网络的状态方程

1 R1C1
uC1
us R1C1
duC 2 dt
uC 2
1 C2
iL
1 R2C 2
uC 2
1 C2
is
矩阵形式为
uiLC 1 uC 2
0
1 C1 1
C2
1 L 1 R1C1
0
1
0
L 0 1
iL uC uC
1 2
1 R1C1
0
R2C2
0
us
0
1 C2
is
i3
us7
u1 (is8 i4 R3 R6
i5 )R6
i6
us7
u1 R3 (is8 R3 R6
i4
i5 )
矩阵形式的状态方程为
1
u1 u2
i4
i5
C1
(
R3
0
R3
L4 (R3
L5
(
R6 R3
R6
R6 R6
)
) )
R6
C1
(
R3
R6
)
0
R3 R6
通常选择网络中各独立电容电压(或电荷量)和电感电 流(或磁通链)作为网络的状态变量。
纯电容回路(capacitor-only loop)：
仅由电容元件或仅由电容元件和独立电压源构成 的回路称为纯电容回路。
非独立的电容电压（或电容电荷）不能作为网络的状 态变量。
纯电感割集(inductor-only cut set)：
的一阶微分方程。
范式状态方程
x Ax Bf
网络的状态方程数等于网络的状态变量数。
➢状态方程的说明：
因iL、uc1、uc2都是独立的，故可选作状态变量。
L diL dt
uC 1
uC 2
C1
duC 1 dt
iL
i1
C2
duC 2 dt
i2
iL
Baidu Nhomakorabea
is
i1
uR1 R1
us
uC1 R1
i2
uC 2 R2
diL dt
iL
1 L uC1
1 L uC 2
duC 1 dt
uC 1
1
C1
iL
1 R1C1
uC 1
us R1C1
duC 2 dt
uC 2
1 C2
iL
1 R2C 2
uC 2
1 C2
is
diL dt
iL
1 L uC1
1 L uC 2
duC 1 dt
uC 1
1
C1
iL
仅由电感元件或仅由电感元件和独立电流源构成 的割集称为纯电感割集。
非独立的电感电流（或电感的磁通链）不能作为网络 的状态变量。
➢常态网络(proper network)：
既无纯电容回路又无纯电感割集的网络称为常态网络。
在常态网络中，各电感电流和电容电压都是独立 的，都可作为网络的状态变量。这时，状态变量数即 等于网络中电容元件和电感元件的总数。
§3-3 线性常态网络状态方程的建立
常态树(proper tree)：
对于一个常态网络，可以选择一种树，使其 包含网络中的所有电压源、所有电容和一些必要 的电阻，但不包含任何电感和电流源，这样的树 称为常态树。
建立线性常态网络状态方程的步骤：
第一步：选择状态变量。对常态网络一般选择各电容电压和 电感电流作为网络的状态变量。
➢非常态网络(improper network)：
具有纯电容回路或纯电感割集(或二者兼而有之) 的网络，称为非常态网络。
在非常态网络中，网络的状态变量数小于网络中 电容元件和电感元件的总数。
§3-2 状态方程和输出方程
➢ 状态方程(state equation) 一组表示状态变量与激励函数之间关系
§3-1 网络的状态和状态变量
➢状态(state)： 一个网络在任意瞬时(t=t0)的状态，是指能和输入激
励一道唯一地确定该网络现时(t=t0)的行为和未来(t>t0)的 行为而为数最少(即线性独立)的信息量的集合。 ➢状态变量(state variable)：
能描述网络任一瞬时状态而为数最少(即线性独立) 的网络变量集合中的各个变量。
L4
(
R3 R3
R6
R6
)
L5 (R3 R6 )
0
0 1 L4
R3 C1( R3 R6 )
1
C2 R3 R6 L4 ( R3 R6 )
R6 u1
C1( R3 R6 1
C2 R3 R6
L4 ( R3 R6
) )
u2 i4
1 L5
R3 R6 L5 ( R3 R6 )
第二步：选择一种常态树。
第三步：列出网络中各电容支路所属基本割集的电流方程 和各电感支路所属基本回路的电压方程。
第四步：消去基本割集电流方程和基本回路电压方程中的非 状态变量。
例1 列写图示网络的 状态方程。
解： 1、以u1、u2和i4、i5作为状态变量。
2、选择一种常态树，标出 各电容支路所属基本割集 和各电感支路所属基本回 路。
解： 选一常态树
对电容树支列基本割集方程有
dq dt
i1
i2
1
L1
2
L2
对电感连支列基本回路方程有
d 1
dt
uC
u1
us
q C
R1 L1
1
us
d 2
dt
uC
u2
q C
R2 L2
2
矩阵形式的状态方程为
0
q
1
2
1
x Ax Bf
➢ 输出方程(outpt equation)
表示输出变量、状态变量与激励函数之间关系的
一组代数方程。
以uR1、uL、i1、 i2 、iC2
作为输出
uR1 uC1 us uL uC1 uC 2
11 i1 R1 us R1 uC1
1 i2 R2 uC 2
iC 1
i1
iL
1 R1
us
1 R1
uC 1
iL
矩阵形式
0 1
uR1
uL
i1
i2
iC 1
0
0
0
1
1 1 R1 0
1
R1
0
1 0
1 R2
iL uC uC
1 2
1
0 1
R1 0 1
0
R1
0
0
0us
0
i
s
0
r Cx Df 输出方程的向量形式
输出方程的数目等于输出变量数。
L5
R3 R6 ( R3 R6
)
i5
1
C1( R3
R6
)
i
s8
0
R6
L4 L5
( (
R3 R6
R3
R6 R6
) )
us7
常态网络的范式状态 方程。
难点：消除非状态变 量。
线性网络也可以电容电荷q和电感磁通链作为状态变量
例2 以电容电荷和电感磁通 链为状态变量，写出状 态方程。
采用简单支路
3、对各电容支路所属基本割集和各电感支路所属 基本回路列方程。
C1
du1 dt
i6
i5
is8
C2
du2 dt
i4
i5
L4
di4 dt
u2
R3i3
us7
L5
di5 dt
u2
R3i3 us7
u1
4、消去非状态变量。
us7 i3R3 u1 i6R6 0
i6 i3 i4 i5 is8