动量定理解决连续流体问题
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动量定理解决连续流体问题
(一)流体类“柱状模型”问题
流体及 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”， 其特点 质量具有连续性，通常已知密度ρ
建立“柱状模型”，沿流速v的方向选取一段柱形 分 1 流体，其横截面积为S 析
微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度 步2
为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt 骤
[反思领悟]
对于流体及微粒的动量连续发生变化这类问题，关键是 应用微元法正确选取研究对象，即选取很短时间 Δt 内动量发 生变化的那部分物质作为研究对象，建立“柱状模型”：研 究对象分布在以 S 为截面积、长为 vΔt 的柱体内，质量为 Δm ＝ρSvΔt，分析它在 Δt 时间内动量的变化情况，再根据动量定 理求出有关的物理量。
(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量； (2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
[解析] (1)设 Δt 时间内，从喷口喷出的水的体积为 ΔV，质量为
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Δm，则 Δm＝ρΔV
①
ΔV＝v0SΔt
②
由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为
ΔΔmt ＝ρv0S。
③
(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为 h，水从喷口喷出后
[解析] 设飞船在微粒尘区飞行 Δt 时间，则在这段时间内 附着在飞船上的微粒质量 Δm＝ρSvΔt，
微粒由静止到与飞船一起运动，微粒的动量增加， 由动量定理 Ft＝Δp 得 FΔt＝Δmv＝ρSvΔtv， 所以飞船所需推力 F＝ρSv2＝2.0×10－6×5×(2.0×103)2N ＝40 N。
数N＝nv0SΔt
先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘 3
以N计算
[例 2] 宇宙飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解 决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持速度 不变的问题。假设一宇宙飞船以 v＝2.0×103 m/s的速度进入 密度 ρ＝2.0×10－6 kg/m3 的微粒尘区，飞船垂直于运动方向上 的最大截面积 S＝5 m2，且认为微粒与飞船相碰后都附着在飞 船上，则飞船要保持速度 v 不变，所需推力多大？
⑦
联立③④⑤⑥⑦式得 h＝v20g2－2ρM2v20g2S2。
⑧
(二)微粒类“柱状模型”问题
微粒及 其特点
通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微 粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒 子数n
建立“柱状模型”，沿运动的方向选取一段微元， 1
柱体的横截面积为S
微元研究，作用时间Δt内一段柱形流体的长度为 分析 步骤 2 Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子
到达玩具底面时的速度大小为 v。对于 Δt 时间内喷出的水，由能量守
恒得21(Δm)v2＋(Δm)gh＝21(Δm)v02
④
在 h 高度处，Δt 时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变
化量的大小为 Δp＝(Δm)v
⑤
设水对玩具的作用力的大小为 F，根据动量定理有 FΔt＝Δp ⑥
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得 F＝Mg
3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体
[例 1] (2016·全国卷Ⅰ)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出 的水柱将一质量为 M 的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算 方便起见，假设水柱从横截面积为 S 的喷口持续以速度 v0 竖 直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于 S)；水柱冲击到玩 具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周 均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为 ρ，重力加速度大 小为 g。求
(一)流体类“柱状模型”问题
流体及 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”， 其特点 质量具有连续性，通常已知密度ρ
建立“柱状模型”，沿流速v的方向选取一段柱形 分 1 流体，其横截面积为S 析
微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度 步2
为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt 骤
[反思领悟]
对于流体及微粒的动量连续发生变化这类问题，关键是 应用微元法正确选取研究对象，即选取很短时间 Δt 内动量发 生变化的那部分物质作为研究对象，建立“柱状模型”：研 究对象分布在以 S 为截面积、长为 vΔt 的柱体内，质量为 Δm ＝ρSvΔt，分析它在 Δt 时间内动量的变化情况，再根据动量定 理求出有关的物理量。
(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量； (2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
[解析] (1)设 Δt 时间内，从喷口喷出的水的体积为 ΔV，质量为
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Δm，则 Δm＝ρΔV
①
ΔV＝v0SΔt
②
由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为
ΔΔmt ＝ρv0S。
③
(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为 h，水从喷口喷出后
[解析] 设飞船在微粒尘区飞行 Δt 时间，则在这段时间内 附着在飞船上的微粒质量 Δm＝ρSvΔt，
微粒由静止到与飞船一起运动，微粒的动量增加， 由动量定理 Ft＝Δp 得 FΔt＝Δmv＝ρSvΔtv， 所以飞船所需推力 F＝ρSv2＝2.0×10－6×5×(2.0×103)2N ＝40 N。
数N＝nv0SΔt
先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘 3
以N计算
[例 2] 宇宙飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解 决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持速度 不变的问题。假设一宇宙飞船以 v＝2.0×103 m/s的速度进入 密度 ρ＝2.0×10－6 kg/m3 的微粒尘区，飞船垂直于运动方向上 的最大截面积 S＝5 m2，且认为微粒与飞船相碰后都附着在飞 船上，则飞船要保持速度 v 不变，所需推力多大？
⑦
联立③④⑤⑥⑦式得 h＝v20g2－2ρM2v20g2S2。
⑧
(二)微粒类“柱状模型”问题
微粒及 其特点
通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微 粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒 子数n
建立“柱状模型”，沿运动的方向选取一段微元， 1
柱体的横截面积为S
微元研究，作用时间Δt内一段柱形流体的长度为 分析 步骤 2 Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子
到达玩具底面时的速度大小为 v。对于 Δt 时间内喷出的水，由能量守
恒得21(Δm)v2＋(Δm)gh＝21(Δm)v02
④
在 h 高度处，Δt 时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变
化量的大小为 Δp＝(Δm)v
⑤
设水对玩具的作用力的大小为 F，根据动量定理有 FΔt＝Δp ⑥
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得 F＝Mg
3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体
[例 1] (2016·全国卷Ⅰ)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出 的水柱将一质量为 M 的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算 方便起见，假设水柱从横截面积为 S 的喷口持续以速度 v0 竖 直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于 S)；水柱冲击到玩 具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周 均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为 ρ，重力加速度大 小为 g。求