第三章-密码学数学引论PPT课件
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高中数学选修5-3(密码学算法基础) 选修课密码学3 课件
7
1.2 模运算 同余有以下性质： ① 若n|(a-b)，则a≡b mod n。(试证明) ② (a mod n)≡(b mod n)，则a≡b mod n。 ③ a≡b mod n,则b≡a mod n。 ④ a≡b mod n,b≡c mod n,则a≡c mod n。 从以上性质易知，同余类中的每一元素都可作为这 个同余类的表示元素。
10
1.2 模运算
① 交换律 (w+x) mod n=(x+w) mod n (w×x) mod n=(x×w) mod n ② 结合律 [(w+x)+y] mod n=[w+(x+y)] mod n [(w×x)×y] mod n=[w×(x×y)] mod n ③ 分配律 [w×(x+y)] mod n=[w×x+w×y] mod n ④ 单位元 (0+w) mod n=w mod n (1×w) mod n=w mod n ⑤ 加法逆元 对w∈Zn，存在z∈Zn，使得 w+z≡0 mod n，记z=-w。
a p1 p2 pt
91=13 ×7 ，11011=13 ×112 ×7 这一性质称为算术基本定理。
1
2
t
其中p1>p2>…pt是素数，ai>0(i=1,…,t)。例如
这一性质也可表示为：
4
a p
pP
ap
1.1 素数和互素数
两数相乘等价于这两个数的分解式中相同因子的指数 相加，即由k=mn 可得：对每一素因子p, kp=mp+np 2 3 例如： m 54 32 n 5 3 2
3
6 1 4 7 2 5
4
0 4 0 4 0 4
1.2 模运算 同余有以下性质： ① 若n|(a-b)，则a≡b mod n。(试证明) ② (a mod n)≡(b mod n)，则a≡b mod n。 ③ a≡b mod n,则b≡a mod n。 ④ a≡b mod n,b≡c mod n,则a≡c mod n。 从以上性质易知，同余类中的每一元素都可作为这 个同余类的表示元素。
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1.2 模运算
① 交换律 (w+x) mod n=(x+w) mod n (w×x) mod n=(x×w) mod n ② 结合律 [(w+x)+y] mod n=[w+(x+y)] mod n [(w×x)×y] mod n=[w×(x×y)] mod n ③ 分配律 [w×(x+y)] mod n=[w×x+w×y] mod n ④ 单位元 (0+w) mod n=w mod n (1×w) mod n=w mod n ⑤ 加法逆元 对w∈Zn，存在z∈Zn，使得 w+z≡0 mod n，记z=-w。
a p1 p2 pt
91=13 ×7 ，11011=13 ×112 ×7 这一性质称为算术基本定理。
1
2
t
其中p1>p2>…pt是素数，ai>0(i=1,…,t)。例如
这一性质也可表示为：
4
a p
pP
ap
1.1 素数和互素数
两数相乘等价于这两个数的分解式中相同因子的指数 相加，即由k=mn 可得：对每一素因子p, kp=mp+np 2 3 例如： m 54 32 n 5 3 2
3
6 1 4 7 2 5
4
0 4 0 4 0 4
密码学中的数论基础课件
02
RSA算法的安全性基于大数分解的难度，使得 加密和解密过程更加复杂。
03
RSA算法广泛应用于数据传输和网络安全领域 。
ElGamal算法
ElGamal算法是一种基于离散对数问题的公钥加密算法。 该算法利用了数论中的离散对数问题，使得加密和解密过程更加高效。
ElGamal算法在数字签名和密钥协商等领域也有广泛应用。
展望：量子密码学与后量子密码学的未来发展
后量子密码学
后量子密码学是指那些在量子计算机时代仍然具有优 势的密码系统。随着量子计算机的发展，许多传统的 加密算法可能会被破解，而后量子密码学则能够提供 更为安全的加密方式。未来，后量子密码学会得到越 来越广泛的应用和发展。
THANKS
和窃听的风险。
复杂性
为了实现更高级别的 安全性，密码学需要 处理复杂的数学问题 和计算难题。这使得 密码学在实际应用中 面临一定的复杂性挑
战。
可用性
密码学需要保证信息 的可用性和完整性。 在现实生活中，由于 各种原因，如网络延 迟、系统故障等，可 能会出现信息不可用
或损坏的情况。
隐私保护
随着大数据和人工智 能的发展，个人隐私 保护成为一个重要的 问题。密码学需要在 保证信息传输安全的 同时，确保个人信息 不被泄露和滥用。
圆曲线等。
第四部分
04
介绍密码学中的一些现代协议，如密钥交换协 议、数字签名方案和零知识证明等，并介绍其
原理、实现和应用。
02
数论基本概念
整数的性质
整数的分类
正整数、负整数和零。
整数的性质
加法、减法、乘法和除法等运算的封闭性、交换 律、结合律等。
整数的基本运算
加法、减法、乘法和除法等。
密码学中的数学基础
密码学数学引论
数论 群论 有限域（Galois Field）理论 计算复杂性理论
密码学数学引论----数论
一、素数 1 除数 ➢ 若a=mb，其中a,m,b均为整数，当b≠0时，b
能整除a，记为b|a，称b为a的一个除数（或因 子）。 ➢ 对于除数，以下规则成立： （1）如果a|1，则a=±1； （2）如果a|b且b|a，则a=±b； （3）对于任何b≠0，有b|0； （4） 如 果b|g 且 b|h， 则 对任 何 整数 m 和 n有
b|(mg+nh)。
密码学数学引论----数论
2 素数 ➢ 如果整数p>1且因子仅为±1和±p，则称p是素
数（质数）。 ➢ 在只考虑正整数的情况下，素数是指只能被1和
它本身整除的整数。 ➢ 目前没有一个规律来确定所有的素数。 ➢ 素数有无穷多个。
算术基本定理：任何大于1的整数a都可以分解写 成唯一的表达式：
56=53×53≡132 mod 56≡1 mod 56 因此
560=56×56×56×56×56×56×56×56×56×56 ≡(1 mod 56) ×…× (1 mod 56) ≡(1×1×…×1)mod 56 ≡1 mod 56
所以56|560-1。
密码学数学引论----数论
三、欧几里德(Euclid)算法 欧几里德算法用于确定两个整数的最大公因子，
和传递性。 （2）模运算满足可交换、可结合、可分配。
[a(modn)±b(modn)]=(a±b)modn [a(modn)b(modn)]=(ab)modn
[(ab)(modn)+(ac)(modn)]modn=[a(b+c)]mo dn
例：证明560-1是56的倍数 证明：53=125≡13 mod 56
数论 群论 有限域（Galois Field）理论 计算复杂性理论
密码学数学引论----数论
一、素数 1 除数 ➢ 若a=mb，其中a,m,b均为整数，当b≠0时，b
能整除a，记为b|a，称b为a的一个除数（或因 子）。 ➢ 对于除数，以下规则成立： （1）如果a|1，则a=±1； （2）如果a|b且b|a，则a=±b； （3）对于任何b≠0，有b|0； （4） 如 果b|g 且 b|h， 则 对任 何 整数 m 和 n有
b|(mg+nh)。
密码学数学引论----数论
2 素数 ➢ 如果整数p>1且因子仅为±1和±p，则称p是素
数（质数）。 ➢ 在只考虑正整数的情况下，素数是指只能被1和
它本身整除的整数。 ➢ 目前没有一个规律来确定所有的素数。 ➢ 素数有无穷多个。
算术基本定理：任何大于1的整数a都可以分解写 成唯一的表达式：
56=53×53≡132 mod 56≡1 mod 56 因此
560=56×56×56×56×56×56×56×56×56×56 ≡(1 mod 56) ×…× (1 mod 56) ≡(1×1×…×1)mod 56 ≡1 mod 56
所以56|560-1。
密码学数学引论----数论
三、欧几里德(Euclid)算法 欧几里德算法用于确定两个整数的最大公因子，
和传递性。 （2）模运算满足可交换、可结合、可分配。
[a(modn)±b(modn)]=(a±b)modn [a(modn)b(modn)]=(ab)modn
[(ab)(modn)+(ac)(modn)]modn=[a(b+c)]mo dn
例：证明560-1是56的倍数 证明：53=125≡13 mod 56
密码学3 序列密码PPT共71页
密码学3 序列密码
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
密码学LECTURE3
Computing Multiplicative Inverse
• r1- 1 mod r0 exists i f f GCD (r0, r1) = 1 • ==> rm= 1 • Would like to fine t such that r1 t = 1 mod r0 • Recursively find r1 tk = rk mod r0 • t0 = 0, t1 = 1, and
tk = tk-2 -qk- 1 tk- 1 mod r0
Building Public Key System
• One-way function: f() is one way if
– For any x, y = f(x) is easy to compute – For any (or almost a l l ) y , i t i s hard to find an
– +, are closed – associative and commutative – Operation distributes over + – 0 is the identity for + and 1 for – Additive inverse and multiplicative inverse
• tk = tk-2 -qk- 1 tk- 1 mod r0
A sample rΒιβλιοθήκη n• GCD (75, 28)
• 75 = 2 28 + 19 • 28 = 1 19 + 9 • 19 = 2 9 + 1
• 9=9 1 • GCD (75,28) = 1
• t0 = 0, • t1 = 1, • t2 = 0-2 t1 = 73 mod 75 • t3 = 1- 1 t2 = 3 mod 75 • t4 = 73-2 t3 = 67 mod 75
密码学——第3章 数学基础
第三章 数学基础近代密码学用到数学之多，遍及许多数学分支，如概率统计、信息论、数论、有限域理论、复杂性理论，甚至于代数、几何等都在近代密码学中扮演重要角色。
所以，数学是近代密码学不可或缺的工具。
3.1 数论3.1.1 数的m 进制表示1. 十进制表示十进制是最方便的一种整数表示法。
例： 7108109101198723+∙+∙+∙=110210710310553721234+∙+∙+∙+∙=2. m 进制表示实际上，使用任何进制表示一个数都是可以的。
定理 设m 是大于的正整数，则每一个正整数n 可唯一地表示为0111c m c m c m c n k k k k ++++=--其中),,2,1,0(k j c j =是整数，且0,0≠<≤k j c m c 。
记作：m k k c c c c n )(011 -=。
3. m 进制表示的具体做法将一个正整数n 表示成m 进制时，主要是要确定k k c c c c ，，，，110- 。
若用⎥⎦⎥⎢⎣⎢m n 表示n 除以m 后，取其整数部分（也就是比m n 小的最大整数），确定k k c c c c ，，，，110- 的方法如下：1. 令01c r =，n n =0，则有1221101c m c m c m c m n n k k k k ++++=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=---2. 令12c r =，则有2331212c m c m c m c m n n k k k k ++++=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=---3. 令23c r =， ……4. 若m n i >，令 ,2,1,0,1==+i c r i i122111++-----+++++=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=i i i k k i k k i i c m c m c m c m n n5. 直到110++==⎥⎦⎥⎢⎣⎢=k k k k r c m n n ， 即m n k <为止。
4. 举例例 5389==m n ， 解 令 3890==n n则有34342323121201013 0 5350 3 55152 15577547753895c r n n c r n n c r n n c r n n ===⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢====⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢====⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢====⎥⎦⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=，，，，故5123)4203(4525053389=+∙+∙+∙=例 2389==m n ， 解 令 3890==n n⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1 12121 12320 32620 621220 1222420 42 24821 84 29720 97219421 19423892889778667556445334223112001====================================c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n c n n ，，，，，，，，， 故2278)101000011(1222389=+++=第六次课截止于此3.1.2 数的因数分解素数 只能被1和其自身除尽的正整数称为素数（1,2,3,5,7, 11,13,17,…）。
3.密码学基础PPT课件
25
明文 vs.密文
• 明文(Plaint或密报(Cryptogram)：明文经密码变换而成 的一种隐蔽形式。 • 加密员或密码员(Cryptographer)：对明文进行加密操作的人 员。
26
加密 vs.解密
加密（Encryption）：将明文变换为密文的过程。把可懂的 语言变换成不可懂的语言，这里的语言指人类能懂的语言和 机器能懂的语言。
31
对称密码算法 vs.非对称密码算法
•对称密码算法（Symmetric cipher）：加密密钥和解密密钥相同， 或实质上等同，即从一个易于推出另一个。又称传统密码算法 （Conventional cipher)、秘密密钥算法或单密钥算法。
– DES、3DES、IDEA、AES
•非对称密码算法（Asymmetric cipher） ：加密密钥和解密密钥 不同，从一个很难推出另一个。又叫公钥密码算法（Public-key cipher)。其中的加密密钥可以公开，称为公开密钥（public key)， 简称公钥；解密密钥必须保密，称为私人密钥（private key)，简 称私钥。
14
现代密码学
Shannon
1949～1975年：
– 1949年，Shannon的论文“The Communication Theory of Secret Systems” 。
– 1967年，David Kahn的专著《The Code breakers》。
– 1971年～1973年，IBM Watson实验室的Horst Feistel等人发表的几篇技术报告。
5
古典密码学分类
Substitution cipher
Stream cipher
代替密码
明文 vs.密文
• 明文(Plaint或密报(Cryptogram)：明文经密码变换而成 的一种隐蔽形式。 • 加密员或密码员(Cryptographer)：对明文进行加密操作的人 员。
26
加密 vs.解密
加密（Encryption）：将明文变换为密文的过程。把可懂的 语言变换成不可懂的语言，这里的语言指人类能懂的语言和 机器能懂的语言。
31
对称密码算法 vs.非对称密码算法
•对称密码算法（Symmetric cipher）：加密密钥和解密密钥相同， 或实质上等同，即从一个易于推出另一个。又称传统密码算法 （Conventional cipher)、秘密密钥算法或单密钥算法。
– DES、3DES、IDEA、AES
•非对称密码算法（Asymmetric cipher） ：加密密钥和解密密钥 不同，从一个很难推出另一个。又叫公钥密码算法（Public-key cipher)。其中的加密密钥可以公开，称为公开密钥（public key)， 简称公钥；解密密钥必须保密，称为私人密钥（private key)，简 称私钥。
14
现代密码学
Shannon
1949～1975年：
– 1949年，Shannon的论文“The Communication Theory of Secret Systems” 。
– 1967年，David Kahn的专著《The Code breakers》。
– 1971年～1973年，IBM Watson实验室的Horst Feistel等人发表的几篇技术报告。
5
古典密码学分类
Substitution cipher
Stream cipher
代替密码
第三章-密码技术的应用课件
• 这种散列函数将输入数据分为L个固定长度为b比特的 分组。输入数据除了消息和附加的填充数据外，还附 加了消息的长度值。附加的这个长度值将增加对手攻 击的难度。对手要么找出两个具有相同长度的消息， 使得它们加上各自长度值后散列值相同。要么找出两 个不同长度的消息，这样的消息加上各自的长度值后 必须散列成相同的值。
3.1.2常见的散列函数
• MD4和MD5 • SHA • 其他
3.2数字签名
• 3.2.1数字签名的基本概念 • 3.2.2数字签名的必要性 • 3.2.3数字签名的原理 • 3.2.4数字签名的要求 • 3.2.5数字签名的作用 • 3.2.6单独数字签名的安全问题
3.2数字签名
• 3.2.7 RSA签名体制 • 3.2.8 ELGamal签名体制 • 3.2.9 无可争辩签名:签名者参与验证 • 3.2.10 盲签名 • 3.2.11 双联签名
RSA数字签名体制
3.3 数字信封
- 发送方产生会话密钥 - 用接收方公钥加密会话密钥，形成数字
信封 - 发送加密消息和数字信封
- 接收方打开信封 - 解密消息
3.4 混合加密系统
会话密钥
消息
链接
消息
消息签名
消息签名
摘要 算法
消息摘要
签名 算法
时间戳
加密 算法
密文
签名私钥
发送
3.5 数字时间戳
➢ 使用公钥密码体制，用发方的私有密钥仅对散列码进行加密。这 种方式与第二种方式一样提供认证而且还提供数字签名。
➢ 发送者将消息M与通信各方共享的一个秘密值S串接，然后计算出 散列值，并将散列值附在消息M后发送出去。由于秘密值S 并不 发送，攻击者无法产生假消息。
散列函数的结构
3.1.2常见的散列函数
• MD4和MD5 • SHA • 其他
3.2数字签名
• 3.2.1数字签名的基本概念 • 3.2.2数字签名的必要性 • 3.2.3数字签名的原理 • 3.2.4数字签名的要求 • 3.2.5数字签名的作用 • 3.2.6单独数字签名的安全问题
3.2数字签名
• 3.2.7 RSA签名体制 • 3.2.8 ELGamal签名体制 • 3.2.9 无可争辩签名:签名者参与验证 • 3.2.10 盲签名 • 3.2.11 双联签名
RSA数字签名体制
3.3 数字信封
- 发送方产生会话密钥 - 用接收方公钥加密会话密钥，形成数字
信封 - 发送加密消息和数字信封
- 接收方打开信封 - 解密消息
3.4 混合加密系统
会话密钥
消息
链接
消息
消息签名
消息签名
摘要 算法
消息摘要
签名 算法
时间戳
加密 算法
密文
签名私钥
发送
3.5 数字时间戳
➢ 使用公钥密码体制，用发方的私有密钥仅对散列码进行加密。这 种方式与第二种方式一样提供认证而且还提供数字签名。
➢ 发送者将消息M与通信各方共享的一个秘密值S串接，然后计算出 散列值，并将散列值附在消息M后发送出去。由于秘密值S 并不 发送，攻击者无法产生假消息。
散列函数的结构
密码学概论PPT课件
8 10/3/2020
密码学的发展历史(3)
❖ 两次世界大战大大促进了密码学的发展。
二战中美国陆军和海军使用的条形密 码设备M-138-T4。根据1914年Parker Hitt的提议而设计。25个可选取的纸条 按照预先编排的顺序编号和使用，主 要用于低级的军事通信。
10/3/2020
Kryha密码机大约在1926年由
密码分析在外交、军事、公安、商业等方面都 具有重要作用，也是研究历史、考古、古语言 学和古乐理论的重要手段之一。
26 10/3/2020
密码分析
密码设计和密码分析是共生的、又是互逆的，两 者密切有关但追求的目标相反。两者解决问题的 途径有很大差别
密码设计是利用数学来构造密码 密码分析除了依靠数学、工程背景、语言学等知识外， 还要靠经验、统计、测试、眼力、直觉判断能力……，有 时还靠点运气。
Alexander vo Kryha发明。这是
一个多表加密设备，密钥长度为
442，周期固定。一个由数量不
等的齿的轮子引导密文轮不规则
运动。
9
密码学的发展历史(4)
❖ 两次世界大战大大促进了密码学的发展。
转轮密码机ENIGMA，由Arthur Scherbius于1919年发明，面板 前有灯泡和插接板；4轮 ENIGMA在1942年装备德国海军， 英国从1942年2月到12月都没能 解读德国潜艇的信号。
❖ 密码由军事走向生活
电子邮件 自动提款机 电话卡
4 10/3/2020
美国电报电话公司的弗纳姆发明了弗纳姆密码
11010 + 11101
00111
00111 + 11101
11010
5 10/3/2020
密码学的发展历史(3)
❖ 两次世界大战大大促进了密码学的发展。
二战中美国陆军和海军使用的条形密 码设备M-138-T4。根据1914年Parker Hitt的提议而设计。25个可选取的纸条 按照预先编排的顺序编号和使用，主 要用于低级的军事通信。
10/3/2020
Kryha密码机大约在1926年由
密码分析在外交、军事、公安、商业等方面都 具有重要作用，也是研究历史、考古、古语言 学和古乐理论的重要手段之一。
26 10/3/2020
密码分析
密码设计和密码分析是共生的、又是互逆的，两 者密切有关但追求的目标相反。两者解决问题的 途径有很大差别
密码设计是利用数学来构造密码 密码分析除了依靠数学、工程背景、语言学等知识外， 还要靠经验、统计、测试、眼力、直觉判断能力……，有 时还靠点运气。
Alexander vo Kryha发明。这是
一个多表加密设备，密钥长度为
442，周期固定。一个由数量不
等的齿的轮子引导密文轮不规则
运动。
9
密码学的发展历史(4)
❖ 两次世界大战大大促进了密码学的发展。
转轮密码机ENIGMA，由Arthur Scherbius于1919年发明，面板 前有灯泡和插接板；4轮 ENIGMA在1942年装备德国海军， 英国从1942年2月到12月都没能 解读德国潜艇的信号。
❖ 密码由军事走向生活
电子邮件 自动提款机 电话卡
4 10/3/2020
美国电报电话公司的弗纳姆发明了弗纳姆密码
11010 + 11101
00111
00111 + 11101
11010
5 10/3/2020
数学与密码学PPT课件
❖ 第二个弱点来自于它的操作流程。每份隐谜电 文的开头都有一组6字母的密钥字符串，它是通过 把反应转轮初始位置的3字母字符串重复加密得到 的。
15
2021
❖ 在解密多表替换密码时，数学家们在多表替换 与单表替换中寻找异同，从变化的替换表中探寻 不变，于是以不变应万变，仍以概率统计的方法 解出了密码。
❖ 在隐谜密码的破译中，雷耶夫斯基以对称的数 学观点发现了置换的两两对换，又以他对隐谜机 的潜心研究和他敏锐的洞察力发现了它的两个致 命弱点。数学家们这些于变化中探寻不变，而后 以不变应万变的深邃思想，以及对称、转换的数 学观点、善于观察，总结要点，探求真知，永不
16
2021
❖ 退缩的可贵数学精神不光是二战中解码军事、解 码战争的密钥，更是打开他们绚丽和光辉人生的 一把永不褪色的钥匙。尽管他们以后可能不会继 续从事解密事业，但这些可贵的数学思维、观点 和方法在任何领域都会让他们大放异彩。
❖ 希望大家能从中获得一些领悟。
17
2021
数学文化 Company LOGO
13级计算机与控制工程学院 智能科学与技术专业 1310704焦艳梅
❖ 凯撒--Caesar密码 ❖ Caesar密码大约出现于公元前100年的高卢战
争期间，是古罗马统治者caesar为了秘密传达战 争计划或命令而设计并以他的名字命名的。
❖ Caesar密码规则是将明文信息中的每个字母， 用它在字母表中位置的右边的第k个位置上的字母 代替，从而获得相应的密文。也就是说它的密钥 就是参数k。
❖ 因使用密钥个数及方式的不同，密码学可分为 单钥密码学与双钥密码学，相应的密码体制或算 法则称为单钥密码体制与双钥密码体制．．
4
2021
密码学与数学的渊源
15
2021
❖ 在解密多表替换密码时，数学家们在多表替换 与单表替换中寻找异同，从变化的替换表中探寻 不变，于是以不变应万变，仍以概率统计的方法 解出了密码。
❖ 在隐谜密码的破译中，雷耶夫斯基以对称的数 学观点发现了置换的两两对换，又以他对隐谜机 的潜心研究和他敏锐的洞察力发现了它的两个致 命弱点。数学家们这些于变化中探寻不变，而后 以不变应万变的深邃思想，以及对称、转换的数 学观点、善于观察，总结要点，探求真知，永不
16
2021
❖ 退缩的可贵数学精神不光是二战中解码军事、解 码战争的密钥，更是打开他们绚丽和光辉人生的 一把永不褪色的钥匙。尽管他们以后可能不会继 续从事解密事业，但这些可贵的数学思维、观点 和方法在任何领域都会让他们大放异彩。
❖ 希望大家能从中获得一些领悟。
17
2021
数学文化 Company LOGO
13级计算机与控制工程学院 智能科学与技术专业 1310704焦艳梅
❖ 凯撒--Caesar密码 ❖ Caesar密码大约出现于公元前100年的高卢战
争期间，是古罗马统治者caesar为了秘密传达战 争计划或命令而设计并以他的名字命名的。
❖ Caesar密码规则是将明文信息中的每个字母， 用它在字母表中位置的右边的第k个位置上的字母 代替，从而获得相应的密文。也就是说它的密钥 就是参数k。
❖ 因使用密钥个数及方式的不同，密码学可分为 单钥密码学与双钥密码学，相应的密码体制或算 法则称为单钥密码体制与双钥密码体制．．
4
2021
密码学与数学的渊源
《密码学概论》课件
未来展望
随着技术的不断进步，密码学将面临新的 挑战和机遇，如量子计算对现有加密算法 的威胁和新型加密算法的研发。
02
密码学基本原理
对称密码学
定义
对称密码学也称为传统密码学 ，它使用相同的密钥进行加密
和解密。
常见的对称加密算法
如AES（高级加密标准）、DES （数据加密标准）、IDEA（国 际数据加密算法）等。
为了应对这一挑战，需要发展基于量 子力学原理的新型加密算法，这些算 法在量子计算环境下是安全的。
密码学在物联网中的应用挑战
物联网设备的计算能力和存储 空间有限，这给密码算法的实
施带来了挑战。
物联网设备的多样性和异构 性也给密码学应用带来了挑 战，因为需要确保各种设备
之间的安全通信。
针对物联网设备的特性，需要 发展轻量级的密码算法和协议 ，以确保其安全性和效率。
AES算法
01
总结词：高级加密标准
02
详细描述：AES是一种对称加密 算法，使用128位、192位或256 位密钥对128位明文块进行加密 ，产生128位密文块。它是美国 政府采用的一种加密标准，被广 泛应用于各种安全协议和应用程
序中。
03
总结词：安全性
04
详细描述：AES具有高度的安 全性，被认为是目前最安全 的对称加密算法之一。它采 用了复杂的数学工具和算法 ，使得破解密文的难度非常
密码学在大数据安全中的应用挑战
01
大数据的特点是数据量大、处理速度快，这给数据的安全存储 和传输带来了挑战。
02
大数据的分布式处理和云计算环境也给数据的安全性带来了挑
战，需要确保数据的隐私和完整性。
针对大数据的特点，需要发展高效的密码算法和安全数据处理
随着技术的不断进步，密码学将面临新的 挑战和机遇，如量子计算对现有加密算法 的威胁和新型加密算法的研发。
02
密码学基本原理
对称密码学
定义
对称密码学也称为传统密码学 ，它使用相同的密钥进行加密
和解密。
常见的对称加密算法
如AES（高级加密标准）、DES （数据加密标准）、IDEA（国 际数据加密算法）等。
为了应对这一挑战，需要发展基于量 子力学原理的新型加密算法，这些算 法在量子计算环境下是安全的。
密码学在物联网中的应用挑战
物联网设备的计算能力和存储 空间有限，这给密码算法的实
施带来了挑战。
物联网设备的多样性和异构 性也给密码学应用带来了挑 战，因为需要确保各种设备
之间的安全通信。
针对物联网设备的特性，需要 发展轻量级的密码算法和协议 ，以确保其安全性和效率。
AES算法
01
总结词：高级加密标准
02
详细描述：AES是一种对称加密 算法，使用128位、192位或256 位密钥对128位明文块进行加密 ，产生128位密文块。它是美国 政府采用的一种加密标准，被广 泛应用于各种安全协议和应用程
序中。
03
总结词：安全性
04
详细描述：AES具有高度的安 全性，被认为是目前最安全 的对称加密算法之一。它采 用了复杂的数学工具和算法 ，使得破解密文的难度非常
密码学在大数据安全中的应用挑战
01
大数据的特点是数据量大、处理速度快，这给数据的安全存储 和传输带来了挑战。
02
大数据的分布式处理和云计算环境也给数据的安全性带来了挑
战，需要确保数据的隐私和完整性。
针对大数据的特点，需要发展高效的密码算法和安全数据处理
《密码学概论》课件
加密过程：DES使用56位密钥对64位明文进行加密，生成64位密文
安全性：DES的密钥空间为2^56，理论上可以抵抗暴力破解 应用：DES广泛应用于金融、政府、军事等领域，是国际上公认的 安全标准之一
国际数据加密算法（IDEA）
概述：一种对称密码 体制，用于加密和解 密数据
特点：速度快，安全 性高，易于实现
商务中。
公钥基础设施（PKI）
公钥基础设施 （PKI）是一种基 于公钥密码体制的 密钥管理和分发系 统。
PKI的主要功能包 括密钥生成、分发、 存储、撤销和更新。
PKI的核心组件包 括证书颁发机构 （CA）、注册机 构（RA）和证书 存储库（CS）。
PKI的应用场景包 括电子邮件加密、 网络支付、电子政 务等。
非对称密码体制：加密和解密使用不 同的密钥
密钥管理：管理密钥的生成、分发、 存储和使用
哈希函数：单向函数，用于生成固定长 度的输出
密码分析：分析密码的强度和破解方 法
密码分析攻击
密码分析攻击的定义：对加密信息进行解密的过程
密码分析攻击的分类：包括频率分析、字母频率分析、凯撒密码分 析等
密码分析攻击的方法：包括暴力破解、字典攻击、彩虹表攻击等
物联网安全：密 码学在物联网安 全中的重要性
密码学技术：密 码学在物联网中 的应用技术
挑战与机遇：密 码学在物联网发 展中面临的挑战 和机遇
未来趋势：密码 学在物联网中的 应用和发展趋势
区块链技术与密码学的融合发展
密码学：研究加密、解密、 密钥管理等技术的学科
融合发展：区块链技术需要 密码学的支持，密码学在区
添加标题
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添加标题
密码学的目的是保护信息的机密 性、完整性和可用性。
安全性：DES的密钥空间为2^56，理论上可以抵抗暴力破解 应用：DES广泛应用于金融、政府、军事等领域，是国际上公认的 安全标准之一
国际数据加密算法（IDEA）
概述：一种对称密码 体制，用于加密和解 密数据
特点：速度快，安全 性高，易于实现
商务中。
公钥基础设施（PKI）
公钥基础设施 （PKI）是一种基 于公钥密码体制的 密钥管理和分发系 统。
PKI的主要功能包 括密钥生成、分发、 存储、撤销和更新。
PKI的核心组件包 括证书颁发机构 （CA）、注册机 构（RA）和证书 存储库（CS）。
PKI的应用场景包 括电子邮件加密、 网络支付、电子政 务等。
非对称密码体制：加密和解密使用不 同的密钥
密钥管理：管理密钥的生成、分发、 存储和使用
哈希函数：单向函数，用于生成固定长 度的输出
密码分析：分析密码的强度和破解方 法
密码分析攻击
密码分析攻击的定义：对加密信息进行解密的过程
密码分析攻击的分类：包括频率分析、字母频率分析、凯撒密码分 析等
密码分析攻击的方法：包括暴力破解、字典攻击、彩虹表攻击等
物联网安全：密 码学在物联网安 全中的重要性
密码学技术：密 码学在物联网中 的应用技术
挑战与机遇：密 码学在物联网发 展中面临的挑战 和机遇
未来趋势：密码 学在物联网中的 应用和发展趋势
区块链技术与密码学的融合发展
密码学：研究加密、解密、 密钥管理等技术的学科
融合发展：区块链技术需要 密码学的支持，密码学在区
添加标题
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添加标题
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密码学的目的是保护信息的机密 性、完整性和可用性。
《密码学》课件
可靠的技术支持。
THANKS
感谢观看
使用复杂密码
鼓励用户使用包含大写字母、小写字 母、数字和特殊字符的复杂密码。
使用密码管理工具
推荐用户使用密码管理工具，如 LastPass、1Password等，以方便管 理和存储多个密码。
05 经典密码学应用
网络安全
01
保障数据传输安全
通过加密技术对网络传输的数据 进行保护，防止数据被窃取或篡 改。
《经典密码学》ppt课件
contents
目录
• 密码学简介 • 加密算法 • 经典密码体制 • 密码破解与防御 • 经典密码学应用 • 未来密码学展望
01 密码学简介
密码学定义
密码学是一门研究保护信息安全的科 学，它涉及到信息的编码、传输、存 储和访问等各个环节的安全保密问题 。
密码学通过使用加密算法和密钥管理 等技术手段，对信息进行加密、解密 、认证和保护，以确保信息的机密性 、完整性和可用性。
密码学的重要性
01
02
03
保护国家安全
密码学在国家安全领域中 发挥着至关重要的作用， 如军事通信、情报传递等 。
保障商业利益
商业组织需要保护商业机 密和客户数据，避免商业 利益受到损失。
维护个人隐私
个人隐私的保护是社会文 明进步的体现，密码学能 够防止个人信息被非法获 取和滥用。
密码学的发展历程
密钥派生函数
使用密钥派生函数从原始密钥生成多个派生 密钥，以提高安全性。
多重哈希
使用多种哈希算法对密码进行多次哈希，增 加破解难度。
加密存储
使用加密算法将密码存储在安全环境中，只 有通过解密才能获取原始密码。
密码管理策略
定期更换密码
THANKS
感谢观看
使用复杂密码
鼓励用户使用包含大写字母、小写字 母、数字和特殊字符的复杂密码。
使用密码管理工具
推荐用户使用密码管理工具，如 LastPass、1Password等，以方便管 理和存储多个密码。
05 经典密码学应用
网络安全
01
保障数据传输安全
通过加密技术对网络传输的数据 进行保护，防止数据被窃取或篡 改。
《经典密码学》ppt课件
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目录
• 密码学简介 • 加密算法 • 经典密码体制 • 密码破解与防御 • 经典密码学应用 • 未来密码学展望
01 密码学简介
密码学定义
密码学是一门研究保护信息安全的科 学，它涉及到信息的编码、传输、存 储和访问等各个环节的安全保密问题 。
密码学通过使用加密算法和密钥管理 等技术手段，对信息进行加密、解密 、认证和保护，以确保信息的机密性 、完整性和可用性。
密码学的重要性
01
02
03
保护国家安全
密码学在国家安全领域中 发挥着至关重要的作用， 如军事通信、情报传递等 。
保障商业利益
商业组织需要保护商业机 密和客户数据，避免商业 利益受到损失。
维护个人隐私
个人隐私的保护是社会文 明进步的体现，密码学能 够防止个人信息被非法获 取和滥用。
密码学的发展历程
密钥派生函数
使用密钥派生函数从原始密钥生成多个派生 密钥，以提高安全性。
多重哈希
使用多种哈希算法对密码进行多次哈希，增 加破解难度。
加密存储
使用加密算法将密码存储在安全环境中，只 有通过解密才能获取原始密码。
密码管理策略
定期更换密码
第三章 密码学概论PPT课件
用私人密钥加密的消息，任何人可以用公开 钥解密，此时说明消息来自持有私人密钥的人。 （实现对消息的数字签名）
密写术
用另外的某种东西把信息本身隐蔽起来。（隐蔽书写）
历史应用
情报写在绸布上再卷起来塞入小球，由信使吞入腹中。
近代应用
被铅笔芯重写，只有按一定的角度对光才能被看见。
秘密信息被照相后缩微一点，嵌入到覆盖信息中以取代普通 句点。
伊夫 爱丽丝
明文
以前的对
鲍勃
分析
密文
密文
密文
选择明文分析：攻击者得到自己选择的明文
从选择明文 中创建的对
以及对应的密文。
伊夫 爱丽丝
明文
分析
鲍勃
密文
密文
密文
选择密文攻击：攻击者可以选择不同的密 文来解密，以得到相对应的明文。
伊夫 从选择密文
中创建的对
密文
明文
分析
密文
鲍勃 密文
2、密码算法的安全性
现代应用
文本覆盖
用词语之间的单倍行距代表二进制的0，用双倍行距代表二进
This book制的is m1。ostly about cryptography, not about steganography.
□ □□□ □ □
□ □ □□
0
10
00
00
1
3.1.2 密码分析
密码分析是研究密钥未知的情况下恢复 明文的科学。密码分析的前提是攻击者已知 密码体制。通常假设攻击者知道正在使用的 密码体制。
这里加密算法便是将明文先分组再逆序书写，密钥是每组的 字符长。本例k=5。若不知道加密算法，这密文相对于明文面目 全非，从而达到加密的目的。
例2 最早的一种密码是在公元前两世纪，由一位希腊 人提出来的。他将26个字母排列在一个5×5的方格 里，其中i和j填在同一格，见表：
密写术
用另外的某种东西把信息本身隐蔽起来。（隐蔽书写）
历史应用
情报写在绸布上再卷起来塞入小球，由信使吞入腹中。
近代应用
被铅笔芯重写，只有按一定的角度对光才能被看见。
秘密信息被照相后缩微一点，嵌入到覆盖信息中以取代普通 句点。
伊夫 爱丽丝
明文
以前的对
鲍勃
分析
密文
密文
密文
选择明文分析：攻击者得到自己选择的明文
从选择明文 中创建的对
以及对应的密文。
伊夫 爱丽丝
明文
分析
鲍勃
密文
密文
密文
选择密文攻击：攻击者可以选择不同的密 文来解密，以得到相对应的明文。
伊夫 从选择密文
中创建的对
密文
明文
分析
密文
鲍勃 密文
2、密码算法的安全性
现代应用
文本覆盖
用词语之间的单倍行距代表二进制的0，用双倍行距代表二进
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3.1.2 密码分析
密码分析是研究密钥未知的情况下恢复 明文的科学。密码分析的前提是攻击者已知 密码体制。通常假设攻击者知道正在使用的 密码体制。
这里加密算法便是将明文先分组再逆序书写，密钥是每组的 字符长。本例k=5。若不知道加密算法，这密文相对于明文面目 全非，从而达到加密的目的。
例2 最早的一种密码是在公元前两世纪，由一位希腊 人提出来的。他将26个字母排列在一个5×5的方格 里，其中i和j填在同一格，见表：
04_密码学的数学引论
13
从完全保密的角度而言
– 密文给出一些有关其对应的明文的信息是不 可避免的 – 一个好的密码算法可是这样的信息最少 – 一个好的密码分析者利用这类信息可确定明 文
密码系统的熵可由密钥空间大小K来衡量： H(K)=log2K 密钥为64位的密钥系统的熵是64，一般 来说，密码系统的熵越大，破译它就越困 14 难
25
§算术基本定理
任何一个不等于0的正整数a都可以写成唯一的表达式 a＝P1α1P2α2…Ptαt (4-1) 这里P1＜P2＜P3…＜Pt是素数，其中ai>0 例：91=7×13 11011=7×112×13 通过简单列出公式中的非0指数分量表示 例：a=12=22×31 表示为{a2=2,a3=1} a=18=21×32 表示为{a2=1,a3=2} k=12×18=216 k2=2+1=3 , k3=1+2=3 所以216=23×32
33
定理：
(加法消去律)如果(a+b) ≡(a+c) mod m, 则b≡c (mod m) (乘法消去律)对于(a×b) ≡ (a×c)mod m 若gcd(a,m)=1, 则b≡c (mod m)
34
例1：附加条件不满足的情况 6×3=18≡2 mod 8 6×7=42≡2 mod 8 但3与7模8不同余，因为6和8 不互素。 例2：附加条件满足的情况 5×3＝15≡7 mod 8 5×11=55≡7 mod 8 3≡11 mod 8 3和11模8同余，因为6和8 互素。
如果a|1, 则a=±1
如果a|b且b|a, 则a=±b
对于任何b≠0,有b|0 如果b|g且g|h，则对任意整数m和n有：b|(mg+nh) 24
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如果a|b且a|c，则对所有的整数s和t，a|sb+tc。
3
2021/2/12
yky_wenfeng@
数论：素数
如果整数p(p>1)只能被1或者是它本身整除，而不能够被其他整数 整除，则称整数p为素数。
素数定理：设π(x)是小于x的素数的个数，则 π(x) ≈ x / lnx
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9
2021/2/12
yky_wenfeng@
数论：最大公约数
公约数：设a,b∈Z，a和b的公约数是能够同时整除a和b的整数。
最大公约数：设a,b∈Z，称正整数d为a和b的最大公约数，如果满 足
d是a和b的公约数；
对a和b的任何一个公约数c，有c|d。
记为gcd(a,b) = d。
11
2021/2/12
yky_wenfeng@
数论：扩展欧几里德定理
欧几里德定理的过失 丢弃了所有的中间商数
基于中间商数的推演 a = q1b + r1 a + b (-q1) = r1 aq2 + b (-q1q2) = r1q2 r1q2= b – r2 a(-q2) + b (1 + q1q2) = r2 aλi + bμi = ri aλk-1+ bμk-1 = rk-1 = gcd(a,b)
数论：完全剩余系
整数集合A是模m的完全剩余系的充要条件是： A中含有m个整数； A中任何两个整数对模m不同余。
由于xi的选取是任意的，则模m的完全剩余系有无穷多个 模m的最小非负完全剩余系：{0,1,2,… ,m-1}； 模m的绝对最小完全剩余系： {-m/2 + 1,…,0,1,…,m/2}(当2|m) 或{-(m-1)/2,…,0,1,…,(m-1)/2}(当2不整除m)。
并进行比较，确定其安全性。
2
2021/2/12
yky_wenfeng@
数论：整除
整除：设整数a和b，且a≠0。如果存在整数k使得b = ak，那么就说 b能被a整除，记做a|b，或者说b是a的倍数。
整除的性质 对所有的整数a，a|0和a|a成立。同理，对任意的整数b，1|b 成 立； 如果a|b且b|c，则a|c 成立；
互素数：如果gcd(a,b)=1，则称a和b互素。
定理：对于任何非负的
整数a和b，有
可以用欧几里德算法求两个非负整数的最大公约数。 gcb(a,b) = gcd(b,amodb)
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2021/2/12
yky_wenfeng@
数论：欧几里德算法求最大公约数
假设a大于b，求a和b最大公约数c： 用a去除b：a = q1b + r1 如果 r1 = 0，那么a能够被b整除，最大公约数为b；如果r1 ≠ 0 则将b表示为如下形式：
a c b d, a c b d, ac bd (mod n)
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2021/2/12
yky_wenfeng@
数论：剩余类／完全剩余系
定义一：给定正整数m，对于每个整数i，0≤i ≤ m-1，称集合 Ri(m) = {n; n≡i(mod m), n∈N}
是模m的一个剩余类。 定义二：设m是正整数，从模m的每一个剩余类中任取一个数xi (0 ≤
2021/2/12
yky_wenfeng@
数论：素数
算术基本定理：任何一个正整数都可以分解为几个素数的乘积， 且该因数分解是唯一的，除非颠倒因子的顺序。
a
p a1 1
p a2 2
p at t
(
p1,p2
,
,pt是素数)
补充定理：如果p是一个素数，且乘积ab能被p整除，那么p|a 或者 p|b。更一般地，如果乘积ab……z能够被素数p整除，那么ab……z 中某个数必能被p整除。
密码学数学引论
Page: 1
2021/2/12
yky_wenfeng@
密码学数学引论组成
数论：研究整数性质的一个数学分支，重ห้องสมุดไป่ตู้研究素数。 群论：一种代数系统，重点研究在整数上的代数运算。 有限域理论：一种代数系统，比群更加复杂。 计算复杂性理论：分析不同密码技术和算法的计算复杂性的方法，
5
2021/2/12
yky_wenfeng@
数论：带余除法
任意的a ∈ Z且a > 0，可找出两个唯一确定的整数q和r，使a = qm + r，0 ≤ r ≤ m，q和r分别称为m去除a所得到的商和余数。 例一：a = 13，m = 8， 13 = 1 × 8 + 5 例二：a = -13，m = 8， -13 = (-2) × 8 + 3
b = q2 r1 + r2
同理，一直进行下去，直到余数为0，步骤如下：
r1 = q3r2 + r3
……
rk-2 = qkrk-1 + rk
结论： gcd(a,b)=rk-1
int Gcd(int a, int b) {
if(b == 0) return a;
return Gcd(b, a % b); }
模的由来：如果a是一个整数，m是一个正整数，定义“a mod m” 为a除以m的余数。 例一：a = 13，m = 8， 5 ≡ 13 mod 8
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yky_wenfeng@
数论：同余
同余：设整数a,b,n(n≠0),如果a-b 是 n 的整数倍(正的或者负的)，我们就 说 a ≡b(modn)(读做a同余于b模n)。
同余命题一：设整数a,b,c,n(n≠0), 当且仅当n|a时，a ≡0(modn)； a ≡a(modn)； 当且仅当b ≡a(modn)时， a ≡b(modn); 如果a ≡b(modn) 且 b ≡c(modn)，那么a ≡c(modn)。
同余命题二：设整数a,b,c,d,n(n≠0),假设a ≡b(modn),c ≡d(modn),那么
i ≤ m-1)，称集合{x0, x1, …, xm-1}是模m的一个完全剩余系(或简称为 完全系)。
例一：m = 3，三个剩余类－R0(3) = {…,-3,0,3…}，R1(3) = {…,2,1,4…}，R2(3) = {…,-1,2,5…}；完全剩余类{0,1,2}。
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数论：素数
如果整数p(p>1)只能被1或者是它本身整除，而不能够被其他整数 整除，则称整数p为素数。
素数定理：设π(x)是小于x的素数的个数，则 π(x) ≈ x / lnx
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数论：最大公约数
公约数：设a,b∈Z，a和b的公约数是能够同时整除a和b的整数。
最大公约数：设a,b∈Z，称正整数d为a和b的最大公约数，如果满 足
d是a和b的公约数；
对a和b的任何一个公约数c，有c|d。
记为gcd(a,b) = d。
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数论：扩展欧几里德定理
欧几里德定理的过失 丢弃了所有的中间商数
基于中间商数的推演 a = q1b + r1 a + b (-q1) = r1 aq2 + b (-q1q2) = r1q2 r1q2= b – r2 a(-q2) + b (1 + q1q2) = r2 aλi + bμi = ri aλk-1+ bμk-1 = rk-1 = gcd(a,b)
数论：完全剩余系
整数集合A是模m的完全剩余系的充要条件是： A中含有m个整数； A中任何两个整数对模m不同余。
由于xi的选取是任意的，则模m的完全剩余系有无穷多个 模m的最小非负完全剩余系：{0,1,2,… ,m-1}； 模m的绝对最小完全剩余系： {-m/2 + 1,…,0,1,…,m/2}(当2|m) 或{-(m-1)/2,…,0,1,…,(m-1)/2}(当2不整除m)。
并进行比较，确定其安全性。
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数论：整除
整除：设整数a和b，且a≠0。如果存在整数k使得b = ak，那么就说 b能被a整除，记做a|b，或者说b是a的倍数。
整除的性质 对所有的整数a，a|0和a|a成立。同理，对任意的整数b，1|b 成 立； 如果a|b且b|c，则a|c 成立；
互素数：如果gcd(a,b)=1，则称a和b互素。
定理：对于任何非负的
整数a和b，有
可以用欧几里德算法求两个非负整数的最大公约数。 gcb(a,b) = gcd(b,amodb)
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数论：欧几里德算法求最大公约数
假设a大于b，求a和b最大公约数c： 用a去除b：a = q1b + r1 如果 r1 = 0，那么a能够被b整除，最大公约数为b；如果r1 ≠ 0 则将b表示为如下形式：
a c b d, a c b d, ac bd (mod n)
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数论：剩余类／完全剩余系
定义一：给定正整数m，对于每个整数i，0≤i ≤ m-1，称集合 Ri(m) = {n; n≡i(mod m), n∈N}
是模m的一个剩余类。 定义二：设m是正整数，从模m的每一个剩余类中任取一个数xi (0 ≤
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数论：素数
算术基本定理：任何一个正整数都可以分解为几个素数的乘积， 且该因数分解是唯一的，除非颠倒因子的顺序。
a
p a1 1
p a2 2
p at t
(
p1,p2
,
,pt是素数)
补充定理：如果p是一个素数，且乘积ab能被p整除，那么p|a 或者 p|b。更一般地，如果乘积ab……z能够被素数p整除，那么ab……z 中某个数必能被p整除。
密码学数学引论
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密码学数学引论组成
数论：研究整数性质的一个数学分支，重ห้องสมุดไป่ตู้研究素数。 群论：一种代数系统，重点研究在整数上的代数运算。 有限域理论：一种代数系统，比群更加复杂。 计算复杂性理论：分析不同密码技术和算法的计算复杂性的方法，
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数论：带余除法
任意的a ∈ Z且a > 0，可找出两个唯一确定的整数q和r，使a = qm + r，0 ≤ r ≤ m，q和r分别称为m去除a所得到的商和余数。 例一：a = 13，m = 8， 13 = 1 × 8 + 5 例二：a = -13，m = 8， -13 = (-2) × 8 + 3
b = q2 r1 + r2
同理，一直进行下去，直到余数为0，步骤如下：
r1 = q3r2 + r3
……
rk-2 = qkrk-1 + rk
结论： gcd(a,b)=rk-1
int Gcd(int a, int b) {
if(b == 0) return a;
return Gcd(b, a % b); }
模的由来：如果a是一个整数，m是一个正整数，定义“a mod m” 为a除以m的余数。 例一：a = 13，m = 8， 5 ≡ 13 mod 8
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数论：同余
同余：设整数a,b,n(n≠0),如果a-b 是 n 的整数倍(正的或者负的)，我们就 说 a ≡b(modn)(读做a同余于b模n)。
同余命题一：设整数a,b,c,n(n≠0), 当且仅当n|a时，a ≡0(modn)； a ≡a(modn)； 当且仅当b ≡a(modn)时， a ≡b(modn); 如果a ≡b(modn) 且 b ≡c(modn)，那么a ≡c(modn)。
同余命题二：设整数a,b,c,d,n(n≠0),假设a ≡b(modn),c ≡d(modn),那么
i ≤ m-1)，称集合{x0, x1, …, xm-1}是模m的一个完全剩余系(或简称为 完全系)。
例一：m = 3，三个剩余类－R0(3) = {…,-3,0,3…}，R1(3) = {…,2,1,4…}，R2(3) = {…,-1,2,5…}；完全剩余类{0,1,2}。
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2021/2/12
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