运筹学课件第四章目标规划
运筹第四章整数规划与分配问题
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i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务, 个人去完成, 设有 项任务,需有 个人去完成,每个人只能完成一 项任务,每项任务只能由一个人去完成,设第i人完成 项任务,每项任务只能由一个人去完成,设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少? 务的总时间最少? 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP); ; 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数,则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数, 划(Mixed IP); ; 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值,则称为 规划 Programming)。 。
运筹学课件:第4章 目标规划-第4,5节
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表4-10
销 地 B1
B2
B3
B4
产量
产地
A1
5
2
6
7
300
A2
3
5
4
6
200
A3
4
5
2
3
400
销量
200 100 450 250 900/1000
• 每个销地的供应量不小于其需要量的80%
• x11+x21+x31+d6--d6+=200×0.8 • x12+x22+x32+d7--d7+=100×0.8 • x13+x23+x33+d8--d8+=450×0.8 • x14+x24+x34+d9--d9+=250×0.8
调运方案的总运费不超过最小运 费调运方案的10%
参考答案
min
f
P1d1
P2
d
2
100x1 50x2
10
x1
16x2
d
d1
2
d
d1 1900
2
200
11x1 3x2 x3 25
x1,
x2 ,
x3
,
d1
,
d1
,
d
2
,
d
2
0
• P112 4.4 (2)
第四章 目标规划1-2
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例4.1 某工厂生产两种产品,受到原材料供应和设备工时的限 制.在单件利润等有关数据已知的条件下,要求制订一个获利最 大的生产计划,具体数据见表4-1.
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1, x2
,建立线性规划模型
m z = 6x1 +8x2 ax
5x1 +10x2 ≤ 60
4x1 + 4x2 ≤ 40
x1, x2 ≥ 0
解之得最优生产计划为
x1 = 8
x 件, 2 = 2 件,
利润为 zmax = 64 元. 工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实际情况, 考虑其它问题,如: (1)由于产品Ⅱ销售疲软,故希望产品Ⅱ的产量不 1 超过产品Ⅰ的一半; (2)原材料严重短缺,原料数量只有60; (3)最好能节约4小时设备工时; (4)计划利润不少于48元.
解:设A、B、C三种产品的产量分别为 , 单位工时的利润分别为1000/5=200、1440/8=180、 2520/12=210,故单位工时的利润比例为20:18:21, 于是得目标规划模型为:
综上分析,可得目标规划的一般模型 (4.2 ) s.t. (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) 其中,式(4.2)是目标函数有L个目标,根据L个目标的优先程度,把它们分成K个 优先等级,即 , 是权系数, 是正负偏差变量;式 (4.3)是目标约束, 是L个目标的期望值,一般都应同时引入下、 负偏差变量 ,但有时也可根据已知条件只引入单个 或 ;式(4.4) 是目标规划的绝对约束,通常是人力、物力、财力等资源的约束;式(4.5)、 (4.6)是目标规划的非负约束.
二、目标规划的基本概念
1、目标值和偏差变量 目标值:决策者对每一个目标都有一个期望值----或称为理想值. 正偏差变量:表示决策值(实现值)超过目标值 的数量,记为 d + ; 负偏差变量:表示决策值(实现值)未达到目标 值的数量,记为 d − .
运筹学:目标规划
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运筹学:⽬标规划
基本概念
概念解释
正偏差变量d+决策值超过⽬标值的部分
负偏差变量d−决策值未达到⽬标值的部分
绝对约束必须严格满⾜的约束
⽬标约束允许产⽣正/负偏差的约束,⽬标函数也可转化为⽬标约束
优先因⼦与权系数达到⽬标时有轻重缓急
⽬标规划的⽬标函数正负偏差变量赋予优先因⼦/权系数⽽构造的
⽬标规划的数学模型需要确定⽬标值、优先等级、权系数等具有主观性和模糊性的参数
图解法
按优先级⼀步步缩⼩范围,如果满⾜不了就只在临近点中取
单纯形法
检验数对每个优先因⼦排成⼀⾏,初态k=1,每次检查该⾏是否存在负数,并且对应列的前k−1 ⾏系数为 0,若有则进⾏换基操作,否则k++,若k=K则结束
确定换⼊变量:选择检验数最⼩的
确定换出变量:b 列⽐ a 列,最⼩⽐值原则,如果有多个相同就选择优先级别⾼的变量
Processing math: 100%。
运筹学课件第四章 目标规划
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一、目标规划的数学模型
例4、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电,每台
第四章
电视机需装备时间1小时,每周装配线计划开动40小
时,预计每周25寸彩电销售24台,每台可获利80元, 每周21寸彩电销售30台,每台可获利40元。 该厂目标:
1、充分利用装配线,避免开工不足。
2、允许装配线加班,但尽量不超过10小时。 3、尽量满足市场需求。
(70,50),11000;
E(50,100),13000。
50
d+.d- =0
B O 50 100
X1 100X1+80X2 = 10000
二、目标规划的图解法
例2:用图解法求解。
第四章
min z
P d P d d P d 1 1 2 2 2 3 3
4 x1 16 4 x2 12 x x d d 1 2 1 1 0 s.t. x 2 x d d 1 2 2 2 8 2 x1 3 x2 d 3 d3 12 x , x , d , d i 1,2,3 1 2 i i 0
一、目标规划的数学模型
例3 Ⅰ Ⅱ 资源拥有量
第四章
原材料(公斤)
设备(小时) 利润(千元/件)
2
1 8
1
2 10
11
10
(1)、原材料价格上涨,超计划要高价购买,所以 要严格控制。
(2)、市场情况,产品Ⅰ销售量下降,产品Ⅰ的产 量不大于产品Ⅱ的产量。 (3)、充分利用设备,不希望加班。 (4)、尽可能达到并超过利润计划指标56千元。
一、目标规划的数学模型
目标规划数学模型涉及的基本概念 1、偏差变量
第4章 运筹学课件线性规划的应用
![第4章 运筹学课件线性规划的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/8ed34f31b90d6c85ec3ac6c7.png)
人力资源分配的问题 生产计划的问题 套裁下料问题 配料问题 投资问题
第一节
人力资源分配的问题
例1.某昼夜服务的公交线路每天各时间 段内所需司机和乘务人员数如下页所示, 段内所需司机和乘务人员数如下页所示, 设司机和乘务人员分别在各时间段一开 始时上班,并连续工作八小时,问该公 始时上班,并连续工作八小时, 交线路怎样安排司机和乘务人员,既能 交线路怎样安排司机和乘务人员, 满足工作需要,又配备最少司机和乘务 满足工作需要, 人员? 人员?
要求达到的目标是在一定条件下实现的, ⑶.要求达到的目标是在一定条件下实现的,这 要求达到的目标是在一定条件下实现的 些约束可用线性等式或不等式描述. 些约束可用线性等式或不等式描述.
建模步骤: 建模步骤:
第一步: 第一步 : 设置要求解的决策变 决策变量选取得当, 量.决策变量选取得当,不仅能顺 利地建立模型而且能方便地求解, 利地建立模型而且能方便地求解, 否则很可能事倍功半. 否则很可能事倍功半.
线 性 规 划应用
Linear Programming
一般而言,一个经济,管理问题凡 一般而言,一个经济, 是满足以下条件时, 是满足以下条件时,才能建立线性规划 模型. 模型.
要求解问题的目标函数能用数值指标来反映, ⑴.要求解问题的目标函数能用数值指标来反映, 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映 且为线性函数; 且为线性函数; 存在着多种方案; ⑵.存在着多种方案; 存在着多种方案
通过以上分析,可建立如下的数学模型: 通过以上分析,可建立如下的数学模型:
max z = 15 x1 + 10 x2 + 7 x3 + 13 x4 + 9 x5 s.t 5 x1 + 10 x2 + 7 x3 ≤ 8000(铸造) 6 x1 + 4 x2 + 8 x3 + 6 x4 + 4 x5 ≤ 12000 (机械加工) 3x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + 2 x5 ≤ 10000 (装配) x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法
![运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法](https://img.taocdn.com/s3/m/bba733706294dd88d1d26b15.png)
x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间:ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习:两平行直线间的距离公式
Ax By d d C(目标约束)
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零,如:
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C(在下半平面)
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
(平行) (4)
(2)
x1
管理运筹学第4章-目标规划
![管理运筹学第4章-目标规划](https://img.taocdn.com/s3/m/954e84d676eeaeaad1f330bd.png)
多目标决策问题
多目标规划的矩阵表示: 多目标规划的矩阵表示:
max Z = CX
AX ≤ b
X ≥0
z1 z 其中: 其中: Z = 2 M zm
C = (cij )m×n c11 c = 21 M c m1 c12 c 22 cm 2 L c1n L c2n M L c mn
目标规划的数学模型---相关概念
1、设 x1 , x 2 为决策变量,此外,引进正负偏差变 量 d i+ d i−
d i+ 表示: 决策值超过目标值的部分。 正偏差变量
负偏差变量 d i−表示: 决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值又同时未达到目标值, 即恒有 d + × d − = 0
例:LP----目标规划:加入正负偏差变量
目标规划的数学模型---相关概念
3、优先因子(优先等级)与权系数 依据达到目标的主次或轻重缓急而存在的系数(权)。
要求第一个达到的目标赋予优先因子P1,次位目标P2 …… 并规定PK > PK+1……,表示更大的优先权。
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别,此时可 以分别赋予它们不同的权系数 wi
+ i
目标规划的一般数学模型—p103
− + min z = ∑ Pl ∑ ( wlk d k− + wlk d k+ ) l =1 k =1 L K
式中,
− + wlk , wlk 为权系数
n c kj x j + d k− − d k+ = g k , k = 1K K ∑ j =1 n a x ≤ (=, ≥)b , i = 1L m i ∑ ij j j =1 x j ≥ 0, j = 1L n − + d k , d k ≥ 0, k = 1L K
运筹学课件第四节0-1型整数规划
![运筹学课件第四节0-1型整数规划](https://img.taocdn.com/s3/m/5c047da1541810a6f524ccbff121dd36a32dc404.png)
目录
CONTENTS
• 0-1型整数规划概述 • 0-1型整数规划的数学模型 • 0-1型整数规划的求解算法 • 0-1型整数规划的案例分析 • 0-1型整数规划的软件实现
01 0-1型整数规划概述
CHAPTER
定义与特点
定义
0-1型整数规划是一种特殊的整数规 划,其中决策变量只能取0或1。
解决方案通常采用动态规划或混合整数线性规 划方法,通过迭代和优化算法来找到最优解。
05 0-1型整数规划的软件实现
CHAPTER
Excel求解工具
适用范围
适用于简单的0-1型整数规划问题。
优点
操作简单,易学易用,适合初学者。
使用方法
利用Excel的Solver插件,设置目标函数、 约束条件和决策变量,进行求解。
其他约束
除了资源和需求约束外,还可能 存在其他类型的约束,如数量约 束、时间约束等,这些约束条件 都对决策变量的取值范围进行了 限制。
决策变量
离散变量 0-1型整数规划中的决策变量通常 是离散的,只能取0或1两个值。 这些决策变量代表了不同的策略 或选择。
最优解 最优解是指在所有可行解中使目 标函数达到最优值的决策变量的 取值组合。
缺点
对于大规模问题求解能力有限,可能存在精 度问题。
Python求解库
适用范围
适用于各种规模的0-1型整数规 划问题。
使用方法
利用Python的优化库,如PuLP 或CVXPY,编写目标函数和约束 条件,进行求解。
优点
功能强大,可处理大规模问题 ,精度高。
缺点
需要一定的编程基础,学习成 本较高。
MATLAB求解工具
运筹学课件:第4章 目标规划-第1-3节
![运筹学课件:第4章 目标规划-第1-3节](https://img.taocdn.com/s3/m/1021beb610661ed9ad51f395.png)
Ⅰ Ⅱ 拥有量
原材料(kg) 2 1 11
设备(hr)
1 2 10
利润(元/件) 8 10
解:这是求获利最大的单目标的规划问题, 用x1,x2分别表示Ⅰ,Ⅱ产品的产量,其线性 规划模型表述为:
目标函数: max z 8x1 10x2
满足约束条件:
2x1x12
x2 x2
11 10
x1, x2 0
用图解法求得最优决策方案为: x1*=4, x2*=3, z*=62(元)。
x2
目标函数: max z 8x1 10x2
2x1 x2 11 满足约束条件: x1 2x2 10
x1, x2 0
(4,3)
x1
实际上工厂在作决策时,要考虑市场等 一系列其他条件
• 目标规划的目标函数只能是min z=f(d+,d-)。
其基本形式有三种:
• (1) 要求恰好达到目标值,即正、负偏差变量都要 尽可能地小,这时 min z=f(d++d-)
• (2) 要求不超过目标值,即允许达不到目标值,就 是正偏差变量要尽可能地小。这时 min z=f(d+)
• (3) 要求超过目标值,即超过量不限,但必须是负 偏差变量要尽可能地小,这时 min z=f(d-)
满足约束条件:
x1 2x2 d2 d2 10
8x1 10x2 d3 d3 56
x1, x2, xs , di, di 0, i 1,2,3
① 取xs,d1-,d2-,d3-为初始基变量,列初始单纯形 表,见表4-1。
cj
P1 P2 P2 P3
x1,
x2
, di , di
运筹学第4章
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3x15x2d332
综合考虑后,得到结果
3x15x2d3 d3 32 其中 d3 , d3 0
目标规划的数学模型
产品 甲 乙 资源量
可以用同样的方式来处理其它提出的 资源
决策要求:
设备/台时 3
2
18
原料A/吨
1
0
4
(1)要求甲产品产量不大于乙产品产量。 原料B/吨 0 2 12
如:在引例中,利润的目标值为32, 可能目标值会达不到,所以加上一个
产品 资源
甲 乙 资源量
设备/台时 3
2
18
负偏差变量d3-≥0,把目标函数变成
原料A/吨
1
0
4
3x15x2d332
原料B/吨 单位赢利/
0 3
2 5
12
万元
但是同样,目标值也有可能会超出,所以减去一个正偏差变量
d3+≥0,把目标函数变成
A)恰好达到目标值 B)允许超过目标值 C)不允许超过 目标值
构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的,要求实 现极小化的目标函数.
用目标规划求解问题的过程:
明确问题,列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
N
满意否?
Y
据此制定出决策方案
目标规划的数学模型
求出满意解 分析各项目标
完成情况
p (3 3)计划利润指标32,并且尽可能达到或超过这个利润指标.
问:如何安排生产可以使得获利最大?
分析:
p(1 1)要求甲产品的产量不大于乙产品的产量;
(1)产量偏差变量
d1 , d1 0
p 2(2)尽可能充分利用设备台时,不希望加班生产;
运筹学第四章 目标规划
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(1)首先,根据市场信息,椅子的销售量已 )首先,根据市场信息, 有下降的趋势,故应果断决策减少椅子的产量, 有下降的趋势,故应果断决策减少椅子的产量, 其产量最好不大于桌子的产量. 其产量最好不大于桌子的产量. (2)其次,市场上找不到符合生产质量要求 )其次, 的木工了, 的木工了,因此决不可能考虑增加木工这种资 源来增加产量, 源来增加产量,并且由于某种原因木工决不可 能加班. 能加班. (3)再其次,应尽可能充分利用油漆工的有 )再其次, 效工作时间,但油漆工希望最好不加班. 效工作时间,但油漆工希望最好不加班. (4)最后,企业考虑最好达到并超过预计利 )最后, 润指标 56元. 元
4.目标规划的目标函数. .目标规划的目标函数. 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正, 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正, 负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的. 负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的.当 每一目标值确定后, 每一目标值确定后,决策者的要求是尽可能从某 个方向缩小偏离目标的数值.于是, 个方向缩小偏离目标的数值.于是,目标规划的 目标函数应该是求极小: 目标函数应该是求极小:min f = f (d +,d -). . 其基本形式有三种: 其基本形式有三种: (1)要求恰好达到目标值,即使相应目标约束 )要求恰好达到目标值, 的正,负偏差变量都要尽可能地小. 的正,负偏差变量都要尽可能地小.这时取 min (d + + d - ); ; (2)要求不超过目标值,即使相应目标约束的 )要求不超过目标值, 正偏差变量要尽可能地小. 正偏差变量要尽可能地小.这时取 min (d + ); ; (3)要求不低于目标值,即使相应目标约束的 )要求不低于目标值, 负偏差变量要尽可能地小. 负偏差变量要尽可能地小.这时取 min (d - ); ;
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第四章目标规划
一、学习目的与要求
1、掌握目标规划的图解法模型;
2、掌握目标规划的单纯形的求解模型;
3、掌握目标规划的灵敏度分析。
二、课时6学时
第一节目标规划问题及其数学模型
一、问题的提出
应用线性规划可以处理许多线性系统的最优化问题,但线性规划,整数规划和非线性规划都只有一个目标函数,而在实际问题中,常常需要考虑多个目标:如设计一个新产品的工艺过程,不仅希望获利大,而且希望产量高,消耗低,质量好,投入少等。
而这些目标之间通常是矛盾的。
所以这类问题多目标问题比单目标问题要复杂得多,我们把这一类问题称为目标规划问题。
目标规划与线性规划相比,有以下优点:
1.线性规则只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题。
实际问题中,往往要考虑多个目标的决策问题,这些目标可能互相矛盾,也可能没有统一的度量单位,很难比较。
目标规划就能够兼顾地处理多种目标的关系,求得更切合实际的解。
2.线性规划是在满足所有约束条件的可行解中求得最优解。
而在实际问题
中往往存在一些相互矛盾的约束条件,如何在这些相互矛盾的约束条件下,找到一个满意解就是目标规划所要讨论的问题。
3.线性规划问题中的约束条件是不分主次、同等对待的,是一律要满足的“硬约束”。
而在实际问题中,多个目标和多个约束条件不一定是同等重要的,而是有轻重缓急和主次之分的,如何根据实际情况确定模型和求解,使其更合实际是目标规划的任务。
4.线性规划的最优解可以说是绝对意义下的最优,为求得这个最优解,往往要花去大量的人力、物力和才力。
而在实际问题中,却并不一定需要去找这种最优解。
目标规划所求的满意解是指尽可能地达到或接近一个或几个已给定的指标值,这种满意解更能够满足实际的需要。
因此可以认为,目标规划更能够确切描述和解决经济管理中的许多实际问题。
目前目标规划的理论和方法已经在经济计划、生产管理、经营管理、市场分析、财务管理等方面得到广泛的应用。
二、目标规划的数学模型
例1 某工厂生产两种产品,受到原材料和设备工时的限制。
在单件利润等有关数据已知的条件下,要求制定一个获利最大的生产计划,具体数据见表:
解:设该厂每周安排生产甲、乙两种产品的产量分别为x 1,x 2吨,则有
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≤+≤++=0
,0404460
10586max 21
212121x x x x x x x x z 解得X*=(8,2)’ Z*=64
例2 对于上题我们,现在要考虑如下问题:
(1)由于产品乙销售疲软,故希望乙的产量不超过甲的一半 (2)原材料短缺,生产中避免过量消耗 (3)最好能节约4小时设备工时 (4)计划利润不少于48元
要求制定一个获利最大的生产计划,
一致意见:(1)原材料限额不得突破(2)产品乙产量必须优先考虑,设备工时问题其次考虑(3)最后考虑计划利润的问题
几个基本概念
1、理想值(期望值):目标规划是解决多目标规划问题的,而决策者事先对每个目标都有个期望值——理想值。
2、偏差变量:对每一个决策目标,引入正、负偏差变量d +和d -,分别表示决策值超过或不足目标值的部分。
0,0,0=⋅≥≥-
+
-
+
d
d
d
d
3、绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式或不等式约束,如线性规划问题中所有约束条件都是绝对约束。
绝对约束是硬约束,对它的满足与否,决定了解的可行性。
目标约束是目标规划特有的概念,是一种软约束,目标约束中决策值和目标值之间的差异用偏差变量表示。
由各目标约束的偏差变量及相应的优先因子和权系数构成。
由于目标规划追求的是尽可能接近各既定目标值.
4、优先因子和权系数
目标规划中,多个目标之间往往有主次,缓急之分。
不同目标的主次轻重有两种差别。
一种差别是绝对的,可用优先因子对应目标函数:把首先要达到的目标,赋予优先级P 1,第二位达到的目标赋予优先级P 2………
P 1>>P 2>>……>> P k
一种差别是相对的,它们具有相同的优先因子,用权系数来区别。
权系数用来区别同一优先级中不同偏差变量的重要性。
重要性大的在偏差变量前赋予大的系数。
如 )2(433+
-
+d d P
5、目标规划的目标函数(准则函数,达成函数)
由各目标约束的正、负偏差变量及其相应的优先级,权因子构成。
由于目标规划追求的是尽可能接近既定目标值,也就是使各有关偏差尽量小,所以目标函数只能是极小化。
应用时有三种基本表达式: (1)要求恰好达到目标值
)}(min{-
+
+d d
f
(2)要求不超过目标值,但允许不足目标值
)}(min{+
d f
(3)要求不低于目标值,但允许超过目标值
)}(min{-
d f
上例的目标规划数学模型如下:
⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=≥
=-++=-++=-+-≤++
--+
-
+
-+
-
-
+
-
3
,2,1,0,,48
8636
440260
105},,min{21332
1
222
1112121332211i d d x d d x x d
d
x x d d x x x x d P d P d P i i
目标规划数学模型的一般形式
⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥=≥=≤==-++=
+-==+
-=+
+--=∑∑∑∑
K
k d d n j x m i b x a K
k g d d x c d w d w P Z k k j n j i j ij k n j k k j kj K
k k lk k lk L
l l ,...,2,1,0,,...,2,1,0,...,2,1,),(,...,2,1,)
(min 1
1
1
1
第二节 目标规划的图解法
对于只有两个变量的目标规划问题,可用图解法求解 例3 用图解法解例2
⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=≥=-++=-++=-+-≤++
--+-
+
-+
--
+
-
3
,2,1,0,,48
8636440260
105},,min{2133
2
1
222
111
2121332211i d d x d d x x d d x x d d x x x x d P d P d P i i
解:如下图,CDEF 区域为所求解。
⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧=≥=-+=-+-=-++=-++++
--+-
+-+
-+
-+
-
-
+
-
4
,3,2,1,0,,2
429262}
),35(,,min{2144
23321222111
21144332211i d d x d d x d d x x d d x x d d x x d p d d p d p d p i
i
图解法解线性目标规划问题,可能遇到两种情况
1、最后一级目标的解空间非空。
这时得到的解满足所有目标的要求。
当解不唯一时,可以根据实际条件选择一个。
2、得到的解不能满足所有目标。
这时要做的是寻找满意解,使它尽可能满足高级别的目标。
同时使它对那些不能满足的较低目标的偏离程度尽可能地小。
x 1
x 2 9 12 0 A B
第三节 解目标规划的单纯形法
目标规划的数学模型实际上是最小化型的线性规划,可以用单纯形法求解。
判别检验数时,注意P 1>>P 2>>P 3>>…
例 用单纯形法解下列目标规划
⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=≥=-++=-++=-+-≤++
--+
-
+
-+
-
-
+
-
3
,2,1,0,,48
8636
440260
105},,min{2
1332
1
222
1112121332211i d d x d d x x d
d
x x d d x x x x d P d P d P i i
此时非基变量d 1+,d 3+的检验数=0,所以本题有多重最优解(满意解)
练习 用单纯形法解下列目标规划
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-++=-++=-+=-+++++=+
--+-+
-+
-+
-+
-
+
+
4
,3,2,1,0,,125635410}
32(min 214
421
332122111214332211i d d x d d x x d d x x d d x d d x x d P d P d d P z i i
解:列表得
第四节目标规划的灵敏度分析
目标规划灵敏度分析的方法、原理同线性规划的灵敏度分析本质上相同,主要讨论目标优先级和权数变化对最终解的影响。