的和 是常数12，所以点P的轨迹是焦点为（-3，0）、（3，0），
长轴长等于12的椭圆。于是可求出它的标准方程。
∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 ∴b2=36-9=27
x2 y2
于是得动圆圆心的轨迹方程为
1
36 27
4
二、应用举例
例1.求双曲线9y2– 16x2 =144的实半轴与虚 半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
解:把方程化成标准方程: －y2 - －x2 =1
16 25
故 实半轴长a=4,虚半轴长b=3
________
∴ c=√16+9 =5.
∴ e=－5
4
故 渐进线方程为:y=±－34 x
5
例2.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证： OA⊥OB。
5 3
1 5 95
∴OA⊥OB 6
证法2：同证法1得方程 x2-6x+4=0
由一元二次方程根与系数的关系，可知
x1+x2=6, ∵y1=x1-2 ,
x1·x2=4 y2=x2-2;
∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4
=4-12+4=-4
kOA
即
( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12
8
化简并整理，得
3x2+4y2-108=0
即可得
x2 y2 1
36 27
所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别
为 12、6 3. 解法2：同解法1得方程 ( x 3)2 y2 ( x 3)2 y2 12
4、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有
公共点，则m的取值范围是
[1,5） 。
5、过点M（-2，0）的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2
两点，线段P1P2的中点为P，设直线 l 的斜率为k1(k1≠0)，
直线OP的斜率为k2，则 k1k2 的值为 ( 1 ) 2
F(2,0)，则圆心Ｍ的轨迹方程是 y2 8 x．
1
一、知识回顾
椭圆
圆
锥 双曲线
曲
线 抛物线
标准方程 标准方程 标准方程
几何性质
第二定义
几何性质 第二定义
综合应用 统一定义
几何性质
2
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
几何条件 标准方程
椭圆
双曲线
抛物线
与两个定点
与两个定点的 与一个定点和
课前热身
(１) 求长轴与短轴之和为20，焦距为4 5 的
(1) x2 y2 1 和
x2 y2 1
椭圆的标准方程___3_6__1_6 ______16___36_
(2)求与双曲线
x2
y2
1
9 16
有共同渐近线，且过
点（-3，2 3）的双曲线方程；
4x2 (2)
y2
1
94
(3)一动圆Ｍ和直线l:x=-2相切，并且经过点
的距离的和等于 距离的差的绝对 一条定直线的距
常数
值等于常数
离相等
x2 y2 1(a b 0) x2 y2 1(a 0,b 0) y2 2 px( p 0)
a2 b2
a2 b2
图 形
顶点坐标
（±a,0),(0,±b)
（±a,0)
（0,0)
3
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
A.x2 y2 1 B.x2 4 y2 1 C. y2 x2 1 D.4 y2 x2 1
4
4
3．和圆x2+y2=1外切，且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹
方程是 x2=2|y|+1 。
10
做练习
3．过点P（ 0 ， 4 ）与抛物线y2=2x只有一个公共点的 直线有 3 条。
证法1：将y=x-2代入y2=2x中，得 化简得 x2-6x+4=0
解得： x 3 5
(x-2)2=2x
则：y 1 5
A(3 5,1 5); B(3 5,1 5)
kOB
1 3
5 5
, kOA
1 3
5, 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 5 1 5 15
kOB kOA 3
分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0
配方，得（x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
P
O1
O2
当⊙P与⊙O1: (x+3)2+y2=4外切时，有 |O1P|=R+2
当⊙P与⊙O2: (x-3)2+y2=100内切时，有 |O2P|=10-R
X
① ②
①、②式两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12
这个动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为 12、6 3.
9
三、课堂练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M（2，0）的距
离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ D ）
A．直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.P是双曲线 x2/4-y2=1 上任意一点，O为原点，则OP
线段中点Q的轨迹方程是（ B）
一、根据条件先求出 a，c，利用 e=ac求解
例 1 若椭圆经过原点，且焦点为 F1(1，0)，F2(3，0)， 则其离心率为( )
椭圆
双曲线
抛物线
对称性
焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程
X轴，长轴长2a, Y轴，短轴长2b
（±c,0)
X轴，实轴长2a, Y轴，虚轴长2b
（±c,0)
c2=a2-b2
c2=a2+b2
0<e<1
e>1
x=±a2/c x=±a2/c
X轴 （p/2,0)
e=1 x=-p/2
渐近线方程
y=±(b/a)x