2016全国高中数学联赛江苏省预赛试题及答案word

江苏省高中数学竞赛预赛试题

江苏省⾼中数学竞赛预赛试题江苏省⾼中数学竞赛预赛试题本试卷分第⼀卷（选择题）和第⼆卷（⾮选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共36分）⼀．选择题：本⼤题共6⼩题，每⼩题6分，共36分。

在每⼩题给出的4个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1．函数y=f (x ) 的图像按a →=(?4，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x +4)+2，那么y=f (x ) 的解析式为( )A ． y=sin xB ． y=cos xC ．y=sin x +2D ．y=cos x +4解: y=sin[(x +π4)+π4], 即 y=cos x .故选B ．2．如果⼆次⽅程x 2－px －q=0 (p ，q ∈N*)的正根⼩于3，那么这样的⼆次⽅程有 ( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解：由?=p 2+4q >0，－q <0，知⽅程的根⼀正⼀负．设f (x )= x 2－px －q ，则f (3)= 32－3p －q ＞0，即3p +q ＜9.由p ，q ∈N*，所以p=1，q ≤5或p=2，q ≤2. 于是共有7组(p ，q )符合题意．故选C ． 3．设a >b >0，那么a 2+1b (a －b )的最⼩值是（）A ． 2B ． 3C ．4D ． 5解：由a >b >0，可知 02≥4．故选C ．4．设四棱锥P －ABCD 的底⾯不是平⾏四边形，⽤平⾯α去截此四棱锥，使得截⾯四边形是平⾏四边形，则这样的平⾯α( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有⽆数多个解：设四棱锥的两组不相邻的侧⾯的交线为m ，n ，直线m 、n 确定了平⾯β，作与β平⾏的平⾯α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平⾏四边形．这样的平⾯α有⽆数多个．故选D ．5．设数列{a n }：a 0=2, a 1=16，a n +2=16 a n +1－63 a n (n ∈N )，则a 2005被64除的余数为( )A ． 0B ．2C ．16D ．48解：数列{ a n }模64周期地为2，16，2，－16，⼜2005被4除余1，故选C ． 6．⼀条⾛廊宽2m 、长8m ，⽤6种颜⾊的1?1m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单⾊的，每种颜⾊的地砖都⾜够多)，要求相邻的两块地砖颜⾊不同，那么所有的不同拼⾊⽅案种数有( )A ．308B ．30?257C ．30?207D ．30?217 解：铺第⼀列(两块地砖)有30种⽅法；其次铺第⼆列，设第⼀列的两格铺了A 、B 两⾊(如图)，那么，第⼆列的上格不能铺A ⾊，若铺B⾊，则有(6－1)种铺法；若不铺B ⾊，则有(6－2)2种⽅法，于是第⼆列上共有AB21种铺法．同理，若前⼀列铺好，则其后⼀列都有21种铺法. 因此，共有30?217种铺法．故选D ．⼆．填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题6分，共36分.7．设向量→OA 绕点O 逆时针旋转2π得→OB ，且2→OA +→OB =（7，9），则向量→OB= ．解：设→OA =（m ，n ），则→OB =（－n ，m ），所以 2→OA +→OB =（2m －n ，2n +m ）=（7，9），即 ?2m －n=7，m +2n=9．得 ?m=235，n=115．因此，→OA =(235，115），→OB =（－115，235)．故填（－115，235)．8．设⽆穷数列{a n }的各项都是正数，S n 是它的前n 项之和，对于任意正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等⽐中项，则该数列的通项公式为．解：由题意知a n +22=2S n ，即S n =(a n +2)28．①由①式，a 1+22=2a 1，得a 1=2．⼜由①式得 S n －1=(a n －1+2)28(n ≥2) ②则有 a n =S n －S n －1=(a n +2)28－(a n －1+2)28 (n ≥2)，整理得 (a n +a n －1)(a n －a n －1－4)=0．⼜因为a n >0，a n －1>0，所以a n－a n－1=4(n≥2)，a1=2.因此, 数列{a n}是以2为⾸项，4为公差的等差数列，其通项公式为a n=2+4(n －1)，故填a n=4n－2 (n∈N*)．9．函数y=|cos x|+|cos2x| (x∈R) 的最⼩值是．解：令t=|cos x|∈[0，1]，则y=t+|2t2－1|．22≤t≤1时，y=2t2+t－1=2(t+ 14)2－98，得22≤y≤2．当0≤t<22时，y=－2t2+t+1=－2(t－14)2+98，得22≤y≤98．⼜y可取到22．故填2210．在长⽅体中ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，点E、F、G分别是棱AA1、C1D1与BC的中点，那么四⾯体B1－EFG的体积是．解：在D1A1的延长线上取⼀点H，使AH=14，易证，HE∥B1G，HE∥平⾯B1FG．故V B1－EFG=V E－B1FG=V H－B1FG=V G－B1FH．⽽S?B1EF =98，G到平⾯B1FH的距离为1．故填V B1－EFG=38．11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都⾄少出现1次，这样的5位数共有个．解：在5位数中，若1只出现1次，有C51(C41+C42+C43)=70个；若1只出现2次，有C52(C31+C32)=60个；若1只出现3次，有C53C21=20个．所以这样的五位数共有150个．故填150．12．已知平⾯上两个点集：M={(x，y)| |x+y+1|≥2(x2+y2)，x，y∈R}，N={(x，y)| |x－a|+|y－1|≤1，x，y∈R}，若M∩N≠?，则a的取值范围为．解：由题意知M是以原点为焦点，直线x+y+1=0为准线的抛物线及其凹⼝内侧的点集，N是以(a，1)为中⼼的正⽅形及其内部的点集(如图)．考察M∩N=?时a的取值范围：令y=1, 代⼊⽅程|x+y+1|=2(x2+y2) 得x2－4x－2=0，解得x=2±6．所以，当a<2－6－1=1－6时M∩N=?．令y=2，代⼊⽅程|x+y+1|=2(x2+y2)得x2－6x－1=0，解得x=3±10．所以，当a>3+10时，M∩M=?．于是，当1－6≤a≤3+10，即a∈[1－6，3+10]时，M∩N≠?．故填[1－6，3+10]．三、解答题：13．已知点M是?ABC的中线AD上的⼀点，直线BM交边AC于点N，且AB 是?NBC的外接圆的切线，设BCBN=λ，试求BMMN（⽤λ表⽰）．(15分)证明：在?BCN中，由Menelaus定理得BM MN ·NAAC·CDDB=1．因为BD=DC，所以BM MN =ACAN．………………………6分由∠ABN=∠ACB，知?ABN ∽?ACB，则ABCDNMAB AN =AC AB =CB BN．所以，AB AN ·AC AB =? ????CB BN 2，即AC AN =BC 2BN2．…………………………………………………12分因此，BM MN =BC 2BN2．⼜BC BN=λ，故BM MN=λ2．………………………………………………………………15分14．求所有使得下列命题成⽴的正整数n (n ≥2)：对于任意实数x 1，x 2，…，x n ，当i=1∑n x i =0时，总有i=1∑nx i x i +1≤0 (其中x n +1=x 1)．(15分)解：当n=2时，由x 1+x 2=0，得x 1x 2+x 2x 1=－2x 12≤0．故n =2时命题成⽴；……3分当n=3时，由x 1+x 2+x 3=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=(x 1+x 2+x 3)2－(x 21 +x 22+x 23)2=－(x 21+x 22+x 23)2≤0．故n=3时命题成⽴．……………………………………………………………………………………6分当n=4时，由x 1+x 2+x 3+x 4=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 4+x 4x 1=(x 1+x 3)(x 2+x 4)=－(x 2+x 4)2≤0．故n=4时，命题成⽴．………………………………………………………………9分当n ≥5时，令x 1=x 2=1，x 4=－2，x 3=x 5=…=x n =0，则i=1∑n x i =0，但i=1∑nx i x i +1=1>0，故n ≥5时命题不成⽴．综上可知，使命题成⽴的n=2，3，4．……………………………………………15分15．设椭圆的⽅程x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR 为正三⾓形，求离⼼率e 的取值范围，并⽤e 表⽰直线PQ 的斜率．(24分)解：如图，设线段PQ 中点M ，过点P 、M 、Q 分别作准线的垂线，垂⾜分别为点P ?，M ?，Q ?，则|MM ?|=12(|PP ?|+|QQ ?|)=12(|PF |e+|QF |e )=|PQ |2e．…………………………6分假设存在点R ，则|RM |=32|PQ |，且|MM ?|＜|RM | ，即|PQ |2e ＜32|PQ |，所以， e ＞33．………………………………12分于是，cos ∠RMM ?=|MM ?||RM |=12e ?13e，cot ∠RMM ?=13e 2－1．在图中，|PF| < |QF|，且有k PQ= tan∠QFx= tan∠FMM?=cot∠RMM?=13e2－1．………………………………………………18分当e>33时，过点F作斜率为13e2－1的焦点弦PQ，它的中垂线交左准线于R，由上述过程知，|RM|=32|PQ|．故?PQR为正三⾓形．……………………………………………21分根据对称性，当|FP| > |FQ|时，有k PQ=－13e2－1．所以，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离⼼率e的范围是(33，1)，且直线PQ的斜率为±13e2－1．…………………………………………………………………………………………24分16．⑴若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正⽅体的体积之和等于2005，求n 的最⼩值，并说明理由；( 12分)⑵若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正⽅体的体积之和等于，求n的最⼩值，并说明理由．( 24分)解：⑴因为 2005=1728+125+125+27=123+53+53+33，故n=4存在，n min≤4．………6分103=1000，113=1331，123=1728，133=2169，123<2005<133，则n≠1．若n=2，因103+103<2005，则最⼤⽴⽅体的棱长只能为11或12，2005－113=674，2005－123=277，674与277均不是完全⽴⽅数，故n=2不可能；若n=3，设此三个⽴⽅体中最⼤⼀个的棱长为x，由3x3≥2005＞3×83，知最⼤⽴⽅体的棱长只能为9、10、11或12，⽽2005<3?93， 2005－93－93=547，2005－93－83－83>0，故x≠9．2005－103－103=5，2005－103－93=276，2005－103－83=493，2005－103－73－73>0．故x≠10；2005－113－93<0，2005－113－83=162，2005－113－73=331，2005－113－63－63>0，故x≠11；2005－123－73<0，2005－123－63=61，2005－123－53－53>0，故x≠12．所以n=3不可能．综上所述，n min=4．…………………………………………………………………………12分⑵设n个⽴⽅体的棱长分别是x1，x2，…，x n，则x31+x32+…+x3n=．①由2002≡4(mod 9)，43≡1(mod 9)，得≡42005≡4668?3+1≡(43)668?4≡4(mod 9)．②⼜当x∈N*时，x3≡0，±1(mod 9)，所以x31≡⁄4(mod 9)，x31+x32≡⁄4(mod 9)，x31+x32+x33≡⁄4(mod 9)．③①式模9，并由②、③式可知n≥4．…………………………………………………18分⽽2002=103+103+13+13，则=?(103+103+13+13)=(2002668)3?(103+103+13+13)=(2002668?10)3+(2002668?10)3+(2002668)3+(2002668)3．故n=4为所求的最⼩值．………………………………………………………………24分。

2016年高中数学联赛江苏省预赛题

(第12题图）CB 2016年全国高中数学联赛江苏省预赛一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分.要求直接将答案写在横线上.）1.若关于x 的不等式||x a b +<的解集为{|24}x x <<，则ab 的值是________.2.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是______.3.已知函数()f x 是周期为4的奇函数，且当(0,2)x ∈时,2()1660f x x x =-+,则f 的值是_______.4.已知直线l 是函数2()2ln f x x x =+图像的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是_____.5.在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是______________.6.已知等边ABC ∆的边长为2，若11(),32AP AB AC AQ AP BC =+=+ ，则APQ ∆的面积是_________.7.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点P 在棱BC 上，点Q 为棱CC 1的中点，若过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP 的取值范围为_______.8.已知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为d 1的等差数列，偶数项依次构成公差为d 2的等差数列，且对任意*n N ∈，都有1n n a a +<，若121,2a a ==，且数列{}n a 的前10项和10S =75，则8a =__________.9.已知正实数,x y 满足22(2)(2)16x y y x+++=，则x y +=________. 10.设M 表示满足下列条件的正整数n 的和：n 整除20162，且2016整除n ，那么M 的所有不同正因子的个数为_______.二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11.已知1135,(0,)sin cos 122πθθθ+=∈，求tan θ12.如图，点P 在ABC ∆的边AB 上，且4AB AP =，过点P 的直线MN 与ABC ∆的外接圆交于点,,M N 且点A 是弧MN 的中点，求证：(1) ABN ∆∽ANP ∆； (2) 2.BM BN MN +=13.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，若OF AB FA FB = ，求双曲线C 的离心率e .14.已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值λ.若九个内角中有一个角等于120︒，试求常数λ的值。

2016年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练(二)[来源：学优高考网371712]

当q 亍1时,2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练(二)班级 ___________ 姓名 __________1、设集合 A 二｛x||x -a|：：：1,x R ｝, B 二｛x|6x .5 x 2,x R ｝，若 A - B 二，则实数 a 的取值范围是 ___________解：由题得 A =｛ x| a -1 ：：： x ：：： a • 1,x ：= R ｝， B =｛x|1 ：：： x ：：： 5, x ：= R ｝，又 B = •，所以有 a -1乞1或a 1 _5，即a 岂0或a _62、从集合｛ 1, 3, 6, 8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是 ______________1 5解：P =1 -弋二―，正面列举亦可，积是偶数情况有 1,6; 1,8; 3,6; 3,8; 6,8C 4 6 3、已知a 是实数，方程x 2 (4 i)x 4 V i "的一个实根是b (i 是虚部单位)，则| a bi | 的值为 _________解：由题： b 2 +(4 Hi)b +4 +ai =On b 2 +4b +4 +(a +b)i =0，故『 +4b +4 —2a ■b = 0b - -2所以 |a • bi |斗2 —2i |二 22 (-2)2 =2 24、设x 1,x 2是方程X 2 • x -4 =0的两实数根，则X ； -5x 2 ■ 10二 ________________ 解：由％,X 2是方程x 2，x-4=0的两实数根得，2 2 2=咅 x_,=咅(4 —xj =4x_, —x ； 4咅 “ 一4 = 5咅一4, -5x 2 =-5(4 —x 2)=-20 5x 2,x 3 -5x 2 10 =5(为 X 2) 10 -24 =-5 10 -24 - -19.201213X 15、设 X .0,则 f X =— .‘Xx 14- X 丿 13 -X X 4丄 4 ------ x■'的最小值为 X 3丄 X X 3 解：令 t =x .—(t _2)，贝y4 1 ,4 2 3“1 ,3〜 x 4 二t -4t 2,x 亍二t —3t x 4t 2 -2晋一3在2 ；)上单调递增，故最小值为 f ⑵話当q 亍1时,,01^1的值为i^lga i lg a 120121 2012 解：当 q =1 时，Igajga zoJlg 2 a 1 三 2012ii lga i lga i 十 lg 印设Sn 为等比数列，且每项都大于1,则lg a ! lg a 2,6、110 分⑴囲汇^^二1^^2-丄一宀心呼2013’11i^lg a i lga i+ lg q y lga i lga i+lg q送［(X 一1) _(X -2)］亞 X _1 +送 |x _2 <10i ±1010_1 107所以有送|x —1| =4，送—2 =6n1 Ex 兰2，故X = 1+丄送(人—1)=—ii ±9、方程2m 3n -3" 1 ■2m =13的非负整数解 m,n 二解：方程 2m 3" -3" 1 - 2m =13 变形为(2m -3)(3" 1) =10，因为 3" 1 .0，故 2m -3 .0b m -3-1 h m -3 -5 —所以m 32,2 m _3必为奇数，故！或《二(m, n) =(2,2)或(3,0)p n +1=10 ［3n +1=210、数列◎淀义如下：a 1 =1,a 2 =2,a n2 =2“ *a n1nn=1,2,||l.若 a m2 黑］n+2n+22012则正整数m 的最小值为 _____________解：由题设得：(n ■ 2)a n 2 =2(n ，1)a n 仁一na n ，则有(n 2)a n2—(n 1总 1—(n 1)a n1—na . = na . -(n —1応丄=||| =2a ?—印=3所以 na n =(n -1总丄-3，令 g = na .，则 g 丄=3，所以 * = na . "a ? ■ 3(n -2) =3n -2，3n —2 2 丄匚 2 丄2011 匕厂… 曰、/士斗a n3 -，故 a m =3- 22 • = m 4024，所以 m 最小值为 4025nn m 20122 211、设椭圆务•占=1(a b 0)的左、右顶点分别为代B ，点P 在椭圆上且异于 A,B 两点, a b O 为坐标原点.若|AP|=|OA|，证明：直线OP 的斜率k 满足|k|. 3 .解法一：设 P （acos^bsin v ）（0 u ：：： 2二），A （ _a,0）.由 |AP|=|OA|，有( )=2012 lg a1lg a20137、方程 17sin(x-) =sin2 x 9的解集为Si "（X2则 2t _17t • 8 =0 .由于 t 珂-1,1］，故t = 1，即 sin(x 亠')24其解为:X(r1)JI410,k ^Z •故解集为』XX =5+(_1)k ，_——,k W Z >8、实数 X 「X 2,山，人0满足二：x1-1 101010 __4? X i -2 _6,，则 x 「X 2川I"。

全国高中数学联赛江苏赛区2016年初赛试题答案

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试时间：2016年5月8日（星期日）上午8∶00－10∶00试题构成：解题建议：试题正文与答案：一、填空题（每小题7分，共70分）1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<，则ab 的值是．解析由题设0b >，不等式x a b +<等价于a b x a b --<<-+，从而24a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以3ab =-．故填3-．2．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是．解析取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为225429C C 4C 9+=．故填49． 3．已知()f x 是周期为4的奇函数，且当()0,2x ∈时，()21660f x x x =-+，则(f 的值是．解析<，即67<，所以()80,2-，所以(()8f f =(836f =--=-．故填36-．评注因为()()284f x x =--或()()1660x f x x =-+．(()2888436f --=-=-+-或(()8886036f ⎡⎤--=---+=-⎣⎦．学会观察，选用合适的方法进行计算． 4．已知直线l 是函数()22ln f x x x =+图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是．解析由题意从而()224f x x x+'=…，当且仅当1x =时等号成立．所以直线l 的斜率最小值为4，此时切点为()1,1，切线方程为430x y --=．故填430x y --=． 5．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是．解析圆的标准方程为()()22125x y -+-=，由题设直线l 过点()1,2，其方程为()21y k x -=-，即2y kx k =+-，注意到l 不经过第四象限，则020k k ⎧⎨-⎩……，解得02k 剟．故填[]0,2． 6．已知等边ABC △的边长为2，若()13AP AB AC =+ ，12AQ AP BC =+，则APQ △的面积是．解析由()13AP AB AC =+ 得点P 是等边三角形ABC的中心，所以AP =，又由12AQ AP BC =+ 得12PQ BC = ，且AP PQ ⊥，因此APQ △的面积为3．故填3．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛JC2016T06D评注若找不到方向，此题也可以建系考查．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在棱BC 上，点Q 为棱1CC 的中点．若过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP 的取值范围为．解析先作出基本图形如下图左所示，假设能构成五边形，我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点，如下图右所示，连接AP 与CD 的延长线交于点W ，连接WQ 并延长与11C D 交于R ，则R 是所截五边形的第三个顶点．（注：作图方法不唯一）JC2016T07D通过同样的方法，可以作出其余的点，如下图所示，JC2016T07D若存在这样的五边形，则每个顶点都存在，设BP t =，通过相似可以得11tRC CW t-==，从而只需01101t t t <<⎧⎪-⎨<<⎪⎩，解得112t <<．故填1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．BCQ PQ ABCDA 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1A 1DC BAQ PR WWAA评注如下图所示，由于是正方体，也可采用极端思想，需要几何动态的观点．JC2016T07D当点为BC 中点时，有1PQ AD ∥，即12BP =时，截面为四边形1APQD ；当P 移向C 时，W 远离C ，X 点向D 点靠拢，此时可形成五边形，即当102BP <<时，截面为四边形；当112BP <<时，截面为五边形．因此BP 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故填1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 8．已知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列，偶数项依次构成公差为2d 的等差数列，且对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<．若11a =，22a =，且数列{}n a 的前10项和1075S =，则8a =．解析分析知()()10121251075S a a d d =+++=，即126d d +=，从此点无法解决根本，按照题目的设想，可求出12,d d ．首先，可以得到该数列的奇偶项表达式（分段通项），设*n ∈N ，则()21111n a n d -=+-，()2221n a n d =+-，其次，因为对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<，即只需满足21221n n n a a a -+<<（或22122n n n a a a ++<<），因此()()()121112111n d n d n d +-+-++<<对*n ∈N 恒成立，分析左边，若需()()1211n d d --<，则必须满足120d d -…◆；分析右边，若需()()12111n d n d -->+，即()121215n d d d d ->--=-，则必须满足120d d -… ．因此分析得12d d =．最后，123d d ==，822311a a d =+=．故填11．评注◆若不然，若120d d ->，则令()()1211n d d --=，解得1211n d d =+-，X ()D 1C 1B 1A 1DCB AQ PW2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛若令012111n d d ⎡⎤=++⎢⎥-⎣⎦，则有()()01211n d d -->与题意矛盾．的理由同类似．事实上，在解决问题“不等式210ax ax ++…对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．”的时候，就没将问题讲清楚，而是直接根据主观论断，否定0a <的情形，本质上否定就是寻找一个0x ，使得20010ax x ++<，这跟函数的零点以及单调性有关．①当0a =时，10…恒成立，符合题意； ②当0a >时，只许满足2040a a a >⎧⎨∆=-⎩…，从而04a <…； ③当0a <时，易知240a a ∆=->，易知方程210ax ax ++=的两根为1x =2x =，又()21f x ax ax =++对称轴12x =-，所以在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，又1212x x <-<，()10f x =，所以01x x ∃<，使()()2000110f x ax x f x +<+==，与题意矛盾．综上所述：实数a 的取值范围是[]0,4．这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点（变号零点）个数的思想是一致的． 9．已知正实数,x y 满足()()222216x y yx+++=，则x y +=．分析 ,x y 若不是以整体x y +的形式求出，则必定分别求出，这类问题涉及到对代数式变形．解析解法一：将题设条件式通分并整理，得()()2222160x x y y xy +++-=，整理得()()()2222280x x y y x y -+-+-=，因此2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法二：因为为,x y 正实数，所以()()22228816x y x yyxy x++=++…816⋅=…，等号成立的条件为2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法三：因为()()()22222416x y x y yxx y++++=++…，所以()()()216816x y x y x y +++++…，即()240x y +-…，所以4x y +=．故填4．解法四：由()()2222x y yx+++224444x y x y yx y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12244442416x y y x y x ⎛⎫⨯⋅⋅⋅+⨯= ⎪⎝⎭…，等号成立的条件是2x y ==，所以4x y +=．故填4．评注常见的不等式链“调和平均数n H …几何平均数n G …算术平均数n A …幂平均数n Q ”，简记为调几算幂，设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个正实数，则1212111n nna a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+?． 10．设M 表示满足下列条件的正整数n 的和：n 整除22016，且2016整除2n ，那么M 的所有不同正因子的个数为．解析因为22016n ，22016n ，所以n 与2016的素因子相同，而522016237⋅⋅=，故可设52237n =⋅⋅．这样我们由题设条件可得1042x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，且252221x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，从而有3101412x y z ⎧⎪⎨⎪⎩剟剟剟，故()()()34102342222333377M =++⋅⋅⋅+⋅+++⋅+()3822134056=⋅-⋅⋅⋅333255132527=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅922235717=⋅⋅⋅⋅，所以，M 的所有不同正因子的个数为()()()()()9121211111360+++++=．评注算术基本定理：若不计素因数的次序，则每一个大于1的整数n 都可以唯一分解成素因数乘积的形式，即1212k knp p p ααα= ，其中12,,,k p p p 均为素数，12,,,k ααα 为自然数．有结论如下：（1）n 的约数个数为()()()()12111k f n ααα=++⋅⋅⋅+；（2）n 的所有约数之和为()()()12222111222111k k k k p pp p p p p p p ααα+++++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++ ；（3）欧拉（Euler ）函数()n ϕ表示不大于n 且与n 互质的数的个数为()12111111k n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知1135sin cos 12θθ+=，0,2θ⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan θ．解析解法一：由题设知()12sin cos 35sin cos θθθθ+=，令sin cos t θθ+=，则(t ∈，且21sin cos 2t θθ-=，则2112352t t -=⨯，即23524350t t --=，解得75t =或57t =-（舍），即有7sin cos 5θθ+=，12sin cos 25θθ=．所以4sin 5θ=，3cos 5θ=或3sin 5θ=，4cos 5θ=，从而4tan 3θ=或34．解法二：由题设可得222351112sin cos θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22112sin cos sin cos θθθθ=++()222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=++ ()222211tan 2tan tan tan θθθθ+=+++211tan 2tan tan tan θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，注意到tan 0θ>，解得125tan tan 12θθ+=（舍负），进一步解得4tan 3θ=或34． 12．如图，点P 在ABC △的边AB 上，且4AB AP =，过点P 的直线MN 与ABC △的外接圆交于点,M N ，且点A 是弧MN 的中点．求证：（1）ABN ANP △△∽；（2）2BM BN MN +=．JC2016T10解析（1）因为点A 是弧MN 的中点，所以AMN ANM ∠=∠，又AMN ABN ∠=∠，所以ABN ANP ∠=∠，又因为BAN NAP ∠=∠，所以ABN ANP △△∽．（2）由（1）知，AB AN BNAN AP NP==，又4AB AP =，所以2AN AP =，从而2BNNP=，即2BN NP =，同理2BM MP =．所以2BM BN MN +=．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C交于,A B 两点．若OF AB FA FB ⋅=⋅，求双曲线C 的离心率e ．解析解法一（参数方程法）：因为双曲线C 的右焦点F 的坐标为(),0c ，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的方程即为cos sin x c t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．代入双曲线方程，并整理得()222224cos 2cos 0c atb c t b αα-+⋅+=，则有412222cos b t t c a α=-，12t t -=22222cos ab c a α=-，因为OF AB FA FB ⋅=⋅，则有242222222cos cos ab c b c a c aαα=--，从而22ac b =，即2210e e --=，因为1e >，故1e =解法二（普通计算法）：①当AB 斜率不存在时，由OF AB FA FB ⋅=⋅得2222b b c a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+②当AB 斜率存在时，设斜率为k ，记()11,A x y ，()22,B x y ，则由OF AB FA FB⋅=⋅，得122x x x -=--，即()2121212c x x c x x x x -=-++．()222222y k x c b x a y a b⎧=-⎨-=⎩，消y 整理得()2222222222220b a k x a ck x a c k a b -+--=，故()()()2222222222224a ckb a k ac k a b ∆=+-+()2222422244a b c k a b k a b =-+()242244a b k a b =+2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛且222221221222222222a ck a k a c k a x x b k x x b b a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，由()2121212c x x c x x x x -=-++，得222c b a k=-，整理得= 从而2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+14．已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值λ．若九个内角中有一个角等于120︒，试求常数λ的值．解析九个内角中任选5个，记为12345,,,,x x x x x ，其余4个记为1234,,,y y y y ，由题意123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos x x x x x y y y y λ=++++++++，且123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos y x x x x x y y y λ=++++++++，所以1111sin cos sin cos x y y x +=+，即1111sin cos sin cos x x y y -=-，()()114545x y -︒=-︒，即11y x =或114545180y x -︒+-︒=︒，即有11y x =或11270y x =︒-．设1120y =︒，由内角的任意可交换性可知，九个角的度数只有两种：120︒和150︒．设有k 个120︒，9k -个150︒，则由内角和公式知()()120915092180k k ⋅︒+-⋅︒=-⋅︒，解得3k =．所以5sin150cos1503cos1201λ=︒+︒+︒=-．。

2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为． 2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为． 3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为． 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为． 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +== ；（2）122016y y y +++ 是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．QG P DCBA2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a += 另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因 ()()()()()22252132631111122223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2MRS MNPQ S S −=×−××=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b −+++=−比较虚、实部得220,230.a b a ab b −+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =−，进而b 于是，满足条件的复数z的积为33 3.22 −+−−=   4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +++ ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=−结合①知， ()()()()22400 2.f g f g −−=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =×=另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以 ()()2.f x f x =− ③又因为()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x −=−，()()1212g x g x −++=−++ ，从而 ()()2 4.g x g x =−−− ④ 将③、④代入①，再移项，得 ()()3229 5.x f x g x x −−−=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g −= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ×=过所求的概率为6012.12525p ==6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为．答案：2450.x y −+=解：12,C C 的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++−=−由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a =−>解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O −直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M−，由此可得直线l 的方程是2450.x y −+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OV 的方向为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V −−−−由条件知111112,,,,,222333M N−−，因此311442,,,,,.222333AM BN ==−设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则cos AM BN AM BNθ⋅==⋅xA8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n +++≤+++=等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡−，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =−= 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m = 这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++=−=−=+−+=−= 因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n+++=+++容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n+++=才成立．而201612168=×，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n+++= 正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．解对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k k a a −−=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t −−=的两个不同实根，从而 ()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a===10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．解（1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB ACcb A +−⋅== 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +−+−⋅=⋅= 故已知条件化为 ()()22222222223,b c a a c b a b c +−++−=+− 即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得 ()2222222123cos 2236a b a b a b c C ab ab a b b a +−++−===+≥等号成立当且仅当::a b c =因此cos C11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S −由条件知00002P Q R S ==，解得a = 这意味着符合条件的a下面验证a =符合条件．事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:,:0,l y k x l y x k k==−≠注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）．联立1l 与C的方程知，(22210,x kx −−−=即()22221210,k xx k −−−−=这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2212.1k PQ k +=⋅−用1k −代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k −−+−+=⋅=−−−于是.PQ RS = 综上所述，a =为符合条件的值．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +== ；（2）122016y y y +++ 是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤= 于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.k kkk k k k k k k x xy y y =====≥=−=−≥−∑∑∑∑∑ ①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤ 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤−≤−∑∑若11m k k y m =>−∑，并且201612015,k k m y m =+−>−∑令 2016111,2015,mk k k k m y m a y m b ==+=−+−=−+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=−+−−+=−+−∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b −是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤−∑，或者201612015,k k m y m =+−≤−∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=−≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ========== 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++ 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅ 的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d ′=，则|d n ′，d ′是奇数，又2kd k ′≤<，故,d A ′∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠= ，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知QG P DCBA.PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OCGC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<< 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是 1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设 110,l k c c b b <<<≤<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>> 它们是B 中的110k l +−=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥ 另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =−±±±±±− 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题+答案(word打印版)

2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛1、关于 x 的不等式 x a b 的解集为 x 2 x 4 ，则 ab 的值是2、从 1, 2, 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是。

3、已知 f x 是周期为 4 的奇函数且当 x 0,2 时f x x 2 16x 60 ,则f 2 10的值是5、在平面直角坐标系 xOY 中，如果直线 l 将圆x 2 y 2 2x 4y 不经过第四象限，那么 l 的斜率的取位范围是6、己知等边△ ABC 的边长为 2,若AP 31 AB AC , AQ AP 21 BC,则△APQ面积是7、已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1,点 P 在棱 BC上，点 Q 为棱 CC 1的中点 .若过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形 .则 BP 的取值范围是。

4、己知直线 l 是函数 fx2 ln xx 2 图象的切线，当l 的斜率最小时 l 的方程0平分，但8、己知数列 {a n }的奇数项依次构成公差为 d 1的等差数列，偶数项依次构成公差10 项和 S 10=75，则 a 8=2 x 2 29、己知正实数 x ，y 满足 y10、设 M 表示满足下列条件的正整数 n 的和:n 整除20162，且 2016整除n 2 .那么 M 的所有不同正因子几的个数是为 d 2 的等差数列 .且对任意 n ∈N*，都有 a n <a n+1，若 a 1=1. a 2=2,.且数列 {a n }的前2216则 x y1 1 35 11、已知sin cos 12 0,2,求tan12、如图，点P在△ ABC的边AB上且AB=4AP，过点P的直线MN 与△ ABC外接圆交于点M, N，且点A是弧M N 的中点.求证：(1)△ ABN △ANP。

2）证明：BM+BN=2MN.22 xy13、在平面直角坐标系xOY中.双曲线C:与双曲线C： 2 2 1的右焦点为F，ab过点F的直线l交曲线C于 A.B两点.若OF.AB=FA.FB求,.双曲线C的离心率e.14、己知凸九边形的任意 5 个内角的正弦与其余 4 个内角的余弦之和都等于某个常数值.若九个内角中有一个角等于1200，试求常数的值.1.1 2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛(2O1G 年5 月 '日8: OO-IO: OO)一、填空題I本大题共KI小题•每小题7分満分7(1分)L . I > I H H ‘ 丨2・∙ WJnA答案-3.解lll⅛⅛. b A 0.不等代I」•十4 < 0祚价I -O 一 b V J・U —α十b.从而2.从L 2.3. L 5. 6, 7. & 9屮任取两卜不问的敷,Wl取出的两数2和为偶救的槪审足_______________答吗2解収出两数2和为偶数的概率为务G =3・Ll)SflHl) f［期为4 的,i .∣⅛. II l- 0,2) W,∕(ar) X2 1& <∙o. M ∕∣2∖1(i)的们是 ___________答案・3G.拆注忽到S 2、帀€(U.2>. |1|电总.綁/(2√Iδ)≡ /(2v^δ-8> -/(a-2√iθ) ≡ ι (8 2√iδ-M -SG.4・Ll⅛n⅜ I是Bfiet /(」•)2Inu f」2图象的切线.当?的斜率址小时./的方甩足___________ ・答案4J∙ - w — 3 = <).解甬故/(J∙)≡ 2hτ + X2的导函敌∕,(r) - → 2τ. 4- ≥0.从丽J r{jc}→ 2/ ≥ I. ,l∣ Ii 仅当*■］时僭号成立.所W,Γ［线/的斜率的最小值为•!,此时切点为(1J),切线方程为h∙ if 3 0.5.SrKI角坐标農Jou屮，帕采r俄I将岡/十『—2事一M=P平分,H不纠.彖限，那么I的斜率的取値范恫兄 ____________ .答案［0,21.解恻严+ y2 -O r- Vl= O的恻心坐标为l1.2). IlI^ i⅛. M线门止点(1. 2). H⅛W为“ 一2 h{,τ 1).即皆灯卜2九注盘到J不经过第闷象限•则Jb > O, Jl 2上A0,解O ≤ λ∙ C 2.6.C知徐边A.WL的边l<⅛ 2、若TP *罚十17*)帀IT i t：7F.则^APQ的l⅛l⅜l⅞答案#・1.1 2016年舍LE高F数学联赛江菽赛区初赛 3__ 1 __ _____ •)υ __ 解山存刖初+ Xr)妙点P足零边Δ4∕JC的中心所以AP于，只山吧AP + 得PQ = •且APIPy l因此UPQ的IflI 枳为罟.7.∣2知IE方体ABCD-A1Ii t C l D1的梭长为1,点P It技IiC h,点Q为楼CC l的屮点. 若过点/1 r.Qf⅛f-M该正方体所紂的戴而为Ti边形.则Br的取値范個为________________________________________________ .** (? 0 *图1.1.1：笫7题图解如图，当点P为BC屮点时PQfAD u此时故南为四边形APQDU从而.与BPV；时.截而为网边形.当J < ZIP <1 at戲啲为五边形.因此.BP的収值范岀为8. ______________ 己知效列｛j｝的奇数项依次构成公菱AJl的列•偶数项依次构成公绘为血的等淮數列.H对任慰∏e N∖都有«… < απ÷ι.若αι = L /I2 = 2. H数列｛a n｝的前IO项和510 ≡ 75.⅛,J cig ≡ ______________________ •看案11.解凶为对任迂n G N∙∙那仃4 < “卄i,故血≡心结台SIe)二75.得75 5 ÷ I(Mj + 10 + Kkij 15 •* 2(∣<∕ι => <∕∣遍 3 9 (Ig — UQ÷ :如2 H∙9.C知M实数丁•"満足土也•卜吐空=ι仃” W .y丁答案4.解一将世设条件式通分外整理•得I(J ÷ 2)2 + I)(I) + 2)2一l(kr" = 0=> JC(T - 2)2 + y(y - 2尸4 出J* - y)3 -= 0 ≡^x≡t∕=2=>r÷j∕ 4.解二丙为二"为iF实数•所以y4.Φ X)LG 年参脊审数学竟审速坟：•；可成立％ IT 为/ = ” = 2.从 1何 r ÷ M = 4.10. S Mj 足下列条件的d 整数 •屮I ： “整除2()16 \ 2016整除心那么吗的所仃不同正因子的个敌为 _______________ .答案36().解 E 为 n I mi/. 2Π1G I fl 2 W j 以 IU 与 2()IG 的肩Al ∕⅜∏同.而 201G 2*i • 32 • 7.故可设 ∏-r∙3≡r ∙π.这样我们由ISKt 条件可得J* ≤ 10.1/ ≤ 丄 2 W 2. JL 2丿 ≥ 5- 2/; ≥ 2. 22 ≥ 1・从而仃3≤ r ≤ :K). 1 ≤ J/ ≤ 4. L ≤ : ≤ 2,故3/ =(2a +24÷ •・ 4 2W )(3÷32 + 3Λ ÷ 34)(7÷ 72) = 29 护・ 5?・17. 所以Mf 的所fj 不同正因子的个数为(0+ 1)(2 I-1)(2 t 1)∙1 + 1)(1 1)34».二解答题I 本大题共1小题每小题2()分満分SO 分)11∙己知.1 + ——： ■兽."e (。

2016江苏预赛

试卷08 2016年江苏省高中数学联赛初赛试卷一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1. 若关于x 的不等式|x a | < b 的解集为{x | 2 < x < 4}，则ab 的值是 .2. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是 .3. 已知f (x )是周期为4的奇函数，且当(0,2)x 时，2()1660f x x x ，则f 的值是 .4. 已知直线l 是函数f (x ) 2ln x x 2图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是 .5. 在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆x 2 y 2 2x 4y 0平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 .6. 已知等边△ABC 的边长为2，若1()3AP AB AC ，12AQ AP BC，则△APQ 的面积是 .7. 已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在棱BC 上，点Q 为棱CC 1的中点. 若过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP 的取值范围为 .8. 已知数列{a n}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列，且对任意n∈N*，都有a n < a n 1. 若a1 1，a2 2，且数列{a n}的前10项和S10 75，则a8 .9. 已知正实数x,y满足22(2)(2)16x yy x，则x y .10. 设M表示满足下列条件的正整数n的和：n整除20162，且2016整除n2，那么M的所有不同正因子的个数为.二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11. 已知1135sin cos12，(0,)2，求tan .12. 如图，点P在△ABC的边AB上，且AB 4AP，过点P的直线MN与△ABC的外接圆交于点M，N，且点A是弧MN的中点. 求证：(1) △ABN∽△ANP；(2) BM BN 2MN.13. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：22221x ya b的右焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点. 若OF·AB FA·FB，求双曲线C的离心率e.14. 已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值 . 若九个内角中有一个角等于120°，试求常数的值.。

2016年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

2016年全国高中数学联赛（B 卷）一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为． 2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为． 3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为． 4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为． 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为．7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +== ；（2）122016y y y +++ 是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．QG P DCBA2016年全国高中数学联赛（B 卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a += 另解：设等比数列的公比为q ，则52611.a a a q a q +=+又因 ()()()()()22252132631111122223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +=2.设{}|12A a a =−≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．答案：7．解：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2MRS MNPQ S S −=×−××=正方形3.已知复数z 满足22z z z z +=≠（z 表示z 的共轭复数），则z 的所有可能值的积为．答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知， 222i 22i i,a b ab a b a b −+++=−比较虚、实部得220,230.a b a ab b −+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =−，进而b 于是，满足条件的复数z的积为33 3.22 −+−−=   4.已知()(),f x g x 均为定义在R 上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x的图像关于点()1,2−中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．答案：2016. 解：由条件知()()002,f g += ①()()22818190.f g +++ ②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=−结合①知， ()()()()22400 2.f g f g −−=+= ③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =×=另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以()()2290.f g += ②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以 ()()2.f x f x =− ③又因为()g x 的图像关于点()1,2−中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x −=−，()()1212g x g x −++=−++ ，从而 ()()2 4.g x g x =−−− ④ 将③、④代入①，再移项，得 ()()3229 5.x f x g x x −−−=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g −= ⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为223560.C P ×=过所求的概率为6012.12525p ==6.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:0C x y a +−=关于直线l 对称的圆为222:2230,C x y x ay ++−+=则直线l 的方程为．答案：2450.x y −+=解：12,C C 的标准方程分别为()()2222212:1,:1 2.C x y C x y a a +=++−=−由于两圆关于直线l 对称，所以它们的半径相等．因此220,a a =−>解得 2.a =故12,C C 的圆心分别是()()120,0,1,2.O O −直线l 就是线段12O O 的垂直平分线，它通过12O O 的中点1,12M−，由此可得直线l 的方程是2450.x y −+=7.已知正四棱锥V -ABCD 的高等于AB 长度的一半，M 是侧棱VB 的中点，N 是侧棱VD 上点，满足2DN VN =，则异面直线,AM BN 所成角的余弦值为．解：如图，以底面ABCD 的中心O 为坐标原点，,,AB BC OV 的方向为,,x y z 轴的正向，建立空间直角坐标系．不妨设2,AB =此时高1,VO =从而()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1.A B D V −−−−由条件知111112,,,,,222333M N−−，因此311442,,,,,.222333AM BN ==−设异面直线,AM BN 所成的角为θ，则cos AM BN AM BNθ⋅==⋅xA8.设正整数n 满足2016n ≤，且324612n n n n+++= ．这样的n 的个数为．这里{}[]x x x =−，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．解：由于对任意整数n ，有135113,2461224612n n n n +++≤+++=等号成立的充分必要条件是()1mod12n ≡−，结合12016n ≤≤知，满足条件的所有正整数为()1211,2,,168,n k k =−= 共有168个．另解：首先注意到，若m 为正整数，则对任意整数,x y ，若()mod x y m ≡，则.x y m m = 这是因为，当()mod x y m ≡时，x y mt =+，这里t 是一个整数，故.x x x y mt y mt y y y y y t t m m m m m m m m m m ++=−=−=+−+=−= 因此，当整数12,n n 满足()12mod12n n ≡时，11112222.2461224612n n n n n n n n+++=+++容易验证，当正整数满足112n ≤≤时，只有当11n =时，等式324612n n n n+++=才成立．而201612168=×，故当12016n ≤≤时，满足324612n n n n+++= 正整数n 的个数为168.二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且5051,a a 是方程 ()2100lg lg 100x x = 的两个不同的解，求12100a a a 的值．解对50,51k =，有()2100lg lg 1002lg ,k k k a a a ==+即()2100lg lg 20.k k a a −−=因此，5051lg ,lg a a 是一元二次方程210020t t −−=的两个不同实根，从而 ()505150511lg lg lg ,100a a a a =+=即1100505110.a a =由等比数列的性质知，()5015010012100505110a a a a a===10.（20分）在ABC 中，已知23.AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅（1）将,,BC CA AB 的长分别记为,,a b c ，证明：22223a b c +=；（2）求cos C 的最小值．解（1）由数量积的定义及余弦定理知，222cos .2b c a AB ACcb A +−⋅== 同理得，222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +−+−⋅=⋅= 故已知条件化为 ()()22222222223,b c a a c b a b c +−++−=+− 即22223.a b c +=（2）由余弦定理及基本不等式，得 ()2222222123cos 2236a b a b a b c C ab ab a b b a +−++−===+≥等号成立当且仅当::a b c =因此cos C11.（20分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的方程为221x y −=．求符合以下要求的所有大于1的实数a ：过点(),0a 任意作两条互相垂直的直线1l 与2l ，若1l 与双曲线C 交于,P Q 两点，2l 与C 交于,R S 两点，则总有PQ RS =成立．解过点(),0a 作两条互相垂直的直线1:l x a =与2:0.l y =易知，1l 与C交于点((00,,P a Q a （注意这里1a >），2l 与C 交于点()()001,0,1,0,R S −由条件知00002P Q R S ==，解得a = 这意味着符合条件的a下面验证a =符合条件．事实上，当12,l l 中有某条直线斜率不存在时，则可设12:,:0l x a l y ==，就是前面所讨论的12,l l 的情况，这时有.PQ RS =若12,l l 的斜率都存在，不妨设((()121:,:0,l y k x l y x k k==−≠注意这里1k ≠±（否则1l 将与C 的渐近线平行，从而1l 与C 只有一个交点）．联立1l 与C的方程知，(22210,x kx −−−=即()22221210,k xx k −−−−=这是一个二次方程式，其判别式为2440k ∆=+>．故1l 与C 有两个不同的交点,P Q ．同样，2l 与C 也有两个不同的交点,.R S 由弦长公式知，2212.1k PQ k +=⋅−用1k −代替k ，同理可得()()22221122.11k k RS k k −−+−+=⋅=−−−于是.PQ RS = 综上所述，a =为符合条件的值．加试一、（40分）非负实数122016,,,x x x 和实数122016,,,y y y 满足：（1）221,1,2,,2016k k x y k +== ；（2）122016y y y +++ 是奇数．求122016x x x +++ 的最小值．解：由已知条件（1）可得：1,1,1,2,,2016,k k x y k ≤≤= 于是（注意0i x ≥）()2016201620162016201622211111120162016.k kkk k k k k k k x xy y y =====≥=−=−≥−∑∑∑∑∑ ①不妨设112016,,0,,,0,02016,m m y y y y m +>≤≤≤ 则201611,2016.mkk k k m ym y m ==+≤−≤−∑∑若11m k k y m =>−∑，并且201612015,k k m y m =+−>−∑令 2016111,2015,mk k k k m y m a y m b ==+=−+−=−+∑∑则0,1,a b <<于是()201620161111201522016,m kkk k k k m y yy m a m b m a b ===+=+=−+−−+=−+−∑∑∑由条件（2）知，20161k k y =∑是奇数，所以a b −是奇数，这与0,1a b <<矛盾．因此必有11m k k y m =≤−∑，或者201612015,k k m y m =+−≤−∑则201620161112015.m kk k k k k m yy y ===+=−≤∑∑∑于是结合①得201611.k k x =≥∑又当122015201612201520160,1,1,0x x x x y y y y ========== 时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以122016x x x +++ 的最小值为1．二、（40分）设,n k 是正整数，且n 是奇数．已知2n 的不超过k 的正约数的个数为奇数，证明：2n 有一个约数d ，满足2.k d k <≤证明：记{}||2,0,A d d n d k d =<≤是奇数，{}||2,0,B d d n d k d =<≤是偶数，则,2A B n =∅ 的不超过k 的正约数的集合是.A B若结论不成立，我们证明.A B =对d A ∈，因为d 是奇数，故2|2d n ，又22d k ≤，而2n 没有在区间(],2k k 中的约数，故2d k ≤，即2d B ∈，故.A B ≤反过来，对d B ∈，设2d d ′=，则|d n ′，d ′是奇数，又2kd k ′≤<，故,d A ′∈从而.B A ≤ 所以.A B =故2n 的不超过k 的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．三、（50分）如图所示，ABCD 是平行四边形，G 是ABD 的重心，点,P Q 在直线BD 上，使得,.GP PC GQ QC ⊥⊥证明：AG 平分.PAQ ∠解：连接AC ，与BD 交于点.M 由平行四边形的性质，点M 是,AC BD 的中点．因此，点G 在线段AC 上．由于90GPC GQC ∠=∠= ，所以,,,P G Q C 四点共圆，并且其外接圆是以GC 为直径的圆．由相交弦定理知QG P DCBA.PM MQ GM MC ⋅=⋅ ①取GC 的中点.O 注意到::2:1:3,AG GM MC =故有1,2OCGC AG == 因此,G O 关于点M 对称．于是.GM MC AM MO ⋅=⋅ ②结合①、②，有PM MQ AM MO ⋅=⋅，因此,,,A P O Q 四点共圆．又1,2OP OQ GC ==所以PAO QAO ∠=∠，即AG 平分.PAQ ∠ 四、（50分）设A 是任意一个11元实数集合．令集合{}|,,.B uv u v A u v =∈≠求B 的元素个数的最小值．解：先证明17.B ≥考虑到将A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合B 不变，故不妨设A 中正数个数不少于负数个数．下面分类讨论：情况一：A 中没有负数．设1211a a a <<< 是A 中的全部元素，这里120,0,a a ≥>于是 1223242113111011,a a a a a a a a a a a a <<<<<<<上式从小到大共有19818++=个数，它们均是B 的元素，这表明18.B ≥情况二：A 中至少有一个负数．设12,,,k b b b 是A 中的全部非负元素，12,,,l c c c 是A 中的全部负元素．不妨设 110,l k c c b b <<<≤<<其中,k l 为正整数，11k l +=，而k l ≥，故 6.k ≥于是有 111212,k k l k c b c b c b c b c b >>>>>> 它们是B 中的110k l +−=个元素，且非正数；又有 23242526364656,b b b b b b b b b b b b b b <<<<<< 它们是B 中的7个元素，且为正数．故10717.B ≥+=由此可知，17.B ≥ 另一方面，令{}2340,1,2,2,2,2,A =±±±±±则{}236780,1,2,2,2,,2,2,2B =−±±±±±− 是个17元集合．综上所述，B 的元素个数的最小值为17.。

2016年高中数学联赛试题答案

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3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则． log w u 的值为 4 答案：． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条件化为 a ab b 5, 3 ，由此可得 ab ．因此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
M 为 AP 的中点．若 AB 1, AC 2, AP 2 ，则二面角 M BC A 的大小为． 2 答案： arctan ． 3 解：由 ABC 90 知， AC 为底面圆的直径．设底面中心为 O ，则 PO 平面 ABC ．易知 1 AO AC 1 ，进而 PO AP 2 AO 2 1 ． 2 设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中点．在底面中作 HK BC 于点 K ，则由三垂线定理知 MK BC ，从而 MKH 为二面角 M BC A 的平面角． 3 1 HK HC 3 因 MH AH ，结合 HK 与 AB 平行知，，即 HK ， 4 2 AB AC 4 MH 2 2 这样 tan MKH ．故二面角 M BC A 的大小为 arctan ． 3 HK 3 kx kx 6. 设函数 f ( x) sin 4 cos 4 ，其中 k 是一个正整数．若对任意实数 a ， 10 10 均有 f ( x) a x a 1 f ( x) x R ，则 k 的最小值为．

2016年全国高中数学联合竞赛(含答案)

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