数理统计统计量及其分布
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1则0x该21月1100这87129100名841青13年11的2158平 1均9295娱.4 乐支出为
将这20个数据分组可以得到如下频数频率 分布:
组序分组区间组中值频数频率
x 1 82 3 92 5 122 2 100
20
定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差,则 样本所有偏差之和为0,即
1
b3
/
b 3/2 2
称为样本偏度.
说明: 1 b3 / b23/2 称为样本偏度.
1、 1 反映了总体分布密度曲线的对称性信息.
2、 1 是个相对数,刻画了数据分布的偏斜方向和程度.
1 0, 说明数据是对称的.
1 0,
说明数据中有几个较大的数，反映总体分布是正偏的或右偏的.
1 0, 说明数据中有几个较小的数，反映总体分布是负偏的或左偏的.
定义5.3.6 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
Xi X
2
1
U 2
n i 1
Xi 2
F x1
G x(1)
n
H xi2 i 1
注:统计量不依赖于未知参数,但是它的分布 一般是依赖与未知参数的.
5.3.2 样本均值及其抽样分布
定义5.3.2 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,其算术平均
值称为样本均值，一般用 x表示,即
Var
n i 1
xi
n 2
n2
2
n
E xi x 2 E xi2 nx 2 E(xi2 ) nE(x 2 )
[E(xi )2 Var(xi )] n[E(x)2 Var(x)]
n 2 n 2 n 2 n 2
n
(n 1) 2
E s2
n
1 1
ELeabharlann Baidu
xi
x 2
2
2
xi c xi x x c
2
2
xi x n xi c 2 xi x xi c
2
2
2
xi
x
n
xi
c
xi
x
定理5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样x 本，为样本均值
1) 若总体分布为N(, 2) ，x则~ N(,n2)
2) 若总体E分(x)布 未,V知ar或(x)者不2是正态分布,但 则n较大时x ~N(, 2 )
1 (n n 1
1)
2
2
5.3.4 样本矩及其函数
定义5.3.4 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
ak
1 n
n i 1
xi k
称为样本 k 阶原点矩
bk
1 n
n
( xi
i 1
x)k
称为样本k 阶中心矩
请回答：x , s*2 , s2 是样本矩吗？
定义5.3.5 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
5.3.1 统计量及其分布
定义5.3.1 统计量:设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若
样本函数T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知 参数,则称T为统计量. 抽样分布: 统计量的分布成为抽样分布.
例：X ~ N (, 2 ) , , 2是未知参数
X
1 n
n i 1
Xi ,
S 2 1 n n 1 i1
x ~N (3, 2 ) N (3,0.262) 30
3) 指数分布Exp(1)的均值和方差都为1, 所以样本均值的渐进分布为
x ~N (1, 1 ) N (1,0.182) 30
5.3.3 样本方差和 样本标准差
定义5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，则它
关于样本均值 x 的平均偏差平方和:
fi
xi 2
nx
2
练习:例5.3.4
定理5.3.4 设总体X具有二阶矩,即
E(x) ,Var(x) 2 ,
x1,x2,…,xn为从总体得到的样本, 则:
证明:
E(x) ,Var(x) 2 , E(s2 ) 2
n
E ( x )
1 n
E
n i 1
xi
n
n
Var(x)
1 n2
p(x) (x 3)/4 3 x 5 0, others
3)总体分布为指数分布Exp(1)；
解: 1) 均匀分布U(1,5)的均值和方差分别为3和4/3,所以样 本均值的渐进分布为
x ~N (3, 4 / 3) N (3,0.212 ) 30
2) 容易算出该分布均值和方差分别为3和2,所以样本 均值的渐进分布为
n
(xi x) 0
i 1
定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小,即在形如
xi c2的函数中, xi x 2最小,其中 c 为任意
给定常数.
定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和 最小,
即在形如 xi c2
的函数中, xi x2
最小,其中c为任意给定常数.
证明: 为任意给定常数c
个数据可以自由变动,而第 n 个则不能自由取值,因为 n xi x 0 i 1
样本偏差平方和的三种不同表达式：
2
n xi x2
i 1
xi2
xi
n
xi2 nx 2
分组样本场合，样本方差的近似计算
公式为
s2 1
K
n 1 I 1
fi (xi
x)2
1 k n 1 i1
x
x1 ... xn n
1 n
n i 1
xi
在分组样本场合,样本均值的近似公式为
x x1 f1 ... xn fn n
n k fi
i1
其中k为组数,xi为第i组的组中值, fi为第组的频数.
例5.3.1 某单位收集到20名青年人的某月的 娱乐支出费用数据:
79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102
s*2 1 n n i1
xi x 2
称为样本方差.
s* s *2
称为样本标准差.
在 n 不大时常用
s2 1 n
n 1 i1
xi x 2
也称为样本方差(也称无偏方差)
s s2
.
也称为样本标准差.
说明：
n
n1 称为偏差平方和 xi x 2 的自由度
i 1
自由度的含义是：
n个偏差 x1 x, x2 x, , xn x 中只有n1
n
证明: 1) 证明见p210,习题13.（提示：用特征函
数的性质证） 2)由中心极限定理,
n (x ) / L N (0,1)
x ~ N(,n2)
例5.3.3 求样本容量为30,总体分布如下的样 本均值的渐进分布:
1)总体分布为均匀分布U(1,5); 2)总体分(布3密x)/度4 ,函1数x 为3 (倒三角分布)
将这20个数据分组可以得到如下频数频率 分布:
组序分组区间组中值频数频率
x 1 82 3 92 5 122 2 100
20
定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差称为偏差,则 样本所有偏差之和为0,即
1
b3
/
b 3/2 2
称为样本偏度.
说明: 1 b3 / b23/2 称为样本偏度.
1、 1 反映了总体分布密度曲线的对称性信息.
2、 1 是个相对数,刻画了数据分布的偏斜方向和程度.
1 0, 说明数据是对称的.
1 0,
说明数据中有几个较大的数，反映总体分布是正偏的或右偏的.
1 0, 说明数据中有几个较小的数，反映总体分布是负偏的或左偏的.
定义5.3.6 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
Xi X
2
1
U 2
n i 1
Xi 2
F x1
G x(1)
n
H xi2 i 1
注:统计量不依赖于未知参数,但是它的分布 一般是依赖与未知参数的.
5.3.2 样本均值及其抽样分布
定义5.3.2 设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,其算术平均
值称为样本均值，一般用 x表示,即
Var
n i 1
xi
n 2
n2
2
n
E xi x 2 E xi2 nx 2 E(xi2 ) nE(x 2 )
[E(xi )2 Var(xi )] n[E(x)2 Var(x)]
n 2 n 2 n 2 n 2
n
(n 1) 2
E s2
n
1 1
ELeabharlann Baidu
xi
x 2
2
2
xi c xi x x c
2
2
xi x n xi c 2 xi x xi c
2
2
2
xi
x
n
xi
c
xi
x
定理5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样x 本，为样本均值
1) 若总体分布为N(, 2) ，x则~ N(,n2)
2) 若总体E分(x)布 未,V知ar或(x)者不2是正态分布,但 则n较大时x ~N(, 2 )
1 (n n 1
1)
2
2
5.3.4 样本矩及其函数
定义5.3.4 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
ak
1 n
n i 1
xi k
称为样本 k 阶原点矩
bk
1 n
n
( xi
i 1
x)k
称为样本k 阶中心矩
请回答：x , s*2 , s2 是样本矩吗？
定义5.3.5 设x1,x2,…,xn是样本,则统计量
5.3.1 统计量及其分布
定义5.3.1 统计量:设x1,x2,…,xn为取自某总体的样本,若
样本函数T=T(x1,x2,…,xn)中不含有任何未知 参数,则称T为统计量. 抽样分布: 统计量的分布成为抽样分布.
例：X ~ N (, 2 ) , , 2是未知参数
X
1 n
n i 1
Xi ,
S 2 1 n n 1 i1
x ~N (3, 2 ) N (3,0.262) 30
3) 指数分布Exp(1)的均值和方差都为1, 所以样本均值的渐进分布为
x ~N (1, 1 ) N (1,0.182) 30
5.3.3 样本方差和 样本标准差
定义5.3.3 设x1,x2,…,xn是来自某个总体的样本，则它
关于样本均值 x 的平均偏差平方和:
fi
xi 2
nx
2
练习:例5.3.4
定理5.3.4 设总体X具有二阶矩,即
E(x) ,Var(x) 2 ,
x1,x2,…,xn为从总体得到的样本, 则:
证明:
E(x) ,Var(x) 2 , E(s2 ) 2
n
E ( x )
1 n
E
n i 1
xi
n
n
Var(x)
1 n2
p(x) (x 3)/4 3 x 5 0, others
3)总体分布为指数分布Exp(1)；
解: 1) 均匀分布U(1,5)的均值和方差分别为3和4/3,所以样 本均值的渐进分布为
x ~N (3, 4 / 3) N (3,0.212 ) 30
2) 容易算出该分布均值和方差分别为3和2,所以样本 均值的渐进分布为
n
(xi x) 0
i 1
定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和最小,即在形如
xi c2的函数中, xi x 2最小,其中 c 为任意
给定常数.
定理5.3.2 数据观察值与均值的偏差平方和 最小,
即在形如 xi c2
的函数中, xi x2
最小,其中c为任意给定常数.
证明: 为任意给定常数c
个数据可以自由变动,而第 n 个则不能自由取值,因为 n xi x 0 i 1
样本偏差平方和的三种不同表达式：
2
n xi x2
i 1
xi2
xi
n
xi2 nx 2
分组样本场合，样本方差的近似计算
公式为
s2 1
K
n 1 I 1
fi (xi
x)2
1 k n 1 i1
x
x1 ... xn n
1 n
n i 1
xi
在分组样本场合,样本均值的近似公式为
x x1 f1 ... xn fn n
n k fi
i1
其中k为组数,xi为第i组的组中值, fi为第组的频数.
例5.3.1 某单位收集到20名青年人的某月的 娱乐支出费用数据:
79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102
s*2 1 n n i1
xi x 2
称为样本方差.
s* s *2
称为样本标准差.
在 n 不大时常用
s2 1 n
n 1 i1
xi x 2
也称为样本方差(也称无偏方差)
s s2
.
也称为样本标准差.
说明：
n
n1 称为偏差平方和 xi x 2 的自由度
i 1
自由度的含义是：
n个偏差 x1 x, x2 x, , xn x 中只有n1
n
证明: 1) 证明见p210,习题13.（提示：用特征函
数的性质证） 2)由中心极限定理,
n (x ) / L N (0,1)
x ~ N(,n2)
例5.3.3 求样本容量为30,总体分布如下的样 本均值的渐进分布:
1)总体分布为均匀分布U(1,5); 2)总体分(布3密x)/度4 ,函1数x 为3 (倒三角分布)